X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
LIMITE DE FUNÇÃO: CONCEITO IMAGEM x CONCEITO DEFINIÇÃO
Maria Alice de V. Feio Messias1
Universidade do Estado do Pará - UEPA
[email protected]
Acylena Coelho Costa2
Universidade do Estado do Pará - UEPA
[email protected]
Resumo: O presente trabalho apresenta os resultados de uma pesquisa diagnóstica
realizada com estudantes concluintes do curso de licenciatura em matemática de uma
universidade pública do estado do Pará, cujo objetivo fora investigar aspectos
relacionados à apreensão do conceito de limite de função. Para isso, norteamos nossa
pesquisa na teoria sobre Conceito Imagem e Conceito Definição de Tall e Vinner
(1981). Foram analisados os conhecimentos de 53 estudantes por meio da aplicação de
um questionário. Evidenciamos que os elementos que compõem o conceito imagem e
conceito definição dos sujeitos investigados sobre limite de função não estavam
coerentemente relacionados à sua definição formal, sendo esses resultados semelhantes
àqueles obtidos em pesquisas anteriores.
Palavras - Chave: Conceito Imagem; Conceito Definição; Limite de Função.
1. INTRODUÇÃO
As dificuldades em matemática no ensino superior - especificamente em Cálculo
– tem sido objeto de estudo de diversas pesquisas nacionais e internacionais em
educação matemática. Isso porque muitos indivíduos apresentam significativas
dificuldades que se fazem presentes, principalmente, na apreensão dos conceitos
envolvidos. Sabe-se que muitas dessas dificuldades estão estritamente relacionadas com
o entendimento da noção de limite, haja vista que muitos estudantes terminam o curso
de Cálculo sem relacioná-la com conceitos imediatos, como o estudo da derivada e da
integral.
Dentre as pesquisas realizadas nesse âmbito, tomamos como suporte teórico
inicial para o desenvolvimento dessa pesquisa os estudos de Gélis e Lenne (2003),
Zuchi (2005), Rodríguez (2009) e Ochoviet, Olave & Testa (2009).
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Graduada da UEPA.
Profª Assistente do Departamento de Matemática Informática e Estatística da UEPA.
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Gélis e Lenne (2003) defendem a utilização de um ambiente de aprendizagem
com base no Sistema de Cálculo Formal Mupad. Ao aplicarem atividades para alunos
da escola secundária francesa Fustel de Coulanges, verificaram que essa abordagem
permite que os estudantes se libertem das limitações do ambiente lápis e papel. Os
autores destacam que o software oferece ainda a possibilidade de aplicar os teoremas
conhecidos pelos estudantes para calcular limites, além de disponibilizar ferramentas
numéricas e gráficas que facilitam a construção de conjecturas e provas. Além disso,
acreditam que os estudantes podem se apropriar mais pertinentemente de diferentes
técnicas para calcular indeterminações, prová-las e identificar os contextos adequados
para utilizá-las.
No que se refere as dificuldades no processo de ensino e aprendizagem do
conceito de limite de uma função, Zuchi (2005) realizou um trabalho de investigação
com estudantes universitários e em seguida, propôs alternativas que pudessem
minimizar tais dificuldades. Para isso, integrou a didática da matemática e inteligência
artificial à luz da teoria das situações de Brousseau e ao introduzir o conceito de limite
mediante situações-problema para estudantes dos cursos de engenharia mecânica,
engenharia elétrica e licenciatura em física, percebeu que dentre as dificuldades de
compreensão apresentadas por esses alunos, destaca-se aquela concernente à relação
entre ε e δ. Isso porque os estudantes não conseguem relacionar seu aspecto intuitivo –
ponto de vista cinemático – e sua definição formal sob o ponto de vista de aproximação.
Segundo a autora:
(...) geralmente a definição de limite é exposta após uma introdução do
conceito pelo ponto de vista cinemático, e após vários exemplos resolvidos, é
dada essa definição utilizando o ponto de vista de aproximação sem um
amadurecimento da correlação entre ambas (p. 89).
