TEORIA DA RELATIVIDADE PARA
PROFESSORES DO ENSINO MÉDIO¹
Curso de Extensão – Março 2006
Helio V. Fagundes
Instituto de Física Teórica
Universidade Estadual Paulista
São Paulo – SP 01405-900
E-mail: [email protected]
TEMAS DAS AULAS
Aula 1. Preliminares. Bases da
Teoria de Einstein
Aula 2. O tempo e o espaço relativistas
Aula 3. Dinâmica relativista
Aula 4. Noções de Relatividade Geral
SLIDES
3-13
14-26
27-41
42-55
¹Disponível no site www.ift.unesp.br/users/helio
Observações: 1) Os slides são esquemáticos. Detalhes serão discutidos em aula.
2) Temas marcados com asterisco (*) podem ser omitidos em uma
primeira apresentação.
Corrigido em 25/07/2008.
FONTES UTILIZADAS
Max Born, Einstein’s Theory of Relativity, Dover,
New York, 1965. Texto no nível dos cursos de Física
no ensino médio.
Ramayana Gazzinelli, Teoria da Relatividade
Especial, Editora Edgard Blücher, São Paulo, 2005.
Nível de curso de graduação.
R. B. Leighton, Principles of Modern Physics,
McGraw-Hill, New York, 1959. Nível de curso de
graduação.
L. Landau e E. Lifshitz, Teoria do Campo, Editora
Mir, Moscou, 1980.
J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, John
Wiley, New York, 1963.
A. Einstein, H. A. Lorentz, H. Weyl e H. Minkowski,
The Principle of Relativity, Dover, New York, 1952.
2
1. Preliminares. Bases da Teoria de Einstein
1.1 A luz como fenômeno ondulatório
eletromagnético.
1.2 A experiência de Michelson-Morley e seu
resultado negativo.
1.3 Tentativas de explicação desse resultado.
1.4 Os postulados de Einstein e a transformação de Lorentz
1.C *Complemento matemático
1.1 A luz como fenômeno ondulatório
eletromagnético
No final do século XIX as leis fundamentais da Física
eram, em resumo:
a) as leis do movimento de Newton,
b) a lei de gravitação de Newton,
c) as leis do eletromagnetismo de Maxwell.
As equações de Maxwell levaram à predição e descoberta
das ondas eletromagnéticas, com velocidade de
propagação no vácuo (isto é, na ausência de matéria)
c  3,0 108 m/s.
Esse valor é o mesmo da velocidade da luz¹, medida
em 1856 por Weber e Kohlrausch. A inferência óbvia foi
que a radiação luminosa é uma onda eletromagnética!
Idéia de onda era associada a um meio de propagação:
como no caso as ondas sonoras.
Daí o postulado do éter, que estaria em repouso no
espaço absoluto de Newton, e seria o meio de
propagação das ondas de Maxwell-Hertz.
1
Atualmentedefine-se: c  299792453 m/s.
4
Na Física pré-relativista:
Se a luz tem velocidade c no sistema inercial do éter, S,
ela terá velocidade c’ = c – v no sistema S’ que se move
com velocidade v com relação a S.
Na figura abaixo, vale x  x  vt, y   y,  c  c  v.
Se temos em S a onda E( x, t )  j E0 sin  2  x  ct  ,


(1.1.1)


 2

E( x, t )  jE0 sin   x  vt  ct 


 2

 jE0 sin   x  ct   . (1.1.2)


y’ S’
em S’ ela será
y S
vt
o
O’
x’
x
A onda será recebida em S’ com a freqüência f’ = c’/λ =
= (c – v)/λ = (c/λ)(1 – v/c) = f (1 – v/c), que é o
efeito Doppler – aqui citado para comparação futura com
o caso relativista.
5
1.2 A experiência de Michelson-Morley e seu resultado negativo
A = fonte luminosa
B = espelho
semitransparente
D, V = espelhos
F = tela fotossensível
V
L
L = |BV| = |BD|
A
*
B
L
D
F
Se o laboratório está em repouso no éter, as franjas de
interferência são as esperadas.
6
Se lab tem velocidade absoluta v, na direção A  B, os tempos
de percurso diferentes são,
t ( B  D) 
L
,
cv
t ( D  B) 
t ( B  V )  t (V  B) 
L
c v
2
2
L
,
cv
.
Diferença de tempo dos percursos ABDBF e ABVBF, com β = v/c:
T 

t ( B  D)  t ( D  B)  t ( B  V )  t (V  B)
L 1
1 
2L
2 L  1
1

 



