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17. (Geometriamar) Calcular o lado de um triângulo ABC sabendo-se que
CAPÍTULO – 1
B̂ = 60 º , Ĉ = 45 º e AB = 2m .
Ângulos – Medidas
Funções Trigonométricas de um ângulo agudo
18. (Geometriamar) Sabendo que: tgx =
TÓPICOS
1.
2.
3.
4.
5.
19. (Geometriamar) Calcular y =
Ângulos
Medida de ângulos e arcos
2.1. Sistema Graus
2.2. Sistema Grados
2.3. Sistema Radianos
Conversões
Funções trigonométricas de um ângulo agudo
Relações Fundamentais
5
12
(x agudo), calcular senx .
cos x − sec x
, sabendo que
senx − cos sec x
tgx = 3 .
20. (Geometriamar) Simplificar a expressão: y =
cos3 a − sen3a
.
1 + sena cos a
21. (Geometriamar) Um volume é lançado de um avião que está a 3km
de altitude. Devido à velocidade do avião e à ação do vento o volume
cai segundo uma reta que forma um ângulo de 25º com a vertical. Que
distância d, medida no solo, este volume percorreu?
EXERCÍCIOS
1.
(Geometriamar) Exprimir 120º em radianos.
2.
(Geometriamar) Exprimir 60º15 ' em radianos ( π = 3,14 ).
3.
(Geometriamar) Exprimir 1rad em graus ( π = 3,14 ).
4.
(Geometriamar) Calcular, em graus, o ângulo convexo formado pelos
ponteiros de um relógio, que marca 3h 42min.
5.
(Geometriamar) Calcular o menor ângulo entre os ponteiros de um
relógio que marca 12h e 20minutos.
6.
(Geometriamar) Calcular o comprimento do arco descrito pela
extremidade do ponteiro dos minutos, decorridos 22 minutos, sabendo
que o ponteiro tem comprimento 3cm.
7.
(Geometriamar) (USP) - Convertendo-se 30º15 ' para radianos,
( π = 3,14 ) obtém-se:
a) 0,53 b) 30,15 c) 1,10 d) 3,015 e) 0,26
22. (Geometriamar) Num triângulo ABC, retângulo em  , verificar que:
tgB.tgC = tg B +2 C ?
23. (Geometriamar) Simplificar: y = (1 + tgx)2 + (1 − tgx)2
27. (Geometriamar) (FACULDADES OBJETIVO) - Duas rodovias A e B
encontram-se em O, formando um ângulo de 30º. Na rodovia A existe
um posto de gasolina que dista 5km de O. O posto dista da rodovia B:
a) 5km b) 10km c) 2,5km d) 15km e) 1,25km
(Geometriamar) (ITA) - Transformar 12 º em radianos.
9.
(Geometriamar) (MAUÁ) - Achar 3 ângulos, em graus, sabendo que a
soma do 1º com o 2º é 12 º ; a do 2º com o 3º é 10gr ; a do 1º com o
π
25. (Geometriamar) Calcule as funções trigonométricas do ângulo de 45º.
(Trabalhe num triângulo retângulo isósceles).
26. (Geometriamar) Calcule as funções trigonométricas dos ângulos de
30º e 60º. (Trabalhe num triângulo equilátero).
8.
3º é
24. (Geometriamar) Determinar a relação entre os parâmetros a, b, c e d
supondo que o sistema abaixo tem solução.
 a cos x + bsenx = c

 asenx − b cos x = d
28. (Geometriamar) (CESCEM) - Considerando o triângulo retângulo ABC
com as dimensões a = 7,5m , b = 4,5m e c = 6m , calcular o valor
36 .
da tgx .
10. (Geometriamar) (FUVEST) - Quantos graus mede, aproximadamente,
um arco de 0,105 rad .
