Exercı́cios de Álgebra Linear - Capı́tulo 3.1
Departamento de Matemática
Universidade da Beira Interior
Operações com Matrizes
Tabela de Conteúdos - Capı́tulo 3.1
Questão 1
Questão 2
Questão 3
Questão 4
Questão 5
Questão 6
Questão 7
Questão 8
Questão 9
Questão 10 Questão 11 Questão 12
Questão 1
Determine quais das matrizes dadas são anti-simétricas,
simétricas, hermiteanas ou anti-hermiteanas:




1
i 1−i
1
i
1−i
1 
i
0
1 
a)  −i 0
b) 
1+i 1
0
−1 − i −1
0




0 2
1
0 2 1



2 2 −1
−2 2 −1 
c)
d)
1 −1 0
−1 1 0




0
i
1−i
0 2 1
i
0
1 
e) 
f)  −2 0 −1 
−1 − i −1
0
−1 1 0


0 2 1

2 2 −1 
g)
1 1 0
Tabela de Conteúdos
Questão 2
Se possı́vel efectue as seguintes operações:

 
 
1 −5 4
2 0 −1
1
1
 3




4 −1   4 6 0   2
3
a) 
+
−
 4
1
5   0 1 4   −4 5
−1 2
2
0 0 0
0 −2
7 3 2
1 4 3
−2 1
b)
−2×
+3×
1 8 4
−1 2 −3
0 1


1 4
3
√
1 0 2 4

c)
− π ×  −1 2 −3
√
6 8 4 −2
0 0 − 2

1
2 

−9 
−4
0
−1
Tabela de Conteúdos
Questão 3
Resolva a seguinte equção matricial:
2x y
8 −1
0 0
+
=
0 2
0 0
z −t
Tabela de Conteúdos
Questão 4
Calcule os produtos:

 
1 2 3
1
a)  −1 4 −1 × 2
8 3 2
3

2
1 
0
d)
Resolução




2 1 0
3
b)  −1 0 3  ×  −1 
1 1 2
5
Solução


2 1
1


−1 0 ×
c)
4
1 1
1 2 −1
3 0 1


1
× 2 
−1
Solução


2
e) 1 −2 3 ×  1 
1
Solução
Solução
Tabela de Conteúdos
Questão 5
Calcule os produtos AB e BA sempre que possı́vel (caso não
seja possı́vel indique a razão):




1 0 0
3 1 1
a) A =  1 −3 0  , B =  0 2 1 
2 0 1
1 1 2
Solução
b) A =
1 3
, B=
−2
1
Solução
Tabela de Conteúdos
Questão 5


2 1
1 1 0 1


c) A = −1 3 , B =
−1 2 1 0
0 1
Solução

2
 1
d) A = 
 0
−1

0
1 
1 1 0 1
, B =
3 
−1 2 1 0
0
Solução
Tabela de Conteúdos
Questão 6
Calcule Ak , k ∈ N para:
a 0
0 1
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
a) A =
b) A =
Tabela de Conteúdos
Questão 7
Sendo


1 2 2
A= 2 1 2 
2 2 1
mostre que
A2 − 4A − 5I = 0.
Resolução
Tabela de Conteúdos
Questão 8
Determine todas as matrizes que são permutáaveis com a
matriz


0 0 0
M= 1 0 0 
0 1 0
Tabela de Conteúdos
Questão 9
Seja A =
0 1
0 2
Determine todas as matrizes 2 × 2 tais que:
a) AB = 0
b) BA = 0
c) A + B = 0
Tabela de Conteúdos
Questão 10
Sendo
A=
i 0
0 i
determine An , n ∈ N
Tabela de Conteúdos
Questão 11
Mostre que toda a matriz quadrada se pode decompor na
soma de uma matriz simétrica com uma matriz hemi-simétrica
e que esta decomposição é única. Decomponha deste modo a
matriz:


1 4 2
A= 6 3 6 
2 2 2
Tabela de Conteúdos
Questão 12
Sendo A e B duas matrizes quadradas verifique que as
seguintes igualdades não são váalidas em geral:
a) ( A + B )2 = A2 + 2AB + B 2
b) ( A + B ) ( A − B ) = A2 − B 2
Corrija os lados direitos destas igualdades de forma a obter
fórmulas correctas para todas as matrizes quadradas.
Tabela de Conteúdos
Resolução exercı́cio 4 - a


