É só o Filé!
TRIGONOMETRIA
sen
120°
90°
tg
60°
135°
45°
30°
150°
0°/360°
180°
0
cos
210°
225°
330°
315°
240°
300°
270°
Fred Tavares
É só o Filé!
TRIGONOMETRIA
sen
120°
90°
tg
60°
135°
45°
30°
150°
0°/360°
180°
0
cos
210°
225°
330°
315°
240°
300°
270°
Fred Tavares
Teorema Fundamental da
Trigonometria
sen   cos  1
2
2
Demonstração ...
sen
1
·
θ
sen θ
)θ
-1
0
cos θ
-1
1
cos
Continuação...
sen
1
1
)θ
-1
0
cos θ
-1
sen θ
1
cos
Continuação...
1
sen θ
)θ
cos θ
Utilizando o teorema de
Pitágoras h2 = c2 + c2, temos :
sen   cos  1
2
2
CMPQD
Relações Trigonométricas no
Triângulo Retângulo
)θ
Hipotenusa
Continuação ...
Ente
Trigonométrico
Seno de θ
Cosseno de θ
Tangente de θ
Cossecante de θ
Secante de θ
Cotangente de θ
Relação no Triângulo
Retângulo
CO
HI
CA
cos 
HI
CO
tg 
CA
1
HI
cossec  

sen  CO
1
HI
sec  

cos CA
sen  
cotg  
1 CA

tg CO
Na Circunferência Trigonométrica
sen
tg
·
tg θ
sen θ
)θ
0
cos θ
cos
Continuação ...
cotg θ
cossec θ
·
)θ
0
secante θ
cotg
Arcos Notáveis
sen
120°
90°
tg
60°
135°
45°
30°
150°
0°/360°
180°
0
cos
210°
225°
330°
315°
240°
300°
270°
Tabela de Entes Trigonométricos
...
arco
rad
seno
cosseno
0°
30°
45°
0

6

4
0
1
2
sen
cos

3
2
2
1
3
2
2
2
0
3
3
1
tangente
60°
3
2
1
2
3
90°

2
180°
270°
2
3

360°
2
1
0
-1
0
0
-1
0
1
---
0
---
0
Vamos pensar . . .
?
Que tal fazermos um teste para verificação do
que foi apresentado?
Observem a figura ao lado
1) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que o sen a vale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/b
c.o. b
sen a 

hip c
2) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que o cos a vale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/b
c.a. a
cos a 

hip c
3) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que a tg a vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c
c.o. b
tg a 

c.a. a
4) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que a cotg a
vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c
c.a. a
cot g a 

c.o. b
5) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que tg a .cotg a
vale:
a) 1/a
b) 1/c
c) 1/b
d) 0
tg a . cot g a
e) 1
c.o. c.a.
.
1
c.a. c.o.
6) Se a = 3b, podemos
dizer então, que
sen2 a + cos2 a vale:
a) b2 / a2
b) 9c2 / b2
c) 0
Pelo teorema fundamental da
trigonometria, temos que:
d) 1
sen2  + cos2  = 1
e) (c2 + b2) / 9a2
sec2 a  1  tg2 a
7) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que sec2a - 1
vale:
a) tg2a
b) cotg2a
c) - 1
d) 0
e) 1
sen2 a  cos2 a  1
sec a 
1
, log o
cos a
sec a 2
 1 

 
 cos a 
sen2 a  1  cos2 a
2
 sec 2 a 
1
cos2 a
2
2
1
1

cos
a
sen
a
2
2
sec2 a  1 

1



sec
a

1

tg
a
2
2
2
cos a
cos a
cos a
8) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que cossec2a - 1
vale:
cossec2 a  1  cot g2 a
a) tg2a
b) cotg2a
c) - 1
d) 0
cos sec a 
1
, log o
sen a
cos sec a 
 1 

 
sen
a


2
e) 1
2
 cos sec 2 a 
1
sen2 a
1
1  sen2 a cos2 a
2
2
cossec a  1 

1



cos
sec
a

1

cot
g
a
2
2
2
sen a
sen a
sen a
2
9) Se sen a  b/c,
então, calculando o
valor de

1 

y  cot g a .( 1 cosa ). 1
 cosa 
chegaremos a:
a) a/c
b) b/c
Procure sempre partir da relação fundamental
c) a/b
Resposta na outra folha
d) b/a
e) 1
sen2 a  cos2 a  1

