Ângulo Unidade de Medida - Grau Ângulos Prof. Márcio Nascimento [email protected] Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Matemática Básica II - 2014.2 3 de setembro de 2014 1 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Sumário 1 Ângulo 2 Unidade de Medida - Grau 2 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Sumário 1 Ângulo 2 Unidade de Medida - Grau 3 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Ângulo Ângulo: palavra que origina do Latim angulum (esquina, canto). 4 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Ângulo Ângulo: palavra que origina do Latim angulum (esquina, canto). é a figura formada por duas semi-retas de mesma origem. 4 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Ângulo Ângulo: palavra que origina do Latim angulum (esquina, canto). é a figura formada por duas semi-retas de mesma origem. b ou B OA b Notação: AOB 4 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Ângulo Ângulo: palavra que origina do Latim angulum (esquina, canto). é a figura formada por duas semi-retas de mesma origem. b ou B OA b Notação: AOB −→ −→ OA e OB: lados do ângulo. 4 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Ângulo Geralmente são usadas letras gregas ou letras “de forma”para representar um ângulo 5 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Ângulo Geralmente são usadas letras gregas ou letras “de forma”para representar um ângulo b =O b =O α = AOB 5 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Ângulo Alguns ângulos recebem nome especial 6 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Ângulo Alguns ângulos recebem nome especial Ângulo raso: Quando as semirretas têm a mesma direção mas sentido oposto. 6 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Ângulo Alguns ângulos recebem nome especial Ângulo raso: Quando as semirretas têm a mesma direção mas sentido oposto. Ângulo nulo: Quando as semirretas têm a mesma direção e sentido. 6 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Ângulo Ângulo reto: Quando as semirretas são perpendiculares. 7 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Ângulo Ângulo agudo: Quando o ângulo formado é menor que um ângulo reto. 8 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Ângulo Ângulo obtuso: Quando o ângulo formado é menor que um ângulo raso e maior que um ângulo reto. 9 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Ângulo Ângulos Complementares: ângulos que quando justapostos formam um ângulo reto. 10 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Ângulo Ângulos Suplementares: ângulos que quando justapostos formam um ângulo raso. 11 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Sumário 1 Ângulo 2 Unidade de Medida - Grau 12 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau 13 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Imagine várias semirretas partindo de um mesmo ponto, como mostra a figura ao lado. 13 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Imagine várias semirretas partindo de um mesmo ponto, como mostra a figura ao lado. Considere que o ângulo determinado por quaisquer duas semirretas consecutivas é sempre o mesmo. 13 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Imagine várias semirretas partindo de um mesmo ponto, como mostra a figura ao lado. Considere que o ângulo determinado por quaisquer duas semirretas consecutivas é sempre o mesmo. Se tivermos 360 semirretas, teremos 360 ângulos iguais. Cada um deles será chamado grau. 13 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Imagine várias semirretas partindo de um mesmo ponto, como mostra a figura ao lado. Considere que o ângulo determinado por quaisquer duas semirretas consecutivas é sempre o mesmo. Se tivermos 360 semirretas, teremos 360 ângulos iguais. Cada um deles será chamado grau. Notação: 10 . 13 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau 14 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: De um mesmo ponto, partem 120 semirretas determinando ângulos iguais entre si. Qual a medida, em graus, de cada ângulo? 14 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: De um mesmo ponto, partem 120 semirretas determinando ângulos iguais entre si. Qual a medida, em graus, de cada ângulo? Resposta: 30 14 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau 15 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau A fração de 1/60 de um grau é 10 = 10 chamada minuto. Notação: 60 15 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau A fração de 1/60 de um grau é 10 = 10 chamada minuto. Notação: 60 E a fração de 1/60 de um minuto, é 10 = 100 chamada segundo. Notação 60 15 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Considere um cı́rculo de raio R. De seu centro O, partem 175 semirretas determinando ângulos iguais entre si. 16 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Considere um cı́rculo de raio R. De seu centro O, partem 175 semirretas determinando ângulos iguais entre si. Qual a medida em graus de cada ângulo? Qual a medida em minutos de cada ângulo? Qual a medida em segundos de cada ângulo? 16 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Considere um cı́rculo de raio R. De seu centro O, partem 175 semirretas determinando ângulos iguais entre si. Qual a medida em graus de cada ângulo? Aproxidamente 2, 060 Qual a medida em minutos de cada ângulo? Qual a medida em segundos de cada ângulo? 16 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Considere um cı́rculo de raio R. De seu centro O, partem 175 semirretas determinando ângulos iguais entre si. Qual a medida em graus de cada ângulo? Aproxidamente 2, 060 Qual a medida em minutos de cada ângulo? Aproximadamente 123, 430 Qual a medida em segundos de cada ângulo? 