Determinantes
Acadêmica: Sabrina Vicente
de Oliveira
História
O estudo sobre determinantes precedeu o estudo de
matrizes, feito por Cayley.
A definição dos determinantes é atribuída ao
matemático alemão Gottfried Leibniz realizada em
1693.
No século XVIII outros matemáticos, como Bézout,
Vandermonde e Laplace, deram sua contribuição
para aperfeiçoar esse estudo, consolidada no século
XIX por Cauchy e Jacobi.
Problematização
Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada
cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de
idade. Para esse grupo, em função da idade 𝑥 da criança,
concluiu-se que o peso médio 𝑝(𝑥), em quilogramas, era
dado pelo determinante da matriz 𝐴, onde
Com base na fórmula 𝑝 𝑥 = det 𝐴, determine:
a) o peso médio de uma criança de 5 anos;
b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg.
Matriz quadrada de 1º ordem
Seja a matriz quadrada de 1º ordem, indicada por A=
[a11]. Por definição o determinante de A é igual ao
número a11
Indicamos assim det A= a11
Exemplo 01) Dada a matriz A=[4]
Logo det A= 4
Exemplo 02) Dada a matriz B[-2]
Logo det B= -2;
Matriz quadrada de 2º ordem
Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, calculamos seu
determinante fazendo o produto dos elementos da diagonal
principal menos o produto dos elementos da diagonal
secundária.
Dada a matriz A =
𝑎11
𝑎21
𝑎12
, indicamos seu determinante
𝑎22
assim:
Det A=
𝑎11
𝑎21
𝑎12
= a11.a22 – a12. A21
𝑎22
Exemplo 01) O determinante da matriz A,
sendo:
6 3
A=
, é dado por:
2 −4
6 3
Det A=
= 6.(-4) – 3.2 = -24-6 = -30
2 −4
1
Exemplo 02) A=
2
1
det A=
2
3
=
7
3
= 1.7 – 2.3 = 7-6 = 1
7
Exemplo 03)A=
Det A
5
−2
5
4
−2 −1
4
= 5.-1- (-2.4)= -5+8 = 3
−1
Matriz quadrada de 3º ordem
Exemplo 01) Calcular o determinante da matriz
1 5 −2
𝐴= 8 3
0
4 −1 2
det A = + 6 + 0 +16 + 24 + 0 – 80 = - 34
3 1
Exemplo 02) A= 2 0
−1 4
0+2+40+6+24= 72
Det A= 72.
5
−2
−3
3 2 5
Exemplo 03) A= 4 1 3
2 3 4
Logo det A=12+12+60-32-27-10=15
Problematização
Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada
cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de
idade. Para esse grupo, em função da idade 𝑥 da criança,
concluiu-se que o peso médio 𝑝(𝑥), em quilogramas, era
dado pelo determinante da matriz 𝐴, onde
Com base na fórmula 𝑝 𝑥 = det 𝐴, determine:
a) o peso médio de uma criança de 5 anos;
b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg.
Solução: Vamos resolver esse problema usando a
regra de Sarrus para calcular o determinante da
matriz A.
det A = 0 + 2x + 2 + 0 + 0 + 6 = 2x + 8
Como o “peso” (massa) médio, em quilogramas, é
dado por p x = det A, onde x é a idade da criança:
a) p 5 = 2 . 5 + 8 = 18 kg
b) p x = 30 , então: 2x + 8 = 30 ⇒ 2x = 30 −
22
8⇒ x=
⇒ x = 11 anos
2
Propriedades de
determinantes
1º Propriedade
Se todos os elementos de uma linha ou coluna de
uma matriz quadrada forem nulos, o seu
determinante é zero.
2º Propriedade
Se duas linhas ou duas coluna de uma matriz
quadrada forem iguais ou proporcionais, seu
determinante é nulo.
3º Propriedade
Se uma linha ou coluna de uma matriz quadrada for
combinação linear de outras linhas ou colunas, seu
determinante é nulo.
4º Propriedade
O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao
determinante de sua transposta 𝐴𝑡 .
5º Propriedade
Se trocarmos de posição entre si duas linhas ou duas
colunas de uma matriz quadrada, o determinante da
nova matriz é oposto do determinante da primeira
matriz.