A RETA
Álgebra Linear e Geometria Analítica – Prof. Aline Paliga
4.1 A
RETA
Seja r uma reta que passa pelo ponto A e tem direção de
um vetor não nulo v. Para que um ponto P do espaço
pertença à reta r, é necessário e suficiente que os vetores
AP e v sejam colineares, isto é:
AP=tv ou P-A=tv
P-A=tv
⇒ P=A+tv
ou (x,y,z)=(x1, y1, z1) +t(a,b,c)
se P(x,y,z), A(x1, y1, z1) e v= (a,b,c)
vetor diretor
Equação vetorial da reta r
P=A+tv
(x,y,z)=(x1, y1, z1) +t(a,b,c)
t
parâmetro
Exemplo:
Determinar a equação vetorial da reta r que passa pelo
ponto A(3,0,-5) e tem direção do vetor v  2i  2 j  k
Designando por P(x,y,z) um ponto genérico dessa reta:
 A(3,0,-5)
reta r 
 v  2, 2, 1)
P  A  tv
( x, y, z )  (3, 0,5)  t (2, 2, 1)
Quando t varia de - a + , P descreve a reta r. Assim, se t=2
por exemplo:
( x, y, z )  (3, 0,5)  2(2, 2, 1)
( x, y, z )  (3, 0,5)  (4, 4, 2)
( x, y, z )  (7, 4,3)
P(7, 4,3) é um ponto da reta r.
4.2 EQUAÇÕES
PARAMÉTRICAS DA
RETA
Sejam (0, i, j,k) um sistema de coordenadas, P(x,y,z) e
A (x1, y1, z1) um ponto genérico e um ponto dado,
respectivamente, da reta r, e v=ai+b j+ck um vetor de mesma
direção de r.
Da equação vetorial de r:
P=A+tv ou (x,y,z)=(x1, y1, z1) +t(a,b,c)
ou ainda:
(x,y,z)=(x1+at, y1+bt, z1+ct)
vem:
x=x1+at
Equações paramétricas da reta r
y=y1+bt
z=z1+ct
Exemplo:
As equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto
A(3,-1,2) e é paralela ao vetor v  3, 2,1 , são:
 x=x1 +at

 y=y 1 +bt
 z=z +ct
 1
 x=3-3t

 y=-1-2t
 z=2+1t

Atribuindo um t acho um ponto específico da reta.
 x=-6

t=3  y=-7
 z=5

 0=3-3t

P(0,3, 4) 3=-1-2t
 4=2+1t

não pertence a reta r.
4.3 RETA
DEFINIDA POR DOIS PONTOS
A reta definida pelos pontos A(x1, y1, z1) e B (x2, y2, z2) é
uma reta que passa pelo ponto A( ou B) e tem a direção do
vetor v=AB=(x 2 -x1 ,y2 -y1 ,z 2 -z1 ) .
Exemplo:
A reta r, determinada pelos pontos A=(1,-2,-3) e B(3,1,-4),
tem a direção do vetor AB=(2,3,-1)
 x=x1 +at

 y=y 1 +bt
 z=z +ct
 1
 x=1+2t

 y=-2+3t
 z=-3-t

 x=3+2t

 y=1+3t
 z=-4-t

ponto A
ponto B
4.4 EQUAÇÕES
SIMÉTRICAS DA RETA
Das equações paramétricas, supondo que abc≠0, vem:
 x-x1
 t= a

 y-y1
 t=
b

 z-z1
 t= c

logo:
x-x1 y-y1 z-z1
=
=
a
b
c
Equações simétricas ou normais da reta r
Exemplo:
As equações simétricas da reta que passa pelo ponto
A(3,0,-5) e tem a direção do vetor v=(2,2,-1) são:
x-3 y z+5
= =
2 2 -1
4.5 RETAS
PARALELAS AOS PLANOS E
EIXOS COORDENADOS
Nem sempre o vetor direção tem todas componentes
diferentes de zero:
I) Uma só das componentes é nula:
a0
b0
c0
v=(0,b,c)  0x
r//y0z
v=(a,0,c)  0y
r//x0z
v=(a,b,0)  0z
r//x0y
 x  x1

 y  y1 z  z1
 b  c
 y  y1

 x  x1 z  z1
 a  c
 z  z1

 x  x1 y  y1
 a  b
II) Duas componentes são nulas:
ab0
ac0
bc0
v=(0,0,c) // k
r//0z
v=(0,b,0) // j
r//0y
v=(a,0,0) // i
r//0y
 x  x1

 y  y1
 z  z  ct

1
 x  x1

 y  y1  bt
z  z

1
 x  x1  at

 y  y1
z  z

1
4.6
ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
Chama-se ângulo de duas retas r1 e r2 o menor ângulo de
um vetor diretor r1 e r2. Sendo θ:
 A1  ( x1 , y1 , z1 )
reta r1 
 v1  (a1 , b1 , c1 )
 A2  ( x2 , y2 , z2 )
reta r2 
 v2  (a2 , b2 , c2 )
cos  
v1.v2
v1 v2
Exemplo:
Calcular o ângulo entre as retas:
 x=x1 +at

 y=y 1 +bt
 z=z +ct
 1
x  3 t

reta r1 :  y  t
 z  1  2t

x2 y3 z
reta r2 


1
1
 2
cos  
v1.v2
cos  

v1 =(1,1,-2)
v2  (2,1,1)
(1,1, 2).(2,1,1)
12  12  (2) 2
3
6 6

3 1

6 2
simétrica
x-x1 y-y1 z-z1
=
=
a
b
c
v1 e v2
v1 v2
paramétrica
 2 
2
 12  12


2  1  2
1 1 4 4  1 1
1
2
 =arc cos( )  60º
4.7 CONDIÇÃO
DE PARALELISMO DE
DUAS RETAS
A condição de paralelismo das retas r1 e r2 é a mesma dos
vetores diretores de cada um:
v1  mv2
a1 b1 c1
 
a2 , b2 c2
4.8 CONDIÇÃO
DE ORTOGONALIDADE
DE DUAS RETAS
A condição de ortogonalidade das retas r1 e r2 é a mesma
dos vetores diretores de cada um:
v1  v2  0
a1a2  b1b2  c1c2  0
4.9 CONDIÇÃO
DE COPLANARIDADE DE
DUAS RETAS
A condição de coplanaridade das retas r1 e r2 é que o
produto misto mesma dos vetores diretores de cada um:
(v1 , v2 , A1 A2 )  0