1 

y  cot g a . (1  cos a ). 1 
 cos a 
sen2 a  1  cos2 a
 cos a  1
cos a

y
. (1  cos a ). 
sena
 cos a 
1
y
. (1  cos a). cos a  1
sena
1
y
. sen2 a
sena
1
y
. (cosa  1  cos2 a  cosa)
sena
1
y
. ( 1  cos2 a )
sena
y  sen a
b
y
c
Voltando
para a parte teórica...
Lei dos Senos
Seja um triângulo ABC qualquer
C
^
C
b
^
)
a
^
A
B
A
(
c
a

senA

b

senB
temos :
B

c

senC
Lei dos Cossenos
Seja um triângulo ABC qualquer
C
^
C
b
^
)
a
^
A
B
A
c
(
B
temos :

a  b  c  2 b c cos A ou
2
2
2

b 2  a 2  c 2  2 a c cos B ou

c 2  a 2  b 2  2 a b cos C
Gráficos das funções
trigonométricas
Senóide
y
sen
x
1
•
-180° -90°
0°
•
90
°
•
•
1
•
180
°
270
°
•
360
°
•
•
450
°
630
540 °
•
•
°
•
720
°
x
Cossenóide
y
cos
x
1
•
-180°
-90°
0°
•
•
•
1
90
°
180
°
•
270
°
•
•
360
°
•
540°
•
630°
450
°
•
•
720°
x
Tangente
y
tg x
•
-90°
•0° •
90°
•180° •
270°
•
360
°
•
450
°
•
540°
•
630°
x
Cossecante
y
cossec
x
-180° -90°
•
1
•
0°
•
90°
•
•180
270
°
°
•
1
•
•
360
°
630°
450
°
•540°
•
•720° x
Secante
y
sec
x
-180°
1
•
-90°
•
•
•
• 90°
0°
1
180
°
•
•
270
°
360
°
•
•450
540°
•
630°
°
•
720°
x
Continuação ...
y
cotg x
•
0°
90°
•
270°
•180° •
450
360 °
•
°
•
630°
•540° •
•720°
x
Trigonometria
Algumas Aplicações
Parte Prática
O exemplo clássico da Sombra
Para
que
possamos
medir
(aproximadamente) a altura de um prédio,
sem a necessidade de subir ao terraço, ou
utilizar equipamentos sofisticados, seria
necessário somente 2 elementos.
São eles:
uma distância
um ângulo
Observe a seguir . . .
Conhecendo a distância d que vale 50 metros e o
ângulo a que vale 30°, podemos dizer então que:
c.o.
tg a 
c.a.
tg a . d  h

portanto: h  d . tg a
h
tg a 
d
h  d . tg a
h  50 . tg 30
h  50 . 0,57735026919
h  28,8675 metros
Exemplo 01.
Uma rampa com inclinação constante, (como
a que existe em Brasília) tem 6 metros de
altura na sua parte mais elevada. Um
engenheiro começou a subir, e nota que após
ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está
a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será
que este engenheiro somente com esses dados
e uma calculadora científica conseguiria
determinar o comprimento total dessa rampa e
sua inclinação em relação ao solo?
Como poderíamos resolver essa situação?
Como sugestão, faremos um “desenho” do que
representa essa situação.
Observemos:
Comprimento total da rampa
6 metros
16,4 metros
2 metros

solo
6 metros
16,4 metros
2 metros

Observemos o triângulo retângulo em destaque . . .
16,4 metros
hip
c.o.

2 metros
c.a.
Temos em relação
ao ângulo :
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros
Como:
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros
16,4 metros
hip
c.o.