Em seu trabalho, Rodríguez (2009) apresenta uma pesquisa na qual está
estabelecendo tipologias que caracterizam diferentes usos da língua natural e da língua
simbólica simultaneamente, dado que é comum que haja uma grande distância entre a
utilização de ambas, bem como a dificuldade em correlacioná-las. Em se tratando da
noção de limite, a autora menciona que:
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f tem limite L quando x tende a a se a
distância entre as imagens da função e L pode ser arbitrariamente pequena,
sendo os valores de x muito próximos de a . Depois que se comunica
O docente explica que uma função
oralmente esta frase, relativamente compreensível, escreve-se a definição
com épsilon e delta (...) e poucos são os indivíduos que complementam o que
fora escrito no quadro com as explicações dadas. (tradução nossa, p. 97)
Ochoviet, Olave e Testa (2009) realizaram uma pesquisa diagnóstica com 13
estudantes do 2º ano e 25 do 3º ano de licenciatura em matemática. Para isso,
elaboraram um questionário contendo três questões que, segundo os autores, não
apresentavam limites explícitos para os estudantes calcularem. Em seus resultados,
evidenciaram que a maioria dos sujeitos investigados atribui o valor do limite ao valor
da função no ponto e que isso se deve à metodologia utilizada em sala de aula – na qual
são apresentadas funções polinomiais, exponenciais e logarítmicas em que sempre
existe um limite que coincide com a imagem – sendo essa prática reforçada pelas
atividades repetitivas em sala de aula. Além disso, verificaram que os estudantes obtêm
melhores resultados em meio à representação gráfica, pois os “saltos” presentes no
gráfico permitiram evocar a não existência do limite.
Ochoviet, Olave e Testa (id.) acreditam ainda que para melhorar o desempenho
dos estudantes, é necessária a apresentação de atividades que transcendam o mero
cálculo dos limites, caracterizadas por diferentes registros que possam gerar conflitos
que, diante da intervenção do professor, contribuam com a formação do indivíduo. Para
isso, devemos ser cuidadosos na escolha da função, haja vista que funções contínuas
reforçam a idéia de substituir a variável pelo número real em questão no momento de
calcular o limite.
As pesquisas descritas anteriormente elucidam, principalmente, as dificuldades
concernentes à compreensão da noção de limite de uma função e não apenas aquelas
relacionadas às técnicas e manipulações algébricas necessárias para resolvê-lo.
Considerando a importância do conceito de limite para a aprendizagem dos demais
tópicos de Cálculo, desenvolvemos uma pesquisa, cujo objetivo foi investigar aspectos
referentes ao conceito de limite de função de estudantes concluintes do curso de
licenciatura em matemática de uma universidade pública no estado do Pará.
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2. PESQUISA À LUZ DO REFERENCIAL TEÓRICO
Muitos pesquisadores têm direcionado seus estudos para as dificuldades
relacionadas às definições matemáticas formais, sendo os mesmos, em sua maioria,
unânimes em afirmar que experiências cotidianas podem inconscientemente interferir na
apreensão de conceitos matemáticos. Cornu (apud TALL, 1988) destaca que:
(...) noções matemáticas não são apenas utilizadas de acordo com suas
definições formais, mas também através de suas representações mentais que
podem variar de pessoa pra pessoa. Esses modelos individuais são elaborados
através de modelos espontâneos (...) que interferem nas definições
matemáticas formais. Nós notamos que a noção de limite é algumas vezes
visualizada como algo alcançável e outras vezes inalcançável. (tradução
nossa, p. 37)
Os termos Conceito Imagem e Conceito Definição foram introduzidos e
descritos por Tall e Vinner (1981). O Conceito Imagem consiste em toda a estrutura
cognitiva associada a um conceito, podendo nessa estrutura ser incluída a imagem deste
conceito por meio de uma representação visual, figura mental ou experiências
vivenciadas pelo individuo. Por sua vez, o Conceito Definição, que se constitui também
na estrutura cognitiva do indivíduo, representa a forma, em palavras, utilizada para
especificar um conceito, podendo ou não ser diferente do Conceito Definição formal.
