MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA
INSTITUTO FEDERAL FARROUPILHA – CAMPUS ALEGRETE
PIBID – Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência
PROPOSTA DIDÁTICA
1. Dados de Identificação
1.1 Nome do bolsista: André da Silva Alves
1.2 Série/Ano/Turma: 8º e 9º ano
1.3 Turno: manhã
1.4 Data: 09/10 Lauro Dornelles e 14/10 Oswaldo Aranha
1.5 Tempo da aula: duas horas
1.6 Conteúdo desenvolvido: trigonometria e medidas
2. Objetivos da proposta didática
- Calcular distâncias inacessíveis de pontos (objetos) através das razões
trigonométricas no triangulo retângulo;
- Resolver situações problema de distância e alturas entre pontos;
- Estabelecer relações entre medida de ângulos;
-
Resolver
situações-problema
utilizando
conceitos
e
procedimentos
Matemáticos;
- Média aritmética.
3. Desenvolvimento da proposta didática
(10min) Acomodação dos alunos e realização da chamada.
(40min) Teoria e dúvidas sobre a trigonometria e logo após exercícios de
compreensão.
A aula será iniciada com a explicação da origem da palavra trigonometria aos
alunos, como motivação ao tema. Depois relembrarei os nomes atribuídos aos lados
de um triângulo retângulo, para reformulá-los relativamente a um ângulo.
Vou mostrar a importância da identificação do cateto oposto e adjacente a um
dado ângulo.
Após isto, serão dadas a conhecer as relações trigonométricas seno, co-seno
e tangente de um ângulo, bem como a linguagem e simbologia utilizadas.
Na continuação, irei mostrar que as relações trigonométricas só dependem do
ângulo e não do comprimento dos lados, para tal, vou recorrer à semelhança de
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triângulos, referindo também que os valores das funções trigonométricas estarão em
uma tabela, onde mostrarei como encontrar os valores de 30°, 45° e 60° usando
uma calculadora científica (com funções trigonométricas).
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
30°
45°
60°
Seno
Cosseno
Tangente
O que é Triângulo Retângulo:
É um triângulo que possui um ângulo reto e outros dois ângulos agudos,
para tanto basta que tenha um ângulo reto (90°), pois a soma dos três ângulos
internos é igual a um ângulo raso (180°). É uma figura geométrica muito usada
na matemática, no cálculo de áreas, volumes e no cálculo algébrico.
A partir da construção do triângulo retângulo surgiu um dos mais importantes
teoremas chamado de TEOREMA DE PITÁGORAS.
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
a² = b² + c².
Posteriormente,
aplicar-se-ão
estes
conhecimentos
à
resolução
de
problemas, abarcando três situações:
• Determinar a hipotenusa, conhecido um cateto;
• Determinar um cateto, conhecida a hipotenusa;
• Determinar um cateto, conhecido o outro cateto.
Serão ainda esclarecidas, todas as dúvidas que eventualmente surjam.
A palavra Trigonometria vem do grego,
tri - três,
gono – ângulo
metrien – medida significando Medida de Triângulos.
Num triângulo retângulo, os lados são Hipotenusa, Cateto oposto e Cateto
adjacente.
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Nota: Ao lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa.
Assim sendo, num triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão
entre as medidas do cateto oposto a esse ângulo e da hipotenusa, denotando-se:
Outra das razões é que, num triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo
agudo é a razão entre as medidas do cateto adjacente a esse ângulo e da
hipotenusa, denotando-se:
A última das razões é que, num triângulo retângulo, a tangente de um ângulo
agudo é a razão entre as medidas do cateto oposto a esse ângulo e do cateto
adjacente a esse ângulo, denotando-se:
Exercício de compreensão
1) O ângulo de elevação do pé de uma árvore, a 50 m da base de uma encosta, ao
topo da encosta é de 60º. Que medida deve ter um cabo para ligar o pé da árvore ao
topo da encosta?
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Pela figura podemos perceber um triângulo retângulo assinalado onde:
afastamento da árvore(cateto menor) = 50m
ângulo de visão do solo = 60º
distância do cabo(hipotenusa) = x
Sabemos que cos 60º = cateto adjacente 50 / hipotenusa x e que cos 60º = 1/2,
Então : 1/2 = 50 / x
Logo, o cabo deverá medir 100 metros.
2) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele
colocou um teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 200 metros do edifício
e mediu um ângulo de 30°, como indicado na figura a seguir. Sabendo que a luneta
do teodolito está a 1,5 metros do solo, pode-se concluir que, dentre os valores
adiante, o que MELHOR aproxima a altura do edifício, em metros, é:
Use os valores:
sen30° = 0,5
cos30° = 0,866
tg30° = 0,577
a) 112.
b) 115.
c) 117.
d) 120.
e) 124.
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( 20 min) CONSTRUÇÃO MANUAL DE UM TEODOLITO COM OS ALUNOS
Quem Criou:
O teodolito é um instrumento óptico utilizado por engenheiros, agrimensores,
topógrafos e antigos navegadores, para realizar medidas de ângulos verticais e
horizontais em redes de triangulação, a fim de determinar distâncias inacessíveis. O
primeiro teodolito foi criado pelo italiano Ignácio Porro por volta de 1835, sendo um
instrumento muito pesado e a leitura de seus limbos era muito complicada. Anos
depois, por volta de 1920, Henrique Wild aprofundou os estudos e melhorou aquele
teodolito, construindo círculos graduados sobre vidro, para conseguir menor peso,
tamanho, e maior precisão, tornando assim a leitura mais fácil.
O Teodolito é um instrumento destinado a medir ângulos horizontais e
verticais, bem como determinar distâncias e alturas. Instrumento usado pela
engenharia, arquitetura e outros profissionais e técnicos em grandes construções de
estradas, demarcação de fazendas, sítios, etc...
Modelo Teodolito Profissional
De que se trata:
A construção de um teodolito com material reciclável pode nos ajudar a medir
distâncias, como a altura de casas, prédios e até mesmo da própria escola, lidando,
na prática, com as razões trigonométricas.
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MODELO I
Materiais necessários para a construção do Teodolito caseiro:
Um transferidor; uma base de tabua ou de papelão medindo 25cm por 12cm;
um canudo ou tubo de antena; um barbante; um peso; cola e uma tachinha.
Fixe a tachinha na base central do transferidor de forma que ela fique com
mobilidade. Cole o canudo na tachinha, de modo que a sua movimentação seja
completa.
Observe o Teodolito caseiro pronto para o uso
MODELO II
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Atividade em que os alunos possam aplicar seus conhecimentos:
(30 min) Para aplicar elaborar um problema prático de medição.
Após o domínio do instrumento, os alunos terão que elaborar um problema
prático de medição, aplicado a sua área de formação, utilizando o aparelho
construído em sala de aula, resolvendo o problema por meio dos conceitos
abordados na trigonometria.
Com os alunos convidarei para irmos ao pátio da escola e determinar a
altura(H) de uma parede X. O primeiro passo consiste em fixar o teodolito em um
local fixo, para poder verificar o ângulo que forma entre a base e o ponto extremo do
que está sendo medida a parede. Este ângulo é chamado de tangente alfa. O ângulo
indicado no transferidor deve ser analisado com cuidado devido à espessura do
canudo usado como mira. Segundo passo é medir a distância do observador até o
pé da parede e logo após medir a altura em que foi fixado o teodolito que é a altura
do observador. Com os dados em mãos
Lembrando sempre que esta prática pode ser feita em qualquer lugar e
qualquer objeto em que desejamos descobrir a distância ou altura, por exemplo,
uma árvore, um prédio, um poste, uma casa, etc.
4. Referências bibliográficas
BATISTA, Jakeline. Encontro Nacional de Educação Matemática. Laboratório de
Matemática e a Utilização de Materiais Manipuláveis no Processo de Ensino e
Aprendizagem.
Disponível
em:
<http://sbem.esquiro.kinghost.net/anais/XIENEM/pdf/43_1568_ID.pdf>. Acesso em:
05 set. 2015.
BORGES,
Valcir.
Calculando
Alturas
Inacessíveis.
Disponível em:
<https://www.youtube.com/watch?v=MIu8Ap1Yedw>. Acesso em: 05 set. 2015.