Números
e funções
O experimento
Experimento
Mensagens secretas com matrizes
Objetivos da unidade
1. Introduzir o conceito de criptografia;
2. Fixar conteúdos como multiplicação e inversão de matrizes.
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Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Mensagens
secretas
com matrizes
O experimento
Sinopse
Neste experimento, seus alunos aprenderão uma das diversas maneiras
de criptografar mensagens: usando matrizes. Inicialmente, dividindo
a classe em grupos, o professor deve explicar como isso pode ser feito
e fornecer uma mensagem codificada, pedindo para que eles tentem
decifrá-la. Depois, cada grupo deve criar sua própria mensagem cripto­
grafada e trocá-la com os outros. O desafio é tentar decifrar o que o outro
grupo quis dizer sabendo a matriz chave que usaram.
Conteúdos
Matrizes: Propriedades, Determinantes.
Objetivos da unidade
1. Introduzir o conceito de criptografia;
2. Fixar conteúdos como multiplicação e inversão de matrizes.
Duração
Uma aula simples.
Introdução
A palavra “criptografia” tem origem grega
(kripto = oculto; grapho = grafia) e diz
respeito à arte ou ciência de escrever
mensagens em códigos, de forma que
somente certas pessoas possam decifrá-las.
Existem métodos criptográficos tão
antigos quanto a própria escrita. Eles já
estavam presentes no sistema de escrita
hieroglífica dos egípcios, e também os
romanos utilizavam códigos secretos para
comunicar planos de batalha. Atualmente,
utilizamos criptografia em transações
eletrônicas, como movimentações bancárias
e alguns serviços disponíveis na Internet,
os quais necessitam de uma comunicação
confidencial de dados.
[?]
Mensagens secretas com matrizes
Há várias técnicas de criptografia.
Uma delas, que é a que utilizaremos neste
experimento, é feita encontrando-se uma
transformação (função) injetiva f entre
um conjunto de mensagens originais (não
codificadas) e um conjunto de mensagens
codificadas. A função f deve ser inversível
para garantir que o processo seja reversível
e que as mensagens possam ser reveladas
pelos receptores. Portanto, para que um
certo método criptográfico seja considerado
eficiente, deve-se ocultar muito bem a função
f e os mecanismos para sua inversão, de
modo que somente pessoas autorizadas
possam decifrar a mensagem. Em um
esquema destes, f é chamada chave de
codificação e sua inversa, f −1, é a chave
de decodificação.
Neste experimento abordaremos apenas
um método de criptografia, o qual utiliza
matrizes como chaves, isto é, como peça
fundamental para codificar e decodificar
as mensagens.
O Experimento 2 / 8
E;nf[h_c[dje
Material necessário
Apenas papel e lápis;
Comentários iniciais
Como já mencionado, neste experimento
usaremos um método criptográfico que
utiliza matrizes como chave. Porém, existem
alguns métodos que utilizam funções mais
simples como, por exemplo, a função afim
de uma variável.
Se julgar necessário, desenvolva
uma atividade de familiarização com seus
alunos, usando funções afim como chave
de um método criptográfico. No material
Explorando o Ensino de Matemática,
volume 3, parte 2, publicado no site do MEC,
pode-se encontrar mais detalhes sobre
criptografia com esse tipo de função.
Seguem as etapas do experimento proposto.
Esse material pode ser
encontrado no site: http://
portal.mec.gov.br/seb/
arquivos/pdf/EnsMed/
expensmat_3_2.pdf
C[diW][dii[Yh[jWiYeccWjh_p[i
Preparação
Divida a classe em grupos de dois alunos.
Inicialmente, cada dupla buscará métodos
para tentar decifrar uma mensagem sua.
Depois, eles criarão suas próprias mensagens
secretas e irão enviá-las para outra dupla
tentar decifrar.
Professor, os grupos não
devem ser muito grandes,
pois não há muitas
tarefas neste experimento
e alguns integrantes
poderiam ficar sem
função.
etapa
Mensagem do professor
'
Nesta etapa, use sua criatividade para
inventar uma mensagem e depois
criptografá-la, usando uma matriz como chave. Transmita sua mensagem
codificada e desafie seus alunos para
decifrá-la apenas sabendo como você a
codificou. Ou seja, não diga a eles, de início,
como decodificar a mensagem.
Como criptografar usando matrizes?
Para codificar uma mensagem usando este
método é necessário que, primeiramente,
cada letra do nosso alfabeto e símbolos
Neste experimento
usaremos a palavra vetor
para nos referir a matriz
coluna.
E;nf[h_c[dje
) % .
desejados sejam associados a vetores .
A seguir, apresentamos uma tabela com um
exemplo para essa associação.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
espaço
.
,
?
tabela 1 Exemplo de uma associação entre letras e vetores que o professor
pode fazer.
Observação
Podemos representar esses vetores como
pontos de um plano, como mostra a figura 1
a seguir:
!
Professor, repare que,
se cada uma dessas letras
e símbolos representarem
um ponto num plano
cartesiano, eles formarão
um retângulo. É interessante que isso continue
acontecendo caso queira
mudar os valores de cada
letra ou símbolo.
C[diW][dii[Yh[jWiYeccWjh_p[i
)
*
+
,
-
/
.
#!'
$
("% $"" '&
.
