Universidade Federal do Rio Grande do Norte
DIM0430 - Lógica Aplicada a Computação – 2009.3
Professor: Aquiles Burlamaqui
Sumário
 Introdução
 Evolução Histórica da Lógica Modal
 Modalidades Aléticas
 Lógicas Modais
 Lógica Epistêmica
 Lógica Temporal
 Lógica Deôntica
 Lógica Doxástica
 Outras Lógicas Modais
 Semântica de Kripke
 Aplicações
Introdução
• Lógica Modal é o estudo do comportamento dedutivo de
expressões que tratam de modos quanto ao:
– Possibilidade
– Necessidade
– Probabilidade
– Tempo
– Outros
Evolução Histórica da Lógica Modal
• 1933 - Rudolf Carnap e Kurt Gödel
– Possibilidade, Necessidade e Probabilidade
• 1937 - Robert Feyes
– Sistema T de Lógica Modal
• 1951 - Georg Henrik Von Wright
– Sistema M, que é elaborado sobre o Sistema T
• 1955 - C.I.Lewis
– Sistemas modais S1, S2, S3, S4 e S5, sobre o Sistema M
• 1965 - Saul Kripke
– Sistema modal normal mínimo K
Modalidades Aléticas
• O termo "alética" deriva da palavra grega "aleteia"
que quer dizer verdade.
• Tipos de Proposições:
– Necessárias
• Proposições que necessariamente são verdadeiras
ou falsas, ou seja, sua negação é impossível.
“2+2 = 4”
Modalidades Aléticas
• O termo "alética" deriva da palavra grega "aleteia"
que quer dizer verdade.
• Tipos de Proposições:
– Possíveis
• Proposições que podem levar a uma ocorrência, ou
seja, ela não é necessariamente falsa
“Pode estar chovendo em Natal agora”
Modalidades Aléticas
• O termo "alética" deriva da palavra grega "aleteia"
que quer dizer verdade.
• Tipos de Proposições:
– Contingentes
• Proposições que podem ser ou não verdades
“Sócrates era um filósofo”
Modalidades Aléticas
• O termo "alética" deriva da palavra grega "aleteia"
que quer dizer verdade.
• Tipos de Proposições:
– Impossíveis
• Proposições que marcam a impossibilidade de um
acontecimento
“Uma pedra tem emoções”
Possibilidade Física
• Uma dada proposição é dita fisicamente possível quando
é permitida pelas leis naturais ou científicas.
“Possivelmente existe um átomo com número atômico 150”
• Possibilidade Lógica x Física
“É possível acelerar um objeto além da velocidade da luz”
Possibilidade Metafísica
• O que é Real, Natural ou Sobrenatural?
– A Metafísica tenta esclarecer as noções de como as
pessoas entendem o mundo, incluindo a existência e a
natureza do relacionamento entre objetos e suas
propriedades, espaço, tempo, causalidade, e possibilidade.
– No ponto de vista da filosofia, existe uma ponderação
sobre as propriedades que um objeto possui
independentemente das leis científicas.
“Possivelmente irei falar com Deus hoje”
– Possibilidade Metafísica x Possibilidade Lógica
“Está chovendo e não está chovendo”
Lógicas Modais
• Alfabeto
– Operadores Unários Básicos
• □ (L) - Necessário
• ◊ (M) - Possível
– Símbolos
• Absurdo/Contradição: “”
• Pontuação: “(” e “)”
• Conectivos: “¬”, “∧”, “∨” e “⇒”
Lógicas Modais
• Definição do sistema base
Exemplos
• ◊ : é possível que  seja verdade
• □ : é necessário que  seja verdade
• □ ⇒ ◊ : aquilo que é necessário é possível
•  ⇒ ◊ : se algo é verdadeiro, então é possível
•  ⇒ □◊ : algo que é verdadeiro é necessariamente
possível
• ◊ ⇒ □◊ : aquilo que é possível é necessariamente
possível
Construção de sistemas
Outros axiomas
Lógica Epistêmica
– Epistemologia é a parte da filosofia que trata da
natureza e limitações do conhecimento
– A Lógica Epistêmica é um sub-campo da lógica modal
que trata do raciocínio sobre o conhecimento.
