UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES
CAMPUS DE ERECHIM
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
CURSO DE MATEMÁTICA
GRASIELA ELISA WEBBER
ANÁLISE DA RELAÇÃO ENTRE AS NOTAS DAS DISCIPLINAS DE
MATEMÁTICA E FÍSICA DE ESTUDANTES DO ENSINO MÉDIO
ERECHIM
2008
GRASIELA ELISA WEBBER
ANÁLISE DA RELAÇÃO ENTRE AS NOTAS DAS DISCIPLINAS DE
MATEMÁTICA E FÍSICA DE ESTUDANTES DO ENSINO MÉDIO
Trabalho de conclusão de curso, apresentado ao
Curso de Matemática, Departamento de Ciências
Exatas e da Terra da Universidade Regional
Integrada do Alto Uruguai e das Missões – Campus
de Erechim.
Orientadora: Profª Drª Simone M. Cerezer
ERECHIM
2008
DEDICATÓRIA
Aos meus pais Paulino e Ivone, que sempre
me apoiaram e me incentivaram durante a realização da
minha graduação e principalmente durante a realização
deste trabalho. Espero que gostem dos resultados e que se
sintam realizados como eu me sinto.
Ao meu prezado amigo Cristiano Bebber por
sua imensa coragem e incessante vontade de viver, que
transborda e contagia todos ao seu redor. Esta conquista
também é sua.
AGRADECIMENTOS
Agradeço aos meus pais Paulino e Ivone, minha irmã Paula, meu
companheiro Renan, e meus amigos e colegas, pelo apoio e incentivos constantes
que me foram dados durante a realização deste trabalho.
Agradeço à minha orientadora Profª. Drª. Simone Maffini Cerezer pelos
ensinamentos e pela dedicação prestados a mim.
E ainda agradeço as Escolas que aceitaram contribuir com o trabalho e
forneceram as notas de seus estudantes para que o estudo pudesse ser realizado.
RESUMO
O presente trabalho tem por objetivos verificar a existência da relação entre o
aproveitamento de Matemática e o aproveitamento de Física de estudantes do
Ensino Médio de uma Escola Pública e uma Escola Particular do município de
Erechim – RS e determinar se em média os estudantes possuem o mesmo
aproveitamento nestas disciplinas. Os dados para a análise são as notas de
estudantes do Ensino Médio referente às disciplinas de Matemática e Física que
foram obtidos nas secretarias das respectivas Escolas nos anos de 2005, 2006 e
2007. A análise dos dados foi realizada primeiramente através do cálculo de
algumas medidas estatísticas, dentre elas, a média aritmética simples, a variância e
o desvio padrão das notas de Matemática e de Física dos estudantes das duas
Escolas investigadas. Para verificar a existência de correlação entre o
aproveitamento em Matemática e Física foi necessário o cálculo do coeficiente de
correlação linear. E, para verificar se, em média, os estudantes obtiveram a mesma
nota nas disciplinas de Matemática e Física, em cada uma das escolas, aplicou-se o
teste “t” de Student. Nos resultados obtidos através deste estudo pode-se observar
que, considerando-se a média, as notas de Matemática e Física dos estudantes de
cada Escola, nas diferentes séries e anos, são bastante próximas, porém, a média
das notas dos alunos da Escola Pública, em ambas as disciplinas, em geral, são
inferiores as mesmas notas dos alunos da Escola Particular. Pode-se observar ainda
que a associação descrita nos diagramas de dispersão entre as variáveis notas de
Matemática e de Física é positiva, indicando que, em geral, as notas de Física
tendem a aumentar quanto maior forem as notas de Matemática. Além disso,
conclui-se pelo valor de r (coeficiente de correlação linear) obtido, que existe uma
forte correlação entre as variáveis analisadas e que, em geral, não existe diferença
estatisticamente significativa entre as notas médias de Matemática e Física dos
estudantes.
Palavras-chave: Matemática. Física. Coeficiente de Correlação Linear.
LISTA DE FIGURAS
Figura 3.1 – Diagramas de dispersão, com os valores de r correspondentes .........18
Figura 3.2 - Distribuição amostral de r para ρ = 0 e ρ = 0,8, para amostras com n =
9 .................................................................................................................................19
Figura 3.3 – Comparação entre as Distribuições Normal e de Student ...................21
Figura 4.1 Relação entre as notas de Matemática e Física dos estudantes da Escola