11. (Geometriamar) Converter
2
π
29. (Geometriamar) (CESCEM) - Uma pessoa de 1,70m de altura observa
o topo de uma árvore sob um ângulo α. Conhecendo a distância a do
observador até a árvore, determinar a altura da árvore.
rad em graus. ( π = 3,14 )
30. (Geometriamar) (MAUÁ) - Para medir a altura de uma torre vertical
12. (Geometriamar) Responda o teste a seguir de acordo com o código:
a)
Se todas estão incorretas.
b)
Se I e III estão corretas.
c)
Se II e IV estão corretas.
d)
Se I e IV estão corretas.
e)
Se todas estão corretas.
I.
II.
III.
DE , toma-se, no plano horizontal que passa pela sua base D, o
segmento AB de comprimento 12m e cujo ponto médio é C. Medemse os ângulos DÂE , DB̂E e DĈE , verificando-se que
DÂE = DB̂E = 45 º e DĈE = 60º . Determinar a altura da torre.
31. (Geometriamar) (MACK) - Verificar, diretamente na figura, que
senα
tg α 2 = −
1 + cos α
O ângulo que o ponteiro das horas descreve, em graus, é a
metade do número que marca os minutos.
Das 18h às 18h e 12min, o ponteiro das horas anda 6º.
O ponteiro dos minutos mede 10cm. Em 12 minutos a sua
extremidade descreve um arco de comprimento 12,56cm.
32. (Geometriamar) (MACK) - Sendo 0 o centro da circunferência de raio
unitário, então x = BC , vale:
a) 1 b) 0,8 c) 0,6 d) 0,5
13. (Geometriamar) (MAPOFEI) - Dar o menor ângulo formado pelos
ponteiros de um relógio às 2h 15min.
a+b
a−b
e cos sec x =
, mostre
c
c
que o triângulo ABC, de lados a, b e c é retângulo.
14. (Geometriamar) (PUC) - Dar o menor ângulo formado pelos ponteiros
de um relógio às 12h 15min.
33. (Geometriamar) Sendo senx =
15. (Geometriamar) (OSEC) - Dar o menor ângulo formado pelos
ponteiros de um relógio às 9h 10min.
16. (Geometriamar) A que horas, da noite, os ponteiros de um relógio
coicidem entre os números 8 e 9 do mostrador.
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e) 0,4
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34. (Geometriamar) Estão corretas as frases:
45. (Geometriamar) (VUNESP) - Sejam A, B e C conjuntos de números
reais. Sejam f : A → B e g : B → C definidas, respectivamente,
3.
Se os lados de um triângulo retângulo, dobram, triplicam, .........
então os valores das funções trigonométricas de um ângulo
desse triângulo dobram, triplicam........
Se a + b = 90 º então tga.tgb = 1
tg41º.tg42 º.tg43 º....... tg49 º = 1
1
− 1 , ∀x , x ∈ B .
1 − x2
Se existe h : A → C , definida por h( x) = g[ f ( x)] , ∀x , x ∈ A ,
então:
4.
Se sena + cos a = 2 então sena. cos a =
a) h( x) = cos x
1.
2.
1 + sen2a
5.
1 − sen2a
1
por: f ( x ) = senx , ∀x , x ∈ A g( x) =
2
k ∈ Ζ . O valor de
f ( π3 )
3 −3
2
b)
M = (senx − cos y)2 + cos2 x + sen2 y , onde x =
kπ
2
e
a) tgx
é:
c)
3
2
3 +1
d)
3 −3
e)
37. (Geometriamar) (MED-SANTOS) - Sendo sena + cos a = m , então
sena. cos a é igual a:
b)
m2 − 1
2
c)
m2 + 1
2
m+
+1
2
d)
e)
m
2
38. (Geometriamar) Sendo sena + cos a = m , então sen3a + cos3 a é
igual a:
a)
m− m3
2
b)
3−
−m
2
3m− m3
2
c)
d) m3
e)
b) cos x
c) cos 2 x
d) 2 cos2 x
e) 2sen2 x
Verificar as seguintes identidades:
4 x 2 + (2 − 3m)x + m2 = 0 são a tangente e a cotangente de um
mesmo ângulo?
