Unidade 3 – Estudo do plano
3.3 Equação vetorial do plano
Seja A(xo, yo, zo) um ponto do plano  e u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) dois vetores não
colineares e paralelos ao plano.
u
A
P
v

Observe que P    AP  u  v  P – A = u  v  P = A + u  v .
Assim temos:
(x, y, z) = (xo, yo, zo) + (a1, b1, c1) + (a2, b2, c2)
Equação vetorial do plano 
3.4 Equações paramétricas do plano
Desenvolvendo a equação vetorial e igualando termo a termo, obtemos as equações
paramétricas do plano :
 x  x o  .a 1  .a 2

 :  y  y o  .b1  .b 2 onde ,   R.
 z  z  .c  .c
o
1
2

v
coordenadas
do ponto fixo
u
Exemplo 1. Escreva a equação vetorial e as equações paramétricas do plano P que passa pelo ponto
A(2,1,3) e é paralelo aos vetores u =(-3,-3,1) e v = (2,1,-2).
Exercício. Escreva as equações paramétricas do plano  que passa pelos pontos A(5,7,-2) , B(8,2,-3) e
C(1,2,4).
1
Unidade 3 – Estudo do plano
Exercício. Escreva a equação geral dos planos indicados na figura abaixo:
4
1
2
3
3
2
3.5 Ângulo entre dois planos
Considere os planos 1 e 2 cujos vetores normais, são respectivamente, n1 e n 2 .
n1
2
n2


1
Vista frontal
n2
n1
2


1
O ângulo  entre 1 e 2 é o menor ângulo entre os vetores normais n1 e n 2 . Assim  é tal que:
cos  
| n1 .n 2 |
|| n1 || . || n 2 ||
Exemplo. Determine o ângulo entre os planos 1 : x + y + 2z – 7 = 0 e 2 : 4x + 5y + 3z – 2 = 0.
2