Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas - CCE
Departamento de Matemática
2◦ Projeto - MAT172 - Matemática Computacional - 2014/II
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Instruções para Envio:
• Os arquivos do projeto devem ser enviados dentro de uma pasta zipada(.zip ou .rar). A
pasta a ser zipada deve ser nomeada somente com o seu respectivo número de matrı́cula. Cada
arquivo deve ser nomeado somente com o número da atividade.
• Os trabalhos devem ser enviados até sábado, 08 de novembro de 2014, para o seguinte
e-mail: [email protected]
• O assunto ou subject do e-mail deve ser TRABALHO 2.
• Nomear todos os objetos construı́dos com os mesmos nomes indicados nos enunciados deste
arquivo.
• Escrever comentários explicando a construção.
• Todas as atividades devem ser realizadas no GeoGebra e os arquivos devem ser salvos no
formato .ggb.
• Os projetos que não seguirem as instruções de nome e forma de envio serão
desconsiderados.
• Ao menor sinal de cópia será atribuı́da a nota zero a ambos.
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Atividades:
1. Plotar uma curva (da sua escolha) em coordenadas polares. Neste caso vocês deverão desenhar
o sistema de coordenadas polares e omitir o sistema de coordenadas cartesianas. A curva deverá
ser plotada de duas maneiras: uma delas utilizando o comando de curva e a segunda consiste
em fazer a variação do ângulo sobre um determinado objeto que permita utilizar a ferramenta
de lugar geométrico e rastro do ponto da curva.
2. Animar o Princı́pio de Exaustão, ou seja, calcule a área e o perı́metro de um cı́rculo de raio
r = 2 aproximando por polı́gonos regulares. Aproxime primeiramente por um triângulo e
aumente o número de lado até 100.
3. Construa uma animação no GeoGebra que ilustre algum resultado de matemática e que possa
ser apresentado em sala de aula para motivar os estudantes.
4. Construa uma nova ferramenta no GeoGebra (que não existe na barra de ferramentas do
programa em questão).
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5. (Cı́rculo dos Nove Pontos) Seja ∆ABC um triângulo qualquer. Sejam HA , HB e HC os pés
das alturas relativas aos lados opostos aos vértices A, B e C respectivamente. Sejam MA , MB
e MC os pontos médios dos lados opostos aos vértices A, B e C respectivamente. Além disso,
considere A0 , B 0 e C 0 os pontos médios dos segmentos ligando o ortocentro H aos vértices A, B e
C respectivamente. Verifique utilizando o GeoGebra que existe um único cı́rculo passando por
estes nove pontos: HA , HB , HC , MA , MB , MC , A0 , B 0 e C 0 . Após construir o cı́rculo, verifique
que o centro do mesmo é o ponto médio do segmento ligando o ortocentro e o circuncentro do
triângulo.
6. As bissetrizes de dois ângulos externos de um triângulo e a bissetriz interna do terceiro ângulo
se encontram em um ponto. Esse ponto é chamado excentro do triângulo, e é o centro de um
cı́rculo que tangencia um lado do triângulo e as retas suportes dos outros dois lados, chamado
cı́rculo excrito. O cı́rculo dos nove pontos de um triângulo é tangente ao cı́rculo inscrito e aos
três cı́rculos excritos. (Verifique todas as afirmações feitas neste enunciado).
7. Dois piratas decidem enterrar um tesouro em uma ilha. Escolhem, como pontos de referência,
uma árvore e duas pedras. Começando na árvore, medem o número de passos até a primeira
pedra. Em seguida, dobram segundo um ângulo de 90◦ , à direita e caminham o mesmo número
de passos até alcançar um ponto, onde fazem uma marca.
Voltam à árvore, medem o número de passos desde a árvore até a segunda pedra, dobram à
esquerda, segundo um ângulo de 90◦ , e caminham o mesmo número de passos até alcançar um
ponto, onde fazem outra marca. Finalmente enterram o tesouro exatamente no ponto médio
entre as duas marcas.
Anos mais tarde, os dois piratas voltam à ilha e decidem desenterrar o tesouro, mas, para
sua decepção, constatam que a árvore não existe mais (o vento, a chuva e os depredadores
a haviam arrancado). Então um dos piratas resolve arriscar. Escolhe ao acaso um ponto da
ilha e diz : “Vamos imaginar que a árvore estivesse aqui.”Repete os mesmos procedimentos de
quando havia enterrado o tesouro: conta os passos até a primeira pedra,, dobra à direita, etc.,
e encontra o tesouro.
A pergunta é: esse pirata era sortudo ou um matemático?
8. Verificar as coordenadas de pontos notáveis de um triângulo em função das coordenadas de
seus vértices:
• Baricentro
G=
• Incentro
I=
• Ortocentro
H=
• Circuncentro
N=
A+B+C
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aA + bB + cC
a+b+c
tg αA + tg βB + tg γC
tg α + tg β + tg γ
sen(2α)A + sen(2β)B + sen(2γ)C
,
sen(2α) + sen(2β) + sen(2γ)
[ β = CBA
[ e γ = BCA.
[
onde A, B, C são os vértices do triângulo, α = BAC,
Bom Trabalho!
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