UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ
Coordenação de Matemática
7a Lista de Exercı́cios - Autovalores, Autovetores e Diagonalização
Álgebra Linear - 2015.1
Professor Márcio Nascimento
Fonte: Geometria Analı́tica e Álgebra Linear (Manuel Azevedo), Álgebra Linear e suas aplicações (David
C. Lay), Introdução à Álgebra Linear (Gilbert Strang), Álgebra Linear (Murdoch)
1. Vimos em sala que um autovalor pode ter associado a ele mais de um autovetor (na
verdade, um autovalor pode gerar um autoespaço de dimensão maior do que um).
Mostre que a recı́proca não é verdadeira, isto é, que um autovetor está associado a a
único autovalor.
2. É verdade que 5 é um autovalor para a matriz abaixo?


6 −3 1


A = 3 0 5


2 2 6
3. Também podemos calcular autovalores e autovetores de uma matriz quadrada A.
Seja A uma matriz de ordem n × n e p(λ) = det(A − λ.In ) o polinômio caracterı́stico da
matriz A.
(a) Sejam λ1 , λ2 , ..., λn as raı́zes de p (isto é, os autovalores de A). Mostre que det A
é igual ao produto dos autovalores.
(b) O Traço de uma matriz é a soma dos elementos de sua diagonal principal.
Sendo A uma matriz de ordem 2 × 2, mostre que o traço de A é igual a soma de seus
autovalores. O mesmo acontece para matrizes de ordens superiores?
(c) Mostre que uma matriz A e sua transposta têm os mesmos autovalores.
(d) Se a soma dos elementos de cada linha de A resulta sempre no mesmo valor s,
mostre que s é um autovalor de A.
(e) Se a soma dos elementos de cada coluna de A resulta sempre no mesmo valor s,
mostre que s é um autovalor de A.
4. Dizemos que duas matrizes An×n e Bn×n são semelhantes quando existe uma matriz
Pn×n não singular1 tal que B = P−1 .A.P. Comprove as seguintes sentenças:
(a) Se A e B são semelhantes então det A = det B.
(b) A aplicação TP : Rn×n −→ Rn×n dada por TP (A) = P−1 .A.P onde P ∈ Rn×n é uma
matriz fixada e não singular, é uma Transformação Linear chamada Transformação de
Semelhança por P. A matriz TP (A) é chamada transformada de A por P.
(c) Mostre que a Transformação de Semelhança por P definida no item anterior é
um isomorfismo.
(d) Mostre que matrizes semelhantes têm os mesmos autovalores.
(e) Mostre que se A e D são matrizes semelhantes, sendo D uma matriz diagonal,
então os elementos da diagonal principal de D são os autovalores de A.
1
que possui inversa
1
5. Pesquise o que é uma relação de equivalência e mostre que a semelhança de matrizes
é uma tal relação.
6. Uma matriz quadrada A é dita diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal
D.
(a) Seja P uma matriz qualquer de ordem n × n. Sejam v1 , v2 , ..., vn as colunas de P.
Mostre que as colunas de AP são Av1 , Av2 , ..., Avn .
(b) Seja D uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são λ1 , λ2 , ..., λn .
Mostre que as colunas de PD são λ1 v1 , λ2 v2 , ..., λn vn .
(c) Suponha que A seja diagonalizável, isto é, existem P inversı́vel e D diagonal de
modo que A = PDP−1 . Mostre que Av1 = λ1 v1 , Av2 = λ2 v2 , ..., Avn = λn vn .
(d) A partir do item anterior, mostre que λ1 , λ2 , ..., λn são autovalores de A e que
v1 , v2 , ..., vn são os autovetores associados.
(e) Agora, tome uma matriz P cujas colunas são autovetores de A linearmente
independentes. Use os autovalores associados para montar D e mostre que A e D são
semelhantes.
"
#
4 −3
7. Seja A =
.
2 −1
(a) Encontre os autovalores de A.
(b) Determine dois autovetores LI; chame-os de v1 , v2 .
(c) Defina P como sendo a matriz cujas colunas são os vetores determinados no
item anterior.
(d) Defina D como sendo a matriz cuja diagonal principal é formada pelos valores
encontrados no item (a).
(e) Determine A8 através das matrizes encontradas nos itens (c) e (d).
"
#
" #
" #
−3 12
3
2
8. Seja A =
. Se v1 =
e v2 =
são autovetores de A, diagonalize A, isto é,
−2 7
1
1
encontre uma matriz diagonal D tal que A e D sejam semelhantes.
9. Seja λ um autovalor de uma matriz não singular A. Mostre que
matriz A−1 .
1
é autovalor para a
λ
10. Em cada item a seguir, defina T : R2 −→ R2 por T(v) = A.v e determine uma base B
para o R2 com a propriedade de que [T]B seja matriz diagonal.
"
#
0 1
(a) A =
−3 4
"
#
5 −3
(b) A =
−7 1
"
#
4 −2
(c) A =
−1 3
"
#
2 −6
(d) A =
−1 3
2