FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES
Prof. Esp. Thiago Magalhães
VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
INTRODUÇÃO
Cumpre de início, distinguir grandezas escalares das grandezas vetoriais.
Grandezas escalares são aquelas que para sua perfeita caracterização basta
informarmos a sua magnitude, ou seja, seu valor algébrico seguido de uma
unidade de medida. Por exemplo, a massa, “o peso”, de uma pessoa
representa uma grandeza escalar, pois basta expressar seu valor, por exemplo,
60 kg, para ficar bem definida. Outros exemplos: a altura, a temperatura, o
comprimento e etc.
Por sua vez, as grandezas vetoriais são aquelas que para sua perfeita
caracterização, além da magnitude, precisamos informar a sua direção, seu
sentido e em alguns casos o ponto de aplicação. Exemplos: velocidade,
aceleração, quantidade de movimento, etc.
Vetor é o ente matemático que representa as grandezas vetoriais.
Geometricamente, representado por um segmento de reta orientado.
Características do vetor:
1. módulo: também conhecido como norma, comprimento, intensidade ou

magnitude é representado, simbolicamente, por AB ;
2. direção: é dada pelo ângulo,  , que o segmento de reta faz com a
horizontal do sistema de eixos cartesianos;
3. sentido: a seta indica o sentido de percurso.
GAAL – Geometria Analítica e Álgebra Linear
Página 74
FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES
Prof. Esp. Thiago Magalhães
Dois segmentos orientados de reta que têm a mesma direção, sentido e
comprimento são ditos equivalentes. Na figura, os segmentos RS e OP são
equivalentes.
Para comprovar esta afirmação, podemos usar a fórmula de distância entre
dois pontos para calcular os comprimentos destes dois segmentos e comprovar
que eles têm o mesmo módulo. De fato,
|| RS ||=
1  (4))
2

 (6  2) 2  5
e
|| OP || =
(3  0) 2  (4  0) 2  5
Além disso, a declividade da reta que passa pelos pontos (-4,2) e (-1,6) é
4
e
3
é igual à declividade da reta que passa pelos pontos (0,0) e (3,4) e, portanto,
as retas suportes dos segmentos são paralelas, o que confirma que estes
segmentos têm a mesma direção.
Vetor no plano: Um vetor no plano é representado por um par ordenado de

números reais. Notação: v  ( x, y) , onde ‘x’ e ‘y’ são denominadas as
componentes do vetor v.
Ex.: u = (2, -4); v = (0, 0); w = (2,7; -4,7), são todos vetores do plano.
Como vimos anteriormente, generalizando, para calcularmos o módulo ou a
norma de um vetor, utilizamos da seguinte fórmula:
GAAL – Geometria Analítica e Álgebra Linear
Página 75
FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES
Prof. Esp. Thiago Magalhães


v  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2 , onde o vetor v , representado pelas coordenadas
de sua origem e de sua extremidade, respectivamente, ( x1 ,y1 ) e ( x2 ,y2 ) .
Vetor no espaço: este é representado por uma terna ordenada de números
reais.
Notação desse vetor no espaço:

Notação: v  ( x, y, z ) , com ‘x’, ‘y’ e ‘z’ as componentes desse vetor.
Ex: u = (1, -5, 7); v(1, 0, 0);
w = (2,9; 3,1; 5,2), todos vetores do espaço.
O módulo ou a norma de um vetor no espaço é dado por:

v  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2 , cujas coordenadas de sua origem e
extremidade são, respectivamente, ( x1 , y1 , z1 ) e ( x2 , y2 , z2 ) .
OBS.: 1ª) Se dois vetores tiverem o mesmo módulo, a mesma direção e o
mesmo sentido, então eles são iguais.
2ª) Se forem representados por segmentos de retas diferentes, mas
com o mesmo comprimento, o mesmo sentido e a mesma direção, eles são
iguais.
Representação de um vetor no plano e no espaço em função de um
sistema de coordenadas cartesianas.
No plano: a representação do vetor v = (x, y) é feita por um segmento de reta
com origem do sistema de coordenadas cartesianas, ou seja, O(0,0), e a
extremidade no ponto P(x,y), conforme figura abaixo.
GAAL – Geometria Analítica e Álgebra Linear
Página 76
FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES
Prof. Esp. Thiago Magalhães
No espaço: a representação do vetor v = (x, y, z) é feita por um segmento de
reta com origem do sistema de coordenadas cartesianas, ou seja, no ponto O
(0, 0, 0), e com extremidade no ponto P (x, y, z), conforme figura abaixo.