c 1  1   c 1  2
c 1  2
1  2

2
2L
L

2
2


1     1  1 2   
.
c
c






Para luz de frequência f = c/λ, temos uma diferença de fase
  2fT  2L  2  ,
que produziria uma mudança no padrão de interferência.
Mas nenhuma mudança nesse padrão foi observada!
7
1.3 Algumas tentativas de explicação do
resultado negativo de Michelson &Morley
1) A explicação mais simples é que (descartando a rotação diária)
a Terra estaria em repouso absoluto na ocasião da experiência.
Mas isso implica que o sistema solar tinha velocidade absoluta
igual e oposta à velocidade orbital da Terra naquele momento.
Então foi repetida a experiência seis meses depois, quando nossa
velocidade com relação ao éter seria de 60 km/s – com o mesmo
resultado negativo.
2) O éter seria arrastado junto com o movimento da Terra –
assim como o ar dentro de um avião – e portanto a velocidade da
luz seria sempre c.
Isso é inconsistente com a chamada aberração anual das
posições de estrelas no céu, que não aconteceria nesse caso.
8
3) FitzGerald e Lorentz postularam que todo corpo
movendo-se com velocidade v em relação ao éter sofreria
uma contração na proporção 1   2 na direção do
movimento. Assim, no cálculo da seção 1.2, teríamos
| BD |  L 1  
2
2
2  L 1  
L
 T 

c  1  2
1  2


  0,


e o resultado negativo de M&M seria o esperado.
Mas essa hipótese, além de ad hoc, levava a outras
dificuldades para a consistência geral da Física. Vejam, por
exemplo, M. Born, Einstein’s Theory of Relativity.
Enquanto essa possibilidade era ainda objeto de estudos,
surgiu em 1905 a teoria de A. Einstein, que modificou
radicalmente os conceitos de espaço e tempo.
9
1.4 Os postulados de Einstein e a transformação de
Lorentz
A teoria da Relatividade Restrita, ou Especial, baseia-se
nos dois postulados seguintes:
P1. As leis da Física são as mesmas em dois sistemas
de referência com velocidade relativa constante.
P2. A velocidade da luz no vácuo não depende do
movimento de sua fonte.
Com a transformação x’ = x – vt, P1 é satisfeita pelas leis de
Newton, mas não pelas leis de Maxwell: se a velocidade da
luz é c em S, ela será c - u em S’. Portanto essa
transformação de coordenadas precisa ser substituída.
P2 implica que uma onda esférica de luz, emitida no tempo
t = t’ = 0, no ponto O = O’ (vide figura na seção 1.1),
no intervalo Δt atingirá a esfera em S
2
2
2
2
x
 y   z   ct  ;
e no intervalo Δt’ atingirá a esfera em S’
x2  (y) 2  (z) 2  ct 2 .
10
Esse resultado implica – mas a prova não é simples – a
identidade
ct 2  x 2  y 2  z 2
2
2
 ct   x   (y ) 2  (z ) 2
(1.4.1)
não apenas para a emissão e recepção da luz, mas para os
incrementos entre dois eventos quaisquer (t  t 2  t1, etc.)
Para satisfazer (1.4.1), e também algumas outras
condições físicas, (t, x, y, z) e (t’, x’, y’, z’) devem
obedecer à chamada transformação de Lorentz entre os
sistemas S e S’ (abreviadamente TLx), cuja velocidade
relativa |v| deve ser menor que c:

t  vx / c 2
t  
1  (v / c ) 2


x  vt

x


1  (v / c ) 2

 y  y

 z   z.
(1.4.2)
11
A transformação inversa de (1.4.2) é

t   vx  / c 2
t 
1  (v / c ) 2


x   vt 
x


1  (v / c ) 2

 y  y

 z  z .
(1.4.3)
Na aula 2 começaremos a ver as mudanças qualitativas
no espaço e no tempo, decorrentes desta transformação.
Exercício: Usando (TLx), verificar a identidade (1.4.1).
12
1.C *Complemento matemático. Binômio de Newton generalizado.
Vamos com frequência usar aproximações que são casos particulares da
fórmula do binômio de Newton generalizado:
1
1
(1  x) n  1  nx  n(n  1) x 2  n(n  1)(n  2) x 3 ...
2
6
para| x |  1, e para qualquer númeroreal n.
(1.C.1)
O binômio de Newton estudado no ensino médio vale para n = inteiro
positivo, e pode ser demonstrado pela análise combinatória. Neste caso
o lado direito de (1.C.1) se reduz a um polinômio de grau n, como
sabemos.
A fórmula geral, para qualquer n, segue da chamada série de TaylorMacLaurin, estudada em cálculo diferencial: uma função f(x), bem
comportada para x = 0, pode ser expressa pela série
1
1
f (0) x 2  f (0) x 3  ...
(1.C.2)
2!
3!
T omando f ( x)  (1  x) n , obtemos f ( x)  n(1  x) n1 , f ( x)  n(n  1)(1  x) n2 ,
etc., donde f (0)  1, f (0)  n, f (0)  n(n  1), f (0)  n(n  1)(n  2), etc.,
f ( x)  f (0)  f (0) x 
que substituí dos em (1.C.2) dão (1.C.1).
13
2. O tempo e o espaço relativistas
2.1
Relatividade da simultaneidade e da
temporal dos eventos
ordem
2.2
Dilatação do tempo
2.3
Tempo próprio e o decaimento do múon na
atmosfera
2.4
A contração de Lorentz no contexto
einsteiniano
2.5
Adição de velocidades e efeito Doppler
2.1 Relatividade da simultaneidade e da ordem
temporal dos eventos
A transformação de Lorentz para o tempo é
t    (t  vx / c 2 ),onde
e para intervalos Δt, Δx,
  1/ 1  v 2 / c 2 ,