Modelagem da Lógica Epistêmica
• A lógica epistêmica é modelada utilizando o
conceito matemático
das estruturas
Kripke, e utilizando o sistema da lógica
modal.
Sintaxe
– Operadores Unários Básicos:
• K – “Sabe-se que”
– Substitui □
– Três outros operadores modais podem ser adicionados à
linguagem.
• E( g )- "todos os agentes no grupo G conhecem...".
• C( g ) - "é do conhecimento comum de todos os agentes
em g..."
• D( g ) - "o conhecimento é distribuído a todos os
agentes em g..."
Semântica
• Modelo de Kripke: Dado um conjunto de
proposições primitivas Φ, Um modelo de Kripke M
para n agentes sobre Φ é ( S , π , K1 , K2 , ... , Kn )
onde:
• S: É um conjunto não vazio de estados ou mundos
possíveis.
• Π: É uma interpretação que associa cada estado de
S com um valor verdade de uma proposição de Φ.
• K1, ... , Kn: São relações binárias em S para n
números de agentes.
Semântica
– A valor verdade depende não só da estrutura,
mas depende também do estado atual.
– Para mostrar que uma fórmula φ é verdade para
um certo estado escrevemos ( M , s ) ⊨ φ.
Normalmente lido como “φ é verdade em ( M , s ).
Propriedades
– Assumindo que Ki é uma relação de equivalência,
algumas propriedades do conhecimento podem
ser derivadas.
• Axioma da Distribuição (K)
• Axioma da Verdade (T)
• Axioma da Introspecção Positiva (4)
• Axioma da Introspecção Negativa (5)
• Regra da Generalização do Conhecimento (N)
Propriedades
• Axioma da Distribuição (K)
– Se um agente conhece φ e se ele sabe que φ → ψ,
então ele também conhece ψ.
( Ki φ ∧ Ki ( φ → ψ ) ) → Ki ψ
Propriedades
• Axioma da Verdade (T)
– Se o agente conhece fatos, então os fatos devem
ser verdadeiros.
Ki φ → φ
Propriedades
• Axioma da Introspecção Positiva (4)
– O agente sabe o que ele sabe.
Ki φ → Ki Ki φ
Propriedades
• Axioma da Introspecção Negativa (5)
– O agentes sabe o que não ele sabe.
¬Ki φ → Ki¬ Ki φ
Propriedades
• Regra da Generalização do Conhecimento (N)
– Se φ é verdade em todo mundo que o agente
considera como mundo possíveis, então o agente
deve conhecer φ em todos os mundos possíveis.
Se M ⊨φ então M ⊨ Ki φ
Propriedades
– Lógica Epistêmica também lida com a “crença”, e
não só apenas com o “conhecimento”. Para isso o
operador modal K pode ser substituído por B.
– Operador unário básico:
• B – “Acredita-se que”
– Devido a isso o Axioma da Verdade perde o sentido e é
substituído pelo Axioma da Constituição.
Propriedades
• Axioma da Constituição (conhecido como D)
– O agente não acredita na contradição
¬Bi⊥
Lógica Temporal
– A lógica temporal é outro subconjunto da lógica
modal que possui como objetivo de permitir a
variação da veracidade das asserções ao longo do
tempo.
Lógica Temporal
– Operadores Unários Básicos:
• G – “Sempre no futuro”
– Substitui □
• F – “Alguma vez no futuro”
– Substitui ◊
– É usual introduzir outro operador unário.
• O - “No próximo instante”
Lógica Deôntica
• A lógica deôntica estuda a validade de argumentos nos quais
frases regidas por expressões como “É obrigatório que...”, “É
permitido que...” desempenham papel relevante.
• Operadores Deônticos
– O – operador de Obrigação
– P – operador de Permissão
Pp = ¬O¬p
Op = ¬P¬p
Lógica Deôntica
• A lógica deôntica não possui o axioma T (reflexividade).
• Na lógica deôntica não podem valer as frases
– Op ⊃ p - Pois esta afirma que o que é obrigatório é
verdadeiro, ou seja, que a norma é sempre cumprida.
– p ⊃ Pp - Segundo esta, o que é verdadeiro é
permitido.
