Unidade I
MATEMÁTICA
Números Reais
Expressões Literais
Equações
Inequações
Prof. Renato Zanini
Os números reais: representações e
operações
Conjuntos
ƒ Números naturais
N = {0; 1; 2; 3; 4;...}
ƒ Números inteiros
Z = {...;
{ ; –4;
4; –3;
3; –2;
2; –1;
1; 0; 1; 2; 3; 4;
4;...}}
ƒ Números racionais (Q)
1;3;6;–4;–3 ;5;2;–8;1 ;7
2 4 5
3
2 1 1
1 3 9
3 = 3 : 4 = 0,75
1 = 1 : 2 = 0,5
2
4
1 = 1 : 3 = 0,3333... (dízima periódica)
3
Os números reais: representações e
operações
ƒ Números irracionais (Ir)
√2, √3, √5, √7, √8, √10 e outros.
√2 = 1,4142135...
√3 = 1,7320508...
√5 = 2,2360679...
ƒ Números reais (R): Q U Ir
A representação dos números reais na
reta numérica:
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
Reais
Os números reais: representações e
operações
Operações - exemplos importantes
ƒ 2 + 5 . 7 = 2 + 35 = 37
ƒ 10 – 15 : 3 = 10 – 5 = 5
ƒ 3 . (4 + 6) = 3 . 4 + 3 . 6 = 12 + 18 = 30
( 6) = 50 – 30 = 20
ƒ 5 . (10 – 6) = 5 . 10 + 5 . (–6)
– 7 – 4 = –11
(– 7) . (– 4) = +28
–7 +4=–3
(–7) . (+4) = –28
7–4=3
7 . (– 4) = –28
(– 7) : (– 4) = +1,75 2.102 = 2.100
(–7) : (+4) = –1,75
(–10)2 = (–10).(–10)=100
7 : (– 4) = –1,75
Os números reais: representações e
operações
Subconjuntos de R – Exemplos
ƒ A = {x ε R | x > –3}
Quais são os elementos do conjunto A ?
ƒ B = {x ε R | x ≤ –2}
Quais são os elementos do conjunto B ?
ƒ C = {x ε R | –8 < x < –3}
Quais são os elementos do conjunto C ?
Interatividade
Qual o resultado da expressão numérica (2 .
82 – 4 . 52) : 7 + (24 + 1) ?
a) – 20
b) 21
c) 2
d) 18
Expressões literais e suas
operações
Importância das expressões literais
Valor numérico das expressões literais:
ƒ Considere: y = x2 + 2x
Qual o valor de y quando x = 2 ?
Resp: y = (2)2 + 2.(2) = 4 + 4 = 8
ƒ Considere: p = m3 – 4m2 + 3m + 5
Qual o valor de p quando m = 3 ?
Resp: p = (3)3 – 4.(3)2 + 3.(3) + 5 = 27 – 4.(9)
+ 9 + 5 = 27 – 36 + 9 + 5 = 5
Expressões literais e suas
operações
Operações – exemplos importantes
ƒ x . x = x2
ƒ x + x = 2x
ƒ (5b + 3c – a) + (3a – 4b – 2c) =
5b + 3c – a + 3a –4b
4b – 2c = b + c + 2
2ª
ƒ (9x + 15y) – (6x + 12y) =
9x + 15y – 6x – 12y = 3x + 3y
ƒ 2.(3x + 4y) = 6x + 8y
ƒ (2x + 3y).(5x – 3y) =
10x2 – 6xy + 15xy – 9y2 =
10x2 + 9xy – 9y2
Interatividade
Sabendo que x = –1, determine o valor
numérico da expressão literal: 2x2 + x – 3
a) –6
b) 0
c) –2
2
d) 2
Resolvendo equações
O que significa equação? IGUALDADE
Exemplos
ƒ (Vamos encontrar “x”)
5x + 3 = 2x + 6
5x + 3 – 3 = 2x + 6 – 3
5x = 2x + 3
5x – 2x = 2x – 2x + 3
3x = 3
3 =3
3x
3
3
x=1
Resolvendo equações
ƒ (Vamos encontrar “n”)
4n + 10 = 0
4n + 10 – 10 = 0 – 10
4n = –10
4n = –10
4
4
n = –10 = – 5 = –2,5
4
2
Resolvendo equações
ƒ (Vamos encontrar “y”)
y2 – 6y = – 5
y2 – 6y + 5 = – 5 + 5 → y2 – 6y + 5 = 0
a=1
b = –6
c = +5
∆ = b2 – 4.a.c
4ac
∆ = (–6)2 – 4.(1).(5)
∆ = 36 – 20 = 16
y = –b + √∆
2.a
y’ = –(–6) + √16 = 6 + 4 = 10 = 5
2.(1)
2
2
y” = –(–6) – √16 = 6 – 4 = 2 = 1
2.(1)
2
2
Resolvendo equações
Problema
A relação entre o preço de venda e a
quantidade vendida de um produto é dada
pela equação: Q = 100 – 4p. Determinar o
preço “p” correspondente a 50 unidades de
produtos vendidos
vendidos.