t    t  vx / c 2 .
Para eventos simultâneos em S, com
x  0 ,
t1  t 2 ,  t  0 , obtemos t '  0 ,  t1  t 2 ,
portanto esses eventos não são simultâneos em S’.
Suponhamos agora t  t , ou seja, Δt > 0.
1
2
Então, dependendo do valor de vΔx, podemos ter
Δt’ positivo ou negativo:
15
Caso (a). Se t  vx / c 2 , então Δt’ > 0, ou seja, t1  t 2 ,
e a ordem dos eventos é mantida, primeiro evento 1, depois
evento 2.
Caso (b). Se t  vx / c 2 , então Δt’ < 0, ou seja, t1 
e a ordem dos eventos é trocada, primeiro evento 2,
depois evento 1.
t 2 ,
Em nossa experiência comum, esse efeito da relatividade
da simultaneidade é imperceptível.
Por exemplo, evento 1 poderia ser alguém começar a
digitar um telefonema de São Paulo para Boa Vista (RR), a
uma distância de aproximadamente 3000 km, e evento 2
seria alguém atender à chamada, digamos após Δt = 10 s.
Então
t    t   x / c 

  3  103 km 
2

  10 s 


10

10
 s.
5

3  10 km/s 



16
Do último resultado (chamada para Roraima), tiramos duas
conclusões:
(i) como β << 1 na experiência comum, Δt – Δt’ é imperceptível –
aqui (β/100) s.
(ii) para termos Δt’ < 0, ou seja um sistema para o qual o telefone
fosse atendido antes da chamada, seria necessário termos 10
< β/100, ou β > 1 000, o que é impossível segundo a teoria:
nenhum sistema de referência pode ter velocidade |v| > c em
relação a outro!
Isto significa que a TR respeita a ordem natural das
causas e efeitos¹.
¹Em geral, seja x1  x 2 e t1  t 2 . Se o evento ( x1 ,t1 ) é causa do evento( x 2 ,t2 ),
então x  ct , porque nenhumainformaçãose propagacom velocidade
x v x
vx
 
, ou t  2 , que é o caso (a)
c
c c
c
do slide anterior.Portanto, em qualquer sistema inercial, t1  t 2 .
maior que c. Então t 
17
2.2 Dilatação do tempo
Seja Δt’ = um pequeno intervalo de tempo medido
em um relógio fixo em S’, e Δt e Δx as diferenças
de tempo e posição desse relógio, medidas em S.
Como Δx’ = 0, vale (cf. seção 1.4)
ct 2  x 2  ct 2
(2.2.1)

 x 2 
v2 
2
ct   ct  1 
 ct  1  2  ,
2
 c 
 ct  
2
2
e portanto
t   t 1  v / c  .
2
(2.2.2)
18
De (2.2.2) segue que
(com Δx   0)
t 
t 
 t 
1  v / c 
2
(2.2.3)
portanto um intervalo de tempo em um ponto fixo x’
em S’ é medido como um intervalo maior em S. O
relógio de S’ atrasa quando observado de S. Este efeito é
chamado dilatação do tempo.
Vale também: um intervalo de tempo em um ponto
fixo x em S é medido como um intervalo maior em
S’. Pois, em vez de (2.2.1), agora com o relógio fixo em S
temos Δx = 0, temos
ct 2  ct 2  x2 ,
que leva a
t   t 1  v / c  
(com Δx  0)
2
t  
t
1  v / c 
2
 t
(2.2.4)
Essa reciprocidade está de acordo com o Postulado 1
de Einstein.
19
2.3 Tempo próprio e o decaimento do
múon na atmosfefa
Se um corpo C tem velocidade u em relação ao laboratório,
o tempo registrado por um relógio fixo em C é o chamado
tempo próprio de C. Um intervalo de tempo próprio Δτ
corresponde a um intervalo Δt no laboratório, dado por
(2.2.3) com Δt’ = Δτ:
t 