Pública (a) e da Escola Particular (b) referente à 1ª série do Ensino Médio do ano de
2005 ...........................................................................................................................25
Figura 4.2 Relação entre as notas de Matemática e Física dos estudantes da Escola
Pública (a) e da Escola Particular (b) referente à 2ª série do Ensino Médio do ano de
2005 ...........................................................................................................................26
Figura 4.3 Relação entre as notas de Matemática e Física dos estudantes da Escola
Pública (a) e da Escola Particular (b) referente à 3ª série do Ensino Médio do ano de
2005 ...........................................................................................................................26
Figura 4.4 Relação entre as notas de Matemática e Física dos estudantes da Escola
Pública (a) e da Escola Particular (b) referente à 1ª série do Ensino Médio do ano de
2006 ...........................................................................................................................26
Figura 4.5 Relação entre as notas de Matemática e Física dos estudantes da Escola
Pública (a) e da Escola Particular (b) referente à 2ª série do Ensino Médio do ano de
2006 ...........................................................................................................................27
Figura 4.6 Relação entre as notas de Matemática e Física dos estudantes da Escola
Pública (a) e da Escola Particular (b) referente à 3ª série do Ensino Médio do ano de
2006 ...........................................................................................................................27
Figura 4.7 Relação entre as notas de Matemática e Física dos estudantes da Escola
Pública (a) e da Escola Particular (b) referente à 1ª série do Ensino Médio do ano de
2007 ...........................................................................................................................27
Figura 4.8 Relação entre as notas de Matemática e Física dos estudantes da Escola
Pública (a) e da Escola Particular (b) referente à 2ª série do Ensino Médio do ano de
2007 ...........................................................................................................................28
Figura 4.9 Relação entre as notas de Matemática e Física dos estudantes da Escola
Pública (a) e da Escola Particular (b) referente à 3ª série do Ensino Médio do ano de
2007 ...........................................................................................................................28
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 Número de alunos, média e desvio padrão das notas de Matemática e de
Física das turmas do Ensino Médio das Escolas Pública e Particular da cidade de
Erechim nos anos de 2005 a 2007 ............................................................................24
Tabela 4.2 Resultados da aplicação do teste “t” para as notas médias de Matemática
e Física dos estudantes da Escola Pública ...............................................................29
Tabela 4.3 Resultados da aplicação do teste “t” para as notas médias de Matemática
e Física dos estudantes da Escola Particular ...........................................................29
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................08
2 REVISÃO LITERÁRIA ...........................................................................................10
2.1 UM POUCO DE HISTÓRIA .................................................................................10
2.2 O ENSINO DA MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO ..........................................11
2.3 O ENSINO DA FÍSICA NO ENSINO MÉDIO ......................................................12
2.4 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES ..........................................................................13
3 MATERIAIS E MÉTODOS .....................................................................................15
3.1 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES...........................................................................15
