Olimpı́ada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica Universidade Estadual de Campinas D E S A F I O S – OMU Ensino Médio – Nı́vel Beta Geometria Plana 1 Olimpı́ada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica Universidade Estadual de Campinas Desafio 1 Considere que num triângulo ABC, as medianas que partem dos vértices A e B são perpendiculares. Se BC = 8 e AC = 6, determine o comprimento do lado AB. Desafio 2 Considere um ponto P no interior de um retângulo ABCD e tal que P B = 4 e P C = 5. Determine o comprimento do segmento P D. P A = 3, Desafio 3 Considere um triângulo ABC como na figura abaixo. (a) Mostre que se AB = 3, o triângulo ABC pode ser dividido em nove triângulos congruentes entre si e semelhantes ao triângulo ABC. (b) Mostre que se a medida do lado AB é igual a n, com n um número natural maior do que 1, o triângulo ABC pode ser dividido em n2 triângulos congruentes entre si e semelhantes ao triângulo ABC. (c) Exiba dois números naturais a e b tais que a2 + b2 = 41. (d) Prove que existe um triângulo que pode ser dividido em 41 triângulos congruentes entre si e semelhantes ao triângulo original. 2 Olimpı́ada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica Universidade Estadual de Campinas Desafio 4 Seja P um ponto no interior de um hexágono regular. Unindo o ponto P a cada um dos vértice do hexágono são formados seis triângulos. Colorindo de forma alternada de vermelho e azul cada um dos triângulos, mostre que a soma das áreas dos três triângulos vermelhos é igual à soma das áreas dos três triângulos azuis. Desafio 5 Seja P um ponto no interior de um triângulo equilátero. Mostre que a soma das medidas dos três segmentos com origem em P e o ponto de intersecção da perpendicular a cada um dos lados do triângulo é igual a medida de uma das alturas do triângulo, como ilustra a figura abaixo (Teorema de Vincenzo Viviani). 3
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