Matemática Básica
Aula 3
Fatoração
6º Caso: Soma ou diferença de dois cubos
3.1 Definição
Fatorar um expressão algébrica consiste em
transformá-la num produto.
É um problema de grande interesse na Álgebra,
análogo ao da decomposição de um número em
fatores primos.
Pela aplicação das identidades
1º Caso: Fator comum
Ex: a) x 3 + 8 = ( x + 2)( x 2 − 2x + 4)
a3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b2 )
a3 − b3 = (a − b )(a 2 + ab + b 2 )
b) 27 x 3 − 8 y 3 = (3 x − 2 y )(9 x 2 + 6 xy + 4 y 2 )
O termo comum é o produto do máximo divisor
comum dos coeficientes numéricos dos termos do
polinômio pela parte literal formadas pelas letras
comuns com o menor expoente.
7º Caso: Cubo perfeito
Aplicando-se
Ex: a) 8 x 3 − 4 x 2 = 4 x 2 (2x − 1)
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3
b) a r +1 + a r = (a + 1) . a
r
a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = (a − b) 3
2º Caso: Agrupamento
Ex: a) x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 = ( x + 1) 3
É uma aplicação do 1º caso, só que o termo comum
aparece em grupos.
b) 8 x 3 − 12 x 2 y + 6 xy 2 − y 3 = (2x − y ) 3
Ex: Fatorar o polinômio
Exercícios
a 2 x − a 2 x + x − 1 = a 2 ( x − 1) + 1 ( x − 1) = ( x − 1)(a 2 + 1)
70. Fatorar:
3º Caso: Diferença de dois quadrados
a)
3x 6 + 6 x 4
b)
my 2 − my
c)
d)
4 x 5 + 12 x 4 − 36 x 3
a (x − y) + b (x − y)
Ex: x 2 − 4 = x 2 − 2 2 = ( x + 2)( x − 2)
e)
x p +1 + x p
4º Caso: Quadrado perfeito
71. Fatorar:
Pela aplicação da identidade
a)
b)
x 2 .m + x 2 + m + 1
2ax + bx + 2ay + by
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2
c)
3ax − 3a + bx − b
a 2 − 2ab + b 2 = (a − b ) 2
d)
8 x 3 + 12 x 2 + 6 x + 9
e)
(a − b) 2 + ac − bc
Pela aplicação da identidade
2
a −b
2
= (a + b)(a − b)
2
Ex: a) x + 6 x + 9 = ( x + 3 )
2
b) x 2 − 2x + 1 = ( x − 1) 2
72. Fatorar:
a)
5º Caso: Trinômio do 2º grau
b)
Pela aplicação da identidade
c)
2
ax + bx + c = a ( x − x 1 )( x − x 2 ) ; (a ≠ 0)
Onde x 1 e x 2 são as raízes da equação do 2º grau
a2 − 9
1
y2 −
16
1 2
x −4
25
d)
3 x 2 − 12
e)
a4 − b 4
ax 2 + bx + c = 0
73. Fatorar:
1
1
Ex: 2x − 7 x + 3 = 2 ( x − )( x − 3) onde x =
e
2
2
2
x = 3 são raízes da equação 2x 2 − 7 x + 3 = 0
a)
m2p − n2q
b)
( x − a )2 − b 2
c)
x 3 − 2x 2 − 4 x + 8
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Fatoração
