MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UTFPR
CAMPUS CORNÉLIO PROCÓPIO
PR
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
1. LINGUAGEM MATEMÁTICA
SÍMBOLO
=



LÊ-SE
Igual
Diferente (exemplo: 1 / 3  0,33 )
Aproximadamente (exemplo: 1 / 3  0,33 )
Coincidentes (exemplo: retas coincidentes)
Não coincidentes
Por cento (indica uma divisão por 100, por exemplo: 5% = 5/100)
%

Mais ou menos (exemplo: x 2  4  x   4  x  2 )
Maior que

Maior ou igual a

Menor que

Menor ou igual a

Tal que

Qualquer que seja ou todo elemento

Implica

Se, e somente se

Existe

Não existe
Único

Pertence

Não pertence

União

Intersecção

Está contido

Contém

A não está contido em B
A B
Conjunto dos números naturais
N
Conjunto dos números inteiros
Z
Conjunto dos números racionais
Q
Q c ou Q ' ou I Conjunto dos números irracionais
Conjunto dos números reais

Usado para indicar conjunto vazio
{ } ou 
Indica a exclusão do elemento zero
*
Paralelas ou paralelos (exemplo: retas paralelas)
//
Perpendicular ou ortogonal (exemplo: retas perpendiculares)

Conforme queríamos demonstrar
c.q.d .
Somatório

Produtório

Infinito

f é uma função do conjunto A no conjunto B
f : AB
o
1 mandamento da matemática: Não dividirás por zero
2o mandamento da matemática: Não aprenderás se não praticar
DESAFIO: Duas pessoas viajando, sendo que a primeira pessoa leva consigo 3 pães enquanto a
segunda pessoa leva 5 pães. Essas pessoas encontraram um andante, e decidem comer juntas os pães
que levam. Todos comeram a mesma quantidade, ao final o andante como recompensa distribuiu 8
moedas de ouro. Quanto cada um deve ganhar de forma que a divisão seja proporcional a contribuição
de cada um para acabar com a fome do andante?
2
2. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

União (ou reunião) de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se união (ou reunião) de A com B o conjunto formado pelos
elementos que pertencem a A ou a B. A união de A com B é indicado por: A B
Em símbolos, temos:
A  B  {x / x  A ou x  B}

Intersecção de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A com B o conjunto formado pelos elementos
comuns ao conjunto A e ao conjunto B. A intersecção de A com B é indicado por: A B
Em símbolos, temos:
A  B  {x / x  A e x  B}
 Número de elementos da união entre conjuntos
Indicando por n(A) o número de elementos do conjunto A; n(B) o número de elementos de B;
n( A  B) o número de elementos de A B e n( A  B) o número de elementos de A B , é válida a
seguinte relação:
n( A  B)  n( A)  n( B)  n( A  B)

Diferença entre conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de
A que não pertencem a B. A diferença entre A e B é indicado por: A  B
Em símbolos, temos:
A  B  {x / x  A e x  B}
Exemplo:
1) Dados os conjuntos A  {1, 2, 3, 4}, B  {3, 4, 5,6, 7} , determine:
a) A  B
b) A  B
c) A  B
d) As quantidades: n( A  B), n( A), n( B) e n( A  B) .
e) A relação matemática entre as quantidades determinadas anteriormente.
2) Dona Vera, professora de uma turma de 40 alunos, quis saber quantos se interessariam pelos cursos
extras que a escola estava oferecendo. Existiam as seguintes opções: curso de computação e curso
de ecologia. Sabendo que 25 ergueram o braço quando ela perguntou quem gostaria de fazer o
curso de computação, 10 interessados levantaram a mão, escolhendo o curso de ecologia e 5 alunos
demonstraram participar dos dois cursos, determine quantos alunos não se interessaram por
nenhum dos cursos. Resposta: 10
3
3) Em uma classe de 48 alunos, cada aluno apresentou um trabalho sobre ecologia, tendo sido
indicados dois livros sobre o assunto. O livro A foi consultado por 26 alunos e o livro B, por 28
alunos. Sabendo-se que cada aluno consultou pelo menos um dos dois livros, pergunta-se:
a) Quantos alunos consultaram os dois livros?
b) Quantos alunos consultaram apenas o livro A?
Solução:
a) n( A  B)  n( A)  n( B)  n( A  B)  48  26  28  n( A  B)  n( A  B)  6 . Assim, os livros
A e B foram consultados por 6 alunos.
b) Entre os 26 alunos que consultaram o livro A, existem 6 alunos que consultaram também o livro B.
Logo, o número de alunos que consultaram apenas o livros A é 26 - 6 = 20.
4) Desejando verificar qual o jornal preferido pelos estudantes, uma pesquisa apresentou os resultados
constantes da tabela a seguir.
Jornais
A
B
C
AeB AeC BeC
A, B e C Nenhum
Número de leitores 300
250
200
70
65
105
40
150
Pergunta-se:
a) Quantas pessoas leêm apenas o jornal A?
b) Quantas pessoas leêm o jornal A ou B?
c) Quantas pessoas não leêm o jornal C?
d) Quantas pessoas foram consultadas?
Resposta: a) 205
b) 480
c) 500
d) 700
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) (Unicsul-SP) Os conjuntos A, B e A  B têm, respectivamente, 10, 15 e 7 elementos. O número de
elementos de A  B é: Resposta: e
a) 22
b) 25
c) 17
d) 32
e) 18
2) Numa creche com 120 crianças, verificou-se que 108 haviam sido vacinadas contra a poliomielite,
94 contra o sarampo e 8 não tinham recebido nenhuma das duas vacinas. Quantas crianças foram
vacinadas contra poliomielite e sarampo? Resposta: 90
3) O quadro a seguir mostra o resultado de um pesquisa entre alunos de uma escola de ensino médio
sobre suas preferências em relação à revistas A ou B.
Revistas
A
B
Número de Leitores
180
160
Pergunta-se:
a) Quantos estudantes foram consultados?
b) Quantos leêm apenas a revista A?
c) Quantos não leêm a revista A?
d) Quantos alunos leêm a revista A ou a revista B?
Resposta: a) 320
b) 120
c) 140
d) 280
A B
60
Nenhuma
40
4
4) Uma escola ofereceu aos alunos da 1a série do ensino médio cursos paralelos de informática (I),
xadrez (X) e fotografia (F). As inscrições constam na tabela a seguir.
Cursos
I
X
F
I  X I  F X  F I  X  F Nenhum
Número de inscrições
24
10
22
3
5
4
2
4
Pergunta-se:
a) Quantos alunos cursavam a 1a série do ensino médio?
b) Quantos optaram apenas pelo curso de fotografia?
c) Quantos não se inscreveram no curso de xadrez?
d) Quantos fizeram inscrições para os cursos de informática ou fotografia?
Resposta: a) 50
b) 15
c) 40
d) 41
5) (Fuvest) No vestibular Fuvest 90 exigia-se dos candidatos à carreira de administração a nota
mínima 3,0 em matemática e em redação. Apurados os resultados, verificou-se que 175 candidatos
foram eliminados em matemática e 76 candidatos foram eliminados em redação. O número total de
candidatos eliminados por essas duas disciplinas foi 219. Qual o número de candidatos eliminados
apenas pela redação? Resposta: 44
6) (PUC-PR) Em um levantamento com 100 vestibulando da PUC, verificou-se que o número de
alunos que estudou para as provas de matemática, física e português foi o seguinte: matemática,
47; física, 32; português, 21; matemática e física, 7; matemática e português, 5; física e português,
6; as três matérias, 2. Quantos dos 100 alunos incluídos no levantamento não estudaram nenhuma
das três matérias? Resposta: 16
7) (Esal-MG) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV a que
habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270
assistem ao canal B, dos quais 150 assistem a ambos os canais A e B e 80 assistem a outros canais
distintos de A e B. O número de pessoas consultadas é: Resposta: d
a) 800
b) 720
c) 570
d) 500
e) 600
8) (PUC-RS) Numa empresa de 90 funcionários, 40 são os que falam inglês, 49 os que falam
espanhol e 32 os que falam espanhol e não falam o inglês. O número de funcionários dessa
empresa que não falam inglês nem espanhol é: Resposta: c
a) 9
b) 17
c) 18
d) 27
e) 89
9) (PUC-MG) O número de elementos da união de dois conjuntos A e B é n( A  B) = 15. Se n(A) = 7
e n( A  B) =3, n( B  A) é igual a: Resposta: c
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
10) (Vunesp) Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de matemática e 20 de história. O número de
alunos dessa classe que gostam de matemática e de história é: Resposta: a
a) exatamente 6
b) exatamente 10
c) no máximo 6
d) no mínimo 6 e) exatamente 18
11) (PUC-MG) Dados os conjuntos A  {1, 2, 3, 4} e B  {2, 3, 4} , o conjunto X tal que A  X  {3}
e B  X  {2, 3, 4, 5} é: Resposta: c
a) {1}
b) {3}
c) {3, 5}
d) {1, 2, 5}
e) {3, 4, 5}
5
3. CONJUNTOS NUMÉRICOS:
3.1. Números Naturais (Símbolo  N )  N  {0, 1, 2, 3, ...}
Nota: N *  N  {0}  {1, 2, 3, ...} , conhecido como conjunto dos números inteiros positivos.
3.2. Números Inteiros (Símbolo  Z )  Z  {...,  3,  2,  1, 0, 1, 2, 3, ...}  {0,  1,  2,  3, ...}
Curiosidade: A escolha da letra Z para representar o conjuntos dos números inteiros, deve-se ao
fato da palavra Zahl em alemão, significar número.
Nota: N   (todo número natural é um número inteiro)
a

3.3. Números Racionais (fração) (Símbolo Q)  Definição: Q   / a, b  , b  0
b

Curiosidade: O uso da letra Q deriva da palavra inglesa quocient, que significa quociente, já que
a forma geral de um número racional é um quociente de dois números inteiros .
Notas: (i) Z  Q (todo número inteiro é um número racional).
(ii) Toda dízima periódica é um número racional.
(iii) Ao fazer medições notaram que nem sempre as medidas são exatas.
5
1
Exemplos: 2,5  ; 0,33333...  0, 3 
2
3
1o mandamento da matemática: Não dividirás por zero.
2o mandamento da matemática: Não aprenderás se não praticar.
3.4. Números Irracionais (Símbolo  Q C )
a
Definição: São os números que não podem ser escritos na forma: , a  Z e b  Z*
b
Exemplos:
1) Determinação da hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos iguais a 1.
Aplicando o teorema de Pitágoras,
temos:
Hip  2 , onde:
2) O número pi (  3,1415927...) : Geometricamente: π 
onde: D  2r , com r : raio da circunferência.
2  1,4142136...
comprimento de uma circunferê ncia C

diâmetro da mesma
D
C
C
 
   C  2r
D
2r
3) Diagonal de um cubo de aresta a
Aplicando duas vezes o teorema de
Pitágoras, temos:
D  a 3 , onde:
3  1,7320508...
4) O número de Euler (e  2,7182818...) , usado, por exemplo, no sistema de capitalização composta
contínua (juros compostos).
6
3.5. Números Reais (Símbolo   )
Chamamos de número real todo número racional ou irracional, ou seja, o conjunto dos números reais e
a união (ou reunião) dos conjuntos dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais
(QC), isto é:
  Q  Q C e Q  Q C  { } ou Q  QC  
Conclusão: N  Z  Q   e QC  
3.6. A representação dos conjuntos numéricos através do diagrama de Venn, consiste em colocar os
elementos no interior de uma curva fechada simples (sem intersecções).
Um conjunto que tenha todos os elementos com os quais se deseja trabalhar chama-se conjunto
universo. O nosso objeto de estudo será o conjunto dos números reais, assim o nosso universo será os
números reais.
Em  estão definidas as operações de adição e multiplicação. Dados a, b   associamos a esse par
de números: (a  b)   , (a  b)   , respectivamente a soma e o produto de a por b .
3.7. Propriedades algébricas dos números reais
1) Associativa: ( a, b, c  )
 (a  b)  c  a  (b  c)
 (a  b)  c  a  (b  c)
2) Comutativa: ( a, b  )
 ab  ba
 ab  ba
3) Distributiva: ( a, b, c  )
 a  (b  c)  a  b  a  c
 (a  b)  c  a  c  b  c)
4) Elemento neutro:  a  ,  0, 1  / a  0  a e a  1  a
5) Existência do oposto:  a  ,  (-a)   / a  (-a)  0
6) Existência do inverso:  a  , a  0, 
1
1
 a -1   / a   1
a
a
7) a  0  0 ,  a  
8) Lei do anulamento: a  b  0  a  0 ou b  0
9) Lei do cancelamento:  a, b, c   , tem-se: a  c  b  c  a  b
7
3.8. Relação de ordem em 
Um número real a é maior () que um número real b , quando a diferença (a  b) for positiva, isto é:
a  b se a - b  0
Notações:
 a  b (a é maior ou igual a b)
 a  b (a é maior que b)
 a  b (a é menor ou igual a b)
 a  b (a é menor que b)
Propriedades de ordem:
 Tricotomia: Dados ( a, b  ) , temos: a  b ou a  b ou a  b
 Transitiva: Dados ( a, b  ) , temos: se a  b e b  c  a  c
 ( a, b  ) , se a  0 e b  0  a  b  0
 ( a, b, c  ) , se a  b  a  c  b  c
 ( a, b, c, d  ) , se a  c e b  d  a  b  c  d
 ( a, b, c  ) , se a  b e c  0  a  c  b  c

c  1
( a, b, c  ) , se a  b e c  0  a  c  b  c Exemplo: 2  3   2  3
3.9. Representação gráfica dos números reais
Os números reais podem ser representados geomentricamente por pontos de uma reta. Para isso
escolhem-se dois pontos distintos da mesma, um representando o 0 e o outro o 1. Tomando o segmento
de extremidades 0 e 1 como unidade de medida, marcamos os demais números reais.
A reta real
...
0
1/ 2
1
3/ 2
2
5/ 2
3 ...