1 u / c
2
2
.
(2.3.1)
Um exemplo importante desse efeito é o decaimento da
partícula μ, produzida por raios cósmicos a uma altitude
de 10 a 20 km. A vida média do μ em repouso é de
apenas Δτ = 2,2 microssegundos, de modo que ele
viajaria em média cerca de 600 metros antes
decair pela reação
  e  e  
(onde os símbolos à direita representam o elétron, o
antineutrino do elétron, e o neutrino do múon,
respectivamente).
20
No entanto uma quantidade desproporcional de
neutrinos chegam ao solo, atravessando cerca de 15
km sem decair. Com velocidade próxima a c, isso
exige um tempo
t 
15 km
 50  106 s ,
5
3,0 10 km/s
ou seja, a vida média do múon precisa de um fator
Δt/ Δτ = 50/2,2 = 23.
Exercício. Usando (2.3.1), verificar que este fator de
dilatação corresponde à velocidade v = 0,99903 c.
21
2.4 A contração de Lorentz no contexto einsteiniano
O comprimento de uma barra movendo-se (ou em
particular fixa) ao longo do eixo Ox de um sistema S é
definido por
L  x1  x0 ,
onde x0 e x1 são as coordenadas dos extremos da barra
num mesmo instante t 0  t1 .
A figura abaixo representa as coordenadas x0 e x1
dos extremos da barra em S’, no momento t 0  t1.
Da definição acima, e da TLx,
S’
S
Configuração no
momentot 0 em S
vt 0
x0  0
x1  L
x1
L(S )  x1  x0   ( x1  vt 0 )   ( x0  vt 0 )
  ( x1  x0 )   L(S ' ).
x0
22
Portanto L(S’) = L(S)/γ , ou seja,
(com t   0)
L  L   L 1   2
(2.4.1)
Vale a recíproca de (2.4.1): se a mesma barra está fixa em
S’ seu comprimento em S é
(com t  0)
L  L    L 1   2
(2.4.2)
Esta é a contração de Lorentz, que formalmente é a
contração da seção 1.3, mas agora com outro significado: Lá
era uma contração elástica, produzida pela velocidade v com
relação ao éter, sem recíproca. Aqui a contração é uma
propriedade do espaçotempo relativista, para dois
sistemas inerciais quaisquer com velocidade relativa v.
Exemplo. Voltando ao decaimento do múon da seção 2.3
podemos fazer o cálculo no sistema próprio da partícula.
Ela espera (em média) 2,2 μs até decair, e nesse tempo a
atmosfera, com espessura 15 km/23 = 650 m passa em alta
velocidade, até que o μ colide com o solo, onde decai.
Exercício. Que acontece com a dilatação do tempo e a
contração de Lorentz se supomos c =∞?
23
2.5 Adição de velocidades e efeito Doppler
Com referência à figura da seção 1.1, se um objeto
tem velocidade u = Δx/Δt em S, vamos calcular sua
velocidade u’ = Δx’/Δt’ em S’.
Da TLx (seção 1.5),


x    x  vt  , t    t  vx / c 2
x
v
x 
x  vt

t



, ou seja,
2

x
v

t
t  vx / c
1
t c 2
u 
uv
.
2
1  uv / c
(2.5.1)
Sabemos que |v| < c. Pode-se mostrar em geral que,
se |u| ≤ c, também |u’| ≤ c.
Exercício. Usando (2.5.1), mostrar que, se u = c,
também u’ = c, como esperado do segundo postulado.
24
*Efeito Doppler relativista:
Como na seção 1.1, seja o campo elétrico de
uma onda de luz
 2
x  ct  .


E ( x, t )  j E0 sin 
(2.5.2)
No caso relativista usamos a inversa da TLx
da seção 1.4, de modo que
x  ct    x   vt   c (t   vx  / c 2 )
v 

   x   vt   ct   x  
c 

 v 
 v 
  1   x   1  ct 
 c 
 c 
  (1 -  ) x   ct 

1- 
x   ct  .
1 
25
Portanto a fase em (2.5.2) se torna
2

1 
2
( x   ct ) 
( x   ct ) ,

1 

onde    
1 
.
1 
A nova freqüência será
f
c
c
1 

 f
,
   (1   ) /(1   )
1 
que é o efeito Doppler relativístico.
*Exercício. Mostrar que, para |β| << 1, a freqüência f ’
acima é aproximadamente igual à freqüência f ’ do caso
não-relativista (seção 1.1).
26
3. Dinâmica relativista
3.1
Energia e quantidade de movimento.
3.2 A equação relativista do movimento
3.3
Energia de massa e energia nuclear
3.4
Exemplo de colisão de partículas
3.5
3.C
A eletrodinâmica no contexto
relativista
*A energia e momento como quadrivetor
do espaçotempo
3.1 Energia e quantidade de movimento
Usarei aqui a palavra momento como sinônimo de
quantidade de movimento.
Na mecânica newtoniana, o momento de uma partícula
de massa m e velocidade u (estou reservando a letra v
para a velocidade relativa de S e S’) é
p = mu
(3.1.1)
Numa colisão elástica de duas partículas, o momento
total se conserva:
Pi  p1i  p 2 i  p1 f  p 2 f  P f .
(3.1.2)
Esta expressão vale em qualquer sistema inercial
newtoninano, isto é,
se r   r  vt, então Pi  Pf ;
mas não sob uma TL (cf. Gazzinelli, cap. 4). Para que
(3.1.2) continue valendo na teoria einsteiniana, temos
que mudar a definição (3.1.1).
28
Há vários modos de deduzir (ou inferir) uma nova
definição, mas nenhuma delas é bastante simples. No
complemento 3.C é dada uma motivação para as novas
definições. Aqui vou apenas mencionar o
Princípio de Correspondência (PC): Uma nova teoria
deve corresponder à teoria substituída no limite de
validade desta – em nosso caso para |u/c| << 1.
A nova definição de momento – que satisfaz o PC - é
p
mu
1 u / c
2
2
.
(3.1.3)
Analogamente, a energia da partícula é definida por
E 
mc 2
1 u / c
2
2
.
(3.1.4)
De (3.1.4) e (3.1.3),obtemos uma importanterelação:


