Questão 1
A Rádio Sinfonia inicia sua programação às
6 h. A programação é formada por módulos
musicais de 20 minutos, intercalados por
mensagens comerciais de 2 minutos. Em vista disso, o primeiro módulo musical se iniciará às 6 h (0 minutos após as 6 h), o segundo
às 6h 22min (22 minutos após as 6 h), e assim por diante. Indique por h n a quantidade
de minutos, após as 6 h, em que se iniciará o
módulo musical de número n.
a) Escreva uma expressão matemática para
hn em função de n.
b) Uma pessoa sintonizou esta rádio às
9h 30min, quando estava tocando o décimo
módulo musical. Determine h10 e quantos
minutos a pessoa ouvirá de música, até que
se inicie a próxima mensagem comercial.
Resposta
a) Considerando que o período entre os inícios de
dois módulos consecutivos é de 22 minutos, hn é
uma progressão aritmética de primeiro termo 0 e razão igual a 22, ou seja, hn = 0 + 22(n − 1) =
= 22(n − 1), n ≥ 1.
b) h10 = 22(10 − 1) = 198 minutos. Assim o 10º
módulo iniciou às 6 horas + 198 minutos, ou seja,
às 9 horas e 18 minutos. Como a música do 10º
módulo termina às 9h38min, a pessoa ouvirá 8 minutos de música.
b) qual é a opção mais vantajosa para o comprador, pagar à vista ou aplicar o dinheiro e
pagar em 30 dias (justifique matematicamente sua resposta).
Resposta
a) O valor a ser desembolsado no pagamento à
vista é 1.000,00 − 10% ⋅ 1.000,00 = 900,00. Esse
valor, em uma aplicação de 30 dias, com um rendimento de 3%, torna-se 900,00 + 3% ⋅ 900,00 =
= R$ 927,00.
b) O valor do produto para pagamento em 30 dias
é 1.000,00 − 7,2% ⋅ 1.000,00 = R$ 928,00. Assim,
a opção mais vantajosa é pagar à vista, pois o valor obtido com a aplicação é menor que o valor do
produto na opção de pagamento em 30 dias.
Questão 3
A figura representa um canteiro de forma
circular com 5 metros de raio. O canteiro
tem uma região retangular que se destina à
plantação de flores e uma outra região, sombreada na figura, na qual se plantará grama. Na figura, O é o centro do círculo, OB é
o raio, o retângulo está inscrito no círculo e
CD mede 8 metros.
Questão 2
O preço de tabela de um determinado produto é R$ 1 000,00. O produto tem um desconto
de 10% para pagamento à vista e um desconto de 7,2% para pagamento em 30 dias.
Admitindo que o valor a ser desembolsado
no pagamento à vista possa ser aplicado pelo
comprador em uma aplicação de 30 dias,
com um rendimento de 3%, determine:
a) quanto o comprador teria ao final da aplicação;
a) Determine a medida do lado BD e a área
da região retangular destinada à plantação
de flores.
b) Sabendo-se que o metro quadrado de grama custa R$ 3,00, determine quantos reais
serão gastos em grama (para facilitar os cálculos, use a aproximação π = 3,2).
matemática 2
Resposta
p(0) = 0 3 − 3 ⋅ 0 + 1 = 1
$ é reto, a diagonal BC é
a) Como o ângulo BDC
um
diâmetro
da
circunferência.
Assim
BC = 2 ⋅ OB = 2 ⋅ 5 = 10 m e, portanto, aplicando Pitágoras no ∆BDC, temos
p(1) = 13 − 3 ⋅ 1 + 1 = −1
p(2) = 2 3 − 3 ⋅ 2 + 1 = 3
10 2 = 8 2 + BD 2 ⇔ BD = 6 m.
A área da região retangular destinada à plantação
de flores é CD ⋅ BD = 8 ⋅ 6 = 48 m 2 .
b) A área na qual será plantada grama é de
π ⋅ 5 2 − 6 ⋅ 8 ≅ 3,2 ⋅ 25 − 48 = 32 m 2 . Logo serão gastos aproximadamente 3 ⋅ 32 = 96 reais.
Questão 4
Seja z = x + yi um número complexo, com x e
y números reais e i a unidade imaginária.
a) Determine, em função de x e y, a parte real
e a parte imaginária de 2z − i + z, com z indicando o conjugado de z.
b) Determine z que seja solução da equação
2z − i + z = 0.
Resposta
Seja z = x + yi , x ∈ R, y ∈ R.
a) 2z − i + z = 2(x + yi) − i + (x − yi) =
= 3x + (y − 1)i.
Assim, as partes real e imaginária de 2z − i + z
são iguais a 3x e y − 1, respectivamente.
b) 2z − i + z = 0 ⇔
⇔ 3x + (y − 1)i = 0 ⇔
3x = 0
x =0
⇔
y −1 = 0
y =1
Logo z = 0 + i = i é a solução da equação.
b) De acordo com o esboço do gráfico, temos
que a função p, polinomial e do terceiro grau, admite 3 raízes reais distintas, pertencentes aos intervalos ]−2; 0[, ]0; 1[ e ]1; 2[ e, portanto, p não
admite raiz complexa não real.
Questão 6
Os 500 estudantes de um colégio responderam a uma pergunta sobre qual a sua área
de conhecimento preferida, entre Exatas,
Humanidades e Biológicas. As respostas foram computadas e alguns dados foram colocados na tabela.
SEXO
Questão 5
ÁREA
Considere a função polinomial de 3º grau,
p(x) = x 3 − 3x + 1.
a) Calcule p(−2), p(0), p(1), p(2) e esboce o
gráfico.
b) Com base no item (a), responda, justificando sua resposta, quantas raízes reais e quantas raízes complexas (não reais) tem p(x).