Q = 100 – 4p
50 = 100 – 4p
50 – 100 = 100 – 100 – 4p
–50
50 = –4p
4p
–50 = –4p
–4
–4
25 reais = p
Resolvendo equações
Problema
A relação entre o preço de venda e a
quantidade vendida de um produto é dada
pela equação: Q = 80 – 2p. Determinar a
quantidade de produtos vendidos para p =
R$ 10,00.
Q = 80 – 2p
Q = 80 – 2.(10) = 80 – 20 = 60 unidades
Interatividade
A relação entre o preço de venda e a
quantidade vendida de um produto é dada
pela equação: Q = 120 – 2p. Determinar o
preço “p” correspondente a 30 unidades de
produtos vendidos.
a) R$ 60,00
b) R$ 118,00
c) R$ 45,00
d) R$ 90,00
Resolvendo inequações
O que significa inequação? Desigualdade
Exemplos
Valores de “n”
4n + 10 > 0
4n + 10 – 10 > 0 – 10
4n > –10
4n > –10
4
4
n > –10 = – 5 = –2,5
4
2
n>–5
2
n > –2,5 {n ε R | n > – 2,5}
Resolvendo inequações
ƒ Valores de “m”
– 2m + 3 ≥ 4m + 6
– 2m + 3 – 3 ≥ 4m + 6 – 3
– 2m ≥ 4m + 3
– 2m – 4m ≥ 4m – 4m + 3
– 6m ≥ +3
– 6m ≥ +3
–6
–6
m≤–3
6
m ≤ –1 = – 0,5
2
m ≤ – 0,5 {m ε R | m ≤ – 0,5}
Resolvendo inequações
Dica importante
Vale observar que, por exemplo, a equação
14 = 2p + 3 pode ser escrita, também, como
2p + 3 = 14. Afinal, trata-se de uma
“igualdade”.
Já, nas desigualdades:
(Exemplo): a inequação 14 > 2p + 3 não
pode ser escrita como 2p + 3 > 14, mas sim
como 2p + 3 < 14. Pois, por exemplo, se 1 <
2 , então 2 > 1.
Resolvendo inequações
Problema
A relação entre o preço de venda e a
quantidade vendida de um produto é dada
pela equação Q = 90 – 2p. Determinar os
valores de p para os quais a quantidade
vendida seja de, no mínimo, 40 unidades.
Q ≥ 40
90 – 2p ≥ 40
90 – 90 – 2p ≥ 40 – 90
–2p ≥ –50
–2p ≥ –50
–2
–2
p ≥ 25
Resolvendo inequações
Problema
A relação entre o preço de venda e a
quantidade vendida de um produto é dada
pela equação: Q = 70 – 2p. Determinar os
valores de p para os quais a quantidade
vendida seja entre 10 e 30 unidades:
Q > 10
Q < 30
70 – 2p > 10
70 – 2p < 30
–2p > 10 – 70
–2p < 30 – 70
–2p > –60
–2p < –40
–2p > –60
–2p < –40
–2
–2
–2
–2
p < R$ 30,00 e
p > R$ 20,00
Interatividade
A relação entre o preço de venda e a
quantidade vendida de um produto é dada
pela equação: Q = 84 – 3p. Determinar os
valores de p para os quais a quantidade
vendida seja maior que 15 unidades:
a) p > R$ 23,00
b) R$ 15,00 < p < R$ 23,00
c) R$ 15,00 > p > R$ 23,00
d) p < R$ 23,00
ATÉ A PRÓXIMA!