m 2 c 4  m 2u 2 c 2 m 2 c 4 1  u 2 / c 2
E p c 

,
2
2
2
2
1 u / c
1 u / c
ou seja,
2
2
2
E 2  p 2c 2  m2c 4 .
(3.1.5)
29
Parau  0 , segue de (3.1.4)a ( popularíssim a!) expressão
E0  m c2 ,
que chamamose ne rgiade massae que será estudada
na seção 3.3.
A diferença
T  E  m c2
(3.1.6)
é a e n e rgiacin é ticada partícu la, pois, para (u / c) 2  1,
 u 2  1 / 2 

u2
2
2 
T  m c 1- 2 
 1  m c 1  2
 c 

 2c
de acordo com o P C.
  m u2
  1 
 TNR ,
2
 
30
A TLx para E e p é semelhante à TLx para (t, x, y, z) –
cf. seção 3.C:
 E    ( E  vp x )

2
 p x   p x  vE / c

 p y  p y
 p  p
z
 z


(3.1.7)
Com a definição (3.1.3) e esta transformação, a lei de
conservação (3.1.2) vale em qualquer sistema inercial.
Exercício. Escrever a inversa da transformação (3.1.7).
31
3.2 A equação relativista do movimento
A lei de força de Einstein tem a mesma forma da segunda
lei de Newton,
p
F ,
t
(3.2.1)
mas onde o momento tem a nova expressão
p 
mu
1 u / c
2
2
.
(3.1.3)
*Exemplo. Trabalhando em uma dimensão espacial,
seja F uma força constante, e Δ = d (diferencial).
dp
 F  p  Ft , com p(0)  0 ; se   F / m, vem
dt
 u2  2 2
u
2
 t  u  1  2  t ,
2
2
1  (u / c )
 c 
  2t 2
 u 1  2
c

2

t
dx
   2 t 2  u 

;
2
2
2
dt
1 t / c

32
com x(0)  0, vem(mudando a variável t para s   t / c
na segunda integral),
x(t )  
t
t 
0
1   t / c
2

2
2
dt   
s
cs
0
1  s
2

c

ds 

c 2 
 2t 2 

1 s 1 
1  2 1 ,




c

que é a equação horáriapara a coordenadax.
Expandindo agora a raiz quadrada, obt emos
c2
2
c 2   2t 2  4t 4    t 2   2 t 2 
1  2 
x(t )  1  2  4   1 
 
2c
8c
2 
4c
 

t2

para | u |  |αt|  c, de acordo com o P C.
2
33
3.3 Energia de massa e energia nuclear
Se fazemos u = 0 na eq. (3.1.4), obtemos
E  E0  mc2 ,
(3.3.1)
que é o conteúdo de energia de uma partícula livre de
massa m em repouso, ou seja, é a energia de massa
ou energia própria da partícula.
A energia de massa é a fonte de luz e força gerada nas
usinas nucleares, pelo processo de fissão: um núcleo
pesado se divide em dois núcleos mais leves, cujas massas
somam menos que a do núcleo mãe:
N 0  N1  N 2 .
Com N 0 em repouso,o balanço de energia é
m0 c 2  (m1c 2  T1 )  (m2 c 2  T2 ) ,
(m c2 )  (m0  m1  m2 )c 2  T1  T2 ,
(3.3.2)
e essa energia cinética é convertida em calor.
34
Como exemplo, temos a fissão (etapa de um processo
maior)
236
92
U141
55 Cs 
95
37
Rb , com massas m0  3,91961025 kg,
m1  2,340010 25 kg e m2  1,576310 25 kg. (Est as
são m assas atôm icas, mas em (3.2.3)as massas
eletrônicas se compensam, e a energia de ligação dos
elétrons é muito pequena.)
2
11
Exercício. Verificar que neste caso (mc )  3,0 10 J.
O result ado dest e exercício parece pequeno, mas
1 k g de urânio 236 contém2,6  1024 núcleos, que no
processo acima gerariam 21 106 kW h  105  210 kW h
- ou seja, aproximadament eo consumomensalde
100 000 re si dê n cisa!
35
3.4 Exemplo de colisão de partículas
Seja a colisão inelástica de dois prótons, com
produção de um par próton-antipróton:
p  p  p  p  p  p.
Supondo que os prótons iniciais têm velocidades
u e –u, calcular o mínimo valor de u = |u| para que o
processo acima aconteça.
Solução. A energia final mínimacorresponde a termosos produtos
com energia cinéticanula, portantoE f  4m p c 2 , já que o antipróton
tem a mesma massa do próton.
A energia inicial é, segundo (3.1.4), Ei  2 
mpc2
1 u / c
2
2
.
Como E f  Ei , obtemos
2
1
1 u2 / c2
 u2
 4 1  2
 c