74. Fatorar:
2
a)
x + 12xy + 36 y
b)
9 + 24 x + 16 x 2
1
1
x2 +
+
36 3 x
c)
2
d)
x 3 + 6 x 2 y + 9 xy 2
e)
− 4 − 12x − 9 x 2
e)
x3 + x 2 + x + 1
x3 + 1
80. Fatorar:
x6 + x2y4 − x4y2 − y6
81. (FEI) Fatorar:
a 2 + b 2 − c 2 − 2ab
75. Fatorar:
a)
9 x 2 − 24 x + 16
b)
a2 + 81b2 − 18ab
c)
− 16 + 8 x − x 2
d)
4 x − 12x 2 + 9 x 3
76. Fatorar:
a)
x2 + 4x + 3
b)
x 2 + 7 x + 12
c)
x2 + x − 6
d)
3 x 2 + 2x − 1
e)
10 x 2 − x − 3
82. (FUVEST) Fatorar:
a4 + a2 + 1
83. Efetue:
⎛ 3a 2 + 3b 2
⎜
⎜ a 2 − 2ab + b 2
⎝
⎞ ⎛ a2 + b2 ⎞
⎟:⎜
⎟
⎟ ⎜ a 2 − ab ⎟
⎠ ⎝
⎠
84. Efetue:
⎛a−b
⎞ ⎛a−b
⎞
− 1⎟ : ⎜
+ 1⎟
⎜
a
b
a
b
+
+
⎠ ⎝
⎠
⎝
77. Fatorar:
a)
a3 + 27
b)
8y3 + 1
c)
a3b3 − 8
d)
a6 − b 6
e)
x9 + y9
85. (FEI) Supondo x e y reais com x − y ≠ 0 e
x + y ≠ 0 , simplificar a expressão algébrica:
x3 − y3 x3 + y3
−
x−y
x+y
78. Decompor:
a)
( x + 2)3
86. Simplifique:
x4 − y4
b)
(3 x + 1)3
c)
⎛1
⎞
⎜ − x⎟
⎝3
⎠
d)
⎛ 2 2 ⎞
⎜x − y⎟
3 ⎠
⎝
e)
( x − y + z)2
f)
( 2 x + y + z )2
x 2 − 2xy + y 2
3
87. Simplifique:
ax 2 − ay 2
x 2 − 4 xy + 3 y 2
(Obs: Supor x ≠ 0 )
88. (FAAP) Mostrar que quaisquer que sejam a e b
nulos, temos a 2 + b 2 > ab .
2
c)
d)
x 2 + xy
x−y
3
79. Simplificar:
3x − 6
a)
x3 − 8
b)
:
x + 2x + 1
x2 + x
x 2 + xy − xz − yz
x 3 − z3
x 2 − 5x + 6
x 2 − 7 x + 10
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89.
a)
b)
c)
d)
e)
(MED. SANTOS) Calcular 934287 2 − 934286 2 :
1868573
1975441
2
1
n.d.a.
90. Simplificando a fração algébrica
m9 − 1
m6 − 1
encontramos:
a)
b)
m3 − 1
m2 + 1
m3 + 1
m2 − 1
6
c)
d)
e)
m +m +1
m3 + 1
m2 − 1
m3 − 1
a
a
a
−b
−2
− b −2
a
c)
a −2 + b −2
d)
e)
a2 + b2
n.d.a.
−2
−b
−4
b)
c)
,
a)
( x + y )2
x−y
b)
c)
d)
x − y − 2yx 2
x+y
x−y
−b
−2
b)
c)
d)
e)
( x 2 − x − 12)( x − 3)
x 4 − 81
é igual a:
x−4
( x + 3)2
x−4
x2 + 9
x 2 − 7 x + 12
x 3 + 27
x−4
( x − 3 )2
x−4
x −3
96. Simplificando a expressão:
( x − 3) 6
obtém-se:
é igual:
a)
b)
2
temos:
2 ( x − 2)( x − 3) 3 − 3 ( x − 2) 2 ( x − 3) 2
93. (UFGO) Simplificando a expressão
a)
x2 − y2
6
b)
2
( x + y ) 3 − 2y( y + x ) 2
a)
91. (UnB) A expressão:
3a − 4
1
−
(a ≠ 4 )
2
a
−
4
a − 16
é equivalente a:
1
a)
a−4
2
b)
a+4
2
c)
a−4
d) nenhuma dessas
a)
94. (UFGO) Simplificando
95. A relação
m6 − m3 − 1
−6
a2
Obs: Supor a ≠ 1, a ≠ −1, b ≠ −1, b ≠ 0
e)
m3 + 1
−4
b2
x2 + y2
x−y
Obs: Supor x ≠ y; x ≠ − y
3
92. A fração
d)
c)
2
a + a a − a b −1
.