3.2 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO .......................................................................16
3.3 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR ......................................................17
3.3.1 Teste de hipóteses sobre a correlação ........................................................18
3.4 DISTRIBUIÇÃO t (STUDENT) .............................................................................20
3.5 TESTE t PARA AMOSTRAS INDEPENDENTES ...............................................21
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO .............................................................................24
4.1 ANÁLISE DA CORRELAÇÃO ENTRE AS VARIÁVEIS NOTAS DE
MATEMÁTICA E FÍSICA ...........................................................................................25
4.2 COMPARAÇÃO ENTRE AS NOTAS MÉDIAS DE MATEMÁTICA E FÍSICA .....28
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................31
REFERÊNCIAS .........................................................................................................33
8
1 INTRODUÇÃO
Sabendo que a Física faz uso da Matemática para realizar seus cálculos e
deduções, procuro investigar se as notas dos estudantes de Matemática no Ensino
Médio, influenciam nas notas dos mesmos em Física.
A busca da existência desta relação entre o aprendizado da Matemática e o
aprendizado da Física torna-se importante para o professor destas disciplinas, pois
assim este pode encontrar uma forma de fazer uso do conhecimento que o aluno
possui em uma determinada disciplina para facilitar o aprendizado da outra
disciplina. Além disso, no próprio currículo da escola pode-se fazer um estudo para
verificar quais conteúdos de Matemática são utilizados pela Física, e a possibilidade
de que sejam ensinados ao mesmo tempo, isto permitiria aos estudantes verificarem
a contribuição da Matemática para o desenvolvimento da Física.
Nesse sentido, os objetivos deste trabalho são: verificar a existência da
relação entre o aproveitamento de Matemática e o aproveitamento de Física de
estudantes no Ensino Médio de uma Escola Pública e de uma Escola Particular do
município de Erechim – RS; determinar se, em média, os estudantes possuem o
mesmo aproveitamento nas duas disciplinas; calcular, através do coeficiente de
correlação linear, o grau de associação entre as variáveis: notas de Matemática e
notas de Física; e comparar os resultados obtidos levando-se em consideração o
fato de uma Escola ser Pública e a outra Particular.
O texto encontra-se estruturado em cinco seções. Á presente seção, de
explicação geral sobre justificativa e objetivos, segue-se a seção 2 – Revisão
Literária, onde destaco alguns dos grandes Matemáticos e Físicos do passado que
tiveram importante participação no desenvolvimento da ciência ao longo dos tempos,
bem como apresento uma abordagem sobre o ensino da Matemática e da Física no
Ensino Médio na atualidade e uma contribuição de D’Ambrosio sobre a importância
da interdisciplinaridade no ensino.
Na seção 3 – Materiais e Métodos, descrevo os dados analisados neste
trabalho, bem como são apresentados alguns métodos de descrição e comparação
9
de dados, além de procedimentos para a obtenção do coeficiente de correlação e
para a realização do teste “t”.
Na seção 4 – Resultados e Discussão, apresento as análises da correlação
entre as variáveis notas de Matemática e Física dos estudantes do Ensino Médio e a
comparação entre as notas médias de Matemática e Física.
Na seção 5 – Considerações Finais apresentam-se os aspectos que se
mostraram mais significativos no decorrer do estudo, no que se refere aos
resultados obtidos.
10
2 REVISÃO LITERÁRIA
2.1 UM POUCO DE HISTÓRIA
Usando as palavras de VAZ JÚNIOR1 ao dizer que “os grandes matemáticos
do passado não apenas tinham um sólido conhecimento em física, como também
que muitas de suas descobertas foram motivadas pelos problemas de caráter
puramente físico em que estavam interessados”, é que me pergunto o motivo pelo
qual, na maioria das escolas de Ensino Médio, não são realizados estudos da
