Exame de Qualificação
Universidade Federal da Paraíba - Departamento de Física
Prova de Eletromagnetismo
Nome:______________________________________ Data___/______/______
1) Uma esfera oca de raio R, cujos hemisférios encontram-se isolados (potencial no plano equador
V=0) e sujeitos a potenciais ±V como mostrado pela figura abaixo. Encontre o potencial dentro e
fora da esfera.
2) Um cabo coaxial consiste em um condutor sólido de raio a, envolvido por um tubo cilindro
concêntrico de raio interno b e raio externo c. Os condutores carregam correntes opostas e
iguais I 0 distribuídas uniformemente por suas seções transversais. Determine a magnitude e
direção do campo magnético a uma distância r do eixo. Faça um gráfico da magnitude do campo
em função da distância r.
3) Considere uma onda monocromática no plasma, descrita pelo modelo
ω p2
ε (ω ) = 1 − 2 ,
ω
ω p2 = 4π ne2 / m .
a) Encontre a relação de dispersão ω (κ ) . Mostre que para uma frequência ω abaixo da
freqüência de corte, ω < ω p , as ondas não podem se propagar no plasma.
b) Encontre a velocidade de grupo vg (κ ) das ondas no plasma.
c) Considerando uma onda linearmente polarizada com amplitude E0 e frequência ω com
incidência normal à uma interface contendo o plasma descrito pela constante dielétrica no
enunciado da questão. Encontre o número de onda dentro do plasma, e as amplitudes da
onda transmitida e refletida. Considere separadamente os casos para ω < ω p e ω > ω p
4) Seja uma onda eletromagnética cujo potencial vetor é dado por
A = u (r , φ , z ) ei ( kz −ωt ) xˆ
onde x̂ é o vetor unitário na direção do eixo x, k = 2π / λ é o módulo do vetor de onda para um
feixe de comprimento de onda λ e frequência ω .
a) Utilizando o calibre de Coulomb demonstre que a média temporal da densidade de momento
linear é
p =
b) Utilizando a aproximação
iωε 0
2
u∇u * − u *∇u ) + ω kε 0 u zˆ
(
2
∂u
∂z
ku (conhecida como aproximação paraxial) mostre que a média
temporal do vetor de Poynting é
S =
ic 2ωε 0  ∂ *
2
2

* ∂
u0  rˆ + c 2ωlε 0 u 0 φˆ + c 2ω kε 0 u 0 zˆ
 u0 u0 − u0
2  ∂r
∂r 
se
u ( r , φ , z ) = u0 ( r , z ) eilφ
c) Represente graficamente a trajetória da média temporal do vetor de Poynting. Discuta o que
este resultado significa fisicamente.
FORMULÁRIO
Polinômios de Legendere
Formula de Rodrigues
l
P0 ( x) = 1
Pl ( x) = 1
P1 ( x) = x
P2 ( x) = 1
2(
3 x 2 − 1)
P3 ( x) = 1
2(
5 x − 3x )
P4 ( x) = 1
8(
35 x 4 − 30 x 2 + 3)
P5 ( x) = 1
8(
63x 5 − 70 x3 + 15 x )
3
l
d  2
x − 1)
(
l 

2 l ! dx 
Gradiente em coordenadas cilíndricas
r
∂t
1 ∂t ˆ ∂t
∇t = rˆ +
φ + zˆ
∂r
r ∂φ
∂z
Rotacional em coordenadas cartezianas
r r  ∂u ∂u   ∂u ∂u 
 ∂u ∂u
∇ × u =  z − y  iˆ +  x − z  ˆj +  y − x
∂z   ∂z
∂x 
∂y
 ∂y
 ∂x
ˆ
k