Ao fazerem referência a limite de uma função, Tall e Vinner (1981) apontaram
que o limite de uma função é normalmente considerado como um processo dinâmico em
que x se aproxima de a da mesma maneira que f ( x) se aproxima de c . Ou seja, os
estudantes consideram f ( x) c como parte do seu Conceito Imagem. Essa situação
ficou evidente nos resultados obtidos pelos autores ao aplicarem um questionário, no
x3 1
x 1
qual os indivíduos deveriam explicar o que significava lim
x 1
3 . No mesmo
questionário, ao tentarem escrever uma definição para lim f ( x) , grande parte dos
x
a
alunos o fizeram de maneira dinâmica – “o limite se aproxima de”, “o limite tende à”,
“o limite fica próximo de” – e apenas quatro dos sujeitos investigados escreveram a
definição formal corretamente, demonstrando um descompasso entre o Conceito
Definição e o Conceito Imagem de limite de uma função.
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Tomando como referência a teoria de Tall e Vinner (1981), desenvolvemos a
presente pesquisa com o intuito de investigar os elementos que compõem o Conceito
Imagem e Conceito Definição dos sujeitos investigados sobre limite de função.
3. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Esta pesquisa diagnóstica objetivou investigar as concepções de universitários
referentes ao conceito imagem e conceito definição de limite de função. Os 53
estudantes investigados cursavam os 3º e 4º anos do curso de licenciatura em
matemática de uma universidade pública do estado do Pará.
A pesquisa constituiu-se em duas etapas. Na primeira, os sujeitos investigados
responderam – individualmente e por escrito – um questionário contendo duas questões.
Na segunda etapa, analisamos os resultados obtidos e confrontamos com os resultados
de pesquisas anteriores. A aplicação do instrumento de coleta de dados ocorreu nos
meses de Março, Abril e Maio de 2008 para um total de 53 alunos, sendo 37 do 3º ano e
16 do 4º ano. As questões e seus respectivos objetivos estão destacadas a seguir.
1ª Questão:
Como você definiria limite de uma função?
Objetivo: Identificar aspectos concernentes ao conceito definição e conceito imagem
dos alunos sobre limite de uma função. Essa questão teve como referência as pesquisas
realizadas por Tall e Vinner (1981) e Zuchi (2005).
De acordo com os resultados obtidos por Tall e Vinner (1981), os estudantes
apresentam, em sua maioria, um conceito definição dinâmico. Sendo a noção de que o
limite sempre se aproxima de um ponto, sem nunca alcançá-lo parte do conceito
imagem de muitos estudantes. Esta situação também foi evidenciada por Zuchi (2005).
Dessa maneira, intencionamos verificar se os sujeitos de nossa pesquisa
apresentariam respostas semelhantes àquelas encontradas nos estudos acima
mencionados.
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2ª Questão:
Observe o gráfico da função f: IR→IR*,
a)
Qual o valor de
1
x
f ( x)
lim f ( x) ? Justifique.
x
b)
b) Qual o valor de
lim f ( x) ? Justifique.
x
Objetivo: Verificar se os alunos identificam e compreendem os limites a partir da
representação gráfica e justificam matematicamente ou intuitivamente o resultado. Esta
questão foi sugerida pela professora orientadora deste trabalho, haja vista a dificuldade
dos alunos em realizar interpretações gráficas.
Pretendemos também verificar como os estudantes justificariam a resposta, pois
Barto (2004) constatou que ao justificar resultados, os alunos se utilizam de
argumentações intuitivas, além de evidenciar o conceito imagem dos estudantes acerca
do significado de lim f ( x)
x
a
L e comparar com os dados da pesquisa de Tall e Vinner
(1981).
4. ANÁLISE DOS RESULTADOS
Os resultados foram obtidos mediante a observação das anotações realizadas
pelos estudantes que participaram dessa pesquisa. Foi nossa intenção realizar um
levantamento acerca das dificuldades dos alunos ao desenvolverem tarefas envolvendo
o conteúdo sobre limite de uma função de uma variável, principalmente aquelas
relacionadas ao seu conceito.
Análise referente à 1ª Questão:
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Observamos que 13 indivíduos pesquisados não resolveram a questão e que
apenas dois indivíduos apresentaram a definição formal de limite de função, como
podemos verificar abaixo na resposta do sujeito S46.