disciplina de Física interligados com a disciplina de Matemática. Se as grandes
descobertas matemáticas partiram de estudos que tinham o interesse de resolver
problemas de física, e se o estudo da física não acontece sem o mínimo de
conhecimento matemático, porque não realizar um trabalho em que o estudante
possa estudar estas duas disciplinas relacionadas?
Não é de hoje que sabemos que alguns dos mais importantes estudiosos do
passado eram matemáticos e físicos, como podemos citar: James Clerk Maxwell,
que em 1857 ganhou o "Adams Prize" junto com Peter Guthrie Tait com um trabalho
sobre o movimento dos anéis de Saturno, que mereceu na época o comentário
como sendo "uma das mais belas aplicações da Matemática em Física jamais vista";
Hermann Grassmann, que definiu o produto exterior de vetores e a álgebra que hoje
leva o seu nome e que é hoje de importância fundamental em muitas áreas da
Matemática e da Física; William Clifford, que é lembrado por sua contribuição da
generalização dos quaternions de Hamilton e da álgebra exterior de Grassmann e
que hoje leva o nome de álgebra de Clifford. Ainda podemos citar o exemplo de
Einstein que só formulou a sua teoria geral da relatividade por ter estudado
profundamente cálculo tensorial, algo desconhecido pela maioria dos físicos de sua
época.
Ainda sobre a aplicação da Matemática na Física, cito o exemplo da Mecânica
e da Ótica, que através dos conhecimentos matemáticos, permitem construir
instrumentos como balanças e espelhos, que são utilizados também por outras
ciências.
1
Disponível em <http://www.ime.unicamp.br/%7Evaz/fismat.htm> Acesso em: 13/11/07
11
2.2 O ENSINO DA MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO
Por que se estuda Matemática no Ensino Médio?
Nossa posição é justificar o ensino da Matemática nas escolas,
não simplesmente por ser uma ciência muito importante e que
será útil mais tarde, como dizem a maioria dos professores,
mas principalmente por atender as várias características que
são essenciais à formação do indivíduo. (BASSANEZI, 2003,
p.206)
Para Bassanezi (2003, p.206), estas características essenciais são: “o fato de
a Matemática poder ser utilizada como instrumentadora para o trabalho e como
ferramenta para a vida; por ajudar a pensar com clareza e a raciocinar melhor; por
ser parte integrante de nossas raízes culturais, e pelo seu valor estético”.
Ao final do Ensino Médio, segundo as Orientações Curriculares para o Ensino
Médio (2006, p.69), espera-se que
[...] os alunos saibam usar a Matemática para resolver
problemas práticos do quotidiano; para modelar fenômenos em
outras áreas do conhecimento; compreendam que a
Matemática é uma ciência com características próprias, que se
organiza via teoremas e demonstrações; percebam a
Matemática como um conhecimento social e historicamente
construído; saibam apreciar a importância da Matemática no
desenvolvimento científico e tecnológico.
Estas colocações deixam clara a importância do Ensino da Matemática no
Ensino Médio, mas será que os estudantes sabem desta importância? Será que a
forma como a Matemática está sendo trabalhada hoje nas escolas satisfaz a estes
requisitos? Acredito que a melhor forma de mostrar aos alunos a importância da
Matemática e ao mesmo tempo satisfazer a estas condições é mostrar aos
estudantes que a Matemática aplica-se diariamente no quotidiano deles, e também
nas outras ciências, e acredito ainda que uma das formas mais fáceis de mostrar
esta ligação seja usar exemplos da importância da Matemática na Física, como: sem
12
a Matemática, e nesse caso, também sem a Física, os carros não sairiam do lugar, a
televisão não funcionaria, não haveria eletricidade, e assim por diante.
2.3 O ENSINO DA FÍSICA NO ENSINO MÉDIO
Um estudo feito por Lopes (2004, p.12), sobre os indicadores dos problemas
do ensino e da aprendizagem de Física, mostra que um desses problemas
apontados pelos professores de Física é que “os alunos não têm raciocínio lógico,
nem hábitos de trabalho, nem apetência pela física”.
Para Borges (2006, p.1), “a física é um legítimo componente curricular da
Educação Básica e que deve figurar como disciplina específica no currículo do