O Sistema Base
• Seja o operador de obrigação (O) tomado como
primitivo. Com o seu auxílio, os três axiomas do sistemapadrão podem ser formulados, da seguinte maneira:
– A1. Op ⊃ ¬O¬p
– A2. O(p & q) ≡ (Op & Oq)
– A3. O(p ∨ ¬p)
• Como P, por definição equivale a ¬O¬p, o axioma A1 diz o
mesmo que a fórmula Op ⊃ Pp.
O Sistema Base
• As regras de inferência do sistema padrão são as
seguintes:
– Regra da substituição de variáveis proposicionais: O
resultado da substituição uniforme de uma variável
proposicional por uma fórmula, num teorema,
também é um teorema.
– Regra do modus ponens: Se p e p ⊃ q forem
teoremas, então q também o será.
– Regra da extensionalidade deôntica: Se p e q forem
frases equivalentes, então Pp e Pq também o serão.
O Sistema Base
• A partir dos axiomas e regras do sistema base, os seguintes
teoremas podem ser derivados, dentre outros:
– ¬(Op & O¬p)
– [(Op ⊃ Oq) & Op] ⊃ Oq
– [(Op ⊃ Oq) & Pp] ⊃ Pq
– ¬ [O(p ∨ q) & (Fp & Fq)]
O Sistema Base
– {O[p ⊃ (q ∨ r)] & (Fq & Fr)} ⊃ Fp
– Op ⊃ O(p ∨ q)
– Fp ⊃ O(p ⊃ q)
– ¬p ⊃ (p ⊃ Oq)
– Fp ⊃ F(p & q)
Lógica Doxástica
• Lógica Doxástica é uma Lógica Modal voltada para o
raciocínio sobre as crenças
• O termo “doxástica” tem origens no grego antigo onde doxa
significa crença
• Normalmente, uma lógica doxástica utiliza “Bx” com o
significado “acredita-se que x é verdadeiro” e o seguinte
conjunto como sendo conjunto das crenças.
: { b1, b2, ..., bn }, onde b1 = B(x), b2 = B(p) ...
Tipos de raciocínio
• Para demonstrar as propriedades do conjunto
de crenças, Raymond Smullyan definiu os
seguintes tipos de raciocínios:
• Raciocínio Preciso: Nunca crê em qualquer proposição falsa
p(Bp  p)
Tipos de raciocínio
• Raciocínio Impreciso: Existe uma proposição na qual se crê e esta é
falsa
p(Bp ^ ¬p)
• Raciocínio Presunçoso: Acredita nunca ser impreciso.
B(¬p(Bp ^ ¬p))
• Raciocínio Consistente: Nunca crê simultaneamente em uma
proposição e em sua negação
¬p(Bp ^ B¬p)
• Raciocínio Normal: Sempre que se crê em p, se crê também que se
crê em p
p(Bp BBp)
Tipos de raciocínio
• Raciocínio Peculiar: Existe alguma proposição p tal que acredita-se
em p e acredita-se também que não se crê em p
p ( Bp ^ B ¬Bp )
• Raciocínio Regular: Sua crença é distributiva sobre as operações
lógicas
p  q( (pq)  (q p) )
• Raciocínio Reflexivo: Para toda proposição p existe uma proposição
q tal que o raciocínio acredita que q ≡ ( Bq → p ). Em conseqüência
disso, se um raciocínio reflexivo crê Bp  p, concluí-se que ele
acreditará em p
p ( B(Bpp)  Bp )
Tipos de raciocínio
• Raciocínio Instável: Existe alguma proposição p tal que ela crê que
ela crê em p, mas na realidade ela não crê em p.
p( BBp  ¬Bp )
Nota: Este é um fenômeno tão estranho quanto a peculiaridade,
entretanto, não necessariamente um raciocínio instável é incoerente
• Raciocínio Estável: Não é instável. Isto é, se para todo p, se ele crê
Bp então ele crê em p
p( BBp  Bp )
Nota: O raciocínio estável é o oposto da normalidade
Tipos de raciocínio
• Raciocínio Modesto: Para toda proposição p, ele crê Bpp se ele
também crê em p
p( B( Bp p )  Bp )
Nota: Todo raciocínio reflexivo é modesto
Semântica de Kripke
• Saul Aaron Kripke, nascido em 1940 em Omaha,
Nebraska, é amplamente reconhecido como um dos
filósofos vivos mais importantes.
