Vetores
Definição:
São representações geométricas de algumas grandezas físicas
chamadas de grandezas vetoriais (força, velocidade, aceleração, etc).
Os vetores do plano ou do espaço, são representados por segmentos
orientados e têm, como símbolo, a seta.
Todos os segmentos orientados que têm a mesma direção, o mesmo
sentido e o mesmo comprimento são representantes de um mesmo
vetor. Por exemplo, no paralelogramo da figura abaixo, os segmentos
orientados AB e CD determinam o mesmo vetor v , e escreve-se:
→
→
→
v = AB = CD
→
→
→
B
D
A
C
Obs: AB =B − A
→
Quando escrevemos v = AB , estamos afirmando que o vetor é
→
→
determinado pelo segmento orientado AB de origem A e extremidade B.
Porém, qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma
→
direção e mesmo sentido de AB representa também o mesmo vetor v .
Assim sendo, cada ponto do espaço pode ser considerado como origem
→
→
de um segmento orientado que é representante do vetor v .
→
O comprimento ou o módulo, a direção e o sentido de um vetor v é o
módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus representantes.
→
Indica-se módulo de v por |v| ou por ||v||.
→
Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo),
que é indicado por zero.
A cada vetor não nulo v corresponde um vetor oposto – v , que tem o
→
→
mesmo módulo, a mesma direção, porém sentido contrário ao de v . Se
→
v = AB , o vetor BA é o oposto de AB , isto é, BA = – AB .
→
→
→
→
.
→
v
→
→
-v
→
Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção. Em
outras palavras: u e v são colineares se tiverem representantes AB e
CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.
v
→
u
→
B
u
→
D
B
A
C
v
→
A
D
C
Se os vetores u , v e w (o número de vetores não importa) possuem
→
→
→
representantes AB , CD e EF pertencentes a um mesmo plano π, dizse que eles são coplanares.
→
→
→
π
D
v
→
C
B
F
w
→
u
→
A
E
Casos Particulares de Vetores:
Dois vetores u e v são paralelos, e indica-se u // v , se os seus
representantes tiverem a mesma direção.
→
→
u
→
v
→
w
→
Dois vetores u e v são iguais, u = v , se tiverem iguais o módulo,
a direção e o sentido.
Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor
→
→
→
→
nulo), que é indicado por zero ou 0 . Pelo fato deste vetor não
possuir direção e sentido definidos, considera-se o vetor zero
paralelo a qualquer vetor.
→
Um vetor u é unitário se |u| = 1.
→
A cada vetor v , v ≠ 0, é possível associar dois vetores unitários
→
→
de mesma direção de v . u e – u . Na figura abaixo, tem-se que |v|
→
→
→
= 3 e |u| = |–u| = 1. O vetor u que tem o mesmo sentido de v é
→
→
chamado versor de v . Na verdade o vetor u não é só versor do
→
→
vetor v , mas sim de todos os vetores paralelos e de mesmo
→
sentido de v e medidos com a mesma unidade.
→
v
→
u
→
−u
→
Dois vetores u e v são ortogonais, se algum representante de u
formar ângulo reto (90º) com algum representante de v.
Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano onde
estes vetores estão representados. É importante observar que
dois vetores u e v quaisquer são sempre coplanares, pois basta
considerar um ponto P no espaço, e com origem nele, traçar os
→
→
dois representantes de u e v pertencendo ao plano π que passa
por aquele ponto.
→
→
π
v
→
P
u
→
Operações com Vetores:
Adição de vetores:
Sejam os vetores u e v representados, na figura abaixo, pelos
→
→
segmentos orientados AB e BC , respectivamente.
→
→
B
v
u
→
A
→
u +v
→
→
C
Os pontos A e C determinam o vetor soma AC = u + v .
→
→
→
Observações:
1) A diferença de dois vetores u e v quaisquer é o vetor u +  − v  .
→
→
→
→


Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos
→
→
orientados AB e AC , respectivamente. Construído o
paralelogramo ABCD, da figura abaixo, verifica-se que a soma
→
→
u + v é representada pelo segmento orientado AD (uma das
→
→
→
diagonais) e que a diferença u − v é representada pelo segmento
→
→
orientado CB (a outra diagonal).
→
v
→
B
u
→
D
u +v
→
→
−v
→
B
u −v
u
→
u
→
→
v +u
→
A
→
C
v
→
A
D
u
→
→
C
v
→
2) Quando os vetores u e v estão aplicados no mesmo ponto,
verifica-se que:
→
→
A soma u + v (ou v + u ) tem origem no referido ponto;
→
→
→
→
A diferença u − v tem origem na extremidade de v (e, por
→
→
→
conseguinte, a diferença v − u tem origem na extremidade de u ).
→
→
→
Multiplicação de um número real por um vetor:
Dado um vetor v ≠ 0 e um número real k ≠ 0, chama-se produto do
→
número real k pelo vetor v o vetor p = k v , tal que:
→
→
→
Módulo: |p| = |k.v| = |k| . |v|;
Direção: a mesma de v ;
→
Sentido: o mesmo de v se k > 0; e o contrário v de se k < 0.
→
→
A figura abaixo mostra o vetor v e os correspondentes 2 v e –3 v .
→
v
→
→
→
2v
→
–3 v
→
Observações:
1) Se k = 0 ou v = 0, o vetor k v é o vetor 0 ;
→
→
→
2) Se k = –1, o vetor (–1) v é o oposto de v , isto é, (–1) v = – v .
→
→
→
→
3) Considerando o ponto O como origem de v , v ≠ 0, e de todos os
→
→
vetores α v que lhe são paralelos (figura abaixo), se fizermos α
assumir todos os valores reais, teremos representados em uma só
→
reta todos os vetores paralelos a v .
→
Por outro lado, supondo u // v , v ≠ 0, sempre existe um número
→
→
→
real α tal que u = α v .
→
→
Por exemplo, na figura abaixo, onde DC está dividido em cinco
↔
segmentos congruentes, em relação ao vetor AB (| AB | = 2), temse:
→
→
3 →
AC = AB
2
BD = −2 AB
→
5 →
CD = − AB
2
→
→
→
4) Vimos nos casos particulares de vetores, que a cada vetor v , v ≠
→
→
0, é possível associar dois vetores unitários paralelos a v . O vetor
→
unitário
1
|v|
→
v ou
→
v
→
|v|
→
de mesmo sentido de é o versor de v .
→
Por exemplo,
v
se | v | = 5, o versor de v é
;
|5|
→
→
se | v | =
→
→
→
→
1
, o versor de v é 3 v ;
3
v
se | v | = 10, o versor de – v é –
;
| 10 |
→
→
→
Exercícios Propostos:
1) A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes.
Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
2) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é
verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
3) Com base na figura, determinar os vetores abaixo, expressando-os
com origem no ponto A:
4) Com base na figura, determinar os vetores abaixo, expressando-os
com origem no ponto A:
5) Seja o vetor v ≠ 0. Determinar o vetor paralelo a v tal que
→
→
a) tenha o mesmo sentido de v e módulo 5;
→
b) tenha sentido contrário ao de v e módulo 10.
→