Mas, como representar um ponto na reta que não é racional?
Exemplo: Representar o número irracional 2
3.10. Módulo ou valor absoluto de um número real
O valor absoluto (ou módulo) de um número real x , que representamos por | x | é definido por:
Exemplo: | 3 |  3 e | 3 |  3
 x, se x  0
| x |
- x, se x  0
Geometricamente, o módulo | x | é a distância do ponto x à origem (ponto 0), na reta real.
Para o nosso exemplo, temos: | 3 |  | 3 |  3
8
Analogamente, se desejarmos a distância de dois pontos a e b na reta real, indicamos por:
| b  a |  distância de a até b e | a  b |  distância de b até a
Geometricamente,
É obvio que | a  b |  | b  a |
Propriedades de módulo:
Dados a, b, c   , tem-se:
 | a | 0 e | a | 0 a  0
 | a | 2  a2




| a |  a 2 , ou melhor: a 2  | a |
| a b | | a | | b |
a |a|
(b  0)

b |b|
Se c  0 | c  a |  c | a |
4 = 5?
Tomemos os números: 16, 25, 36 e 45. Podemos afirmar, com certeza que
16 – 36 = 25 – 45
Somando em ambos os membros da equação
16  36 
81
, temos:
4
81
81
 25  45 
4
4
Transformando em um trinômio quadrado perfeito,
2
9
9


 4    5  
2
2


2
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, temos:
4
Somando
9
9
 5
2
2
9
em ambos os membros, vamos a:
2
4=5
que é um absurdo. Então onde está o erro?
9
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Escreva os seguintes conjuntos indicando seus elementos:
a) G  {x  N / x é menor que 6}
b) A  {x  N / x é um número ímpar maior que 6}
c) B  {x  N / x é maior que 10 e menor que 15}
d) I  {x  N / x dividido por 6 resulta em um quociente inteiro e resto igual a 2}
2) Os elementos dos conjuntos abaixo são números naturais. Escreva estes conjuntos através de uma
propriedade que os caracterize.
a) S  {1, 3, 5, 7, 11, ...}
b) I  {0, 3, 6, 9, ..., 57, 60}
c) M  {4, 5, 6,7,8, 9}
3) Represente os conjuntos a seguir indicando seus elementos. Caso o conjunto não tenha elementos,
represente-o por:  ou { } . Nota: Nunca utilize a notação {} para indicar conjunto vazio, é um
erro.
a) D  {x  N / 0x  12}
b) O  {x  N / 3x 2  5x  0}
4) O conjunto A está representado pelo diagrama de Venn (ou Euler-Venn). Represente esse mesmo
conjunto:
a) Indicando seus elementos entre chaves;
b) Por uma propriedade característica de seus elementos.
5)
a)
b)
c)
d)
Considerando U  { - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4} como conjunto universo, determine o conjunto solução de:
{x  U /  2  x  2}
{x  U / x  4  2}
{x  U / x 2  4}
{x  U / 2 x  1}
Respostas:
1) a) G  {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Nota: item d)
x
2
b) A  {7, 9, 11, 13,...}
c) B  {11, 12, 13, 14}
Se q  0  x  2
6

 x  6q  2 , assim: Se q  1  x  8
q
and so on

d) I  {2, 8, 14, 20, ...}
2) a) S  {x  N/ x é ímpar} b) I  {x  N/ x  60 e é múltiplo de 3}
c) M  {x  N/ 3  x  10} ou M  {x  N/ 4  x  9}
3) a) D   b) O  { 0 }
4) a) {0, 1 , 2, 3}
b) {x  N / 0  x  4} ou {x  N / 0  x  3}
5) a) S  {1, 0, 1}
b) S  {2}
c) S  {-2, 2}
d) S  
10
6) (PUC-MG) O valor exato de
3
25
Resposta: e
a)
b)
3
28
0,2929...  0,222...
é:
0,555...  0,333...
8
c)
67
7) Escreva na forma de fração irredutível.
a) 0,2
b) –2,4
e) 2,454545...
f) 0,5212121...
1
7
12
23
Resposta: a)
b) 
c)
d)
5
9
5
99
d)
9
79
e)
c) 0,777...
g) 0,0222...
27
86
e)
f)
11
165
d) 0,232323...
h) 3,2444...
1
146
g)
h)
45
45
8) Escreva na forma fracionária os seguintes números decimais:
a) 0,666
b) 0,666...
c) 0,060606...
d) 0,0666...
e) 0,6151515...
f) 0,615615...
333
2
1
203
2
Resposta: a)
b)
c)
d)
e)
500
3
15
330
33
9) Usando os símbolos , ,  ou  , estabeleça uma relação entre:
3
a) 0,5 e Z
b)  5 e Z
c)  e Q
d)  3 e Q
4
Resposta: a) 
b) 
c) 
d) 
10) Escreva os seguintes conjuntos indicando seus elementos:
a) {x  Z / x  4}
b) {x  Z * /  3  x  3}
d) {x  Z / x  2}
e) {x  Z  / x  5}
Resposta: a) {-3, - 2, - 1, 0, 1, ...}
b) {-2, - 1, 1, 2}
d) { - 2, - 1, 0, 1, 2, ...}
e) {-4, - 3, - 2, - 1, 0}
1
8
Resposta: a) Racionais: a, b, e, g; Irracionais: c, d, f, h
36
f)
4
g)
205
333
f)
e) N e Z
f) Q e Z
e) 
f) 
c) {x  Z  / x  5}
f) {x  Z /  3  x  2}
c) {0, 1, 2, 3, 4}
f) {-3, - 2}
11) Classifique como racional ou irracional cada um dos seguintes números reais:
a) 2,3
b) 2,333...
c) 2,34455667...
e)
7
88
4
81
d) 15
h)
3
9
1

12) (FCM-MG) Sendo A  {1, 3, 5, 7, ...} e B   x  Q / x    , todas as afirmativas abaixo são
2

corretas, exceto:
3
a) A  B  A
b) 379  A
c) A  B
d)  B
e) A  B  B
7
Resposta: a
14) Questionário:
a) O que significa a palavra matemática? Resposta: Saber Pensar (origem grega)
b) O que significa teorema? Resposta: (Teo = Deus e Rema = Verdade, portanto, verdade divina)
c) Como provar geometricamente o teorema de Pitágoras?
11
4. INTERVALOS
4.1. Introdução:
Sempre que existirem problemas em que as variáveis assumam valores que oscilam entre determinados
números reais, utilizamos o conceito de intervalo.
Exemplo:
1) Na olimpíada de matemática realizada pela Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) com
médias variando de 0 a 10, foram premiados os candidatos que obtiveram médias iguais ou
superior a 5,0, segundo o quadro a seguir.
Médias
5,0  média  6,5
6,5  média  8,5
8,5  média  10
Prêmios
R$ 150,00
R$ 300,00
R$ 500,00
Assim, a premiação foi efetuada de acordo com os intervalos aos quais pertencem cada nota.
Definições:
Se a, b   e a  b , um intervalo de  é um subconjunto de  que tem uma das seguintes formas:

[a; b]  {x   / a  x  b}

[a; b[  {x   / a  x  b}

]a; b]  {x   / a  x  b}

]a; b[  {x   / a  x  b}

[a;  [  {x   /x  a}

]a;  [  {x   /x  a}

] - ; b]  {x   /x  b}

] - ; b[  {x   /x  b}
Notas:
1) Os caracteres   e   não são números, são apenas símbolos. Os mesmos são lidos,
respectivamente, menos infinito e mais infinito.
2) [a, b] é denominado intervalo fechado (os extremos fazem parte do conjunto), os demais são
intervalos semi-abertos (apenas um dos extremos pertence ao conjunto) ou abertos (os extremos
não pertencem ao conjunto).
3) Faça a representação geométrica (na reta real) de cada um dos conjuntos apresentados
anteriormente.
12
Exemplos:
1) Represente na reta real os intervalos:
a) [-3; 4]
b) [1; 3[
c) ]  ; 2 [
d) [3;  [
e) {x   /  2  x  3}
g) {x   / x  3}
h) {x   / x  2}
f) {x   /  4  x  1}
2) Resolva a inequação: 3x  2  x  8 Resposta: S  {x   / x  3} ou S ]  , 3[
3) Resolva a inequação: x  8  3x  2 Resposta: S  {x   / x  3} ou S ]3,[
4) Determine a união dos seguintes intervalos
a) ]  2; 3]  [2; 4[
Resposta: ]  2; 4[ ou {x   / - 2  x  4}
b) ]  1; 4]  [4; 6]
Resposta: ]  1; 6] ou {x   / - 1  x  6}
c) [1; 4]  [5; 7]
Resposta: [1; 4]  [5; 7] ou {x   / 1  x  4 ou 5  x  7}
5) Determine a intersecção dos seguintes intervalos
a) ]  2; 4]  [2; 6]
Resposta: [2; 4] ou {x   / 2  x  4}
b) ]  2; 4]  [4;  [
Resposta: {4}
c) ]  2; 4]  ]5; 6[
Resposta: 
Nota: A intersecção de dois intervalos pode ser um intervalo, um conjunto unitário (apenas um
elemento) ou o conjunto vazio.
6) Resolva no universo  as inequações:
a)  3  (2x - 5)  1 - 6x Resposta: S  
b)  3  (2x - 5)  1 - 6x Resposta: S  { } ou S  
7) Reescreva as desigualdades, de modo que apenas x fique entre os sinais de desigualdades.
a) 3  2 x  1  9
Resposta: 1  x  4}
b)  1  3x  4  6 Resposta: 1  x  10 / 3}
13
4.2. LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Represente na reta real os intervalos:
a) [-3; 4]
b) [1; 3[
e) {x   /  2  x  3}
f) {x   /  4  x  1}
c) ]  ; 2 [
g) {x   / x  3}
d) [3;  [
h) {x   / x  2}
2) Dados os conjuntos A  {x   / 1  x  5} e B  {x   / 2  x  7} , determine:
a) A  B
b) A  B
Resposta: a) 1  x  7}
b) 2  x  5
3) Determine os seguintes intervalos representados na reta real, usando a notação de colchetes.
Resposta: [3; 10 ]
Resposta: ]  2; 3[
Resposta: [5;2[
Resposta: [3;]
Resposta: [;1[
Resposta: ]  2 ; 3 ]
4) Usando desigualdades, indique em cada caso os intervalos em destaque.
a)
Resposta: {x   / x  4 ou x  3 / 5}
b)
Resposta: {x   / - 1  x  0 ou x  1}
c)
Resposta: {x   / x  2 ou 4  x  5 ou x  6}
5) Determine a intersecção dos seguintes intervalos
a) ]  2; 4]  [1; 5]
Resposta: [1; 4] ou {x   / 1  x  4}
b) ]  1; 8]  [9; 10]
Resposta: 
c) [5; 4]  [4; 20 ]
d) ]  ; 5]  [-5; [
Resposta: {4}
Resposta: [5; 5] ou {x   / 5  x  5}
6) Determine a união dos seguintes intervalos
a) [2; 4]  [1; 5]
Resposta: [2; 5] ou {x   / - 2  x  5
b) [2; 3]  ] - 1; 3[
c) ]  ; 2]  [0; 5[
d) ]  ; 5]  [5;  [
Resposta: [2; 3) ou {x   / - 2  x  3}
Resposta: ]  ; 5[ ou {x   / x  5}
Resposta: ]  ;   [ 
14
5. APLICAÇÕES
5.1. FGTS - FUNDO DE GARANTIA DO TEMPO DE SERVIÇO
Alíquota única de 8% sobre os vencimentos, antes do desconto do INSS, pago pela empresa
O FGTS é uma poupança aberta pela empresa em nome do trabalhador, onde todo mês ela deve
depositar o relativo a 8% do valor do salário que ele recebe. Essa conta rende Juros e Atualização
Monetária (JAM). No final do período de um ano, a soma de todos os depósitos equivale a mais de um
salário bruto mensal. Para um funcionário que ganha R$ 1.000,00 no mês, por exemplo, temos:
12 depósitos de R$ 80,00
1 depósito de R$ 80,00 (13o salário)
1 depósito de R$ 26,66 (1/3 férias)
Subtotal
+ Juros Anuais + Correção Monetária
R$ 960,00
R$ 80,00
R$ 26,66
R$ 1.066,00
R$ ?????
Nota: A empresa é obrigada, também, a pagar uma taxa de 0,5% ao governo federal (INSS).
Os tipos de conta do FGTS estão divididos em dois tipos de contas, ativas e inativas:
Conta ativa: é a que mensalmente está recebendo depósitos pela empresa, durante o período em que
você está trabalhando. Esta conta rende Juros e Atualização Monetária.
Conta inativa: é a que deixa de receber depósitos, pois o trabalhador saiu da empresa e não sacou a
conta. Esta conta continua rendendo Juros e Atualização Monetária (JAM) até o trabalhador sacá-la.
As situações em que se pode sacar o FGTS