Ensino Médio”.
Segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006, p.53),
estuda-se Física no Ensino Médio pois
O ensino dessa disciplina destina-se principalmente àqueles
que não serão físicos e terão na escola uma das poucas
oportunidades de acesso formal a esse conhecimento. Há de
se reconhecer, então, dois aspectos do ensino da Física na
escola: a Física como cultura e como possibilidade de
compreensão do mundo.
Se a Física deve ser parte do currículo do Ensino Médio, se ela é ensinada
para que os estudantes tenham conhecimentos e possibilidades de compreender o
mundo, mas a maioria dos alunos não tem interesse pela matéria, não tem hábitos
de trabalho e nem raciocínio lógico, acredito que uma possibilidade de trabalho seja
o estudo de Física relacionado com as outras ciências, principalmente com a
Matemática, pois isto facilitaria o desenvolvimento do raciocínio lógico dos
estudantes, uma vez que uma das vantagens de se estudar Matemática é
justamente esta. Se estas disciplinas fossem trabalhadas de forma que uma
complementasse a outra, isto faria com que os alunos pudessem se interessar pelo
estudo de ambas, uma vez que ao estudar uma das disciplinas acabariam
13
estudando a outra também, além de fazer com que os estudantes criassem o hábito
do trabalho.
2.4 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
A pesquisa “Alfabetização Científica e Representações Sociais de Estudantes
de Ensino Médio sobre Ciência e Tecnologia”, feita por Schulze et.al. (2006, p.13) na
Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), mostra que:
[...] o nível de conhecimento de estudantes de Ensino Médio
em ciência e tecnologia se correlaciona positivamente com
diversas disciplinas escolares, bem como o interesse em
ciência e tecnologia e freqüência de informação sobre esses
assuntos.
Ou seja, as disciplinas escolares influenciam o nível de conhecimento sobre
ciência e tecnologia, portanto nada mais interessante para os estudantes se
interessarem pelo aprendizado das ciências do que a informação e o conhecimento
na sala de aula da própria relação da ciência com as disciplinas escolares.
Voltando
o
olhar
para
a
modalidade
de
ensino
que
envolve
a
interdisciplinaridade, ninguém melhor para citar que D’Ambrosio (1986, p.15):
Mais uma vez insistimos na tese do ensino integrado como
única possibilidade de se desenvolver valores científicos
ligados à nossa realidade, e não voltados a uma realidade
estrangeira culturalmente colonizante.
Se quisermos que haja um desenvolvimento significativo da ciência e da
tecnologia em nosso país, é preciso que haja uma mudança na base da produção do
conhecimento, que é a escola básica, para isso penso que a melhor maneira de
trabalharmos para um progresso seja inter-relacionando as disciplinas escolares,
principalmente a Matemática e a Física. Por isso pretendo fazer este estudo das
14
notas dos estudantes do Ensino Médio em duas escolas de Erechim, para poder
verificar se realmente há relação entre o aproveitamento destas disciplinas
escolares.
15
3 MATERIAIS E MÉTODOS
Esta é uma pesquisa de campo, quantitativa de caráter diagnóstico, sendo
que os dados para a análise são as notas de estudantes do Ensino Médio referente
às disciplinas de Matemática e Física que foram obtidos nas Secretarias de uma
Escola Pública e de uma Escola Particular da cidade de Erechim – RS, nos anos de
2005, 2006 e 2007.
A análise dos dados foi realizada primeiramente, através do cálculo de
algumas medidas estatísticas, dentre elas, a média aritmética simples, a variância e
o desvio padrão das notas de Matemática e de Física dos estudantes das duas
escolas
investigadas.
Para
verificar
a
existência
de
correlação
entre
o
aproveitamento em Matemática e Física foi necessário o cálculo do coeficiente de
correlação linear. E, para verificar se, em média, os estudantes obtiveram a mesma
nota nas disciplinas de Matemática e Física, em cada uma das escolas, aplicou-se o
teste “t” de Student. Nas próximas seções apresenta-se uma descrição das técnicas
estatísticas utilizadas nesse estudo.
3.1 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