4u 2
u
3
  1  3  2  
,
c
2
c

36
a velocidade mínimanecessáriaé um i n  0 ,8 6 6c .
Observações :
1) Este exemplotambémilustra a transformação de energia
cinéticaem matéria: inicialment e temosdois prótons com
energia cinética T  m p c 2 cada um, e finalmentetemos
o par de partículascriadas, com massa m p cada uma.
2) Como comparação, notamosque, num cálculo newtoniano,
cada partículainicial,com a mesma velocidade acima, teria
a energia cinética TNR  (1 / 2)m p (c 3 / 2) 2  (3 / 8)m p c 2 ,
menosda metadedo valorrelativístico.
37
3.5 A Eletrodinâmica no contexto relativista
As leis básicas da Eletrodinâmica permanecem inalteradas:
Leis de Gauss 
 D d  Q ,
n
S
 B d  0 .
n
S
Lei de Faraday 
 E t dl  
C
Lei de Ampère
d
B .
dt
 H tdl  I 
C
d
D .
dt
Força de Lorentz F  qE  u  B  .
A transformação dos campos sob uma TL certamente não
é adequada para o ensino médio. Os interessados podem
consultar Gazzinelli, seção 6.7.
38
3.C *A energia e momento como quadrivetor
do espaçotempo
Na seção 1.C vimos uma noção do espaçotempo, com as
coordenadas w (= ct), x, y, z, com a TLx:
w   ( w  x)
 x    ( x  w)


 y  y
 z   z
(3.C.1)
DefinimosQ  ( w, x, y, z ) como quadrivetor de posição
do espaçotempo. Um quadrivetor do ET é definido como
um conjunto de quatro grandezas V  (V0 ,V x , V y ,V z ) que,
numa T L, se transforma como Q . Isto é, um 4 - vetor
qualquer é modelado no 4 - vetor de posição (compararcom
vetores do espaço comum).
39
Vamos mostrar que
P  ( E / c, p x , p y , p z )
é um 4-vetor. Primeiro, usando τ  t 1 - u 2 / c 2  t  1 - u 2 / c 2 ,
notamos que
E/c 
mc
 mc
t
w
m
,
τ
τ
1- u 2 / c2
mu x
x t
x
px 
m
m
,
2
2
t τ
τ
1- u / c
y
z
py  m
, pz  m
,
τ
τ
e, analogamente,
E / c  m
w
, etc.
τ
40
Então,
w
x 
 w
 m 