Demissão sem justa causa (a empresa deverá pagar uma multa de 50% do valor do FGTS, sendo
40% para o empregado e 10% para o governo federal, INSS);
Extinção (fechamento) da empresa;
Aquisição de casa própria;
Falecimento do trabalhador (dependentes);
Tratamento de doenças como CÂNCER ou AIDS;
Aposentadoria;
Contas inativas (paradas, sem depósitos ou saques) a mais de 3 anos, e outras.
Juros e Atualização Monetária (JAM)
Juros: As contas abertas a partir de 23/09/1971 sempre rendem 3% ao ano.
Atualização Monetária: corresponde à taxa de inflação do período, que tem por objetivo manter o
poder aquisitivo do FGTS. Atualmente, o FGTS é corrigido pela variação da TR (Taxa Referencial), a
mesma que corrige as Cadernetas de Poupança.
Nota: Em geral, o servidor público não tem FGTS.
15
5.2. INSS - INSTITUTO NACIONAL DE SEGURIDADE SOCIAL
A Constituição Federal de 1.988 criou o Sistema de Seguridade Social destinado a assegurar o direito
de todos os trabalhadores à saúde, à assistência e à previdência. A seguir, tem-se uma tabela com os
salários de contribuição, bem como as alíquotas para fins de recolhimento ao INSS (Instituto Nacional
de Seguridade Social).
Tabelas de contribuição mensal, para pagamento de remuneração a partir de agosto de 2004

Segurados empregados, inclusive domésticos e trabalhadores avulsos
Salário de contribuição
até R$ 800,45
de R$ 800,46 até R$ 900,00
de R$ 900,01 até R$ 1.334,07
R$ 1.334,08 acima de R$ 2.668,15
acima de R$ 2.668,16
Alíquota
7,65%
8,65%
9,00%
11%
R$ 293,50
Variação de contribuição: Mínimo  7,65%, ou seja, R$ 300,00 x 7,65% = R$ 22,95
Máximo  11%, ou seja, R$ 2.668,16 x 11% = R$ 293,50
AS EMPRESAS QUANTO PAGAM DE INSS? 20% do salário bruto de cada empregado, mais 1%
de seguro patronal.
Nota: No caso de empregados domésticos, a alíquota é de 7,65%, 8,65%, 9% ou 11%, dependendo da
remuneração, e mais a parte do empregador que é de 12%.

Segurados contribuinte individual e facultativo
Salário de contribuição
de R$ 300,00 (valor mínimo) até
R$ 2.668,16 (valor máximo)
Alíquota
20,00%
Variação de contribuição: Mínimo => 20%, ou seja, R$ 300,00 x 20% = R$ 60,00
Máximo => 20%, ou seja, R$ 2.668,16 x 20% = R$ 533,64
Nota: O teto máximo de aposentadoria (desde a reforma da previdência) passou a ser de R$ 2.668,16.

65 anos de idade, e
 Homens  

35 anos de contribuiç ão
APOSENTADORIA - CRITÉRIO: 
Mulheres  60 anos de idade, e


30 anos de contribuiç ão

REFLETINDO: O servidor público contribui com a íntegra de seu salário para a Previdência Social e
devido a isso, tem direito à aposentadoria integral. O Estado, patrão do servidor público, não contribui
com a sua parte. Além disso, é importante salientar que a cota paga pelo patrão do trabalhador privado
é repassada para os custos bens e serviços, sendo paga, na prática, pelo consumidor final, incluindo
assim toda a sociedade, inclusive o servidor público.
16
5.3. IRPF - IMPOSTO DE RENDA DA PESSOA FÍSICA
A tabela a seguir mostra as várias faixas para desconto do Imposto de Renda da Pessoa Física (IRPF)
na fonte de pagamento, para janeiro de 2.005.
Base de cálculo
até R$ 1.164,00
de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00
acima de R$ 2.326,00
Dedução por dependente
Alíquota
Dedução
isento
15%
R$ 174,60
27,5%
R$ 465,35
R$ 117,00
Nota: A dedução por dependente hoje é de R$ 117,00, aplicada após o pagamento do INSS.
Exemplos:
1) Mostre como se determinam os valores da dedução:
a) R$ 174,60
b) R$ 465,35
Solução:
Solução:
R$ 1.164,00 x 15% = R$ 174,60
1a Parte) R$ 1.164,00 x 27,5% = R$ 320,10
2a Parte) (R$ 2.326,00 – R$ 1.164,00) x (27,5% –15%) =
R$ 1.062,00 x 12,5% = R$ 145,25
A dedução é a soma desses dois valores, ou seja,
R$ 320,10 + R$ 145,25 = R$ 465,35
2) Apresente, de forma resumida, a forma de cálculo do FGTS, INSS, Base de Cálculo, IRPF, Salário
Líquido, Desconto e Percentual de Desconto.
Solução:
Denominado de Salário Bruto (SB) o Salário de Contribuição (SC), temos:

FGTS => Salário Bruto  Alíquota (alíquota única de 8%).

INSS => Salário Bruto  Alíquota (para salários até R$ 2.508,72, as alíquotas são: 7,65% ou
8,65% ou 9% ou 11%, dependo da faixa onde se encontra o salário analisado); acima deste valor o
INSS é fixo em R$ 275,95, ou seja, 11% de R$ 2.508,72.
Nota: Para calcular o IRPF, faz-se necessário primeiramente determinar a base de cálculo.

Base de Cálculo => Salário Bruto – INSS – No de Dependentes  Dedução por Dependente
(atualmente R$ 117,00 por dependente)

IRPF => Base de Cálculo  Alíquota (as alíquotas são: isento = 0% ou 15% ou 27,5%,
dependendo da Base de Cálculo) – Dedução (R$ 0,00 ou R$ 174,60 ou R$ 465,35, dependo da
Base de Cálculo)

Salário Líquido = Salário Bruto – INSS – IRPF

Desconto = Salário Bruto – Salário Líquido

Sugestão para determinação do percentual de desconto:
R$
Faça uma regra de três simples e direta => Salário Bruto
Desconto
%
100
x
17
3) Considerando um trabalhador com salário de contribuição de R$ 1.708,39 e possuindo dois
dependentes, calcule:
a) O valor do FGTS, a ser depositado na poupança, pela empresa e em seu favor, sabendo que a
alíquota única é de 8%.
b) O valor do INSS, conforme a tabela a seguir:
Salário de contribuição
até R$ 752,62
de R$ 752,63 até R$ 780,00
de R$ 780,01 até R$ 1.254,36
R$ 1.254,37 acima de R$ 2.508,72
acima de R$ 2.508,72
Alíquota
7,65%
8,65%
9,00%
11%
R$ 275,95
c) O valor a ser pago ao IRPF, conforme a próxima tabela:
Alíquota
Dedução
Base de cálculo
isento
até R$ 1.164,00
15%
R$ 174,60
de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00
27,5%
R$ 465,35
acima de R$ 2.326,00
R$ 117,00
Dedução por dependente
d) O salário líquido.
e) Qual o percentual de desconto total?
Solução:
a) FGTS => 8% de R$ 1.708,39 = R$ 136,67
b) INSS => 11% de R$ 1.708,39 = R$ 187,92
c) IRPF => Base de Cálculo => Salário Bruto – INSS - No de Dependentes  Dedução por Dependente
Base de Cálculo = R$ 1.708,39 – R$ 187,92 – 2  R$ 117,00 = R$ 1.286,47
IRPF => 15% de R$ 1.286,47 – dedução = R$ 192,97 – R$ 174,60 = R$ 18,37
d) Salário Líquido => Salário de Contribuição – INSS – IRPF
Salário Líquido => R$ 1.708,39 – R$ 187,92 – R$ 18,37 = R$ 1.502,10
e) 1a forma) Desconto = Salário Bruto – Salário Líquido
R$ 1.708,39 – R$ 1.502,10 = R$ 206,29
Faça uma regra de três simples e direta =>
R$
Salário Bruto
Desconto
%
R$
100  1.708,39
x
206,29
%
20.629
100  x 
 12,08
1.708,39
x
Portanto, o percentual de desconto é de 12,08%
e) 2a forma) O percentual é de: 1 
1.502,10
 12,08%
1.708,39
18
5.4. LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Considerando, os salários listados a seguir e o número de dependentes igual a 2, calcule:
a) O valor do FGTS, a ser depositado na poupança, pela empresa e em seu favor, sabendo que a
alíquota única é de 8%.
b) O valor do INSS, conforme a tabela a seguir:
Salário de contribuição
Alíquota
7,65%
até R$ 752,62
8,65%
de R$ 752,63 até R$ 780,00
9,00%
de R$ 780,01 até R$ 1.254,36
11%
R$ 1.254,37 acima de R$ 2.508,72
R$ 275,95
acima de R$ 2.508,72
c) O valor a ser pago ao IRPF, conforme a próxima tabela:
Alíquota
Dedução
Base de cálculo
isento
até R$ 1.164,00
15%
R$ 174,60
de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00
27,5%
R$ 465,35
acima de R$ 2.326,00
R$ 117,00
Dedução por dependente
d) O salário líquido.
e) Qual o percentual de desconto total?
Salários a serem considerados:
i) R$ 1.000,00
ii) R$ 1.500,00
Respostas:
i) a) R$ 80,00
ii) a) R$ 120,00
iii) a) R$ 160,00
iv) a) R$ 200,00
v) a) R$ 240,00
b) R$ 90,00
b) R$ 165,00
b) R$ 220,00
b) R$ 275,00
b) R$ 275,95
iii) R$ 2.000,00
c) R$ 0,00
c) R$ 0,00
c) R$ 57,30
c) R$ 124,05
c) R$ 219,41
iv) R$ 2.500,00
d) R$ 910,00
d) R$ 1.335,00
d) R$ 1.722,70
d) R$ 2.100,95
d) R$ 2.504,64
v) R$ 3.000,00
e) 9%
e) 11%
e) 13,87%
e) 15,96%
e) 16,51%
2)
a)
b)
c)
Determine o valor do IRPF a ser descontado na fonte de pagamento se a base de cálculo for:
R$ 600,00 Resposta: R$ 0,00
R$ 1.200,00 Resposta: R$ 5,40
R$ 2.400,00 Resposta: R$ 194,65
3)
a)
b)
c)
d)
Tomando como base a tabela do IRPF, determine:
O IRPF para uma base de cálculo de R$ 1.500,00. Resposta: R$ 50,40
O IRPF para uma base de cálculo de R$ 2.000,00. Resposta: R$ 125,40
O IRPF para uma base de cálculo de R$ 2.500,00. Resposta: R$ 222,15
O IRPF para uma base de cálculo de R$ 3.000,00. Resposta: R$ 359,65
4) No Brasil, até dezembro de 2.003, um empregado doméstico contribuía com 8% de seu salário
bruto para o INSS, enquanto a contribuição do seu empregador era de 12% do salário bruto do
empregado. Dona Márcia era empregada doméstica com um salário de R$ 300,00.
a) Qual foi o seu salário líquido? Resposta: R$ 276,00
b) Qual foi o valor da contribuição de seu empregador para o INSS? Resposta: R$ 36,00
c) Quanto recebeu o INSS pelo salário de Márcia? Resposta: R$ 60,00
5) E, se o salário de Márcia fosse de R$ 400,00. Resposta: a) R$ 368,00 b) R$ 48,00 c) R$ 80,00
6) E ainda, se o salário de Márcia fosse de R$ 500,00 Resposta: a)R$ 460,00 b)R$ 60,00 c)R$ 100,00
19
7) Considerando um trabalhador com salário de R$ 1.800,00 e possuindo 2 dependentes, calcule:
a) O valor do FGTS, a ser depositado na poupança, pela empresa e em seu favor, sabendo que a
alíquota única é de 8%.
b) O valor do INSS, conforme a tabela a seguir:
Salário de contribuição
até R$ 752,62
de R$ 752,63 até R$ 780,00
de R$ 780,01 até R$ 1.254,36
R$ 1.254,37 acima de R$ 2.508,72
acima de R$ 2.508,72
c)
Alíquota
7,65%
8,65%
9,00%
11%
R$ 275,95
O valor a ser pago ao IRPF, conforme a próxima tabela:
Base de cálculo
até R$ 1.164,00
de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00
acima de R$ 2.326,00
Dedução por dependente
Alíquota
Dedução
isento
15%
R$ 174,60
27,5%
R$ 465,35
R$ 117,00
d) O salário líquido.
e) Qual o percentual de desconto total?
Solução: a) FGTS => 8% de R$ 1.800,00 = R$ 144,00
b) INSS => 11% de R$ 1.800,00 = R$ 198,00
c) IRPF => Salário de contribuição = R$ 1.800,00 – R$ 198,00 – 2 * R$ 117,00 = R$ 1.368,00
IRPF => (15% de R$ 1.368,00) – dedução = R$ 205,52 – R$ 174,60 = R$ 30,60
d) Salário líquido => R$ 1.800,00 – INSS – IRPF
Salário líquido => R$ 1.800,00 – R$ 198,00 – R$ 30,60 = R$ 1.571,40
1.571,40
e) O percentual é de: 1 
 12,70%
1.800,00
8) Considerando um trabalhador com salário de R$ 1.900,00 e possuindo 2 dependentes, calcule:
a) O valor do FGTS, a ser depositado na poupança, pela empresa e em seu favor, sabendo que a
alíquota única é de 8%.
b) O valor do INSS, conforme a tabela a seguir:
Salário de contribuição
até R$ 752,62
de R$ 752,63 até R$ 780,00
de R$ 780,01 até R$ 1.254,36
R$ 1.254,37 acima de R$ 2.508,72
acima de R$ 2.508,72
Alíquota
7,65%
8,65%
9,00%
11%
R$ 275,95
c) O valor a ser pago ao IRPF, conforme a próxima tabela:
Base de cálculo
até R$ 1.164,00
de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00
acima de R$ 2.326,00
Dedução por dependente
Alíquota
Dedução
isento
15%
R$ 174,60
27,5%
R$ 465,35
R$ 117,00
d) O salário líquido.
e) Qual o percentual de desconto total?
Solução: a) FGTS => 8% de R$ 1.900,00 = R$ 152,00
b) INSS => 11% de R$ 1.900,00 = R$ 209,00
c) IRPF => Salário de contribuição = R$ 1.900,00 – R$ 209,00 – 2 * R$ 117,00 = R$ 1.457,00
IRPF => (15% de R$ 1.457,00) – dedução = R$ 218,55 – R$ 174,60 = R$ 43,95
d) Salário líquido => R$ 1.900,00 – INSS – IRPF
Salário líquido => R$ 1.900,00 – R$ 209,00 – R$ 43,95 = R$ 1.647,05
1.647,05
e) O percentual é de: 1 
 13,31%
1.900,00
20
9) Considerando um trabalhador com salário de R$ 1.950,00 e possuindo 3 dependentes, calcule:
a) O valor do FGTS, a ser depositado na poupança, pela empresa e em seu favor, sabendo que a
alíquota única é de 8%.
b) O valor do INSS, conforme a tabela a seguir:
Salário de contribuição
Alíquota
7,65%
até R$ 752,62
8,65%
de R$ 752,63 até R$ 780,00
9,00%
de R$ 780,01 até R$ 1.254,36
11%
R$ 1.254,37 acima de R$ 2.508,72
R$ 275,95
acima de R$ 2.508,72
c) O valor a ser pago ao IRPF, conforme a próxima tabela:
Alíquota
Dedução
Base de cálculo
isento
até R$ 1.164,00
15%
R$ 174,60
de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00
27,5%
R$ 465,35
acima de R$ 2.326,00
R$
117,00
Dedução por dependente
d) O salário líquido.
e) Qual o percentual de desconto total?
Resposta: a) R$ 156,00
b) R$ 214,50
c) R$ 33,08
d) R$ 1.702,43
e) 12,70%
10) Considerando um trabalhador com salário de R$ 1.850,00 e possuindo 3 dependentes, calcule:
a) O valor do FGTS, a ser depositado na poupança, pela empresa e em seu favor, sabendo que a
alíquota única é de 8%.
b) O valor do INSS, conforme a tabela a seguir:
Salário de contribuição
Alíquota
7,65%
até R$ 752,62
8,65%
de R$ 752,63 até R$ 780,00
9,00%
de R$ 780,01 até R$ 1.254,36
11%
R$ 1.254,37 acima de R$ 2.508,72
R$
275,95
acima de R$ 2.508,72
c) O valor a ser pago ao IRPF, conforme a próxima tabela:
Alíquota
Dedução
Base de cálculo
isento
até R$ 1.164,00
15%
R$ 174,60
de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00
27,5%
R$ 465,35
acima de R$ 2.326,00
R$ 117,00
Dedução por dependente
d) O salário líquido
e) Qual o percentual de desconto total?
Resposta: a) R$ 148,00
b) R$ 203,50
c) R$ 19,73
d) R$ 1.626,78
e) 12,07%
11) Faça os cálculos anteriores, usando para isto o seu salário ou o salário dos seus sonhos.
21
5.5.
TELAS ESCRITAS NA PLANILHA ELETRÔNICA MICROSOFT EXCEL PARA
OTIMIZAÇÃO DOS CÁLCULOS DOS TRIBUTOS ESTUDADOS