m−
−1
2
π
− y , então M é
2
igual a:
36. (Geometriamar) Para que valores de m as raízes da equação
a)
e) h( x) = sec x
46. (Geometriamar) (SANTA CASA) - Se
f ( x ) = senx + cos x + cot gx + cos sec x − tgx − sec x , ∀x ≠
3 +3
2
c) h( x) = tg2 x
2
d) h( x) = sen x
= 1 + tg2a
35. (Geometriamar) (SANTA CASA) - Seja a função f, definida por
a)
b) h( x) = cos2 x
2
47. (Geometriamar)
4 − 5 cos x 3 + 5senx
=0
+
3 − 5senx 4 + 5 cos x
48. (Geometriamar)
cos3 x − sen3 x
= cos x − senx
1 + senx. cos x
49. (Geometriamar)
senx
cos x
1
+
=
1 + cot gx 1 + tgx senx + cos x
50. (Geometriamar) ( tgx − senx)2 + (1 − cos x) 2 = (sec x − 1) 2
m+ m3
2
51. (Geometriamar)
39. (Geometriamar) Simplificar a expressão:
y = (sec a − cos a)(cos sec a − sena)( tga + cot ga )
2senx. cos x − cos x
1 − senx + sen2 x − cos2 x
= cot gx
52. (Geometriamar) senx. cos x(1 + tgx)(1 + cot gx ) = 1 + 2.senx. cos x
40. (Geometriamar) Simplificar a expressão:
sena − senb cos a + cos b
y=
+
.
cos a − cos b sena + senb
53. (Geometriamar) (1 + senx + cos x) 2 = 2(1 + senx)(1 + cos x )
41. (Geometriamar) Exprimir em função de tgx = t a expressão:
54. (Geometriamar) cos2 x − cos2 y =
tg2 y − tg2 x
(1 + tg2 x )(1 + tg2 y )
2
y=
sen x + senx. cos x
sen2 x − cos2 x
.
55. (Geometriamar) sen6 x + cos6 x + 3sen2 x. cos2 x = 1
42. (Geometriamar) (UFGO) - Simplificando a expressão
tga + tgb
, obtém-se:
cot ga + cot gb
a) tga.tgb b) cot ga. cot gb c) tg(a + b) d) cot g(a + b)
e) tga. cot gb
CAPÍTULO – 2
TÓPICOS
43. (Geometriamar) (FMU/FIAM) - O valor de
senx +
a)
1.
2.
3.
sen3 x sen5 x
+
+ ... é:
2
4
senx
1+ sen 2 x
b)
cos x
1− sen2 x
c)
senx
1+ cos 2 x
d)
senx
1− sen2 x
e)
2 senx
1+ cos 2 x
44. (Geometriamar) (VUNESP) - Se x, y são números reais tais que:
y=
cos3 x − 2. cos x + sec x
cos x.sen2 x
a) y = sec 2 x
b) y = tg2 x
, então:
c) y = cos2 x
Arco e ângulo trigonométrico
Funções Trigonométricas
Arco e ângulo trigonométrico.
Conjunto das determinações de um ângulo ou arco trigonométrico.
Estudo das Funções Trigonométricas.
3.1. Função Seno
3.2. Função cosseno
3.3. Função tangente
3.4. Função co-tangente
3.5. Função secante
3.6. Função co-secante
d)
EXERCÍCIOS
2
y = cos sec x
56. (Geometriamar) Calcular a primeira determinação positiva a 0 dos
e) y = sen2 x
seguintes arcos:
a) 1620º
b) 125
π
11
c) −810º
d) − 97
π
7
57. (Geometriamar) Calcular a 3ª determinação positiva do arco 1910º .
2
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58. (Geometriamar) Calcular a 4ª determinação negativa do arco 810º .
79. (Geometriamar) Resolver a inequação: tgx − cot gx > 0 , ( x ≠
59. (Geometriamar) Assinale a alternativa correta:
a)
A 1ª determinação positiva do arco 2849 π é
80. (Geometriamar) Obter o conjunto imagem da função f ( x ) = sec x .