As medidas de tendência central são valores calculados com o objetivo de
representar os dados de uma forma ainda mais condensada do que se usando uma
tabela. Quando o desejo é representar, por meio de um valor único, determinado
conjunto de informações que variam, parece razoável escolher um valor central,
mesmo que esse valor seja uma abstração.
A média aritmética é o mais simples dos valores descritivos de uma amostra,
e é definida como a soma dos valores observados, dividida pelo número de
observações, como mostra a expressão (3.1).
16
n
=
x
∑x
i
(3.1)
i =1
n
3.2 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÂO
As medidas de tendência central são insuficientes para representar
adequadamente conjuntos de dados, pois nada revelam sobre sua variabilidade.
Para levar em conta todos os valores observados em uma série, sugere-se o
uso dos desvios de cada valor em relação à média, reunindo-se tais informações em
uma quantidade denominada variância. Usa-se o símbolo s2 para representar a
variância calculada em uma amostra. Calcula-se a variância, em amostras, do
seguinte modo:
n
2
s =
∑ (x
i
−x
2
)
i =1
(3.2)
n −1
Quanto maior a variância de uma série, maior a dispersão dos valores que a
compõem. Assim, se uma amostra tem variância igual a 0,34 e outra, da mesma
variável, igual a 0,93, nesta última os dados variam mais do que na primeira.
Quando não houver variabilidade, a variância é zero.
Uma dificuldade com a variância, como medida descritiva da dispersão, é o
fato de não poder ser apresentada com a mesma unidade com que a variável foi
medida. A solução é extrair a raiz quadrada positiva da variância, já que, com isso,
se volta à unidade original da variável. Essa nova medida de variabilidade é
denominada desvio padrão, usando-se o símbolo σ , se for calculado na população,
ou s, se os dados pertencem a uma amostra.
É interessante observar que o desvio padrão de uma série de dados pode ter
um valor numérico maior que o da média. Isso geralmente é uma indicação de que a
distribuição é assimétrica. (CALLEGARI-JACQUES, 2003)
17
3.3 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR
Avaliar se existe associação entre duas características quantitativas é objetivo
de muitos estudos científicos. Para se avaliar a correlação entre características
quantitativas, inicialmente os dados são apresentados em um gráfico cartesiano de
pontos, denominado diagrama de dispersão.
Uma outra maneira de se avaliar a correlação é usar um coeficiente, que tem
a vantagem de ser um número puro, isto é, independente da unidade de medida das
variáveis. Isto interessa bastante, pois se pode ter duas unidades de medida
diferentes para as variáveis, o que dificultaria a interpretação da associação.
O coeficiente de correlação linear amostral, denotado por r, pode variar entre
-1 e +1. Valores negativos de r indicam uma correlação do tipo inversa, isto é,
quando x aumenta, y em média diminui (ou vice-versa). Valores positivos para r
ocorrem quando a correlação é direta, isto é, x e y variam no mesmo sentido.
O valor máximo (tanto r = +1 como r = -1) é obtido quando todos os pontos do
diagrama estão em uma linha reta inclinada (Figuras 3.1a e 3.1b). Por outro lado,
quando não existe correlação entre x e y, os pontos se distribuem em nuvens
circulares (Figura 3.1c). Associações de grau intermediário (0 < r < 1) apresentam-se
como nuvens inclinadas, de forma elíptica (Figuras 3.1d e 3.1e), sendo mais
estreitas quanto maior for a correlação (Figura 3.1d). Se, no entanto, a nuvem
elíptica for paralela a um dos eixos do gráfico, a correlação é nula (Figura 3.1f).
Quando os pontos formam uma nuvem cujo eixo principal é uma curva
(Figuras 3.1g e 3.1h), o valor de r não mede corretamente a associação entre as
variáveis. Isto ocorre porque a técnica para calcular esse coeficiente supõe que os
pontos do gráfico formam nuvens elípticas, cujo eixo principal é uma reta.
18
Figura 3.1 – Diagramas de dispersão, com os valores de r correspondentes.
Fonte: Callegari-Jacques (2003, p.86)
A fórmula para se obter o coeficiente de correlação linear ou o coeficiente de
Pearson em uma amostra é dada pela expressão (3.3).
n