Além da definição acima, observamos que 16 sujeitos investigados apresentaram
definições informais. Sendo que a maioria dessas definições infere que o limite se
aproxima de um valor ou tende a um valor, sem alcançá-lo. Este tipo de situação pode
ser verificado nas respostas dos sujeitos S41 e S29 respectivamente, conforme ilustrado
a seguir.
Evidenciamos ainda 22 respostas incorretas fornecidas pelos individuos
investigados. Destacamos abaixo as respostas dos sujeitos S24 e S14, respectivamente.
Verificamos que as respostas apresentadas pelos sujeitos investigados sugerem
que os mesmos, em sua maioria, utilizam-se de uma noção intuitiva para definir limite
de uma função. Autores como Sierpinska (apud ZUCHI, 2005) destacam a existência do
obstáculo do símbolo, no qual os alunos têm resistência em utilizar uma linguagem
específica para limite de uma função e isso ficou evidente em nossa pesquisa, haja visto
que apenas 2 sujeitos investigados utilizaram a definição formal de limite de uma
função.
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Percebemos também que grande parte dos estudantes investigados apresenta
uma noção dinâmica de limite de uma função, ou seja, caracteriza-se por chegar perto
de um valor ou por tender a um valor desejado. Tall, Monaghan e Sun (1994) já
mencionaram em pesquisas anteriores o fato de os alunos não considerarem o conceito
estático de limite de uma função, ou seja, o próprio valor do limite, apresentando apenas
sua noção dinâmica.
Constatamos muitos erros conceituais e acreditamos que eles ocorrem devido os
alunos não terem apreendido o conceito – formal ou informal – de limite de uma função
pertinentemente. Dentre os erros, destacamos aquele no qual os estudantes afirmam que
o limite sempre se aproxima de 0, sendo esta situação preocupante, uma vez que tal
conceito é importante para a compreensão de conceitos imediatos em Cálculo, bem
como para a demonstração de teoremas e propriedades.
Dessa maneira, assim como os resultados da pesquisa de Tall e Vinner (1981) e
Zuchi (2005), percebemos que os estudantes apresentam, em sua maioria, um conceito
definição dinâmico de limite de uma função. Além disso, ficou evidente que a noção de
que o “limite tende à”, “o limite se aproxima de” ou “o limite chega perto de” um
determinado valor, sem nunca alcançá-lo faz parte do conceito imagem desses
estudantes. Ou seja, assim como na pesquisa de Tall e Vinner (id.), eles apresentam a
concepção de que f ( x) c .
Análise referente à 2ª questão
Evidenciamos que 13 estudantes não responderam a questão. Além disso, 8
indivíduos responderam que lim
x
1
1
e lim eram zero, entretanto, não justificaram a
x
x
x
resposta. Um total de 11 sujeitos investigados não respondeu a questão de maneira
pertinente, como podemos verificar nas respostas do sujeito S40.
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Sete indivíduos responderam que os limites de lim
x
1
e
x
lim
x
1
eram zero e
x
justificaram a partir de uma noção dinâmica de limite de uma função. Evidenciamos
este tipo de situação nas respostas dos sujeitos S47.
Verificamos ainda que 14 estudantes que responderam que os limites de lim
x
e
lim
x
1
x
1
e justificaram a resposta intuitivamente, como podemos observar nas
x
respostas dos sujeitos S22 e S26, respectivamente.
Evidenciamos também que outros 29 estudantes responderam a questão de
maneira pertinente, entretanto, nenhum deles justificou formalmente o que fora pedido e
portanto, mais uma vez ficou claro que es sujeitos investigados exploraram a noção
intuitiva do conceito de limite de função.
É interessante destacar que alguns dos resultados obtidos em nossa pesquisa são
semelhantes aos da pesquisa de Tall e Vinner (1981), haja vista que 7 estudantes
utilizaram a noção dinâmica de limite – “quando x se aproxima de.... y tende à...” –
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para justificar a questão. Esta situação, de acordo com Tall e Viner (id.) nos leva a
perceber que os estudantes acreditam que
f ( x) c , sendo este um conflito em
potencial na aprendizagem em Cálculo. Além disso, assim como constatamos na
primeira questão, esta noção faz parte do conceito imagem desses alunos.
