CADERNO DE ORIENTAÇÕES UNIDADE DE APRENDIZAGEM – CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS CÁLCULO VETORIAL E Sugestões de Problematização da UA: - Quais são as aplicações das derivadas parciais nas ciências naturais e econômicas? Produção de material multimídia sobre o tema. - Em que podemos aplicar o cálculo vetorial PRIMEIRA SEMANA CADERNO DE ORIENTAÇÕES Geometria Vetorial Geometria Vetorial Vamos começar pelos vetores no plano. Vetores representam graficamente grandezas que tenham módulo, sentido e direção. O tema serve como fundamento para uma série de aplicações em diversas áreas do conhecimento. Benvindo! Definição: Um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo (intensidade). A direção é a da reta que contém o segmento. O sentido é dado pelo sentido do movimento. O módulo é o comprimento do segmento. Uma quarta característica de um vetor é formada por dois pares ordenados: o ponto onde ele começa (origem) e um outro ponto onde ele termina (extremidade) e as coordenadas do vetor são dadas pela diferença entre as coordenadas da extremidade e as coordenadas da origem. Observação: Existe uma definição, não necessariamente geométrica, muito mais ampla do conceito de vetor envolvendo uma gama variada de objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais, etc. Outros conceitos básicos: Vetores com mesmo módulo, sentido e direção 1 2 Comprimento de um vetor O comprimento de um vetor é definido pela distância de P à Q, denotada por |P – Q| = √(𝑎2 − 𝑎1 )2 + (𝑏2 − 𝑏1 )2 Ex: encontre o comprimento do vetor que vai dos pontos P(2, 2) a Q(7, 5) Solução: √(7 − 2)2 + (5 − 2)2 = √52 + 32 = √34 Componentes de um vetor Seja v =→ , onde P = (a1b1) e Q = (a2b2), os componentes de v são as quantidades: 𝑃𝑄 a = a2 - a1 (componente x) e b = b2 - b1 (componente y) Vetores equivalentes: dois vetores são equivalentes se têm os mesmos componentes. Ex: Encontre os componentes de v1 = → 𝑃1𝑄1 e v2 = → 𝑃2𝑄2 e verifique se eles são equivalentes, onde P1 = (3, 7), Q1 = (6, 5) e P2 = (- 1 , 4), Q1 = (2, 1) Solução: v1 = (6 - 3 , 5 – 7) = (3 , - 2 ) v2 = (2 – (- 1), ( 1 – 4) = (3 , - 3) Os vetores não têm os mesmos componentes, logo não são equivalentes. 3 ÁLGEBRA VETORIAL Vamos definir duas operações vetoriais básicas: adição vetorial e multiplicação por escalar. Se v = (a, b) e w = (c, d) então: (i) v + w = (a + c, b + d) (ii) v – w = ( a – c , b – d) (iii) 𝜆v = (𝜆a, 𝜆b) ((𝜆 pode ser definido como um número real qualquer) (iv) v + 0 = 0 + v e v=v Graficamente: 4 Ex: Sejam v = (1, 4) e w = (3, 2) calcule v + w e 5v v + w = ( 1 + 3, 4 + 2) = (4, 6) 5v = 5 (1, 4) = (5, 20) 5 Vetor unitário Um vetor de comprimento 1 é chamado vetor unitário. Se v = (a, b) e é um vetor não nulo então o 1 vetor ev = ‖𝑣‖ 𝑣 é o vetor unitário apontando na direção e no sentido de v. Ex: Encontre o vetor unitário na direção e sentido de v = (3, 5) Solução: ‖𝑣‖ = √32 + 52 = √34 e ev = 1 √34 3 5 , 34 √ √34 𝑣=( ) Aplicações Atividade I 1. Encontre os componentes e o comprimento dos vetores 6(i + 9j) + 2 (i – 4j). 