n

n

∑ X Y −  ∑ X  ∑ Y 
n
r=
i
i
i
i=1

i =1
 n


2 
n Xi − 
 i=1


2





∑
n
∑
i =1

Xi 



i
i =1

 n


2 
 n Yi − 
 i=1


∑
n
∑
i =1

Yi 


2





(3.3)
onde X i = indica cada observação da variável X, Yi = indica cada observação da
variável Y e n = corresponde ao número de pares de valores das variáveis X e Y.
3.3.1 Teste de hipóteses sobre a correlação
Quando se calcula o coeficiente r em uma amostra, é necessário ter em
mente que se está, na realidade, estimando a associação verdadeira entre x e y
existente na população.
19
A correlação na população é designada por ρ . Supõe-se inicialmente que
não existe correlação entre x e y e, então, ρ = 0. Realizando-se um processo de
amostragem aleatória, os valores de r obtidos nas amostras devem ser, na sua
maioria, próximos de zero. Podem ocorrer valores mais afastados de zero, mas
serão pouco freqüentes. A distribuição amostral de valores de r é simétrica quando a
correlação populacional for zero, como se pode ver na Figura 3.2. Por outro lado, vai
ficando mais e mais assimétrica à medida que ρ afasta-se de zero. (CALLEGARIJACQUES, 2003)
Figura 3.2 – Distribuição amostral de r para ρ = 0 e ρ = 0,8, para amostras com n = 9.
Fonte: Hoel (1963 apud Callegari-Jacques, 2003, p.88)
Para avaliar a significância do coeficiente de correlação, geralmente testa-se
a hipótese nula de que ρ = 0 , utilizando para tanto a distribuição t de Student
(definida na seção 3.4).
As etapas para o teste estatístico de um coeficiente de correlação são
apresentadas a seguir:
•
Elaboração das hipóteses estatísticas
H0: ρ = 0
Ha: ρ ≠ 0
•
Escolha do nível de significância
Neste trabalho, o valor considerado para α é de 0,05.
•
Determinação do valor crítico do teste
20
Nesta etapa, deve-se determinar o valor de t α;gl , onde gl = n – 2, sendo
n o número de pares de valores das variáveis x e y.
•
Determinação do valor calculado de t, conforme expressão (3.4).
t=
•
Conclusão: Se
r −ρ
1− r 2
n−2
(3.4)
t calc > t α;gl , rejeita-se H ao nível de significância
0
considerado, caso contrário, se aceita H0.
3.4 DISTRIBUIÇÃO t (STUDENT)
Sabedor das dificuldades que os pesquisadores têm para obter amostras
grandes, o químico William Sealy Gosset (1876-1936) desenvolveu a “distribuição t”
e a publicou sob o pseudônimo de Student. Para entendê-la, considere o seguinte:
se for utilizado o desvio-padrão da amostra no cálculo de um escore Z populacional,
está introduzindo-se incerteza ao resultado, isto porque se o desvio-padrão da
amostra for menos que o da população, o escore Z resultante será muito grande e
vice-versa. Assim, quando não se conhece o desvio-padrão da população, mas sim
uma estimativa do mesmo com base no desvio-padrão da amostra, a distribuição de
escores Z já não será mais normal e seguirá uma distribuição conhecida como
“distribuição t”, cuja forma lembra a da distribuição normal, porém com mais área
nas caudas, conforme mostra a Figura 3.3.
Essa distribuição t possui como características: ser contínua e simétrica, ter
média igual a 0, está definida para todos os valores reais e apresenta desvio-padrão
variável com o tamanho da amostra (n). Não existe uma única distribuição t, mas sim
um grupo: para cada tamanho da amostra existe uma distribuição e uma curva
específica.
21
Figura 3.3 – Comparação entre as Distribuições Normal e de Student.
Fonte: Soares et al. (1991, p.157)
3.5 TESTE t PARA AMOSTRAS INDEPENDENTES
Como um dos objetivos específicos deste trabalho é verificar se os estudantes