   ( E / c   px ) ,
τ






x 
w 
 x
m
 m 

   ( px   E / c) ,
τ
 
 
y 
y
m
 m
 py ,
τ
τ
z 
z
m
m
 pz .
τ
τ
E / c  m
px
py
pz
Assim provamos (3.1.7), e concluímos que P é um
4-vetor. Este fato é uma motivação para as definições
(3.1.3) e (3.1.4), pois a TR procura substituir, nas
equações da Física, os 3-vetores do espaço euclidiano
comum por 4-vetores do espaçotempo.
41
4. Noções de Relatividade Geral
4.1
Espaçotempo de Minkowski e sua
generalização
4.2
A Relatividade Geral como teoria da
gravitação
4.3
Deflexão da luz de uma estrela pelo Sol
4.4
Redshift gravitacional
4.5
Aplicações à Astrofísica e Cosmologia
42
4.1 Espaçotempo de Minkowski e sua
generalização
Na seção 1.4 falamos de uma quantidade invariante sob TL:
definindo
(s) 2  ct   x   y   z 
2
2
2
2
(4.1.1)
e
2
2
(s ) 2  ct   x   (y ) 2  (z ) 2 ,
a equação (1.4.1) expressa a invariância
(s) 2  (s ) 2
para sistemas inerciaisquaisquer.
Aqui continuaremos a trabalhar em uma direção, Ox,
portanto nos limitamos à expressão
(s) 2  (ct ) 2  (x) 2 .
(4.1.2)
43
Agora uma comparação com um plano comum, com
geometria euclidiana. Se temos um sistema de
coordenadas ortogonais (x, y), e fazemos uma rotação
para um novo sistema (x’, y’), a quantidade
(s) 2  (x) 2  (y) 2 , chamada a métrica do plano,
é invariante, isto é, (s) 2  (s ) 2  (x) 2  (y ) 2 .
Analogamente, H. Minkowski descobriu em 1908 que ct e x
podem ser consideradas coordenadas de um novo tipo de
espaço, o espaçotempo (ET). A métrica do ET é dada pela
equação (4.1.1), ou (4.1.2) em nosso estudo limitado a
duas dimensões.
A importância disso é que a TR pode ser vista como uma
teoria geométrica, e tratada pelos métodos geométricos
modernos. Na TRG a métrica toma formas muito mais
gerais - por exemplo, em duas dimensões,
(s) 2  E (ct) 2  G(x) 2 ,
(4.1.3)
onde E e G são funções das coordenadas, sendo
E (ct, x)  0 e G(ct, x)  0.
44
4.2 *A Relatividade Geral como teoria da gravitação
A teoria da RG foi concebida como uma teoria da gravitação,
por conta do princípio de equivalência:
PE. O movimento de um corpo de massa m, acelerado pela
força gravitacional F = mg em um sistema inercial Σ, é
equivalente a seu movimento livre em um sistema Σ’ que
tem aceleração -g com relação a Σ.
Y
Y’
Σ
Σ’
y—----•
y’—----•
força
-mg
aceleração g
O
X
O’
X’
Movimento vertical, com g   g j;
em  : y  y 0  v y 0 t  gt 2 / 2, em  : y   y 0  v y 0 t  gt 2 / 2
45
Esse resultado não depende da massa m, pois a segunda
lei de Newton dá ma = -mg, logo a = -g, que é a velha lei
descoberta por Galilei, sobre a queda livre de corpos
diferentes.
Segue que a gravitação pode ser compreendida como
propriedade do espaçotempo, se o princípio de
relatividade (P1 na seção 1.4) for estendido a sistemas
arbitrários, não-inerciais. Daí o nome RG.
Por exemplo, no problema do slide anterior, com força da
gravidade constante teríamos em três dimensões
2 gy 

(s) 2  1  2 (ct) 2  (x) 2  (y ) 2 ,
c 

(4.2.1)
ou, mais geralment e, para pot enciaisfracos ( E p m)  c 2 ,
2 

(s ) 2  1  2 (ct ) 2  (x) 2  (y ) 2 .
c 

(4.2.2)
46
4.3 Deflexão da luz de uma estrela pelo Sol
Esta foi uma das primeiras
predições da RG. Aqui apenas uma
idéia qualitativa, baseada em uma
analogia.
Estrela
Posição
real
y
posição
aparente
Com relação à figura ao lado, onde
um raio de luz procede de uma
estrela, e é desviado de sua
direção pela atração do Sol, temos
δ
x
 2GM
(s)  1 
rc 2

2
Sol
Terra
(x)2  (y ) 2
 2
2
,
 c (t ) 
 2GM 

1 

rc 2 

(4.3.1)
onde r  x 2  y 2 , G é a constante
de Newton e M é a massa do Sol.
47
Vimos na seção 1.4 que, para a luz, Δs = 0. Em nosso
exemplo aqui, |Δx| é muito menor que |Δy|, e pode ser
Desprezado. Portanto,
2GM
y
2GM
2
 y   1  2   ct   v   1  2  c
rc 
t 
rc 

 onde vemos que, na vizinhança do Sol , a velocidade da luz
é menor que c 
2
2
1

c  2GM 
 2GM
n   1 

1 
2 
v 
rc 
rc 2


  1,

(4.3.2)
Portanto o campo gravitacional se comporta como um
meio com índice de refração n variável.
Então temos nossa analogia: ao nascer do Sol, seus
raios fazem uma curva produzida pela refração variável
na atmosfera, provocando um desvio de cerca de 30
minutos de arco.
Do mesmo modo a eq. (4.3.2) leva a um desvio do raio
estelar, com o valor δ = 1,75 segundos de arco.
48
Uma estrela com posição celeste próxima da do Sol
só pode ser vista durante um eclipse total deste.
Aí o Brasil entra na história da RG.
Em 29/maio/1919 aconteceu um eclipse total, com boa
visibilidade no Ceará e na ilha de Príncipe, na África. O
astrônomo Arthur Eddington, da Universidade de
Cambridge, organizou duas expedições, uma para
Sobral (CE), a outra para Príncipe, para medir δ. Os
resultados confirmaram a predição da teoria:
em Sobral:
δ = 1”,98 ± 0”,16 ,
em Príncipe: δ = 1”,61 ± 0”,40 ,
e causaram uma sensação, que um biógrafo chamou
‘a canonização de Albert Einstein’.
Essa medição foi muito repetida, com resultados
melhores. Por exemplo, em 1975, usando ondas de
rádio do quasar 3C279, obteve-se δ = 1”,76 ± 0”,02.
49
4.4 Redshift gravitacional
A métrica produzida por uma estrela de massa M e raio R
é, em duas dimensões,
1
 2GM  2
 2GM 
2
(s) 2  1 
c
(

t
)