/
-
,
+
*
)
fig. 1
Decidido qual associação usar, construa
uma matriz de apenas 2 linhas e codifique
uma mensagem. Para isso, basta colocar
os vetores que representam as letras da
mensagem um na frente do outro. Vamos,
por exemplo, colocar a mensagem Boa aula.
em uma matriz, usando a associação da
tabela 1:
Professor, o ideal é
que sua mensagem
tenha no máximo 20
caracteres, para não
exigir muitas contas por
parte dos alunos na hora
de decifrá-la.
Agora, crie uma matriz para
usar como chave. Ela deve ser inversível
para garantir que a mensagem poderá ser
decodificada. Você pode usar, por exemplo,
a matriz mostrada a seguir:
!
Professor, lembre-se que
uma matriz é inversível
se e somente se seu
determinante for diferente
de zero.
E;nf[h_c[dje
* % .
Por fim, criptografe sua mensagem,
transformando-a em uma matriz .
Para isso, deve-se fazer a multiplicação
. Usando o exemplo de mensagem,
temos:
Agora, transmita aos alunos a tabela com
a associação entre as letras e os vetores,
a matriz chave e a matriz com a mensagem
codificada . Explique o processo descrito
anteriormente para criptografar sua
mensagem original e peça para que eles
tentem decifrar sua frase.
Se perceber que alguns alunos
conseguiram decodificar a mensagem, peça
para que eles compartilhem com a classe
a maneira que eles usaram para descobrir.
Mas lembre-se: inicialmente, não conte a
eles como decifrar a mensagem. Deixe-os
pensar bastante antes de dizer que para
decodificá-la basta encontrar a matriz inversa
de e multiplicar por pois
Professor, observe
que, na multiplicação
, algumas letras
de podem não ser
transformados em outras
letras. Por exemplo,
o vetor não representa nenhuma
letra da tabela inicial.
!
Professor, tome cuidado
para que seus alunos não
vejam sua mensagem
original.
!
Professor, pode ser que
seus alunos consigam
descobrir a mensagem
original sem o uso da
inversa, através de vários
sistemas lineares .
Tente descobrir como!
C[diW][dii[Yh[jWiYeccWjh_p[i
etapa
Troca de mensagens
Agora que seus alunos já sabem criptografar
uma mensagem, deixe-os praticar.
Nesta etapa, cada grupo deverá inventar
uma frase com no máximo 20 caracteres
e codificá-la. Em seguida, eles trocarão
mensagens com outro grupo, sempre
fornecendo apenas a matriz codificada ( )
e a chave ( ). O desafio é decifrar a
mensagem do outro grupo. Fazendo isso,
eles estarão fixando conteúdos como
multiplicação e inversão de matrizes de
um modo divertido.
(
!
Professor, provavelmente
alguns grupos usarão
matrizes não inversíveis
como chave. Isso fará
com que a mensagem
eventualmente não seja
decifrável. Se achar que
deve, alerte-os para
o uso apenas de matrizes
inversíveis como chave.
E;nf[h_c[dje
+ % .
<[Y^Wc[dje
Relembre seus alunos sobre os requisitos
para existência de inversa de uma matriz
(determinante diferente de zero), e o modo
de calculá-la. Caso o conceito de matriz
inversa ainda não seja conhecido pelos
seus alunos, este experimento pode servir
como uma aula introdutória do tema.
Se achar interessante, comente com seus
alunos sobre o fato de que, ao criptografar
uma mensagem pelo método descrito
neste experimento, estamos aplicando
uma função que leva pontos do plano
a outros pontos do plano. Por exemplo,
as letras da mensagem Boa aula. podem
ser representadas da seguinte forma:
fig. 2
C[diW][dii[Yh[jWiYeccWjh_p[i
E, plotando cada letra dessa frase depois
de multiplicadas pela matriz do nosso
exemplo, temos:
fig. 3
Observe o que acontece com cada vetor
letra na transformação:
Outro fato interessante é o efeito da
multiplicação de um bloco de pontos,
que representam letras, pela matriz chave .
E;nf[h_c[dje
, % .
A figura abaixo mostra um bloco de quatro
letras do alfabeto representado por
pontos (não preenchido) e o efeito que a
multiplicação por causou (preenchido):
fig. 4
Mais detalhes sobre a representação
das letras por pontos no plano podem ser
encontrados no Guia do Professor.
Por fim, comente com seus alunos que
com o conhecimento das transformações
de apenas duas letras no nosso método
criptográfico, já é possível que um “espião”
descubra a matriz chave. Assim, se, por
exemplo, ele souber que
e são levados em
e
,
C[diW][dii[Yh[jWiYeccWjh_p[i
respectivamente, ele saberia que, se a matriz
chave for igual a
então:
E daí,
,
e
Resolvendo o sistema, ele encontraria que
, , e e portanto,
.
Daí vem a importância de se guardar todas
as transformações em segredo.
!
Se usássemos uma
associação das letras
à vetores , com a
matriz chave sendo ,
a determinação de seria dificultada, pois
precisaríamos de mais
uma informação para tal.
Comente isto com seus
alunos!
E;nf[h_c[dje
- % .
Ficha técnica
Autor
Leonardo Barichello
Coordenação de Redação
Rita Santos Guimarães
Redação
Felipe M. Bittencourt Lima
Projeto gráfico
e ilustrações técnicas
Preface Design
Ilustrador
Lucas Ogasawara de Oliveira
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
José Tadeu Jorge
Vice-Reitor
Fernando Ferreira da Costa
Grupo Gestor
de Projetos Educacionais
(ggpe – unicamp)
Coordenador
Fernando Arantes
Gerente Executiva
Miriam C. C. de Oliveira
Revisores
Matemática
Antônio Carlos do Patrocínio
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
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