2 metros
c.a.
c.o.
2
sen 

 0,121951219512
hip 16,4
Obs.: quando dizemos que arcsen a = 1/2 , podemos
transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco,
cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que a = 30°.
Em nosso exercício, chegamos a conclusão
que:
sen  = 0,121951219512, logo podemos encontrar
o ângulo , com o auxílio da calculadora que
normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1,
então, devemos digitar 0,121951219512 e a opção
acima de sua calculadora.
Se o processo foi realizado corretamente,
deverá ser encontrado o valor 7,00472640907, que
iremos considerar como aproximadamente 7°.
Encontramos assim, a inclinação da rampa!
Notamos que os triângulos abaixo são semelhantes,
portanto, podemos dizer que  é válido para ambos
16,4 metros
hip
c.o.

2 metros
c.a.
6 metros
  7
c.o.
c.o
Como: sen 
 sen . hip  c.o.  hip 
hip
sen
c.o
6
6
hip 


 49,2
sen sen7
0,121951219512
Chegamos a conclusão que o
comprimento total da rampa é 49,2 metros
Exemplo 2
Mecânica Geral
ou Trigonometria?
Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência no estudo da
Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros assuntos.
Abaixo segue um problema CLÁSSICO de física e trigonometria
Em relação ao sistema de forças
representado na figura, onde
F1 = 20N,
F2 = 100N, F3 = 40N e
F4 = 10N, você
seria capaz de determinar a
intensidade da resultante do
sistema e o ângulo que essa
resultante forma com o eixo
das abscissas (x)?

Em primeiro lugar, teremos que fazer as projeções de F 2 nos eixos das abscissas e das

F2( x)
ordenadas, obtendo assim, respectivamente os componentes


Fe 2 ( y ) .

F 3 (x)
Analogamente, encontraremos as projeções de F 3 , encontrando os componentes

Fe 3 ( y )
.
 
R (x) 
A resultante relativa ao eixo das abscissas 
 é obtida
da seguinte maneira:




R ( x )  F 2 ( x )  F1  F 3 ( x )
F2 ( x )

c.a
cos
a

.

cos
45


 cos 45 .F2  F2 ( x )  F2 ( x )  F2 . cos 45

hip
F2

Como 
F
cos a  c.a .  cos 60  3 ( x )  cos 60 .F3  F3 ( x )  F3 ( x )  F3 . cos 60

hip
F3
 F2 ( x )  F2 . cos 45  100 . 0,70  F2 ( x )  70 N
Por tan to 
 F3 ( x )  F3 . cos60  40 . 0,5  F3 ( x )  20 N




R ( x )  F 2 ( x )  F1  F 3 ( x )

R ( x )  70  20  20

R ( x )  70 N
 
R ( y) 
A resultante relativa ao eixo das abscissas 
 é obtida
da seguinte maneira:




R (y)  F 2(y)  F 4  F 3(y)
F2 ( y )

c.o
sen
a

.

sen
45


 sen 45 .F2  F2 ( y )  F2 ( y )  F2 . sen 45

hip
F2

Como 
F
sena  c.o .  sen60  3 ( y )  sen60 .F3  F3 ( y )  F3 ( y )  F3 . sen60

hip
F3
 F2 ( y )  F2 . sen45  100. 0,70  F2 ( y )  70 N
Por tan to 
 F3 ( y )  F3 . sen60  40 . 0,86  F2 ( y )  34,4 N




R (y)  F 2(y)  F 4  F 3(y)

R ( y )  70  10  34,4

R ( y )  25,6 N
 F2 ( y )  F2 . sen 45  100. 0,70 F2 ( y )  70 N
Por tanto 
 F3( y )  F3 . sen 60  40. 0,86 F2 ( y )  34,4 N




R ( y)  F 2( y)  F 4  F3( y)

R ( y )  70 10  34,4

R ( y )  25,6 N


Colocando R ( x ) e R ( y ) , nos eixos das abscissas e das
ordenadas, respectivamente,
Percebemos que a figura formada pelas forças é um
triângulo retângulo, em que sua hipotenusa é a Força