Tela para os Servidores do Setor Privado

Tela para os Servidores do Setor Público

Breve comparativo: Servidor Privado x Público
22
6. FAZENDO INTERDISCIPLINARIDADE: APLICAÇÕES: QUALIDADE DE VIDA

IMC - Índice de Massa Corpórea
Faça a sua avaliação física através do Índice de Massa Corpórea – IMC => Razão (divisão, quociente)
entre a massa e o quadrado da altura.

Sendo: m  massa e h  altura , temos: IMC (m, h) 

Classificação:
m
h2
-
Subnutrido, Se IMC  20
 Normal, Se 20  IMC  25

Homem => IMC  Sobrepeso, Se 25  IMC  30
Obeso, Se 30  IMC  35

Obesidade morbida, Se IMC  35
-
Subnutrida , Se IMC  19
 Normal, Se 19  IMC  24

IMC

Mulher =>
Sobrepeso, Se 24  IMC  29
Obeso, Se 29  IMC  34

Obesidade morbida, Se IMC  34
Notas:
1) A massa deve ser dada em quilogramas (kg) e a altura em metros (m).
2) A massa é popularmente conhecida como peso.
Algumas observações a essa metodologia:

O IMC não faz distinção entre massa magra e massa gorda, assim, por exemplo, não tem nenhuma
aplicação na avaliação de atletas (por exemplo, a maioria dos judocas seria considerada como
pessoa obesa).

Usar a mesma quando se tem uma grande população para fazer a avaliação física e não se dispõe
de outros recursos como por exemplos: equipamentos, tempo, recursos monetários, etc.

Deve ser usada em pessoa adulta.
Para refletir: Dados de 2004 da OMS (Organização Mundial da Saúde)

População mundial: 6,4 bilhões de pessoas.

População subnutrida: 1,2 bilhões de pessoas => 18,75% da população mundial

População obesa: 1,2 bilhões de pessoas => 18,75% da população mundial

População normal: 4,0 bilhões de pessoas => 62,50% da população mundial
23
A seguir, tem-se a tela do programa escrito no Microsoft Excel, versão XP, que permite o cálculo e a
classificação do IMC. O mesmo possibilita ainda o cálculo da superfície corporal.
Relação entre o Índice de Massa Corporal (IMC) e o Índice de Mortalidade (POLLOCK,
citando um trabalho de BRAY)
Nota: Taxa de mortalidade por grupo de 10.000 pessoas.
24

Tabela de Massa Ideal
De posse de sua massa, utilizando-se essa tabela, determina-se o intervalo em que a mesma deve
variar, ou seja, o ideal é que a sua massa esteja entre o valor mínimo e o valor máximo.
TABELA DE MASSA IDEAL
MULHER
HOMEM
MASSA (KG)
MASSA (KG)
ALTURA MÍNIMO MÁXIMO ALTURA MÍNIMO MÁXIMO
1,50
1,52
1,54
1,56
1,58
1,60
1,62
1,64
1,66
1,68
1,70
1,72
1,74
1,76
1,78
1,80
1,82
1,84
1,86
1,88
1,90
42
43
45
46
47
49
50
51
52
53
55
56
58
59
60
61
62
63
64
65
66
48
49
51
52
53
55
56
58
59
60
61
62
64
65
66
67
68
69
70
71
72
1,50
1,52
1,54
1,56
1,58
1,60
1,62
1,64
1,66
1,68
1,70
1,72
1,74
1,76
1,78
1,80
1,82
1,84
1,86
1,88
1,90
46
47
50
51
52
54
55
56
58
59
60
62
63
65
66
67
69
70
74
78
79
54
55
57
59
61
63
65
67
69
71
72
74
76
77
79
80
82
83
88
89
90
Nota: Essa tabela não foi construída usando o IMC, e sim a partir de dados empíricos (experimentais).
QUESTIONÁRIO:
1) Qual é a sua altura, em metros?
2) Qual é a sua massa, em quilogramas (kg)?
3) Qual é o seu IMC (índice de massa corpórea)?
4) Qual é a sua classificação, em relação ao IMC?
5) Com relação a tabela da massa ideal, como você está?
6) Levando em consideração a sua altura atual, determine o intervalo de massa ideal, usando o IMC e
a tabela de massa ideal. Ambos apontam na mesma direção? Dica: Min: m=20h2 e Máx: m=25h2
7) Apresente a sua crítica ao uso deste tipo de avaliação. Justifique.

Percentuais de Gordura para determinadas modalidades esportivas (COSSENZA)
Homem
Mulher
Fundista
Basquete
Ciclismo
Remo
Tênis
Saltadores
Arremessadores
Natação
Velocista
Fundista
De 4 até 11
De 8 até 12
8
De 11 até 14
De 12 até 16
7
De 16 até 20
De 6 até 10
De 8 até 12
De 6 até 15
De 12 até 16
15
9
De 15 até 20
17
De 24 até 28
De 8 até 12
De 10 até 14
25
O IBGE E O IMC (Fonte: Adaptado de JANAINA LAGE, da Folha Online, no Rio, 16/12/2004)
A pesquisa do IBGE considera o IMC de cada indivíduo, não fazendo distinção de sexo. A
classificação é a seguinte: Pessoas com IMC abaixo de 18,5 quilos/ metro quadrado são consideradas
como portadoras de déficit de peso. O excesso de peso é caracterizado pelo IMC igual ou superior a 25
quilos por metro quadrado e a obesidade por índice igual ou superior a 30 quilos por metro quadrado.

Excesso de peso atinge mais brasileiros do que a desnutrição, diz IBGE
A POF (Pesquisa de Orçamentos Familiares) de 2002-2003, organizada pelo IBGE (Instituto Brasileiro
de Geografia e Estatística), mostra que o excesso de peso na população brasileira já é um problema de
maior magnitude do que a desnutrição.
O consumo excessivo de açúcares e gorduras popularizou um problema que até então era relacionado à
abundância de recursos. Segundo o IBGE, o excesso de peso se mostrou oito vezes superior à
desnutrição entre as mulheres e quinze vezes entre os homens.
Hoje, o percentual de pessoas acima do peso no país chega a 40% dos adultos ou 38,8 milhões. Deste
total, 10,5 milhões podem ser consideradas obesas. O total de pessoas com déficit de peso é de 3,8
milhões ou 4% da população.
Percentuais até 5% de pessoas com déficit de peso são considerados aceitáveis no estudo das
populações. Isto porque eles representam a parcela de pessoas constitucionalmente magras.
Já o excesso de peso não conta com um percentual "aceitável" na população. Isto porque,
segundo o IBGE, "há evidências epidemiológicas de que a incidência de várias doenças crônicas,
incluindo em particular doenças cardiovasculares e diabetes, aumenta significativamente com o
IMC a partir de 25 quilos/ metro quadrado.
De acordo com o IBGE, o excesso de peso alcança grande expressão em todas as regiões do país, no
meio urbano e no meio rural e em todas as classes de rendimentos.
Entre os homens a relação entre renda e excesso de peso é mais uniforme, mas entre as mulheres a
maior incidência é verificada nas classes intermediárias de renda.
O excesso de peso tende a aumentar com a idade, de modo mais rápido para os homens: 48,3% entre
35 e 44 anos e 51,5% de 45 a 54 anos. Nas mulheres, o efeito é mais lento, porém mais prolongado:
41,4% entre 35 e 44 anos e 57,5% entre 55 e 64 anos.
Os homens com excesso de peso representam de 20% a 30% no Norte e no Nordeste, e de modo geral,
a incidência é grande em famílias com rendimento mensal de até meio salário mínimo per capita.
O excesso de peso entre as mulheres tem aumentado principalmente na região Nordeste e entre as
famílias com rendimento mensal de até meio salário mínimo por pessoa. Nas demais regiões e classes
de renda, a tendência é de estabilização ou até mesmo de declínio.
Os obesos representam hoje cerca de 20% do total de homens com excesso de peso e cerca de um terço
do total de mulheres com excesso de peso.

Desnutrição
Já o quadro da desnutrição vem perdendo força no país. Segundo o IBGE, mulheres das áreas rurais do
Nordeste e pertencentes a famílias com rendimentos mensais de até um quarto de salário mínimo por
26
pessoa têm baixa exposição à desnutrição. Nos demais estratos da população feminina e para todos os
da população masculina, as evidências indicam ausência de exposição relevante à desnutrição.
A análise nutricional adotada pela pesquisa do IBGE é inédita. Ela relaciona hábitos alimentares com
dados antropométricos. O trabalho foi realizado em parceria com o Ministério da Saúde.

Brasileiro médio não ultrapassa 1,70 m
A POF (Pesquisa de Orçamentos Familiares) de 2002-2003 revela que a altura média do brasileiro não
ultrapassa 1,70 m. Entre os homens, o peso médio é de 69,4 kg e a altura, de 1,69 m. Já as mulheres
têm peso médio de 59,6 kg e altura de 1,58 m. Calculando o IMC para homens e mulheres, temos:
Homem = 24,30 e Mulheres = 23,87, ambos considerados normais.
No meio urbano, homens e mulheres são mais altos e mais pesados. A média de altura entre as
mulheres fica em 1,58 m e entre os homens, em 1,70 m. O peso médio dos homens é de 70,6 kg e o das
mulheres, de 59,8 kg.
No campo, a altura dos homens fica em 1,67 m e o peso, em 64,3 kg. Entre as mulheres, o peso médio
é de 57,9 kg e a altura, de 1,56 m.
A POF investiga os hábitos de consumo das famílias do país. A primeira etapa desta edição da
pesquisa foi divulgada em maio, com dados gerais sobre alimentos mais consumidos e detalhamento
da renda das famílias.
Nesta segunda etapa, o enfoque principal é a relação entre hábitos alimentares e dados
antropométricos. A pesquisa revelou que quatro em cada dez brasileiros estão acima do peso.
Além de servir de parâmetro para atualizar a estrutura de índices que medem a inflação, a POF é
também um instrumento usado por especialistas para traçar linhas de pobreza, fazer análises das
condições de vida das famílias, entre outros.