Resposta
a) Sendo p(x) = x 3 − 3x + 1, temos:
p( −2) = ( −2) 3 − 3 ⋅ ( −2) + 1 = −1
Exatas (E)
Masculino Feminino
(M)
(F)
120
Humanidades (H)
Biológicas
(B)
Total
200
80
100
Total
125
175
500
a) Sabendo que cada estudante escolheu uma
única área, copie a tabela em seu caderno de
respostas e complete-a com os dados que estão faltando.
matemática 3
b) Um estudante é escolhido ao acaso. Sabendo-se que é do sexo feminino, determine a
probabilidade dessa estudante preferir Humanidades ou Biológicas.
Resposta
b) A base AB do triângulo ABC mede 5 − 2 = 3.
x

Como a ordenada do ponto C  x;  , x > 0, cor
2
responde à altura relativa ao lado AB, temos que
1
x
⋅3 ⋅
= 6 ⇔ x = 8 . Portanto C = (8; 4).
2
2
a) A tabela completa é a seguinte:
SEXO
ÁREA
Masculino (M)
Feminino (F)
Total
Exatas (E)
120
200 − 120 = 80
200
Humanidades (H)
125 − 80 = 45
80
125
Biológicas
(B)
100
175 − 100 = 75
175
Total
120 + 45 + 100 = 265 80 + 80 + 75 = 235 500
b) Existem 235 estudantes do sexo feminino.
Desses, 80 + 75 = 155 preferem Humanidades ou
Biológicas. Portanto a probabilidade pedida é
155
igual a
≅ 66% .
235
Questão 8
Em uma loja, todos os CDs de uma determinada seção estavam com o mesmo preço, y.
Um jovem escolheu, nesta seção, uma quantidade x de CDs, totalizando R$ 60,00.
a) Determine y em função de x.
b) Ao pagar sua compra no caixa, o jovem
ganhou, de bonificação, 2 CDs a mais, da
mesma seção e, com isso, cada CD ficou
R$ 5,00 mais barato. Com quantos CDs o jovem saiu da loja e a que preço saiu realmente
cada CD (incluindo os CDs que ganhou)?
Questão 7
Resposta
Sejam A = (2,0) e B = (5,0) pontos do plano e
x
r a reta de equação y =
.
2
a) Represente geometricamente os pontos A e
B e esboce o gráfico da reta r.
x
b) Se C = (x, ), com x > 0, é um ponto da
2
reta r, tal que o triângulo ABC tem área 6,
determine o ponto C.
Resposta
a) Considerando a reta r, de equação y =
x
, te2
0
2
=0ex=2⇔y=
= 1. Desse
2
2
modo, uma representação gráfica da reta r e dos
pontos A = (2; 0) e B = (5; 0) é:
mos x = 0 ⇔ y =
a) Temos, para x ∈ Z +∗ , xy = 60 ⇔ y =
60
.
x
b) O preço de cada CD após a bonificação é de
60
. Logo, como cada CD ficou 5 reais mais
x +2
barato,
60
60
=
− 5 ⇔ x 2 + 2x − 24 = 0 ⇔ x = 4.
x +2
x
Assim, o jovem saiu da loja com x + 2 = 4 +
60
=
+ 2 = 6 CDs e o preço de cada um é de
4 +2
= R$ 10,00.
Questão 9
Numa fábrica, o lucro originado pela produção de x peças é dado em milhares de reais
pela função
L(x) = log10 (100 + x) + k,
com k constante real.
a) Sabendo que não havendo produção não há
lucro, determine k.
b) Determine o número de peças que é necessário produzir para que o lucro seja igual a
mil reais.
matemática 4
Resposta
a) Nessas condições, temos:
L(0) = log10 (100 + 0) + k
⇔
L(0) = 0
⇔ k + 2 = 0 ⇔ k = −2
L(x) = log10 (100 + x ) − 2
b)
⇔
L(x) = 1
⇔ log10 (100 + x) − 2 = 1 ⇔
⇔ log10 (100 + x) = 3 ⇔ 100 + x = 10 3 ⇔
⇔ x = 900.
Logo é necessário produzir 900 peças para que o
lucro seja igual a mil reais.
Questão 10
Um reservatório de água de uma creche tem
a forma de um paralelepípedo retângulo com
área da base igual a 2 m2 e altura de 2 m. O
reservatório estava completamente vazio e às
0 horas (quando a creche estava fechada) ele
começou a encher de água. A altura do nível
de água no reservatório ao final de t horas,
após começar a encher, é dada por
5t
h(t) =
t+6
com h(t) em metros.
a) Determine a capacidade total de água do
reservatório e o volume V(t) de água no reservatório no instante t (em m3 ).
b) Determine entre quais horários da madrugada o volume V(t) do reservatório será
maior que 2 m3 e menor que sua capacidade
total.
Resposta
O reservatório, bem como a região que a água
ocupa nele, são paralelepípedos reto-retângulos
de área da base 2 m 2 e alturas respectivamente
iguais a 2 m e h(t) m (t é o número de horas decorridas após a zero hora).
Assim:
a) A capacidade total do reservatório é igual a
(2 m 2 ) ⋅ (2 m) = 4 m 3 e o volume de água no
10t
instante t é igual a V(t) = 2 ⋅ h(t) =
m3 .
t +6
b) Temos, para t > 0: 2 < V(t) < 4 ⇔
10t
⇔ 2 <
< 4 ⇔ 10t > 2t + 12 e
t +6
10t < 4t + 24 ⇔ 1,5 < t < 4 horas. Portanto V(t)
está entre 2 m 3 e 4 m 3 da 1h30min às 4h00min
da manhã.