2 Encontre o vetor unitário ev onde v = (3, 4) 3 Dados os vetores u = 3 i - 5 j e v = i + j, determine o vetor 2 u - 2 v 4 Encontre o vetor de comprimento 2 fazendo um ângulo de 30º com o eixo x. 6 Vetores em três dimensões Os conceitos dos vetores no plano podem ser estendidos para três dimensões. Para indicar o plano xyz usamos a regra da mão direita: Distâncias entre dois pontos em R3 Sejam A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) dois pontos no espaço R3. A distância entre os pontos A e B é igual ao módulo do vetor AB, sendo determinada por d = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 , onde x = x2 - x1, y = y2 - y1 e z = z2 - z1. Parametrização de uma reta Apesar da similaridade das dos conceitos sobre vetores em duas e três dimensões aqui nos deparamos com uma diferença crucial: uma reta em R3 não pode ser descrita como y = ax + b, pois uma equação linear descreve um plano e não uma reta em R 3.As retas em R3 são descritas parametricamente. Considere um vetor no espaço. Este vetor determina uma direção no espaço, o que significa que existem infinitas retas paralelas no espaço que têm a mesma direção deste vetor. No entanto, dado um ponto no espaço, existe uma única reta passando por este ponto e que tem a mesma direção deste vetor. Podemos definir a parametrização como r(t) = (x0, y0,z0) + tv (a, b, c) Com os componentes: x = x0 + at , y = y0 + bt z = z0 +ct Exemplo: Encontre uma parametrização da reta P 0 = (3, -1 , 4) de vetor diretor v = (2, 1, 7) r(t) = (3, -1, 4) + t(2,1 , 7) = (3 +2t, -1 + t, 4 + 7t) Equações paramétricas: x = 3 +2t, y = -1 + t, z = 4 + 7t Combinações lineares Em matemática uma combinação linear é uma expressão construída a partir de um conjunto de termos multiplicando-se cada um deles por uma constante e somando os resultados (por exemplo, uma combinação linear de x e y seria uma expressão do tipo ax + by, em que a e b são constantes). Vetores unitários O módulo ou comprimento do vetor v=(x,y,z) é definido por: Um vetor unitário é o que tem o módulo (comprimento) igual a 1. Exemplo: Existe um importante conjunto com três vetores unitários de R³. 7 i = (1,0,0); j = (0,1,0); k = (0,0,1) Estes três vetores formam a base canônica para o espaço R³, o que significa que todo vetor no espaço R³ pode ser escrito como combinação linear dos vetores i, j e k, isto é, se v=(a,b,c), então: v = (a,b,c) = a i + b j + c k Para obter um versor de v, isto é, um vetor unitário com a mesma direção e sentido que um vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é: u = v / |v| Resumo: A fórmula do ponto médio no espaço é idêntica à do ponto médio no plano, apenas tem em conta mais uma coordenada. Sejam os pontos A e B : e Então as coordenadas do ponto médio do segmento [AB], são: Na prática Qualquer tipo de construção envolve a realização de diversos cálculos. Quanto maiores as estruturas, mais elaborados são os cálculos. Se você participa de um projeto de engenharia que envolva construções, deve levar em consideração a atuação das diversas forças sobre a sua obra, para definir que tipos de materiais podem resistir a elas e qual a posição que tais materiais devem ocupar na estrutura. 8 Atividades 1 Calcule o comprimento do vetor v = {1, 3, 2} 2. Encontre uma parametrização vetorial da reta que passa por P = (1, 2, - 8), vetor diretor v = (2, 1, 3). 3. Calcule a combinação linear: -2(8, 11, 3) + 4(2,1, 1) 4. Encontre o vetor ew em que w = (4, - 2, - 1) 5. Sejam P = (2, 1, -1) e Q = (4,7, 7), encontre as coordenadas do ponto médio de PQ. 6 Prove a fórmula da distância entre pontos no espaço R3. Respostas 1 √14 2. e) x = (1 + 2t), y = ( 2 + t), z = (-8 + 3t) 3. (-8, -18, -2) 4.( 4 , −2 , −1 √21 √21 √21 ) 5. (3, 4, 3) 6. Trivial a cargo do leitor 9