Ricos comem mais pão francês e menos arroz
O rendimento familiar tem efeito significativo sobre a composição da alimentação. De acordo com a
POF (Pesquisa de Orçamentos Familiares) de 2002-2003, divulgada hoje pelo IBGE (Instituto
Brasileiro de Geografia e Estatística), quanto mais rico é o brasileiro, menor a proporção de
carboidratos e maior a de gorduras.
Na prática, famílias com rendimento superior a cinco salários mínimos por pessoa comem menos arroz
(11,53% das calorias totais). Entre os mais pobres, com renda de até um quarto de salário mínimo por
integrante, o percentual sobe para 23,71%.
Itens como pão francês, biscoito e refrigerantes têm comportamento inverso. O consumo de pão
francês praticamente triplica entre os de renda mais alta e fica em 6,57%. Os que ganham menos têm
no alimento apenas 2,29% das calorias totais.
A substituição de alimentos na rotina dos mais ricos não significa necessariamente uma melhora
nutricional. Famílias com rendimento superior a cinco salários mínimos por pessoa consomem 52,19%
das calorias totais em carboidratos, um percentual abaixo do mínimo necessário, de 55%.
Além disso, cerca de um quinto dos carboidratos da dieta nesta classe de rendimento, 11% de 52%,
correspondem a açúcar. O consumo de açúcar passa de 12,54% entre os mais pobres para 10,88% entre
os mais ricos. O limite máximo de 30% das calorias totais das gorduras é ultrapassado a partir da
classe de rendimentos de dois salários mínimos por pessoa.
27

Água, fonte de vida – Campanha da fraternidade 2004- texto - base – fraternidade e água
Nós somos água; o corpo de um bebê é 90% água, o corpo de um adulto, 70%. Nosso planeta, à
semelhança de nosso corpo, tem 70% de sua superfície coberta por água. Nós nascemos numa bolha de
água. No ventre materno passamos nove meses dentro de uma bolsa com o líquido amniótico. Ele
contém todas as substâncias necessárias para crescermos até saltarmos para o mundo.
Podemos ficar várias semanas sem comer, mas se não ingerirmos líquidos, em dois dias começa o
processo de falência múltipla dos órgãos, levando uma criança à morte em cinco dias, e em dez, um
adulto. Todas as formas de vida dependem da água. Não existe vida onde não há água. Por isso, do
ponto de vista biológico, água e vida não podem ser separadas.
A saúde depende da água. A maioria das doenças do planeta é causada pelo uso de água imprópria
para o consumo humano. Hoje em dia, segundo a ONU (Organização das Nações Unidas),
aproximadamente 1,2 bilhão de pessoas não tem água de qualidade para beber e 2,4 bilhões não tem
serviços sanitários adequados. A cada ano morrem dois milhões de crianças devido a doenças causadas
por água contaminada.
Nos países mais pobres, uma em cada cinco crianças morre antes dos 5 anos de idade por doenças
relacionadas à água. A metade dos leitos hospitalares do mundo está ocupada por pacientes afetados
por enfermidades relacionadas à água.
No Brasil, o direito à água está absolutamente comprometido. Segundo dados da Opas
(Organização Pan-americana de Saúde), 20% da população brasileira não ter acesso à água potável,
40% da água das torneiras não tem confiabilidade, 50% das casas não tem coleta de esgoto e 80% do
esgoto coletado é lançado diretamente nos rios, sem qualquer tipo de tratamento.
Dados do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) sobre saneamento se aproximam
dos dados da Opas ao afirmar que 54,4% das crianças na faixa de zero a 6 anos vivem em residências
sem saneamento adequado.
Nos aspectos gerais, os dados do governo brasileiro são muito próximos aos dados da Opas, quando
trata dos índices urbanos; quanto aos índices rurais: 92,4% da população conta com serviço de água,
50,9% tem coleta de esgoto e 25,6% recebe tratamento de esgoto.
No meio rural brasileiro a situação da água potável é ainda mais crítica. Segundo dados da Abra
(Associação Brasileira da Reforma Agrária), 90% da população rural brasileira não tem acesso à água
encanada. Obviamente água encanada não significa, necessariamente, água potável. Assim como não
ter água encanada não significa não ter água potável. Muitas fontes rurais que abastecem diretamente
as famílias são potáveis.
Entretanto, mais uma vez os dados da Opas e do governo se aproximam. Somando-se a
porcentagem rural com a urbana, aproximadamente 20% da população brasileira não tem acesso à
água potável. Acrescentando os 40% que não tem água com confiabilidade, 60% da população
brasileira (105 milhões de pessoas) vive em estado de insegurança quanto à água que consome.
A ONU afirma que a situação vai piorar e vê um futuro assustador; em 2025, 40% da humanidade
terá problemas de água. A poluição das águas compromete tanto a vida biológica quanto a psíquica do
homem contemporâneo.
Na região semi-árida do Brasil, embora haja uma pluviosidade média de 750 mm/ano e a
disponibilidade de água atinja níveis regulares, segundo padrões da ONU, a ausência de água potável é
uma das causas fundamentais da tragédia nordestina que perdura há séculos.
Mesmo em regiões brasileiras com abundância de água, como a Amazônia e o Pantanal, muitas
pessoas não tem água de qualidade para beber. Vários centros urbanos brasileiros, em determinadas
épocas do ano, apresentam problemas sérios de abastecimento para sua população.
Poluir as água, danificar os rios e os lençóis subterrâneos, destruir nascentes e depredar mangues
significa atentar contra todas as formas de vida. Nesse sentido. A água tem uma dimensão vital e ética
que precisa ser cultivada e não podemos permitir que ela se perca. É da responsabilidade de toda
pessoa, principalmente daquela que detém o poder e a decisão, zelar pela qualidade das águas e pelo
acesso de todas as pessoas humanas e seres vivos a elas.
28

ÍNDICE DE DESENVOLVIMENTO HUMANO (MUNICÍPIO)
O IDHM de cada município é fruto da média aritmética simples de três sub-índices: somam-se os
valores e divide-se o resultado por três, ou seja:
IDHM 
LER
3
Nota: Para melhorar o IDHM é necessário aumentar o L E R.
A fórmula matemática para a determinação do IDHM, é dada por:
Esperançade Vida - 25 (Taxa de Alfabetização)  2  (Taxa de Freqüência)  1 log(Renda per capitamensal) - log(3,90)


85 - 25
3
log(1.560,17) - log(3,90)
IDHM 
3
A seguir, tem-se uma breve explicação do índice longevidade, índice este mais ligado a área de saúde.
 Longevidade (L)
Para a avaliação da dimensão Longevidade (L), o IDH municipal considera o mesmo indicador do
IDH de países: a esperança de vida ao nascer. Esse indicador mostra o número médio de anos que uma
pessoa nascida naquela localidade no ano de referência (no caso, 2.000) deve viver.
Para transformar esse número de anos em um índice, usam-se como parâmetro máximo de
longevidade, 85 anos, e, como parâmetro mínimo, 25 anos. Assim, se o município em questão tem uma
esperança de vida ao nascer de 70 anos, seu IDHM-L será:
L
70  25 45

 0,750
85  25 60
Logo, o IDHM-L do município será 0,750.
Exemplo real:
Pato Branco 
76,068  25
 0,851
85  25
Francisco Beltrão 
68,610  25
 0,727
85  25
- Projeção de crescimento populacional




Pato Branco => 1,86% ao ano
Itapejara => 0,70% ao ano
Palmas => 5,38% ao ano
Francisco Beltrão => 0,52% ao ano
Nota: Em 10 anos a população do sudoeste do Paraná reduziu-se de aproximadamente 467.000, para
450.000 (aproximadamente).
29

O índice de desenvolvimento humano em Pato Branco
Uma ótima para Pato Branco foi a recente publicação do relatório apresentado pela ONU (organização
das Nações Unidas), em que mais uma vez nossa cidade se destaca entre os melhores municípios do
Brasil para se viver, sendo que desta vez, aumentamos a nossa posição de 400 lugar para 360 lugar em
termos de índice de desenvolvimento humano (IDH). Vale lembrar que no Paraná três municípios
ocuparam posições de destaque entre os melhores do país: Curitiba, Quatro Pontes e Pato Branco.
Para entender melhor esse índice de desenvolvimento humano, é preciso saber que ele é composto de
três variáveis que são: renda (Produto Interno Bruto PIB per capita), longevidade (esperança de vida ao
nascer) e educação (alfabetização, taxa de matrícula e de freqüência escolar).
Diante dessas variáveis, segundo o relatório da ONU, Pato Branco destacou-se com índice de educação
(IDHM – E) de 0, 937, o maior deles, segundo do índice de longevidade (IDHM – L) de 0, 851, e
índice de renda (IDHM – R) de 0, 758, atingindo assim a média de 0, 849, que coloca mais uma vez
como terceiro melhor município do Estado do Paraná para se viver.
Aliás, esse dados fazem parte do Novo Atlas do Desenvolvimento Humano do Brasil, um projeto do
Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA), da Fundação João Pinheiro (MG) e do Programa
das Organizações Nações Unidas (ONU) para o desenvolvimento (PNUD), que todo ano é divulgado
em Brasília-DF, e com base também nos dados apresentados pela Instituto Brasileiro de Geografia e
Estatística (IBGE) do ano anterior.

Para refletir: Famintos já são 840 milhões
Segundo dados da Organização das Nações Unidas (ONU), a fome aumentou no último ano (2002) e
já atinge 840 milhões (lembre-se: a população mundial é de aproximadamente 6,2 bilhões de
habitantes) de pessoas em todo o mundo, apesar do crescimento da produção agrícola. Em contexto
global, os progressos para frear a fome no mundo diminuíram. A cada sete segundos uma criança com
menos de dez anos morre de fome, o que pode ser classificado como “assassinato”.
O planeta poderia alimentar suficientemente, ou seja, com um mínimo de 2.700 calorias por pessoa ao
dia, cerca de 12 bilhões de pessoas, frente aos 6,2 bilhões de seres humanos que vivem atualmente.
Não há nenhuma fatalidade que possa justificar a fome, e por incrível que pareça: as comunidades
rurais, que deveriam produzir os alimentos, são as mais afetadas pelos problemas de desnutrição,
particularmente nos países em desenvolvimento.