Resultante R , R ( x ) é o cateto adjacente a a e R ( y ) o
cateto oposto a a, então, vale o teorema de Pitágoras para

calcularmos o valor de R .
Observe que são problemas bem clássicos e resolvidos da mesma forma.
h2  c 2  c 2
2
2
 




R

R

R
 
 (x) 
 (y) 
 







2
 
2
2
 R   70  25,6 
 

2
 
 R   4900  655,36
 

2
 
 R   5555,36
 


R 

5555,36
R  74,53 N
2
Para o cálculo do ângulo a, temos:

c.o. R( y ) 25,6
tg a 
  
 0,3657
c.a. R
70
(x)
tg a  0,3657
Esse é o valor da tangente do ângulo a
Para calcularmos o valor do ângulo a,
temos que encontrar o arctg a, então:
a  arctg a  arctg 0,3657
a  20

Concluímos então que a Resultante R  74,53 N e forma
um ângulo a  20 com o eixo x.
Mais um Problema Clássico de Vestibular
Questão01. Um alpinista muito ágil, percorre um
trajeto passando pelos pontos A e B. Não se sabe ao certo o
que ocorreu, mas ele conseguiu com o material apropriado
chegar a conclusão das medidas abaixo mencionadas. Quando
chega até a árvore ele percebe que o único caminho que o
levará até o ponto C é escalando-a. (a altura da árvore é
representada por h - despreze a largura do tronco)
Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos
minutos ele demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto
C? ( 3 1,7 )
Solução:
Resumidamente,
temos o triângulo ao
lado que representa
nosso desafio.
tg 30 
c.o.
h

 tg 30 . (20  y )  h  h  tg 30 . (20  y )
c.a. (20  y )
3
h
. (20  y ) ( I )
3
tg 60 
h
c.o. h

 tg 60 . y  h  h  tg 60 . y
c.a.
y
3 . y ( II )
Igualando o h das equações ( I ) e (II)
3
(I) h 
. (20  y )
3
( II ) h 
3 .y
3
. (20  y )  3 . y

3 . (20  y )  3 .
3
 (20  y )  3 . y  20  3 y  y  20  2y
 y  10 metros
Como
h
3 .y
h  1,7 .10
h  17 metros
3 .y
Agora com o valor das medidas temos condição de
determinar quanto ele percorreu do ponto A até o
ponto C, observe:
17 metros para
subir a árvore
v = 0,2 m/s
30 metros
17 metros para
descer da árvore
De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros
Portanto
s
s
V
 V . t  s  t 
t
V
64
320 segundos
t 
 320 segundos  t 