• Sua obra é muito influente em diversas áreas da
filosofia, desde a lógica até a filosofia da mente,
passando pela filosofia da linguagem.
• A semântica proposta por Kripke, conhecida como
semântica dos mundos possíveis, permite formalizar
qualquer lógica modal.
Semântica de Kripke
• Ela é apenas um dos tipos de semântica de
teoria de modelos, e talvez seja o mais bem
compreendido e o mais bem desenvolvido
• Por quê a semântica de Kripke é necessária
nos sistemas modais?
• Para responder essa questão, consideremos a
seguinte sentença:
Necessariamente, 2 + 2 = 4
Semântica de Kripke
• Interpretação no modelo padrão do Cálculo de
Predicados:
– Presume um certo modelo fixo que não muda
– Interpretação da sentença ocorre nesse único
modelo
– Um único conjunto de indivíduos
– Dois valores verdade etc.
Semântica de Kripke
• A sentença anterior pode expressar um
significado mais amplo do que o comum
• Podemos não estar referindo-nos apenas ao
nosso mundo, às regras do mundo real
• Interpretação na nova semântica:
– Além do conjunto de indivíduos e valores verdade,
acrescenta um conjunto de mundos possíveis
Semântica de Kripke
• Sendo assim, temos os seguintes conjuntos:
– E : conjunto de indivíduos
– { 0, 1 } : conjunto de valores verdades
– P : conjunto de mundos possíveis
• A partir desse modelo, é possível considerar a
veracidade das sentenças em outros mundos
além do mundo real
Semântica de Kripke
• Consideremos agora a seguinte sentença:
“É possível que esteja chovendo em Pequim”
• Quando é verdadeiro dizer que está chovendo
em Pequim?
• Na nova semântica, é verdadeira apenas no
caso de existir algum mundo no qual esteja
chovendo em Pequim
Semântica de Kripke
• A semântica dos mundos possíveis ainda torna
possível lidar com diferentes tempos
• A sentença “Maria caminhou no parque” é
verdadeira em um certo mundo se há um
mundo anterior e nele a sentença “Maria
caminha no parque” é verdadeira
• Por isso, é conveniente acrescentarmos um
conjunto de tempos ao novo modelo
Semântica de Kripke
• Resumindo, um modelo para distinguir
mundos e tempos tem o seguinte aspecto
– E : conjunto de indivíduos
– P : conjunto de mundos possíveis
– T : conjunto de tempos com relação de
ordenamento R
– { 0, 1 } : conjunto de valores verdades
Semântica de Kripke
• Logo, uma interpretação sobre esta nova ótica
é uma estrutura M2, uma função de
interpretação D e um conjunto de atribuições
G:
< M2, D, G >
• A relação R é o que se chama de ordenamento
simples, isto é:
– Transitivo, reflexivo e anti-simétrico
Aplicações
• Sistemas Dinâmicos
– Um sistema pode ser descrito como um aglomerado de
coisas; ele é dinâmico se houver uma evolução delas com
o passar do tempo. Os sistemas dinâmicos podem ser
divididos em duas classes: contínuos e discretos
(Cassandras, 1993).
– Entre os sistemas dinâmicos discretos estão aqueles cuja
dinâmica é dirigida pela ocorrência de eventos discretos,
chamados sistemas dinâmicos a eventos discretos.
Aplicações
• A verificação de especificações em sistemas dinâmicos
significa analisar se determinada condição (restrição ao
sistema) é satisfeita ou não no sistema.
• O processo de verificação de especificações consiste na
análise da satisfação ou não de certa especificação do
sistema, tendo um modelo como base.
• No entanto, algumas especificações podem não estar tão
explícitas e só no decorrer do processo de manufatura (ou
automação) se percebe que alguma condição tem de ser
satisfeita.
Aplicações
• Aplicações em sistemas dinâmicos a eventos discretos
– Se uma especificação (apropriadamente descrita
como uma fórmula da lógica) for conseqüência lógica
do conjunto de fórmulas que define (modela) o
sistema dinâmico, então a especificação será satisfeita
(Manna & Pnuelli, 1979).