Ficha de trabalho: Trigonometria e Números complexos
1. Na figura está representada, no plano complexo, uma circunferência de centro na origem O do referencial.
Os pontos A, B e C pertencem à circunferência.
O ponto A é a imagem geométrica do número complexo 3 + 4𝑖𝑖
O ponto C pertence ao eixo imaginário.
O arco BC tem
𝜋𝜋
9
radianos de amplitude.
Qual é o número complexo cuja imagem geométrica é o ponto B?
(A) 5𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �
10𝜋𝜋
9
�
(B) 5𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �
25𝜋𝜋
18
10𝜋𝜋
(C) 7𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �
�
9
25𝜋𝜋
�
Gave - Teste intermédio 12º Ano, exercício 5, 26-05-2011
(D) 7𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �
18
�
𝜋𝜋
2. Para um certo número real positivo 𝜌𝜌 e para um certo número real 𝛼𝛼 compreendido entre 0 e , o número
complexo 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 𝛼𝛼 tem por imagem geométrica o ponto P, representado na figura.
Qual é a imagem geométrica do número complexo
(A) O ponto A
(B) O ponto B
𝜌𝜌
2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (2𝛼𝛼) ?
(C) O ponto C
2
(D) O ponto D
Gave - Teste intermédio 12º Ano, exercício 5, 27-05-2009
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3. Seja ℂ o conjunto dos números complexos.
Considere a equação 𝑧𝑧 3 − 𝑧𝑧 2 + 4𝑧𝑧 − 4 = 0.
Esta equação tem três soluções em ℂ, sendo uma delas o número real 1.
As imagens geométricas, no plano complexo, dessas três soluções são vértices de um triângulo.
Determine o perímetro desse triângulo.
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Gave - Teste intermédio 12º Ano, exercício 1, 26-05-2011
4. Seja 𝑓𝑓 a função, de domínio ℝ+ , definida por
𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = �2 +
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑥𝑥 − 1)
,
𝑒𝑒𝑒𝑒 − 𝑒𝑒
𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥,
0 < 𝑥𝑥 < 1
𝑥𝑥 ≥ 1
Resolva os três itens seguintes sem recorrer à calculadora.
4.1. Averigue se a função 𝑓𝑓 é contínua em 𝑥𝑥 = 1.
4.2. O gráfico da função 𝑓𝑓 tem uma assintota oblíqua.
Determine a equação reduzida dessa assintota.
4.3. Resolva, no intervalo [1, +∞[, a equação
𝑓𝑓(𝑥𝑥 )
𝑥𝑥
2
= 𝑒𝑒 𝑥𝑥 − .
3
Gave - Teste intermédio 12º Ano, exercício 2, 26-05-2011
5. Na figura, está representada uma circunferência de centro no ponto 𝑂𝑂 e raio 1.
Sabe-se que:
•
•
•
•
•
•
•
O ponto 𝐴𝐴 pertence à circunferência;
Os pontos 𝑂𝑂, 𝐴𝐴 e 𝐵𝐵 são colineares;
O ponto 𝐴𝐴 está entre o ponto 𝑂𝑂 e o ponto 𝐵𝐵;
O ponto 𝑃𝑃 desloca-se ao longo da semirreta 𝐴𝐴̇ 𝐵𝐵, nunca
coincidindo com o ponto 𝐴𝐴;
𝑑𝑑 é a distância do ponto 𝐴𝐴 ao ponto 𝑃𝑃;
Para cada posição do ponto 𝑃𝑃, o ponto 𝑄𝑄 é um ponto da circunferência tal que a reta 𝑃𝑃𝑃𝑃 é tangente à
circunferência;
𝜋𝜋
𝑥𝑥 é a amplitude, em radianos, do ângulo 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 �𝑥𝑥 ∈ �0, ��
𝜋𝜋
Seja 𝑓𝑓 a função, de domínio �0, �, definida por 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
2
2
1−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑥𝑥 )
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑥𝑥 )
.
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.
5.1. Mostre que 𝑑𝑑 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).
5.2. Considere a seguinte afirmação: «Quanto maior é o valor de 𝑥𝑥, menor é o valor de 𝑑𝑑».
Averigue a veracidade desta afirmação, começando por estudar a função 𝑓𝑓 quanto à monotonia.
Gave - Teste intermédio 12º Ano, exercício 3, 26-05-2011
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6. Seja 𝑓𝑓 a função, de domínio ]0,3[ , definida por 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 ln (𝑥𝑥) + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2𝑥𝑥) . O ponto 𝐴𝐴 pertence ao gráfico
da função 𝑓𝑓. Sabe-se que a reta tangente ao gráfico da função 𝑓𝑓 no ponto 𝐴𝐴 tem declive 3.
Determine a abcissa do ponto 𝐴𝐴.
Na resolução deste item deve:
•
Traduzir o problema por uma equação;
•
Resolver graficamente essa equação, recorrendo à calculadora;
•
Indicar o valor pedido arredondado às centésimas.
Deve reproduzir e identificar o gráfico, ou os gráficos, que tiver necessidade de visualizar na calculadora,
incluindo o referencial, e deve assinalar, no(s) gráficos(s), o(s) pontos(s) relevante(s).