Condições de vida
No período 1.992-2.000, tivemos uma significativa melhora nos índices de educação e saúde.
Entretanto a excessiva concentração de renda prejudica o desempenho geral do país que está
classificado em 65o lugar com um IDH (0,777), no relatório de desenvolvimento humano 2.001, da
ONU. Veja na tabela a seguir os principais indicadores sociais e na próxima tabela a distribuição de
renda no Brasil.
Mortalidade infantil
(por mil)
1.996
2.003
33,22
24,36
Analfabetismo
(percentual)
1.992
2.000
17,2
12,8
EXPECTATIVA DE VIDA (EM ANOS)
1.992
2.000
2.003
H
M
H
M
H
M
64,6
72,3
64,8
71,6
67,25 74,5
Fonte: IBGE. Síntese dos indicadores 2.000. Rio de Janeiro, 2.003
Comentando a expectativa de vida, temos:
Homens => 67 anos e 3 meses; Mulheres => 74 anos e 6 meses
Considerando 50% homens e 50% mulheres, temos uma média de 70 anos 10 meses e 15 dias.
Nota: O CENSO 2.000 revelou que quase metade da população brasileira vive em apenas 244 dos
5.507 municípios do país.
30
LISTA DE QUESTÕES PROPOSTAS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) DE QUE TAMANHO FICARÃO AS CRIANÇAS?
Aprenda a calcular, aproximadamente, a altura que seus filhos terão na idade adulta.
Procedimento de cálculo:
 Some a altura do pai e da mãe e divida por dois.
 A partir da idade média dos pais:
- Some 10 cm se a criança for menino.
- Subtraia 4 cm se a criança for menina.
Nota: Esta regra vale para um casal em que a média de idade entre o homem e a mulher é de 30 anos.
Se fosse de 20 anos, os valores mudariam para 9 cm a mais no caso do menino e 3 cm a menos para a
menina.
Publicado pela Revista Veja de 17/07/96.
Fonte: Ambulatório de Crescimento do Hospital das Clinicas de São Paulo
Exemplos:
I) Considere a idade média dos pais igual a 30 anos e as seguintes alturas: Pai = 1,75 m;
Mãe = 1,65 m. Determine:
a) A altura do filho.
b) A altura da filha.
II) Considere a idade média dos pais igual a 20 anos, sendo as seguintes alturas: Pai = 1,75 m;
Mãe = 1,65. Determine
a) A altura do filho.
b) A altura da filha.
III) Utilize a sua altura e de seu (sua) pretendente e determine a altura provável de seu filho e de sua
filha. Considere primeiramente que a idade média do casal é 30 anos e depois de 20 anos.
2) JÁ PENSOU NISSO?
Uma pessoa que fuma um maço de cigarros por dia, todos os dias durante 20 anos:
a) Já fumou cerca de quantos metros de cigarro? E, quantos quilômetros?
b) Dizem as más línguas que cada cigarro fumado tira uma hora da vida de uma pessoa. Quantos dias
foram “perdidos” pelo nosso fumante? E, quantos anos?
Nota: Para os cálculos utilize os seguintes dados:
 O tamanho de cada cigarro é de aproximadamente 10 cm.
 Cada maço de cigarros possui 20 cigarros.
a) 20
  20
  365
  146.000 cigarros  146.000 10
  1.460.000 cm  14.600 m  14,6 km
Cigarros
Anos
Dias
b) 146.000 cigarros  146.000 horas 
cm
146.000
6.084
 6.084 dias 
 16,6666...  16 anos 8 meses
24
365
31
3) Observe o quadro a seguir: Baforados que matam
Um estudo realizado pela American Cancer Society com cerca de 1 milhão de pessoas mostra que o
cigarro eleva a probabilidade de ocorrência de várias doenças.
21 vezes
câncer de pulmão
Em relação a quem
Mais
11 vezes
bronquite crônica e enfisema pulmonar
nunca fumou, um
possibilidade cancer de boca, língua e laringe
9 vezes
de sofrer
homem fumante
3 vezes
câncer de bexiga
tem ...
de ...
2 vezes
infarto
Em relação a quem
nunca fumou, uma
mulher fumante
tem ...
12,5 vezes
12,5 vezes
7 vezes
2,5 vezes
2 vezes
câncer de pulmão
Mais
bronquite crônica e enfisema pulmonar
possibilidade cancer de boca, língua e laringe
de sofrer
câncer de bexiga
de ...
Infarto
Fonte: Reproduzido de Veja, 23 de agosto de 2000 (American Cancer Society)
a) A probabilidade de ocorrência de doenças em homens e mulheres fumantes em relação a homens e
mulheres não-fumantes é igual? Resposta: Não
b) Em relação a uma pessoa não-fumante, quem tem mais probabilidade de sofrer de câncer de
pulmão? Resposta: Homem fumante
c) Segundo o quadro, qual doença apresenta a mesma probabilidade de ocorrência para homens e
mulhes fumantes? Resposta: Infarto
4) De acordo com reportagem publicada na revista Isto é de março de 2004, na última década, os
avanços no tratamento de alguns tumores tiveram forte impacto no aumento dos índices de cura. Por
exemplo:
Pulmão
Taxa de cura há 10 anos
5%
Taxa de cura atual
30%
Como se explica
- Melhores técnicas de radioterapia.
- Aplicação dos quimioterápicos docetaxel, vinorelbine e gemcitabine, com maior capacidade de
ação.
- Uso de inibidor de tirosina quinase gefitinib. Essa classe de remédios neutraliza proteínas
envolvidas no crescimento do tumor.
Baseando-se nestes dados, atualmente tem-se:
a) 25% mais chance de cura do que há 10 anos atrás.
b) 75% mais chance de cura do que há 10 anos atrás.
c) 400% mais chance de cura do que há 10 anos atrás.
d) 500% mais chance de cura do que há 10 anos atrás.
e) 200% mais chance de cura do que há 10 anos atrás.
Nota: A sua escolha deverá ser justificada pelos cálculos.
Resposta: d
5) Em um estudo sobre crimes cometidos no campus de uma universidade por estudantes sob o efeito
do álcool ou das drogas, foram pesquisados 1.875 estudantes. Um artigo no USA Today notou: “oito
por cento dos estudantes que respondem anonimamente afirmam ter cometido um crime no campus.
E 62% desse grupo dizem ter agido sob a influência do álcool ou das drogas”. Supondo que o
número de estudantes que responderam anonimamente seja de 1.875, quantos efetivamente
cometeram um crime no campus sob a influência do álcool ou das drogas.
Resposta: 1.875 x 8% x 62% = 93 estudantes
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6) Área da superfície do corpo humano. Os pediatras e pesquisadores médicos às vezes usam a
seguinte fórmula empírica (ROUTH, 1971, p. 192) que relaciona a área da superfície A ( m 2 ) de
uma pessoa com sua massa (peso, p em kg ) e altura h ( cm ):
A( p, h)  0,0072  p 0, 425  h 0,725
a) Calcule, usando essa fórmula (é claro!), a área de superfície de seu corpo.
b) Pergunte aos seus pais qual era o seu peso e altura quando você nasceu (eles certamente saberão!).
Então compre ou tome emprestado um boneco que seja aproximadamente do mesmo tamanho que
você era quando nasceu e meça a área de superfície do boneco. A fórmula empírica prediz com
precisão o resultado que você obteve? Escreva um parágrafo sobre quaisquer conclusões que você
tenha tirado deste “experimento”.
Resposta: a) Livre b) Livre
7) Psicologia. O quociente de inteligência (QI) de uma pessoa é medido pela fórmula:
I (m, a) 
100  m
a
onde a é a idade real da pessoa e m é a sua idade mental. Encontre I (12, 11) e I (16, 17) .
Resposta: I (12, 11) = 109,09 e I (16, 17) = 94,12
8) A tabela a seguir apresenta dados referentes à mortalidade infantil, à porcentagem de famílias de
baixa renda com crianças menores de 6 anos e às taxas de analfabetismo das diferentes regiões
brasileiras e do Brasil como um todo.
Regiões
do Brasil
Mortalidade
infantil*
Famílias de baixa renda com Taxa de analfabetismo
crianças menores de 6 anos em maiores de 15 anos
(em %)
(em %)
35,6
34,5
12,7
Norte
59,0
54,9
29,4
Nordeste
22,5
22,4
8,3
Sul
25,2
18,9
8,6
Sudeste
25,4
25,5
12,4
Centro-Oeste
36,7
31,8
14,7
Brasil
Fonte: Folha de São Paulo, 11/03/1999
* A mortalidade infantil indica o número de crianças que morrem antes de completar um ano de idade
para cada grupo de 1.000 crianças que nascerem vivas.
Suponha que um grupo de alunos recebeu a tarefa de pesquisar fatores que interferem na manutenção
da saúde ou no desenvolvimento de doenças. O primeiro grupo deveria colher dados que apoiassem a
idéia de que, se combatendo agentes biológicos e químicos, garante-se a saúde. Já o segundo grupo
deveria coletar informações que reforçassem a idéia de que a saúde de um indivíduo está diretamente
relacionada à sua condição socioeconômica.
Os dados da tabela podem ser utilizados apropriadamente para:
a) Apoiar apenas a argumentação do segundo grupo.
b) Apoiar apenas a argumentação do primeiro grupo.
c) Refutar apenas a posição a ser defendida pelo segundo grupo.
d) Apoiar a argumentação dos dois grupos.
e) Refutar as posições a serem defendidas pelos dois grupos.
Nota: De acordo com o dicionário Aurélio: Refutar = dizer em contrário; desmentir; desaprovar;
Contestar. Resposta: a
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9) Use 2 casas decimais, para fazer os seguintes arredondamentos:
a) 2,37449 =
b) 2,37578 =
c) 2,3765 =
d) 175,994 =
e) 175,995 =
f) 175,999 =
Resposta: a) 2,37
b) 2,38
c) 2,38
d) 175,99
e) 176
f) 176
10) Em uma certa colônia, cada bactéria se reproduz dividindo-se em quatro bactérias a cada minuto.
Partindo de uma só bactéria, quantas serão produzidas em 6 minutos de divisão?
Resposta: 46 bactérias = 4.096 bactérias
11) Uma funcionária tem um salário anual de R$ 40.000,00, mas é informada de que terá uma redução
de 10% no pagamento em virtude do declínio dos lucros da empresa. É informada também de que
no próximo ano terá um aumento de 10%. A situação não se afigura tão má, porque a redução de
10% parece ser compensada pelo aumento de 10%.
a) Qual a renda anual após o corte de 10%?
b) Com base na renda anual da parte a, determine a renda anual após o aumento de 10%. O corte de
10%, seguido do aumento de 10% restituem à funcionária o salário original de R$ 40.000,00?
Resposta: a) R$ 36.000,00 b) R$ 39.600,00, ou seja, não se restituiu o seu salário.
12) Imagine que se pretenda fazer um levantamento de opinião pública para verificar se as pessoas são
contra ou a favor do uso gratuito de ônibus pelos idosos. Pense em duas maneiras distintas de fazer
a pergunta – uma que induza a resposta positiva e outra que induza a resposta negativa.
Resposta: (i) O idoso já trabalhou bastante (já contribuiu para a construção de nosso país).
(ii) Vai aumentar o preço da passagem para os demais usuários (esse custo seria repassado).
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7. FORMALIZAÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO
7.1. Par ordenado: É um conjunto formado por dois elementos ( x, y) , onde x é o 10 elemento do par
(chamado abscissa) e y é o 20 elemento do par (chamado ordenada). Todo par ordenado pode ser
representado no plano cartesiano.
Exemplo: Localizar os seguintes pares no plano cartesiano:
A(3; -2)
B(4; 2)
C(3; 1)
D(-2; -2)
E(0; 0)
F(2; 0)
G(-2; 0)
H(0; -3)
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Determine as coordenadas dos pontos: M, N, P, Q, R, S, T e V
2) Estão escritos, logo abaixo, os pares que correspondem aos pontos que permitem desenhar o
chapéu do zorro, no quadriculado (plano cartesiano):
(-3, 0) ; (6, 4) ; (2, 3); (1, 5) ; (-1, 4) ; (0, 2)
Localize esses pontos no plano cartesiano abaixo, una-os na ordem em que estão escritos. Ligue,
por fim, o último ao primeiro.
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3) O diretor do jardim zoológico recebe uma mensagem secreta anunciando a chegada de um novo
animal. Encontre os pontos correspondentes aos pares escritos na mensagem. Ligue-os na ordem
em que estão escritos e obterá a resposta.
Mensagem Secreta:
(4,7); (5, 5); (6, 7); (6, 8); (4, 9); (3, 8); (3, 6); (2, 4); (0, 4); (1, 3); (3, 4); (4, 6); (3, 2); (4, 5);
(5, 4); (5, 1); (6, 1); (7, 4); (8, 4); (9, 1); (10, 1); (10, 4); (12, 2); (10, 5); (9, 7); (6, 7).
7.2. Aplicações de Funções – Noções Intuitiva - Cotidiano
Exemplos:
1) Função saldo
Dados:
 Considere o salário mínimo => R$ 300,00
 Considere o mês com 30 dias.
 Gasto => 12 R$/dia.
 x => número de dias decorridos, ou seja, x  N , ou ainda, x  {1, 2, 3, ..., 30}
 S (x) => Saldo em função do número de dias decorridos
Pergunta-se:
a) Qual a função que estabelece a relação entre x e S (x) ?
Resposta: S ( x)  300 12 x
b) Em dia o saldo será nulo?
Resposta: No dia 25, ou ainda, {x  N / x  25}
c) Quais os dias em que o saldo será positivo?
Resposta: Do dia 10 até o 240 dia, ou ainda, {x  N /1  x  24}
d) Quais os dias em que o saldo será negativo?
Resposta: Do dia 260 até o 300 dia, ou ainda, {x  N / 26  x  30}
Nota: Essa função é uma função do 10 grau e mais, a mesma é uma função decrescente.
2) Salário proporcional ao número de horas trabalhadas (trabalhador horista)
Dados:
 S ou S (x) => Salário mensal a ser recebido.
 x => número de horas mensais.
 R$ 5,00 => Valor da hora trabalhada.
Escrevendo na linguagem matemática, temos:
S  5  x ou S ( x)  5  x
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3) Salário fixo mais uma comissão pelas vendas
Dados:
 Salário fixo => R$ 300,00.
 S ou S (x) => Salário mensal a ser recebido.
 x => Total de vendas efetuadas no mês (valores em reais).
 Comissão de 3% sobre o valor total de vendas.
Escrevendo na linguagem matemática, temos:
S  300,00  0,03  x ou S ( x)  300,00  0,03  x
4) Salário comissionado de um funcionário que trabalha em uma locadora de fitas VHS e DVD.
Dados:
 Salário fixo => R$ 300,00.
 S ou S (x) => Salário a ser recebido.
 x => número de locações mensais.
 Se o número de locações for menor ou igual a 100, receberá apenas o salário fixo.
 Se o número de locações for maior que 100 e menor ou igual a 200, receberá o salário fixo
acrescido de R$ 0,10 por cada locação.
 Se o número de locações for maior que 200 e menor ou igual a 500, receberá o salário fixo
acrescido de R$ 0,15 por cada locação.
 Se o número de locações for maior que 500, receberá o salário fixo acrescido de R$ 0,20 por cada
locação.
Escrevendo na linguagem matemática, temos:
R$ 300,00, se x  100
R$ 300,00  R$ 0,10  x, se 100  x  200

