C
A
Teorema de Pitágoras
B
1
Este conteúdo é leccionado no 8ºa no de
escolaridade.
Objectivo: Cálculo de um lado de um triângulo rectângulo
através de uma determinada formula.
Teorema de Pitágoras
2
Pitágoras;
Curiosidades;
Definições;
Teorema de Pitágoras.
Generalizações do Teorema de
Pitágoras;
Teorema de Pitágoras
3
Pitágoras
foi
um
filósofo
e
matemático grego. Nasceu por volta do ano
569 a. C. em Samos, uma ilha do mar Egeu
situada perto de Mileto.
Teorema de Pitágoras
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CURIOSIDADES:
Pitágoras teve de emigrar e foi para Crotona onde
fundou a Escola Pitagórica que passou a ser
frequentada por cidadãos de todas as classes, com
objectivos científicos e místicos.
No domínio da matemática, os estudos mais
importantes atribuídos a Pitágoras são:
a descoberta dos irracionais ;
o teorema do triângulo rectângulo (Teorema de
Pitágoras).
Teorema de Pitágoras
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CURIOSIDADES:
Pitágoras viria a ser conhecido fundamentalmente
pelo teorema que tem o seu nome. Embora este
teorema já fosse conhecido pelos Babilónios 2000
anos a. C.. Possivelmente, Pitágoras foi o primeiro a
demonstrá-lo.
Teorema de Pitágoras
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CURIOSIDADES:
Na Antiguidade, os Egípcios quando pretendiam
marcar num campo um ângulo recto para dividir
terrenos, utilizavam uma corda com nós, sendo
constante a distância entre dois nós consecutivos.
Teorema de Pitágoras
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CURIOSIDADES:
Com esta corda, unindo o primeiro nó com o último
e esticando a corda, os egípcios construíram um
triângulo rectângulo de lados 3, 4 e 5 unidades.
5
3
4
Teorema de Pitágoras
8
CURIOSIDADES:
Os adversários do famoso geómetra tentaram, por
todos os meios, denegrir a sua obra e, para isso,
recorreram até à caricatura.
Teorema de Pitágoras
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CURIOSIDADES:
O matemático Elisha Scott Loomis reuniu 357
demonstrações diferentes do Teorema de Pitágoras.
Classificando-as em, basicamente, dois tipos:
demonstrações “algébricas” (baseadas
nas relações métricas nos triângulos
rectângulos);
demonstrações “geométricas” (baseadas
em comparações de áreas).
Teorema de Pitágoras
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DEFINIÇÕES IMPORTANTES:
Um teorema é uma afirmação cuja
validade precisa ser demonstrada.
O enunciado do Teorema compreende os pontos de
partida, a que chamamos hipótese, e as conclusões, a
que chamamos tese.
A demonstração é o processo de raciocínio dedutivo
que permite concluir que aqueles pontos de partida
(hipótese)
conduzem
necessariamente
aquelas
conclusões (tese).
Teorema de Pitágoras
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À DESCOBERTA DO TEOREMA DE PITÁGORAS:
Considera a seguinte imagem e preenche a tabela:
C
Área A
fig. 1
Área B
Área C
100 u. m. 64 u. m. 36 u. m.
Área B + Área C
100 u. m.
B
Compara
fig. 1
Unidade de medida
Área A = Área B + Área C
Teorema de Pitágoras
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À DESCOBERTA DO TEOREMA DE PITÁGORAS:
Vamos verificar se a igualdade (1) é verdadeira:
C
B
fig. 1
Unidade de medida
(1)
Área A = Área B + Área C
Teorema de Pitágoras
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Demonstração: Considera a figura e traça as
seguintes rectas:
Teorema de Pitágoras
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Demonstração
Teorema de Pitágoras
15
Demonstração
Separa as diversas peças...
Teorema de Pitágoras
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Demonstração
=
A área do quadrado construído sobre a
hipotenusa de um triângulo rectângulo é
igual à soma das áreas dos quadrados
construídos sobre os catetos.
Teorema de Pitágoras
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a
c
c
a
b
Demonstração
b
A área do quadrado construído sobre a hipotenusa de
um triângulo rectângulo é igual à soma das áreas dos
quadrados construídos sobre os catetos.
c = a+ b
2
2
Teorema de Pitágoras
2
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a
c
b
c = a+ b
2
2
2
Num triângulo rectângulo, o quadrado da
hipotenusa é igual à soma dos
quadrados dos catetos.
Teorema de Pitágoras
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X
c
a
Z
b
Y
Considera um triângulo rectângulo
de catetos a e b e hipotenusa c.
c = a+ b
2
2
2
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Generalizações
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