.
b2 + b b2 − b a2 − 1
a
b
b
a
d)
e)
x( x − 2 )
( x − 3)3
x (2 − x )
( x − 3)3
x( x − 2)
( x − 3 )4
x(2 − x )
( x − 3 )4
5 x( x − 2)
( x − 3 )4
a2
b2
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b−a
ab − a 2
e N = 1−
1 + ab
1 + ab
com ab ≠ −1 , então M/N é:
a
b
1 + ab
a–b
97. (F.E.QUEIROZ) Se M = a +
a)
b)
c)
d)
⎛a +b a −b⎞ a +b
98. Simplificando a expressão ⎜
−
⎟.
⎝ a − b a + b ⎠ 2ab
obtém-se:
1
a)
b−a
2
b)
a−b
a−b
c)
2
1
d)
2ab
99. A expressão
a)
b)
x2 − 1
2
:
x 2 − 2x − 3
3
2
x 2 − 4x + 3
d)
x2 − 3x
e)
x3 − 2x 2 − 3 x
100. Se x e y são números reais tais que
y=
a)
b)
c)
d)
e)
x 3 − 2x 2 − x + 2
b)
c)
d)
e)
x 4 y − 8 xy 4
temos:
x−y
x 2 + 2 xy + 4 y 2
x+y
x−y
x( x − y )
x( x + y )
x−y
( x − 2 y )2
x + 2y
x 2 − 2x + 4 y 2
Obs: Supor
x
≠ 2, x ≠ 0, y ≠ 0
y
103. Simplificando-se a expressão
a)
b)
c)
d)
e)
16 x 2 + 8ax + a 2 − 4 x − a
4x + a − 1
obtém-se:
2a + x
4x – a
4a – x
2x + a
4x + a
então y é igual a:
1
x −1
1
x +1
x−2
a)
x2 − 1
x −1
x +1
x+2
( x − 2)( x − 1)
101. (VUNESP) Assinale a alternativa que indica o
valor numérico da expressão
x 2 − 4 x 2 − 3x + 2
+
x+2
x −1
para x = 3,125
a)
x 3 y − 3 x 2 y 2 + 2xy 3
104. Uma expressão equivalente a 2 +
2
x − 3x + 2
0,09
2,25
4/9
–2,25
1
102. Simplificada a expressão
é equivalente,
x
x − 6x + 9x
para valores de x que não anulam nenhum dos 4
polinômios citados, a:
3
x−4+
3x
3
x−2−
x
c)
a)
b)
c)
d)
e)
a2
b2
+
b2
a2
+2 ,
para a > 0 e
b > 0, é:
a+b
ab
b)
(a + b )2
ab
c)
⎛a+b⎞
⎜
⎟
⎝ ab ⎠
d)
e)
a 2 + b 2 + 2ab
a+b+2
2
105. (PUC) Sendo x 3 + 1 = ( x + 1)( x 2 + ax + b) para todo
x real, os valores e a e b são respectivamente:
a) –1 e –1
b) 0 e 0
c) 1 e 1
d) 1 e –1
e) –1 e 1
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106. Simplificando a expressão
a −3 − b −3
a
−3
−b
−1
−b
−1
RESPOSTAS
obtém-se:
70. a) 3x4 . (x2 + 2)
−2
a)
a
b)
a −2 − b −2
c) 4x3 (x2 + 3x – 9)
c)
a −4 − b −4
d) (x – y) . (a + b)
d)
e)
a −2 + a −1.b −1 + b −2
n.d.a.