S ( x)  
R$ 300,00  R$ 0,15  x, se 200  x  500
R$ 300,00  R$ 0,20  x, se x  500
Pergunta-se: Quanto recebeu esse funcionário se o número de locações ( x ) for:
a) x  100  S (100)  ? Resposta: R$ 300,00
b) x  150  S (150)  ? Resposta: R$ 315,00
c) x  300  S (300)  ? Resposta: R$ 345,00
d) x  600  S (600)  ? Resposta: R$ 420,00
5) Aplicação na indústria: Suponhamos que o custo total de fabricação de q unidades de uma certa
mercadoria seja dado pela função c(q)  q 3  30q 2  500q  200 .
a) Calcule o custo de fabricação de 10 unidades de mercadoria. Resposta: c(10)  3.200
b) Calcule o custo de fabricação da 10a unidades de mercadoria. Resposta: c(10)  c(9)  201
c) Calcule o custo fixo, ou seja, o custo que não depende da quantidade a ser fabricada.
Resposta: c(0)  200
6) Índice de Massa Corpórea (IMC)
Faça a sua avaliação física através do Índice de Massa Corpórea – IMC => Razão (divisão, quociente)
entre a massa e o quadrado da altura.
m
 Sendo: m  massa e h  altura , temos: IMC (m, h)  2 e a Classificação:
h
Subnutrido , Se IMC  19
Subnutrido , Se IMC  20
 Normal, Se 19  IMC  24
 Normal, Se 20  IMC  25


H => IMC  Sobrepeso, Se 25  IMC  30
M => IMC  Sobrepeso, Se 24  IMC  29
Obeso, Se 29  IMC  34
Obeso, Se 30  IMC  35


Obesidade morbida, Se IMC  34
Obesidade morbida, Se IMC  35
Notas: 1) A massa deve ser dada em quilogramas (kg) e a altura em metros (m).
2) A massa é popularmente conhecida como peso.
37
7) Função situação do aluno após decorridos dois bimestres – cursos de tecnologia
Dados:
 O aluno será aprovado, sem exame, se a nota for um valor entre sete e dez, inclusive os extremos.
 O aluno irá para exame, se a nota for um valor entre quatro e sete, incluindo o primeiro e excluindo
o segundo.
 O aluno será reprovado, sem exame, se a nota for um valor inferior a quatro.
média 1o bimestre  média 2 o bimestre
 x => nota 
;
2
 f (x) => Situção: Aprovado, exame ou reprovado.
Pergunta-se: Qual a função que estabelece a relação entre x e f (x) ?
Aprovado, se 7  x  10

Resposta: f ( x)  Exame, se 4  x  7
Reprovado, se 0  x  4

8) INSS => Denominamos, por conveniência, Salário, o Salário de Contribuição.
Salário  7,65%, Se Salário  R$ 752,62
Salário  8,65%, Se R$ 752,63  Salário  R$ 780,00

INSS  Salário  9,00%, Se R$ 780,01  Salário  R$ 1.254,36
Salário 11,00%, Se R$ 1.254,37  Salário  R$ 2.508,72

 R$ 275,95  R$ 2.508,72 11,00, Se Salário  R$ 2.508,72
9) IRPF => Denominamos, por conveniência, Salário, a Base de Cálculo
0, Se Salário  R$ 1.164,00

IRPF  Salário 15,00%  R$ 174,60, Se R$ 1.164,01  Salário  R$ 2.326,00
Salário  27,50%  R$ 465,35, Se Salário  R$ 2.326,00

10) FGTS => Denominamos, por conveniência, Salário, o Salário Bruto.
FGTS  Salário  8,00%
11) Conta de água => SABESP (São Paulo, 2005)
 R$10,27, Se Consumo  10 m 3

 R$10,27  (consumo 10)  R$ 1,43, Se 10 m 3  Consumo  20 m 3


Conta de Água   R$10,27  (20  10)  R$ 1,43  (consumo 20)  R$ 2,19, Se 20 m 3  Consumo  30 m 3

3
3
 R$10,27  (20  10)  R$ 1,43  (30  20)  R$ 2,19  (consumo 30)  R$ 2,19, Se 30 m  Consumo  50 m

 R$10,27  (20  10)  R$ 1,43  (30  20)  R$ 2,19  (50  30)  R$ 2,19  (consumo 50)  R$ 2,62, Se Consumo  50 m 3

Em resumo:
 R$10,27, Se Consumo  10 m 3

 R$10,27  (consumo 10)  R$ 1,43, Se 10 m 3  Consumo  20 m 3

Conta de Água   R$24,57  (consumo 20)  R$ 2,19, Se 20 m 3  Consumo  30 m 3

3
3
 R$46,47  (consumo 30)  R$ 2,19, Se 30 m  Consumo  50 m

3
 R$90,27  (consumo 50)  R$ 2,62, Se Consumo  50 m
Observação: Juntamente com a conta de água vem a conta de esgoto, sendo que a mesma corresponde
a 80% do valor da conta de água.
Nota: Essa função é um exemplo de uma função definida por várias sentenças. Outros exemplos da
mesma são: INSS, IRPF, além dos exemplos 4, 6 e 7 apresentados anteriormente.
38

Estado do Paraná => SANEPAR (2005) - RESIDENCIAL
Exemplo: Consumo de 11 m 3
Totais
Composição de Tarifa
Volume
Residência (Mínimo)
Excedente ( 10 m 3 )
10
1
3
Valor ( m /R$)
ÁGUA
2,28
Água
Esgoto
R$ 15,17
R$ 2,28
R$ 12,14
R$ 1,82
R$ 17,45
R$ 13,96
R$ 31,41
Total
Esgoto( x)  Água  80%
Água( x)  15,17  ( x  10)  2,28  Água( x)  15,17  2,28x  22,8  Água( x)  7,63  2,28x
Exemplo:
Água(11)  7,63  2,28 11  17,45 e Esgoto(11)  17,45  80%  13,96
Total => 17,45  13,96  31,41

Estado do Paraná => SANEPAR (2005) - COMERCIAL
Exemplo: Consumo de 21 m 3
Totais
Composição de Tarifa
Volume
Residência (Mínimo)
Excedente ( 20 m3 )
20
1
3
Valor ( m /R$)
ÁGUA
2,28
Total

Água
Esgoto
R$ 30,34
R$ 2,28
R$ 24,27
R$ 1,82
R$ 32,62
R$ 26,09
R$ 58,71
Estado de São Paulo => Empresa: SABESP (2005)
TARIFAS DE ÁGUA/M3
Tarifa (R$)
Consumo
Faixas de consumo ( m 3 )
Até 10
10,27
Valor Mínimo
11 a 20
1,43
21 a 30
2,19
31 a 50
2,19
Acima 50
2,62
Esgoto( x)  Água  80%
Discriminação do faturamento =>


Valor (R$)
10,27
Água
Esgotos
Nota: Nos estados de São Paulo e Paraná existem a tarifa social, cujo valor da água é em média de
R$ 5,00 e o esgoto é de R$ 2,00, para as famílias de baixa renda.
39
PRODUTO CARTESIANO
Definição: Sejam A e B conjuntos diferentes do vazio, chama-se produto cartesiano de A por B , e
indica-se A  B , o conjunto cujos elementos são todos os pares ordenados ( x, y) , tais que x  A e
yB.
Em símbolos, sendo A   e B   , temos:
A  B  ( x, y) / x  A e y  B
Sejam, por exemplo, os conjuntos A  {1, 3, 5} e B  {4,5} . Vamos formar todos os pares ordenados
em que o primeiro elemento pertença a A e o segundo, a B. Assim: (1, 4), (1, 5), (3, 4), (3, 5), (5, 4) e
(5, 5).
O conjunto formado por todos esses pares ordenado é chamado produto cartesiano de A por B, e é
indicado por: A B .
Então:
A  B  {(1, 4), (1, 5), (3, 4), (3, 5), (5, 4), (5, 5)}
Esse conjunto pode ser representado no plano cartesiano assim:
Outra forma de representar A B é por meio de um diagrama de flechas.
Exercício proposto: Determine o produto cartesiano A B nos casos:
a) A  {5, 7, 9} e B  {4, 5}
b) A  {-1, 1} e B  {1, 3, 5}
40

Relação entre dois conjuntos: Dados dois conjuntos A e B , chama-se relação R de A em B
todo subconjunto do produto cartesiano A  B .