Percebemos que os alunos investigados apresentaram didiculdade em interpretar
o gráfico apresentado, dado que 7 alunos afirmaram que lim
x
1
x
e lim
x
1
x
e
um deles afirmou que o limite não existia. Além disso, verifica-se que há dificuldade
concernente ao conceito de função constante, fato que nos faz questionar a formação
pré-universitária desses alunos. Olimpio (2005) menciona que muitas dificuldades
relacionadas aos conceitos específicos do Cálculo são fruto dos conhecimentos
matemáticos apreendidos pelos estudantes nos segmentos de ensino anteriores.
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Propusemo-nos com esta pesquisa investigar os elementos que compõem o
conceito imagem e conceito definição de limite de função de estudantes universitários
de licenciatura em matemática e para tanto, aplicamos um questionário e norteamos a
análise dos dados obtidos na teoria de Tall e Vinner (1981) sobre conceito imagem e
conceito definição.
Diante das anotações dos indivíduos investigados, evidenciamos que a maioria
dos estudantes que escreveu uma definição de limite de função, apresentou uma noção
intuitiva e dinâmica acerca deste conceito. Torna-se importante destacar que este
conceito definição dinâmico apresentado pelos sujeitos investigados em nossa pesquisa
se assemelha com os resultados obtidos por Tall e Vinner (1981) e Zuchi (2005). Além
disso, ficou evidente que a noção de que o “limite tende à”, “o limite se aproxima de”
ou “o limite chega perto de” um determinado valor, sem nunca alcançá-lo faz parte do
conceito imagem desses estudantes. Ou seja, assim como na pesquisa de Tall e Vinner
(id.), eles apresentam a concepção de que f ( x) c . As justificativas dos alunos na 2ª
questão também demonstram esse dinamismo presente no conceito definição dos
sujeitos investigados.
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Verificamos ainda que os sujeitos investigados têm dificuldades em desenvolver
atividades envolvendo limite de função de uma variável e estas dificuldades estão
relacionadas com a apreensão do conceito de limite de uma função, tanto informal
quanto formal.
Finalmente, acreditamos que os resultados obtidos em nossa pesquisa foram
relevantes, pois a partir deles, verificamos alguns conflitos apresentados pelos sujeitos
investigados no que concerne ao conceito de limite de função e esperamos que este
trabalho sirva de subsídio para o desenvolvimento de pesquisas futuras para que
possamos de fato viabilizar o processo de apreensão do conceito de limite de função e,
consequentemente, melhorar o desempenho dos estudantes nos tópicos de Cálculo
adjacentes a este conceito.
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARTO, M.C.A.L. Um olhar sobre as idéias matemáticas em um curso de cálculo:
a produção de significados para continuidade. Dissertação de Mestrado (educação
matemática). PUC (SP), 2004.
GÉLIS, Jean – Michel; LENNE, Dominique. Une approche de la notion de limite dans
un environnement basé sur un système de calcul formel. In: Environnements
informatiques pour l’apprentissage humain. Strasbourg, p.485 – 492, 2003.
OCHOVIET, Cristina; OLAVE, Mónica; TESTA, Yacir. Sobre El aprendizaje del
concepto de límite en la formación de profesores de matemática. : Memorias Del 10º
Simposio de Educación Matemática. Chivilcoy – Buenos Aires – Argentina, p. 678 –
691, 2009.
RODRÍGUEZ, Mabel. Consideraciones didácticas para la enseñanza del límite
funcional. In: Memorias Del 10º Simposio de Educación Matemática. Chivilcoy –
Buenos Aires – Argentina, p. 92 – 98, 2009.
TALL, David; VINNER, Shlomo. Concept Image and Concept Definition in
Mathematics with particular reference to Limits and Continuity. In: Educational
Studies in Mathematics, v. 12, p. 151 – 169, 1981.
TALL, David. Concept image and Concept definition. In: Senior Secondary
Mathematics Education, p. 37 – 41, 1988.
ZUCHI, Ivanete. A abordagem do conceito de limite via seqüência didática: do
ambiente lápis e papel ao ambiente computacional. Tese de Doutorado (Engenharia
de produção). UFSC, 2005.
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