79. a)
b) my . (y – 1)
b) x + 1
x
e) xp (x + 1)
x 2 + xz + z 2
b) (2ª + b) . (x + y)
a −b
107. (OSEC) Seja a expressão
3
a)
b)
c)
d)
e)
d) x − 3
x−5
c) (x – 1) . (3a + b)
atribuindo aos
5
elementos a e b, respectivamente, os valores
1+ 5 1− 5
e
, está expressão assume um valor
2
2
numérico.
fracionário negativo
irracional positivo
fracionário positivo
irracional positivo
inteiro positivo
d) (2x + 3) . (4x2 + 3)
72. a) (a + 3) . (a – 3)
b) (y + 1/4) . (y – 1/4)
c) ⎛⎜ x + 2 ⎞⎟.⎛⎜ x − 2 ⎞⎟
⎝5
⎠⎝5
⎠
d) 3(x + 2) . (x – 2)
e) (a2 + b2) (a + b) (a – b)
73. a) (mp + nq) (mp – nq)
y=
a)
b)
c)
d)
e)
x 2 + 2x + 1 8x 3 − 1
, então y é:
.
4
2x 2 + x − 1
c) (x + 2) (x – 2) (x – 2)
x2 − x + 1
4
80. (x + y4)(x + y)(x–y)
81. (a – b – c)(a – b + c)
82. (a2 + a + 1)(a2 – a + 1)
83.
c) (x + 1/6)2
3 ( x 3 − 1)
d) x(x + 3y)2
3
( x + 1)2
4
1
( x + 1).(2 x + 1)2
2
1
( x + 1).( 4 x 2 + 2x + 1)
2
1
( x + 1).( 4 x 2 + 2x + 1)
4
e) –(2 + 3x)2
75. a) (3x – 4)2
b) (a – 9b)2
c) –(4 – x)2
d) x(2 – 3x)2
76. a) (x + 1) (x + 3)
b) (x + 3) (x + 4)
c) (x – 2) (x + 3)
109. (MED.JUNDIAÍ) O valor numérico da expressão
a 3 − b 3 + 3ab 2 − 3a 2 b para:
a=
3
3 +2
3
a)
3
9 −2
b)
c)
d)
e)
3
9 +2
eb=
3
2
3 −2
3
d) 3(x + 1) (x – 1/3)
e) 10(x + 1/2) (x – 3/5)
77. a) (a + 3) (a2 – 3a + 9)
é:
2
b) (2y + 1) (4y2 – 2y + 1)
c) (ab – 2) (a2b2 + 2ab + 4)
d) (a+b) (a2–ab+b2)(a–
b)(a2+ab+b2)
8
13,5
32
e) (x + y)(x2–xy+y2)(x6–x3y3+y6)
78. a) x3 + 6x2 + 12x + 8
b) 27x3 + 27x2 + 9x + 1
110. (FEI) A expressão
a)
3
2 +1
b)
3
3
2 + 4 +1
c)
3
4 − 3 2 +1
d)
e)
3
1
3
2 −1
c) 1/27 – 1/3x + x2 – x3
é igual a:
d) x6 – 2x4y + 4/3 x2y2 – 8y3/27
e) x2 + y2 + z2 – 2xy + 2xz – 2yz
f) 4x2 + y2 + z2 + 4xy + 4xz + 2yz
2
n.r.a.
Tendência, aqui é gostoso aprender!
3a
a−b
84. –b/a
85. 2xy
86.
x2 + y2
x
87.
a( x + y )
x − 3y
74. a) (x + 6y)2
b) (3 + 4x)2
x2 + 1
e)
e) (a – b) . (a – b + c)
b) (x – a + b) (x – a – b)
108. (FATEC) Se x e y são números reais tais que:
x+y
c)
71. a) (m + 1) . (x2 + 1)
3
3
x 2 + 2x + 4
88. Demonstração
89. a
90. c
91. b
92. c
93. c
94. c
95. b
96. d
97. b
98. b
99. c
100. b
101. b
102. a
103. e
104. b
105. e
106. d
107. e
108. e
109. e
110. b