Função: Sejam A e B conjuntos diferentes do vazio. Uma relação f de A em B é função
se, e somente se, todo elemento de A estiver associado, através de f , a um único elemento de
B.
Notação: f : A  B (indica que f é uma função de A em B )
Em símbolos, sendo A   e B   , temos:
f : A  B é uma função   x  A, ! y  B / y  f ( x)
Em diagramas:
Notas:
1) Em nosso estudo, A e B representa o conjunto dos números reais, ou algum intervalo de
 , no qual a função está definida.
2) Um gráfico representará uma função de A em B se, e somente se, qualquer reta paralela ao eixo
das ordenadas (eixo y ), passando por um ponto qualquer de abscissa x , x  A , interceptar o
gráfico num único ponto.
3) Toda função f em que o domínio e o contradomínio são subconjuntos de  denomina-se função
real de variável real.
4) Em outras palavras: Uma função é uma regra que associa cada objeto de conjunto A a um e
somente um objeto de um conjunto B .
5) Variáveis: Na equação y  f (x) , as letra x e y que aparecem nesta equação são denominadas
variáveis. O valor numérico da variável y é determinado pelo da variável x . Por esta razão, y
chama-se variável dependente e x , variável independente.
6) Gráfico da função: O gráfico da função f consiste em todos os pontos para os quais as
coordenadas ( x, y) satisfazem à equação y  f (x)
41
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Uma empresa de locação de carros está fazendo uma promoção: quando o carro é retirado, ele já
vem com R$ 25,00 de gasolina no tanque. Para cada dia de uso, deverão ser pagos R$ 60,00. O
custo total em reais (y) é função do número de dias (x), dada por: y  60 x  25 .
Pergunta-se o preço da locação por 7 dias. Resposta: R$ 395,00
2) Suponha que o custo total em unidades monetárias (u.m.) de produzir q unidades de um certo bem
é dado pela função: C(q) = q3 – 30q2 + 400q + 500.
a) Calcule o custo de produzir 20 unidades.
Resposta: C(20) = 4500
b) Calcule o custo de produzir a vigésima unidade. Resposta: C(20) – C(19) = 371
1
3) Suponha que t horas após a meia-noite, a temperatura em Pato-City era C( t )   t 2  4t  10
6
graus Celsius.
a) Qual era a temperatura às 14 horas? Resposta: C(14)  33,33 0 C
b) De quanto a temperatura aumentou ou diminuiu entre 18 e 21 horas?
Resposta: C(21) – C(18) = - 7,50C
4) Para estudar a velocidade na qual os animais aprendem, um estudante de psicologia executou um
experimento no qual um rato era enviado repetidamente através de um labirinto de laboratório.
Suponha que o tempo requerido pelo rato para atravessar o labirinto na enésima tentativa era de
12
aproximadamente f (n )  3 
minutos.
n
a) Qual é o domínio da função f , ou seja, quais valores são possíveis para n ?
Resposta: Todo número real n , exceto n = 0 (*)
b) Para que valores de n a função f ( n ) tem significado no contexto do experimento psicológico?
Resposta: Todo inteiro positivo ( Z* )
c) Quanto tempo leva para que o rato atravesse o labirinto na terceira tentativa? Resposta: 7 minutos
d) Em qual tentativa o rato atravessou pela primeira vez o labirinto em 4 minutos ou menos?
Resposta: 12a tentativa
e) De acordo com a função f , o que acontecerá com o tempo requerido pelo rato para atravessar o
labirinto à medida que o número de tentativas aumenta? Será o rato um dia capaz de atravessar o
labirinto em menos de 3 minutos?
Resposta: O tempo necessário aproximar-se-á de, mas nunca será menor do que 3 minutos.
5) Uma bola foi jogada do alto de um prédio. Sua altura (metros) após t segundos é dado pela função
H(t) = - 16t2 + 256.
a) Que altitude estava a bola após 2 segundos? Resposta: H(2) = 192m
b) Que distância viajará a bola durante o terceiro segundo? Resposta: H(3) – H(2) = 80m
c) Que altura tem o prédio? Resposta: H(0) = 256m
d) Quando a bola atingirá o solo? Resposta: H(t) = 0  t = 4 seg. (após 4 segundos)
6) Em um vôo, cada passageiro está autorizado a transportar uma bagagem de até 20 kg, inclusive. A
partir desse valor, o passageiro paga dois reais por quilograma excedente. Dê a lei que expressa a
quantia paga por uma pessoa que pretende embarcar carregando 30 kg em função da massa de sua
bagagem. Esboce o gráfico dessa função.
Resposta: q(m)  (m  20)  2  q(m)  2m  40
42
7) O consumo C de água, em m 3 , pela população de uma cidade em função do tempo t , em segundos,
é dado pela equação: C  2.000 t
a) Qual é o consumo de água dessa população em 10 segundos?
b) Qual é o consumo de água dessa população em 10 horas?
c) Em quantos segundos essa população consome 48.000 m 3 de água?
Resposta: a) 20.000 m 3
b) 72.000.000 m 3
c) 24 segundos
8) Um biólogo, ao estudar uma cultura bacteriológica, contou o número de bactérias num determinado
instante ao qual chamou de instante zero; e ao final de cada uma das seis horas seguintes fez nova
contagem das bactérias. Os resultados dessa experiência são descritos pelo gráfico a seguir.
Observando o gráfico, responda:
a) Qual o número de bactérias no início da contagem, isto é, no instante zero?
b) De quanto aumentou o número de bactérias da quinta para a sexta hora?
c) De quanto aumentou o número de bactérias da terceira para a quinta hora?
Resposta: a) 32 bactérias
b) 85 bactérias
c) 98 bactérias
9) O gráfico a seguir representa o crescimento de uma planta em função do tempo. Analisando o
gráfico responda:
a) Qual a altura da planta ao final da terceira semana?
b) Qual foi o crescimento da planta durante a terceira
semana?
c) Durante qual das três semanas registradas houve o
maior desenvolvimento da planta?
Resposta: a) 30 cm
b) 5 cm
c) 1a semana
43
10) (ENEM) No quadro a seguir estão as contas de luz e água de uma mesma residência. Além do
valor a pagar, cada conta mostra como calculá-lo, em função do consumo de água (em m3) e de
eletricidade (em KWH). Observe que, na conta de luz, o valor a pagar é igual ao consumo
multiplicado por um certo fator. Já na conta de água, existe uma tarifa mínima e diferentes faixas
de tarifação.
Companhia de Eletricidade
Fornecimento
Valor (R$)
401 KWH x 0,13276000
53,23
Companhia de Saneamento
TARIFAS DE ÁGUA/M3
Faixas de consumo
Tarifa
Consumo
Valor (R$)
até 10
5,50
tarifa mínima
5,50
11 a 20
0,85
7
5,95
21 a 30
2,13
31 a 50
2,13
acima de 50
2,36
Total
11,45
I) Suponha que, no próximo mês, dobre o consumo de energia elétrica dessa residência. O novo valor
da conta será de:
a) R$ 55,23
b) R$ 106,46
c) R$ 802,00
d) R$ 100,00
e) R$ 22,90
II) Suponha agora que dobre o consumo de água. O novo valor da conta será de:
a) R$ 22,90
b) R$ 106,46
c) R$ 43,82
d) R$ 17,40
Resposta: I) b
e) R$ 22,52
II) c
11) Um fazendeiro estabelece o preço da saca de café em função da quantidade de sacas adquiridas
200
pelo comprador através da equação P( x)  50 
, em que P(x) é o preço em dólares e x é o
x
número de sacas vendidas.
a) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir cem sacas?
b) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir duzentas sacas?
c) Sabendo que um comprador pagou 54 dólares por saca, quantas sacas comprou?
d) O que acontecerá com o preço de cada saca, em uma compra muito grande (x )?
Resposta: a) 52 dólares b) 51 dólares c) 50 sacas d) P(x)  US$ 50 quando x  
12) (ENEM) O número de indivíduos de certa população é representado pelo gráfico a seguir:
Em 1975, a população tinha um tamanho aproximadamente igual ao de:
a) 1960
b) 1963
c) 1967
d) 1970
Resposta: b
e) 1980
44
13) Um móvel movimenta-se de acordo com o gráfico a seguir. A distância percorrida pelo móvel,
entre os instantes 3 s e 5 s, é:
V (m/s)
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t (s)
a) 80 m
Resposta: a
b) 800 m
c) 600 m
d) 1.880 m
e) 8 m
14) O consumo de combustível de um automóvel é medido pelo número de quilômetros que percorre,
gastando 1 litro de combustível. O consumo depende, entre outros fatores, da velocidade
desenvolvida. O gráfico (da revista Quatro Rodas) a seguir indica o consumo, na dependência da
velocidade, de certo automóvel.
A análise do gráfico mostra que:
a) O maior consumo se dá aos 60 km/h.
b) A partir de 40 km/h, quanto maior a
velocidade, maior é o consumo.
c) O consumo é diretamente proporcional à
velocidade.
d) O menor consumo se dá aos 60 km/h.
e) O consumo é inversamente proporcional à
velocidade.
Resposta: d
15) O gráfico a seguir mostra a velocidade (v) de um automóvel em função do tempo (t):
a) Em que intervalo(s) de tempo a velocidade é crescente?
b) Em que intervalo(s) de tempo a velocidade é decrescente?
c) Em que intervalo(s) de tempo a velocidade é constante?
Resposta: a) 0  t  2
b) 7  t  10
c) 2  t  7
45
16) (ENEM) Em uma prova de 100 m rasos, o desempenho típico de um corredor padrão é
representado pelo gráfico a seguir:
Baseado no gráfico, em que intervalo de tempo a velocidade do corredor é aproximadamente
constante?
a) Entre 0 e 1 segundos.
b) Entre 1 e 5 segundos.
c) Entre 5 e 8 segundos.
d) Entre 8 e 11 segundos.
e) Entre 12 e 15 segundos.
Resposta: c
17) Um economista, para fazer uma análise da variação da taxa de inflação num determinado ano, num
determinado país, enumerou os meses de 1 a 12 e associou a cada mês a inflação correspondente,
obtendo assim a tabela a seguir.
GOVERNO DIVULGA BALANÇO ANUAL DA INFLAÇÃO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Mês
6
8
9
7
6
9
9
9
8
6
5
9
Taxa de Inflação (%)
Considere a relação R do conjunto dos meses A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12} no conjunto das
taxas, em %, B = {6, 8, 9, 7, 5}, associando a cada mês a taxa de inflação correspondente. Construa o
gráfico da relação R e, observando o gráfico responda:
a)
b)
c)
d)
Do mês 1 ao mês 3, a taxa de inflação foi crescente, decrescente ou constante?
Do mês 6 ao mês 8, a taxa de inflação foi crescente, decrescente ou constante?
Do mês 9 ao mês 11, a taxa de inflação foi crescente, decrescente ou constante?
Qual a variação da taxa de inflação do mês 7 ao mês 8?
Observação: Note pelo gráfico que do mês 1 ao mês 2 a taxa de inflação cresceu 2%; por isso
dizemos que do mês 1 ao 2 a variação da taxa de inflação foi de +2%. Note ainda, pelo gráfico, que do
mês 4 ao mês 5 a taxa de inflação decresceu 1%; por isso dizemos que a variação da taxa de inflação
do mês 4 ao 5 foi de –1%. Resposta: a) Crescente b) Constante
c) Decrescente
d) 0%
46
18) Um menino sai de sua casa, caminha ao longo da rua até uma confeitaria onde toma um
refrigerante e, em seguida, retorna à sua residência. Na figura deste exercício, t representa o tempo
decorrido desde o instante em que ele saiu de casa e d a distancia do menino à sua residência em
cada instante. Procure interpretar este gráfico que descreve o movimento do menino e responda:
200
d (m)
150
100
50
0
0
5
10
15
20
25
t (minutos)
a) Qual a distancia da casa do menino à confeitaria e quanto tempo ele gasta para chegar até lá?
Resposta: 200 m e 5 min
b) Quanto tempo ele permanece na confeitaria? Resposta: 10 min
c) Quanto tempo ele gastou para fazer a caminhada de volta? Resposta: 10 min
19) O alcance A de uma estação de uma TV está relacionado com a altura h da antena da emissora
por uma equação cuja forma aproximada é:
A  4  103 h (com A e h medidos em metros)
a) Quando a altura de uma antena é duplicada, quantas vezes maior torna-se o alcance da emissora?
Resposta: 1,4 vezes
b) Quantas vezes mais alta devia ser a antena para que o alcance da emissora fosse duplicada?
Resposta: 4 vezes
c) Usando a relação matemática entre A e h , complete o quadro deste problema e construa o gráfico
A h (observe que, assim, você construiu o gráfico de uma grandeza que varia proporcionalmente à
raiz quadrada de outra grandeza).
h (m)
0
4
9
16
25
A (m)
20) Em congonhas do campo (MG), onde se encontram as célebres estatua dos profetas, esculpidas
pelo Aleijadinho, os artistas modernos reproduzem miniaturas desta obra com o mesmo tipo de
pedra-sabão usada pelo famoso artista. Uma desta miniaturas, com 20 cm de altura, pesa cerca de 2
kg. Sabendo-se que a estatua original tem 2 m de altura, qual deve ser, aproximadamente, o peso
desta estátua? Resposta: 2000 kg = 2 toneladas
47
21) Em épocas de chuvas, as enchentes de rios e córregos, causam grandes problemas, sobretudo às
populações ribeirinhas. A incidência de enchentes pode ser prevista através da análise da vazão de
um rio em função da sua altura limnimétrica. A altura limnimétrica é medida com um aparelho
denominado limnógrafo, que registra continuamente a variação do nível de um rio, adotando como
nível normal ou nível 0 (zero) o nível do rio fora da estação das chuvas. Um engenheiro,
estudando a vazão de um rio, obteve o gráfico a seguir, que mostra a vazão em função da altura
limnimétrica. Observando o gráfico responda:
a) Qual a vazão do rio para a altura limnimétrica
zero?
b) Qual a vazão do rio se ele estiver 4 metros
acima do seu nível normal?
c) Se o rio se mantiver, durante 2 horas, 3 metros
acima do nível normal, qual será a vazão total
nessas 2 horas?
d) Sabendo que ocorre enchente somente se a
vazão chega a 40.800 litros por minuto,
verifique se ocorrerá enchente se o rio estiver 3
metros acima do nível normal.
Resposta: a) 606 litros/segundo b) 685 litros/segundo c) 4.887.360 litros d) Não haverá enchente
22) Qual dos gráficos seguintes representa uma função de * em 
Resposta: c
23) Uma panela, contendo uma barra de gelo a – 400C é colocada sobre a chama de um fogão. Nestas
condições o gráfico abaixo nos mostra a evolução de temperatura (T) da água em função do tempo
(t). Escreva sob a forma de colchetes os intervalos onde:
a) A temperatura em que temos só água no estado sólido;
b) O tempo em que temos só água no estado sólido;
c) A temperatura em que temos água no estado sólido e líquido;
d) O tempo em que temos água no estado sólido e líquido;
e) A temperatura em que temos água no estado líquido;
f) O tempo em que temos água no estado líquido;
g) A temperatura em que temos somente líquido;
h) O tempo em que temos somente líquido.
Resposta: a) [ -10, 0] b) [ 0, 2] c) [0, 0] d) [ 2, 10] e) [ 0, 100] f) [10, 20] g) [ 0, 100] h) [10, 20]
48
24) Determine, de forma intuitiva, a lei que relaciona Y com X nas tabelas seguintes:
a)
2
3
4
5
6
X
5
7
9
11
13
Y
b)
1
2
3
4
5
X
2
5
8
11
14
Y
Resposta: a) y  2 x  1
b) y  3x  1
25) Calcule os valores indicados da função dada.
a) f(x) = 3x2 + 5x – 2; f(1), f(0), f(-2)
1
b) g( x )  x  ; g(1), g(1), g(2)
x
c) h(t )  t 2  2t  4 ; h(2), h(0), h(4)
d) f(t) = (2t – 1)-3/2; f(1) , f(5), f(13)
e)f(x) = x - x - 2; f(1), f(2), f(3)
3 se t  - 5

f) f(t)  t  1 se - 5  t  5; f(-6), f(-5), f(16)

 t se t  5
Resposta: f(1) = 6, f(0) = -2, f(-2) = 0
Resposta: g(1)  2, g(1)  2, g(2) 
5
2
Resposta: h(2)  2 3, h(0)  2, h(4)  2 3
1
1
Resposta: f (1)  1, f (5) 
, f (13) 
27
125
Resposta: f (1)  0, f (2)  2, f (3)  2
Resposta: f (6)  3, f (5)  4, f (16)  4
26) Dados os conjuntos A  {1, 2, 3, 4} e B  {2, 3, 4, 5,6} , construa em cada caso o esquema de
flechas e, através dele, identifique as relações de A em B que são funções.
a) R1  {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}
b) R2  {(1, 2), (1, 3), (2, 5), (3, 5), (4, 6)}
c) R3  {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)}
d) R4  {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}
27) Sendo A  {-2, - 1, 0, 1} e B  {0, 1, 2, 3, 4, 6} , escreva o conjunto de pares (x, y), com
x  A e y  B , definidos por:
a) y  x 2
b) y  x  2
49
28) Os esquemas seguintes mostram relações de A em B. Indique as relações que são funções.
Justifique.
Resposta: a, b e d
29) Dada g :    , definida por g ( x)  2 x  3 , pede-se:
2
a) g (4)
b) g  
c) g (0)
3
d) g (0,1)
30) Dada f :    , definida por f ( x)  x 2  2 x  1 , calcule:
a) f (0)
b) f 2
c) f (3)
d) f ( 2 )
31) No diagrama seguinte está representada uma função f de M em N.
Determine:
a) f (3)
b) f (2)
c) f (5)
d) im( f )
e) domínio( f ) f) Contra  domínio ( f )
Resposta:
a) 2 b) 3 c) 1 d) im( f ) ={1, 2, 3} e) domínio( f )  {5, 3,  2} f) Contra  domínio ( f )  {1, 2, 3, 6, 7}
50

SALÁRIO FAMÍLIA
Empregador
Salário-família
Salário-de-contribuição (R$)
Até R$ 414,78
de R$ R$ 414,79 até 623,44
Salário-família
R$ 21,27
R$ 14,99
Observações:
 O valor do salário-família é pago por filho ou equiparado de 0 a 14 anos.
 Se a mãe e o pai estão nas categorias e faixa salarial que têm direito ao salário-família, os dois
recebem o benefício.
 O valor da quota será integral nos meses de admissão e demissão do empregado.
 Para o trabalhador avulso, a quota será integral independentemente do total de dias trabalhados.
51