(r ) 2 ,

1 
2
2 
rc 
rc 


(4.4.1)
onde r é a distância a seu centro.
Se r é muito grande, (4.4.1) se reduz a uma métrica de
Minkowski. Se uma onda de luz propaga-se nessa região com
período “natural” (pela falta da gravidade) Δt = T, a uma
distância r mais próxima, o período da onda é dado pelo
tempo próprio de um relógio fixo em r, correspondente a Δt =
T e Δr = 0. Então a onda emitida na superfície de estrela, com
r = R, tem período
s
2GM  GM 
 T 1
 1 
T,
(4.4.2)
2
2 
c
Rc
Rc 

e essa radiação é recebida na T erra, à distância r , com
 em 
período
 rec 
s
2GM  GM 
 T 1
 1  2  T .
2
c
rc
rc 

(4.4.3)
50
Assim temos alargamento do comprimento de onda,
 GM 
 GM 
1  2 T  1  2  T
 rec  em  rec   em 
rc 
Rc 





em
 em
 GM 
1  2  T
Rc 

GM GM GM  1 1  GM
 2 
 2   
, pois r  R .
2
2
rc
Rc
c  R r  Rc
Este efeito é chamado redshift gravitacional, porque desvia
a luz para o lado do vermelho no espectro luminoso.
Na superfície do Sol, esse desvio é



6,67  1011 m 3 kg-1s -2  1,99  1030 kg

6,96 108 m  3,00  108 m s

-1 2
 2,12  106 .
A observação desse fenômeno não é simples, por causa da
turbulência na atmosfera solar. O redshift gravitacional solar
da linha D1 do sódio, com λ = 5895,924 Å no ar em repouso
(CRC Hb. Ch. Ph. 1995), é apenas Δλ = 0,013 Å. Apesar das
dificuldades, este resultado foi confirmado por J. W. Brault,
em sua tese de doutoramento (1962).
Existem muitos outros experimentos verificando esse efeito.
51
4.5 Aplicações à Astrofísica e Cosmologia
Nossos exemplos de aplicação da RG até agora foram
de efeitos gravitacionais fracos.
Para terminar, vou mencionar dois efeitos fortes:
1) Horizonte de um buraco negro (BN). Na seção 4.3
foi mencionada a métrica gerada pelo Sol:
 2GM  2
2
2
(s) 2  1 
c
(

t
)

(

l
)
,

2
rc 

(4.5.1)
que também vale para estrelas sem rotação em torno
de seu próprio eixo, com r ≥ (raio da estrela). Na
superfície do Sol o desvio da métrica de Minkowski é
2GM
 4  10 6  1.
2
rc
52
Chamando horizonte a esfera r  rh  2GM c 2 , que
acontecese r  rh ? O intervalo de tempopróprio é
dado por    1  2GM rc 2  t   1  rh r t  ,
2
2
logo, para r  rh , t 

1  rh r
2
 .
Isto significa que, se um objeto aproxima-se do BN,
o intervalo de tempo Δt observado na Terra,
correspondente a Δτ, tende ao infinito: para nós o
objeto nunca cruza o horizonte. Por outro lado, um
astronauta (suicida) montado no objeto mede o
tempo próprio normalmente, e após cruzar o
horizonte atinge a destruição total em r = 0 em uma
fração de segundo.
.
Outra propriedade, mais conhecida, é que nenhum
objeto (clássico) pode escapar do BN – daí o seu
nome, pois a luz de astros atrás do BN não pode
atravessá-lo para chegar a nós.
53
2) Redshift cosmológico. O modelo do Universo mais
acreditado atualmente tem a métrica
(s ) 2  c 2 (t ) 2  a 2 (t )( ) 2 ,
(4.5.2)
onde a (t ) é uma função transcendente que, para o
presente (t  t 0  14  109 anos) e para épocas remotas
tem os valores
para t  t 0
1
a (t )  
2/3
para t  t 0 .
0,856(t t 0 )
A função a(t) mede a expansão do Universo, e vale
para comprimentos de onda. Assim, uma onda emitida
na época te com comprimento λe é recebida por
nós com comprimento dado por
λ
λr a(t 0 )

 λr  e .
λe a(t e )
a(t e )
54
P or exemplo, se na época t  0,2t 0 uma galáxia emitiu
a radiação amarela do sódio, com e  5890Å, essa onda
seria detectada atualmentecom
r 
5890Å
 20100Å  2,01μm ,
2/3
0,856 0,2
portantocomo radiação infravermelha.
A Astrofísica e a Cosmologia modernas lidam com
muitos efeitos fortes da gravitação einsteiniana.
55