1 2 3
A =  −1 4 −1  ∈ M(3,3) (R)
8 3 2


1 2
B =  2 1  ∈ M(3,2) (R)
3 0

 

1 2 3
1 2
C = AB =  −1 4 −1  ×  2 1 
8 3 2
3 0
= M(3,3) (R) · M(3,2) (R) ∈ M(3,2) (R)
Tabela de Conteúdos
Resolução exercı́cio 4 - a
Vamos determinar o valor de C3,1 , isto é, o valor do elemento
da matriz C (matriz produto na) que se encontra na terceira
linha e primeira coluna. Uma vez que:
A ∈ M(n,m)
C = A.B
B ∈ M(m,p)
Ci,j =
m
X
ai,k · bx,j ,
k=1
consequentemente, vamos precisar da terceira linha da
primeira matriz (A) e primeira coluna da segunda matriz (B).
Assim:
C3,1 = (8, 3, 2) · (1, 2, 3) = 8 + 6 + 6 = 20
Tabela de Conteúdos
Resolução exercı́cio 4 - a
Obtemos efectuados os cálculos:


14 4
 4 2 
20 19
Voltar para a Questão 4
Tabela de Conteúdos
Solução exercı́cio 4 - b


5
 12 
12
Voltar para a Questão 4
Tabela de Conteúdos
Solução exercı́cio 4 - c


6
 −1 
5
Voltar para a Questão 4
Tabela de Conteúdos
Solução exercı́cio 4 - d
6
2
Voltar para a Questão 4
Tabela de Conteúdos
Solução exercı́cio 4 - e
3
Voltar para a Questão 4
Tabela de Conteúdos
Solução exercı́cio 5 - a

 
1 0 0
3
 1 −3 0  ·  0
2 0 1
1

 
3 1 1
1
 0 2 1 · 1
1 1 2
2
AB 6= BA
 
1 1
3


2 1 = 3
1 2
7
 
0 0
6


−3 0 = 4
0 1
6

1
1
−5 −2  = AB
3
4

−3 1
−6 1  = BA
−3 2
Voltar para a Questão 5
Tabela de Conteúdos
Solução exercı́cio 5 - b
A=
AB =
1 3
BA =
1 3
×
−2
1
−2
1
×
, B=
−2
1
= [1]
M1,2 · M2,1 = M1,1
1 3
=
−2 −6
1
3
M2,1 · M1,2 = M2,2
Voltar para a Questão 5
Tabela de Conteúdos
Solução exercı́cio 5 - c
BA não pode ser calculado,uma vez que, o número de linhas
de B é diferente do número de colunas de A.




2 1
1 4 1 2
1 1 0 1
AB =  −1 3  ×
=  −4 5 3 −1 
−1 2 1 0
0 1
−1 2 1 0
Voltar para a Questão 5
Tabela de Conteúdos
Solução exercı́cio 5 - d


0
1
4


1 
1 1 0 1
−2 7
=
×
 −3 6
3 
−1 2 1 0
0
−1 −1

2
 1
AB = 
 0
−1

BA =
1 1 0 1
−1 2 1 0
2
 1
×
 0
−1

1 2
3 1 

3 0 
0 −1

0
1 
= 2 4
3 
0 8
0
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Tabela de Conteúdos
Resolução exercı́cio 7

1 2 2
A2 =  2 1 2
2 2 1

1 2
4·A=4· 2 1
2 2

1 0
5·I =5· 0 1
0 0
2


9 8 8
 = 8 9 8 
8 8 9
 

2
4 8 8
2 = 8 4 8 
1
8 8 4
 

0
5 0 0
0 = 0 5 0 
1
0 0 5
Tabela de Conteúdos
Resolução exercı́cio 7

 
9 8 8
4 8 8
 8 9 8 − 8 4 8
8 8 9
8 8 4

 
5 0 0
5 0 0
 0 5 0 − 0 5 0
0 0 5
0 0 5



5 0 0
= 0 5 0 
0 0 5
 

0 0 0
= 0 0 0 
0 0 0
Logo A2 − 4A + 5I = 0 tal como queriamos demonstrar.
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Tabela de Conteúdos