COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ
Portal Professor / INCLINAÇÃO DE UM VETOR 2009
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA
www.cap.ufrj.br/matematica
Ângulo entre Dois Vetores
Sejam dois vetores u e v , apresentados na figura abaixo:
Define-se o ângulo entre u e v como o menor giro de um vetor sobre o outro a partir de uma mesma origem.
O ângulo entre u e v é representado por: âng ( u , v ) = θ .
Importante: Não se determina ângulo entre dois vetores se eles não partirem da mesma origem.
Exemplo: Sabendo que a medida do ângulo formado entre os vetores u e v é de 60º, determine a medida do
ângulo formado pelos vetores:
a)
u e - v → 120º
b)
- u e v → 120º
c)
- v e - u → 60º
d)
2 u e 3 v → 60º
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Inclinação
Determinar a inclinação de um vetor é o mesmo que identificar a sua direção. Por convenção, a inclinação de
um vetor será dada em relação a uma semi-reta horizontal orientada para direita, ou seja, em relação ao eixo
OX. Para obtê-la, basta utilizar um vetor sobre OX e rotacioná-lo, no sentido anti-horário, em torno da origem,
até sobrepor o vetor desejado. O ângulo de rotação determinará a inclinação do vetor.
θ
θ
 2
2
Exemplo 1: O vetor 
,
 possui inclinação de 45º em relação à OX, pois, a partir de sua representação no
 2

2


plano cartesiano, pode-se trabalhar com o triângulo retângulo de catetos de medida
2
do ângulo é dado pela sua tangente: tg θ =
2
2
. O cálculo da medida
2
2 = 1 → θ = 45º
2
2
2
2
2
θ
θ
2
2
2
2

2
2
Exemplo 2: O vetor  −
,
 2
2


 possui inclinação de 135º em relação à OX, pois, a partir de sua representação


no plano cartesiano, o triângulo retângulo de catetos de medida
Verifique na figura.
2
2
β
−
2
2
θ
2
determina β , que é o suplementar de θ .
2
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1
3 Atividade 1: Dados os vetores u =  ,
 , v = ( −3, − 3) e w =
2 2 


(
)
3, − 1 , escreva para cada um deles: módulo,
direção e sentido.
 u = 1 u.c.

Respostas:  Direção : Inclinada 60° com OX
 Sentido : Para direita e para cima

 w = 2 u.c.

 Direção : Inclinada 330° com OX
 Sentido : Para direita e para baixo

 v = 3 2 u.c.

 Direção : Inclinada 225° com OX
 Sentido : Para esquerda e para baixo

Atividade 2: Considere o vetor v representado na figura. Sabendo que o módulo de v é 4 e que θ = 60º,
determine as coordenadas de v .
Resolução:
Traçando o triângulo que tem hipotenusa
v , cujos catetos são as medidas das coordenadas de v , tem-se
a seguinte figura:
Logo, sen 60º =
y
3
x
1
=
→ y = 2 3 e cos 60º =
=
→ x = 2.
4
2
4
2
(
)
Então, as coordenadas de v são 2, 2 3 .