Gave - Teste intermédio 12º Ano, exercício 4, 26-05-2011
7. Seja ℂ o conjunto dos números complexos.
Determine
(1+2𝑖𝑖)(3+𝑖𝑖)−𝑖𝑖6 +𝑖𝑖7
3𝑖𝑖
, sem recorrer à calculadora.
Apresente o resultado na forma 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦, com 𝑥𝑥 ∈ ℝ e 𝑦𝑦 ∈ ℝ.
Gave - Teste intermédio 12º Ano, exercício 1, 19-05-2010
8. Na figura está representado um triângulo retângulo [𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ], cujos catetos [𝐴𝐴𝐴𝐴 ] e [𝐵𝐵𝐵𝐵], medem 5 unidades.
Considere que um ponto 𝑃𝑃 se desloca sobre o cateto [𝐵𝐵𝐵𝐵], nunca coincidindo
com 𝐵𝐵 nem 𝐶𝐶. Para cada posição do ponto 𝑃𝑃, seja 𝑥𝑥 a amplitude, em radianos,
𝜋𝜋
do ângulo 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 �𝑥𝑥 ∈ �0, ��.
4
Seja 𝑓𝑓 a função que, a cada valor de 𝑥𝑥, faz corresponder o perímetro do
triângulo [𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴].
Resolva os itens 6.1. e 6.2., usando exclusivamente métodos analíticos.
8.1. Mostre que 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) =
5
cos (𝑥𝑥 )
− 5tg(𝑥𝑥) + √50 + 5
𝜋𝜋
8.2. Seja 𝑟𝑟 a reta tangente ao gráfico da função 𝑓𝑓 no ponto de abcissa . Determine o declive da reta 𝑟𝑟.
6
8.3. Existe um valor de 𝑥𝑥 para o qual o perímetro do triângulo [ACP] é igual a 16. Determine esse valor,
arredondado às centésimas, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora.
Apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora e assinale o ponto relevante para a resolução do
problema.
Gave - Teste intermédio 12º Ano, exercício 4, 19-05-2010
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9. Seja ℂ o conjunto dos números complexos.
(2+𝑖𝑖)2 +1+6𝑖𝑖35
Determine
1 +2𝑖𝑖
sem recorrer à calculadora.
Apresente o resultado na forma algébrica.
Gave - Teste intermédio 12º Ano, exercício 1, 27-05-2009
10. Na Figura 1, estão representados:
•
•
•
Uma circunferência de centro 𝑂𝑂 e raio 1;
Dois pontos, 𝐴𝐴 e 𝐵𝐵, sobre a circunferência, tais que [𝐴𝐴𝐴𝐴] é o diâmetro;
Uma semirreta 𝑂𝑂̇ 𝐴𝐴;
• Um segmento de reta [𝑃𝑃𝑃𝑃]
Figura 1
Considere que:
• O ponto 𝑃𝑃, partindo de 𝐴𝐴, se desloca sobre a circunferência, dando uma volta completa, no sentido
indicado pelas setas da Figura 1;
• O ponto 𝑄𝑄 se desloca sobre a semirreta 𝑂𝑂̇𝐴𝐴 , acompanhando o
���� = 3
movimento do ponto 𝑃𝑃, de tal forma que se tem sempre 𝑃𝑃𝑃𝑃
Para cada posição do ponto 𝑃𝑃, seja 𝑥𝑥 a amplitude, em radianos, do
ângulo orientado que tem por lado origem a semirreta 𝑂𝑂̇ 𝐴𝐴 e por lado
extremidade a semirreta 𝑂𝑂̇𝑃𝑃 (ver Figura 2).
10.1.
Figura 2
Considere as seguintes afirmações sobre a função 𝑑𝑑 e sobre a sua derivada, 𝑑𝑑’ (a função 𝑑𝑑 te m
derivada finita em todos os pontos do seu domínio).
I.
II.
𝑑𝑑(0) = 2𝑑𝑑(𝜋𝜋)
∀𝑥𝑥 ∈ [0,2𝜋𝜋] , 𝑑𝑑’(𝑥𝑥) < 0
Elabore uma pequena composição na qual indique, justificando, se cada uma das afirmações é
verdadeira, ou falsa.
Nota: neste item, não defina analiticamente a função 𝒅𝒅; a sua composição deve apoiar-se na forma
como esta função foi apresentada (para cada valor de 𝑥𝑥, tem-se que 𝑑𝑑(𝑥𝑥) é a distância do ponto 𝑄𝑄 ao
ponto 𝑂𝑂).
10.2.
𝜋𝜋
Defina analiticamente a função 𝑑𝑑 no intervalo �0, � (isto é, determine uma expressão que dê o valor
de 𝑑𝑑(𝑥𝑥), para cada 𝑥𝑥 pertencente a este intervalo).
2
Sugestão: trace a altura do triângulo [𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂] relativa ao vértice 𝑃𝑃, designe por 𝑅𝑅 o ponto de interseção
���� + 𝑅𝑅𝑅𝑅
����.
desta altura com a semirreta 𝑂𝑂̇ 𝐴𝐴, e tenha em conta que ����
𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑂𝑂𝑂𝑂
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