Vetor nulo: é o vetor de coordenadas 0  (0,0) , no plano e o vetor 0  (0,0,0) ,
no espaço.
Obs.: Os vetores i  (1,0) e j  (0,1) são denominados vetores canônicos do
plano; os vetores
i  (1, 0, 0), j  (0,1, 0), k  (0,0,1) são denominados vetores
canônicos do espaço.
Vetor oposto: Dado o vetor v, existe o vetor - v, que possui o mesmo módulo e
mesma direção do vetor v, porém, de sentido oposto.
Vetor unitário: Chamaremos de VERSOR ou VETOR UNITÁRIO, ao vetor cujo
módulo seja igual à unidade, ou seja, u 1 .
OPERAÇÕES COM VETORES
Adição de vetores: A soma de dois vetores ‘u’ e ‘v’ é outro vetor, representado
por u + v, obtido pela adição de suas componentes correspondentes.
Ex.: Se u  ( x1 , y1 ) e v  ( x2 , y2 ) , vetores do plano, então a soma é o vetor
u  v  ( x1  x2 , y1  y2 ) .
GAAL – Geometria Analítica e Álgebra Linear
Página 77
FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES
Prof. Esp. Thiago Magalhães
Se u  ( x1 , y1 , z1 ) e v  ( x2 , y2 , z2 ) , vetores do espaço, então a soma é o valor
u  v  ( x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2 ) .
Multiplicação por escalar: a multiplicação de um vetor ‘v ‘por um escalar por
um número real ‘k’ é o vetor kV obtido pela multiplicação de todas as suas
coordenadas pela Constant ‘k’.
Exemplo: Se v = (x, y), então kv = (kx, ky), no plano;
Se v = (x, y, z), então kv = (kx, ky, kz)
Propriedades da adição e multiplicação por escalar:
P1. (u  v)  w  u  (v  w)

P2. u  0  u

P3. u  (u )  0
P4. u  v  v  u
P5. k (u  v)  ku  kv
P6. (k  k `)u  ku  k `u
P7. (kk`)u  k (k `u)
P8. 1u  u
Observações:

1ª) A distância entre dois pontos ‘A’ e ‘B’ é igual à norma do vetor AB .
2ª) Um vetor é chamado unitário se ele tiver norma (comprimento) igual a 1. Os
vetores canônicos são unitários. É possível encontrar um vetor unitário com a
mesma direção e sentido de um vetor dado. Como? Vejamos o exemplo: O
vetor v(2, 4, 1) não é unitário, pois v  21 . Para encontrar um vetor unitário
com a mesma direção e sentido de v, basta multiplicar v pelo inverso de sua
norma:
O vetor v  (
2
21
,
4
21
,
1
21)
) é unitário e tem a mesma direção e sentido de v.
GAAL – Geometria Analítica e Álgebra Linear
Página 78
FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES
Prof. Esp. Thiago Magalhães
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
01- Represente num sistema de coordenadas cartesianas:
a) o vetor do plano v(3, 5);
b) o vetor do espaço w(1, 2, 3).


02- Determine as componentes do vetor v  AB onde A(3, 4, 7) e B(5, -3, 4)
03- Se u = (3, -2) e v = (5, 1) , calcule u + v.
04- Se u = (5, -3, 7) e v = (0, 5, 1), calcule u + v.
05- Se u = (3, -2), calcule 2u.
06- Se u = (5, -3, 7) e v = (0, 5, 1), calcule 2u + 3v.
07- Dados u = (5, -3, 7) e v= (0, 5, 1), encontre os vetores:
a) w = 2v -3u;
b) t = (u – 3v)/5.

08- Qual é a norma do vetor v  AB , se A(3, -5) e B(-2, 4)?
09- Qual a norma do vetor nulo?
10- Qual a norma dos vetores canônicos do plano e do espaço?
GAAL – Geometria Analítica e Álgebra Linear
Página 79
FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES
Prof. Esp. Thiago Magalhães
GABARITO
01- a)
b)
02- (2,-7,-3)
03- (8,-1)
04- (5,2,8)
05- (6,-4)
06- (10,9,17)
07- a) (-15,19,-19)
b) (1, 0809- 0
10- Os vetores canônicos tanto no plano quanto no espaço são vetores
unitários, por tanto a norma desses vetores sempre serã0 iguais a 1.
GAAL – Geometria Analítica e Álgebra Linear
Página 80