7π
9
.
b)
A 2ª determinação positiva do arco −600º é 240º .
c)
A 1ª determinação negativa do arco
d)
A 5ª determinação positiva do arco 780º é 1860º .
e)
A 3ª determinação negativa do arco
37 π
3
51π
5
n. π
2
)
81. (Geometriamar) Para que valores de m teremos: sec x = m + 1 e
cos sec x = m − 1 simultaneamente.
é − 53π .
é − 395π
82. (Geometriamar) Calcular: E =
sen90 º + cos 360º + sen270º. cos 180º
cos 0º + sen0º
60. (Geometriamar) Escrever o conjunto das determinações do arco AP .
83. (Geometriamar) Se x =
61. (Geometriamar) Escrever o conjunto das determinações dos arcos
assinalados nas figuras:
π
2
então y =
cos x + sen2 x − sen3 x
,
cos 4 x + senx
vale:
84. (Geometriamar) (AMAN) - Calcular A = sen3 x + cos 4 x − tg2 x para
62. (Geometriamar) Unindo-se as extremidades dos arcos da forma
π n.π
± +
( n ∈ Ζ ) obtém-se:
3
2
a) quadrado b) retângulo c) octógono d) octógono regular
e) hexágono
x=
π
2
.
85. (Geometriamar) (PUC) - Determinar m para que
π
3
seja raiz da
equação: tg2 x − m. cos2 x + sen2 x = 0 .
63. (Geometriamar) Obter o domínio da função f, definida por
1 + senx
f (x) =
.
cos 2 x
86. (Geometriamar) (FEI) - Calcular sen 72π . cos 31π .
64. (Geometriamar) Para que valores de m é posível a igualdade:
cos x = 1 − 3m
87. (Geometriamar) (USP) - Calcular sen1920º .
De 88 a 92, resolver as equações, para 0 ≤ x ≤ 2 π .
65. (Geometriamar) Obter o conjunto imagem de f : IR → IR , definida
88. (Geometriamar) senx = 0
por: f ( x ) = 2 − 5.sen2 x .
66. (Geometriamar) Resolver a equação: sen2 x =
1
2
89. (Geometriamar) cos x = −1
.
90. (Geometriamar) tgx = 0
67. (Geometriamar) Resolver a equação 2 cos2 x + cos x − 1 = 0 .
91. (Geometriamar) sec x = 1
68. (Geometriamar) Para que valores de α, 0 < α < 2 π , tem-se:
92. (Geometriamar) cos sec x = 0
1 < tgα < 3
De 93 a 97, resolver as equações, para 0 ≤ x ≤ 2 π .
69. (Geometriamar) Resolver a equação tg2 x − ( 3 − 1).tgx − 3 = 0 .
93. (Geometriamar) senx = − 21
70. (Geometriamar) Resolver (senx + cos x )2 < 1 , para 0 < x < 2 π .
94. (Geometriamar) cos x = −
71. (Geometriamar) Resolver a equação senx = cos x .
95. (Geometriamar) tgx = ±1
72. (Geometriamar) Para que valores de a ( 0 ≤ α ≤ π ) tem-se
x 2 + x + tgα >
3
4
2
2
, ∀x ∈ IR .
96. (Geometriamar) senx =
3
2
73. (Geometriamar) Calcular o valor de m que satisfaz simultaneamente
às igualdades senx =
m 3
e cos x =
3
97. (Geometriamar) cos x = − 21
6m
.
3
74. (Geometriamar) Se A = { y ∈ IR / y = tg n3.π } ( n ∈ Ζ ) e
B = { z ∈ IR / z = cos x } obter A ∩ B .
75. (Geometriamar) Obter o domínio da função f : x →
76. (Geometriamar) Se 0 < x <
π
2
FIM
1 + tgx
.
sen2 x
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demonstrar que senx + cos x > 1 .
77. (Geometriamar) Obter o domínio da função, f : x → sec( x +
78. (Geometriamar) Obter o domínio da função f : x →
π
4
).
Estude sempre e muito.
1 + cot gx
.
sen 2 x
O seu sucesso é o meu descanso!!!
3
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