0,2
60
t  5,333 min utos ou t  5 min utos e 20 segundos
RESUMÃO DE FÓRMULAS
Relações básicas
sen2 α + cos2 α = 1
tan α . cot α = 1
1 + tan2 α = 1 / cos2 α
1 + cot2 α = 1 / sen2 α
Relações com quadrantes
Obs: valores de ângulos em graus. Conversão para radianos:
90 → π/2
180 → π
sen (90 + α) = + cos α
sen (180 + α) = − sen α
cos (90 + α) = − sen α
cos (180 + α) = − cos α
270 → 3π/2
360 → 2π
sen (90 − α) = + cos α
sen (180 − α) = + sen α
cos (90 − α) = + sen α
cos (180 − α) = − cos α
RESUMÃO DE FÓRMULAS
tag (90 + α) = − cot α
tan (180 + α) = + tan α
cot (90 + α) = − tan α
cot (180 + α) = + cot α
sen (270 + α) = − cos α
sen (360 + α) = + sen α
cos (270 + α) = + sen α
cos (360 + α) = + cos α
tan (270 + α) = − cot α
tan (360 + α) = + tan α
cot (270 + α) = − tan α
cot (360 + α) = + cot α
sen (−α) = − sen α
tan (−α) = − tan α
sen (α ± k 360) = + sen α
tan (α ± k 180) = + tan α
tan (90 − α) = + cot α
tan (180 − α) = − tan α
cot (90 − α) = + tan α
cot (180 − α) = − cot α
sen (270 − α) = − cos α
sen (360 − α) = − sen α
cos (270 − α) = − sen α
cos (360 − α) = + cos α
tan (270 − α) = + cot α
tan (360 − α) = − tan α
cot (270 − α) = + tan α
cot (360 − α) = − cot α
cos (−α) = + cos α
cot (−α) = − cot α
cos (α ± k 360) = + cos α
cot (α ± k 180) = + cot α
O símbolo k significa um número inteiro e positivo.
RESUMÃO DE FÓRMULAS
Relações com soma / diferença de ângulos
sen (α ± β) = sen α cos β ± cos α sen β
cos (α ± β) = cos α cos β ± sen α sen β
tan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ± tan α tan β)
cot (α ± β) = (cot α cot β ± 1) / (cot β ± cot α)
Relações com soma / diferença / produto de funções
sen α + sen β = 2 sen (α + β)/2 . cos (α − β)/2
sen α − sen β = 2 cos (α + β)/2 . sen (α − β)/2
cos α + cos β = 2 cos (α + β)/2 . cos (α − β)/2
cos α − cos β = − 2 sen (α + β)/2 . sen (α − β)/2
RESUMÃO DE FÓRMULAS
a sen x + b cos x = √ (a2 + b2) sen (x + φ) onde φ = arctan b/a se
a ≥ 0 ou
φ = arctan b/a ± π se a < 0
tan α ± tan β = sen (α ± β) / (cos α cos β)
cot α ± cot β = sen (β ± α) / (sen α sen β)
sen α sen β = (1/2) cos (α − β) − (1/2) cos (α + β)
sen α cos β = (1/2) sen (α + β) + (1/2) sen (α − β)
cos α cos β = (1/2) cos (α + β) + (1/2) cos (α − β)
tan α tan β = (tan α + tan β) / (cot α + cot β) = − (tan α − tan β) / (cot α − cotβ)
cot α cot β = (cot α + cot β) / (tan α + tan β) = − (cot α − cot β) /(tan α − tan β)
cot α tan β = (cot α + tan β) / (tan α + cot β) = − (cot α − tan β) /(tan α − cot β)
Relações diversas
sen α = 2 sen α/2 . cos α/2
cos α = cos2 α/2 − sen2 α/2
tan α = sen α / cos α
cot α = cos α / sen α
sen α = tan α / √(1 + tan2 α)
cos α = cot α / √(1 + cot2 α)
tan α = sen α / √(1 − sen2 α)
cot α = cos α / √(1 − cos2 α)
sen α = √(cos2 α − cos 2α)
Relações diversas
cos α = 1 − 2 sen2 α/2
tan α = √[ (1/cos2 α) − 1 ]
cot α = √[ (1/sen2 α) − 1 ]
sen α = √[ (1 − cos 2α) / 2 ]
cos α = √[ (1 + cos 2α) / 2 ]
tan α = [ √(1 − cos2 α) ] / cos α
cot α = [ √(1 − sen2 α) ] / sen α
sen α = 1 / √(1 + cot2 α)
cos α = 1 / √(1 + tan2 α)
sen 2α = 2 sen α cos α
Relações diversas
cos 2α = cos2 α − sen2 α
cos 2α = 2 cos2 α − 1
cos 2α = 1 − 2 sen2 α
tan 2α = 2 tan α / (1 − tan2 α)
tan 2α = 2 / (cot α − tan α)
cot 2α = (cot2 α − 1) / (2 cot α)
cot 2α = (1/2) cot α − (1/2) tan α
sen α/2 = √[ (1 − cos α) / 2 ]
cos α/2 = √[ (1 + cos α) / 2 ]
tan α/2 = sen α / (1 + cos α)
cot α/2 = sen α / (1 − cos α)
tan α/2 = (1 − cos α) / sen α
cot α/2 = (1 + cos α) / sen α
tan α/2 = √[ (1 − cos α) / (1 + cos α) ]
Pessoal, espero ter contribuído um pouco mais para o seu sucesso.
Abraços
Fred Tavares
www.nordesttino.com
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