16 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Considere um cı́rculo de raio R. De seu centro O, partem 175 semirretas determinando ângulos iguais entre si. Qual a medida em graus de cada ângulo? Aproxidamente 2, 060 Qual a medida em minutos de cada ângulo? Aproximadamente 123, 430 Qual a medida em segundos de cada ângulo? Aproximadamente 7405, 7100 16 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Observação: Em vez da notação decimal, algumas vezes é interessante usar graus, minutos e segundos na mesma representação 17 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Observação: Em vez da notação decimal, algumas vezes é interessante usar graus, minutos e segundos na mesma representação 2, 50 = 20 + 0, 50 = 20 + (0, 5).600 = 20 300 17 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Observação: Em vez da notação decimal, algumas vezes é interessante usar graus, minutos e segundos na mesma representação 2, 50 = 20 + 0, 50 = 20 + (0, 5).600 = 20 300 3, 120 = 30 + 0, 120 = 30 + (0, 12).600 = 30 + 7, 20 = 30 + 70 + 0, 20 = 30 70 + 0, 2(6000 ) = 30 70 1200 17 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Dados os ângulos A = 124, 3890 e B = 75, 7650 , 18 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Dados os ângulos A = 124, 3890 e B = 75, 7650 , Converta A e B para a notação grau/minuto/segundo Expresse A + B, A − B na notação grau/minuto/segundo 18 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Dados os ângulos A = 124, 3890 e B = 75, 7650 , Converta A e B para a notação grau/minuto/segundo A∼ = 1240 230 2000 e B = 750 450 5400 Expresse A + B, A − B na notação grau/minuto/segundo 18 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Dados os ângulos A = 124, 3890 e B = 75, 7650 , Converta A e B para a notação grau/minuto/segundo A∼ = 1240 230 2000 e B = 750 450 5400 Expresse A + B, A − B na notação grau/minuto/segundo A + B = 200, 1540 ∼ = 2000 90 1400 e 0 ∼ A − B = 48, 624 = 480 370 2600 18 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Dados os ângulos A = 420 270 3200 e B = 270 320 2600 , determine: 19 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Dados os ângulos A = 420 270 3200 e B = 270 320 2600 , determine: A+B A−B A B + 2 3 19 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Dados os ângulos A = 420 270 3200 e B = 270 320 2600 , determine: A+B 690 590 5800 A−B A B + 2 3 19 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Dados os ângulos A = 420 270 3200 e B = 270 320 2600 , determine: A+B 690 590 5800 A−B 140 550 0600 A B + 2 3 19 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Dados os ângulos A = 420 270 3200 e B = 270 320 2600 , determine: A+B 690 590 5800 A−B 140 550 0600 A B + 2 3 Aproximadamente 300 240 3200 19 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Dados os ângulos A = 420 270 3200 e B = 270 320 2600 , 20 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Dados os ângulos A = 420 270 3200 e B = 270 320 2600 , Converta A e B para a notação decimal Expresse A + B, A − B na notação decimal 20 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Dados os ângulos A = 420 270 3200 e B = 270 320 2600 , Converta A e B para a notação decimal A é aproximadamente 42, 460 e B é aproximadamente 27, 540 Expresse A + B, A − B na notação decimal 20 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Dados os ângulos A = 420 270 3200 e B = 270 320 2600 , Converta A e B para a notação decimal A é aproximadamente 42, 460 e B é aproximadamente 27, 540 Expresse A + B, A − B na notação decimal A+B ∼ = 69, 990 e A − B ∼ = 14, 920 20 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Um relógio marca 2 : 25. Qual o menor ângulo entre os ponteiros de horas e minutos? 21 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Um relógio marca 2 : 25. Qual o menor ângulo entre os ponteiros de horas e minutos? Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maior percorre 3600 e o menor, 300 . 21 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Um relógio marca 2 : 25. Qual o menor ângulo entre os ponteiros de horas e minutos? Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maior percorre 3600 e o menor, 300 . Portanto, em 1 minuto, o ponteiro maior percorre 60 e o menor 0, 50 . 21 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Um relógio marca 2 : 25. Qual o menor ângulo entre os ponteiros de horas e minutos? Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maior percorre 3600 e o menor, 300 . Portanto, em 1 minuto, o ponteiro maior percorre 60 e o menor 0, 50 . Daı́, às 2:25, o ponteiro maior terá percorrido (a partir do 12) 25 × 60 = 1500 e o menor, 25 × 0, 50 = 12, 50 . 21 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Um relógio marca 2 : 25. Qual o menor ângulo entre os ponteiros de horas e minutos? Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maior percorre 3600 e o menor, 300 . Portanto, em 1 minuto, o ponteiro maior percorre 60 e o menor 0, 50 . Daı́, às 2:25, o ponteiro maior terá percorrido (a partir do 12) 25 × 60 = 1500 e o menor, 25 × 0, 50 = 12, 50 . Se o ponteiro das horas permanecesse fixo, o menor ângulo seria de 1500 − 600 = 900 , mas como o ponteiro menor se movimentou 12, 50 , segue que o ângulo procurado é de 77, 50 . 21 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Determine o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio às: 22 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Determine o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio às: 15:35 18:10 16:20 12:33 22 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Determine o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio às: 15:35 102, 50 18:10 16:20 12:33 22 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Determine o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio às: 15:35 102, 50 18:10 1250 16:20 12:33 22 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Determine o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio às: 15:35 102, 50 18:10 1250 16:20 100 12:33 22 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Unidade de Medida - Grau Exemplo: Determine o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio às: 15:35 102, 50 18:10 1250 16:20 100 12:33 178, 50 22 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Origem das palavras Grau: origem do latim - gradu - que significa degrau. 23 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Origem das palavras Grau: origem do latim - gradu - que significa degrau. Minuto: primeiras menores partes - partes minutae primae 23 / 23 Ângulo Unidade de Medida - Grau Origem das palavras Grau: origem do latim - gradu - que significa degrau. Minuto: primeiras menores partes - partes minutae primae Segundo: segundas menores partes - partes minutae secundae 23 / 23
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