apresentam, em média, a mesma nota em Matemática e Física, é necessário à
realização de um teste de hipóteses. Neste trabalho, utilizaremos o teste “t” de
Student, descrito nesta seção.
Segundo Levin e Fox (2004), tornou-se uma convenção na análise estatística
iniciar o trabalho testando a hipótese nula – a hipótese segundo a qual duas
amostras foram extraídas de populações equivalentes. De acordo com a hipótese
nula, qualquer diferença observada entre amostras é encarada como uma
ocorrência casual resultante apenas do erro amostral. Portanto, uma diferença
constatada entre duas médias amostrais não representa uma diferença verdadeira
entre suas médias populacionais.
No presente contexto, a hipótese nula pode
ser simbolizada como:
H0: µ1 = µ2
onde µ1 = média da primeira população e µ2 = média da segunda população.
A hipótese nula é geralmente (embora não necessariamente) estabelecida
com o intuito de a negarmos. Isso faz sentindo, porque a maioria dos pesquisadores
procura estabelecer relações entre variáveis; ou seja, eles estão em geral mais
interessados em encontrar diferenças do que em determinar que elas não existam.
22
As diferenças entre grupos – quer esperadas teoricamente ou em bases empíricas –
quase sempre proporcionam o fundamento lógico para a pesquisa.
Se rejeitarmos a hipótese nula, isto é, se achamos que nossa hipótese de não
haver diferenças entre médias provavelmente não é válida, automaticamente
aceitamos a hipótese de pesquisa de que de fato existe uma diferença entre as
populações. Esse é, em geral, o resultado esperado em pesquisa. A hipótese de
pesquisa nos diz que as duas amostras foram extraídas de populações com médias
diferentes e que a diferença obtida entre médias amostrais é demasiadamente
grande para ser atribuída a erro amostral.
A hipótese de pesquisa para a diferença entre médias é simbolizada por:
Ha: µ1 ≠ µ 2
onde µ1 = média da primeira população e µ2 = média da segunda população.
Dessa forma, neste trabalho, as hipóteses H0 e Ha são definidas da seguinte
maneira:
H0: a nota média em Matemática é igual à nota média em Física
Ha: a nota média em Matemática é diferente da nota média em Física
Para verificar se existe diferença estatisticamente significativa em média entre
as notas de Matemática e Física dos estudantes de cada Escola pela aplicação do
teste “t” para amostras independentes, depois da definição das hipóteses, calcula-se
a média e a variância de cada amostra, utilizando-se as expressões (3.1) e (3.2),
respectivamente. Na etapa seguinte, determina-se o valor do erro padrão da
diferença entre médias, denotado, neste trabalho, por s M − F e definido pela
expressão (3.5).
 n s 2 + n F s F2
s M −F =  M M
 nM + nF − 2

 n M + n F

 n M × n F





(3.5)
onde n M = indica o número de notas de Matemática, nF = indica o número de notas de
2
2
Física, s M = corresponde a variância das notas de Matemática e s F = corresponde a
variância das notas de Física.
23
A estatística do teste com base da diferença entre médias e o erro padrão da
diferença é calculada pela expressão (3.6).
t=
M−F
s M −F
(3.6)
Além disso, para a conclusão do teste, é necessário determinar, pela tabela, o
valor crítico para t. O mesmo é determinado levando-se em consideração o número
de graus de liberdade (gl) e o nível de significância, sendo para este teste gl =
n M + nF − 2 .
Para decidir sobre a aceitação ou rejeição da hipótese nula (H0), deve-se
comparar os valores de t calculado e tabelado. Caso o valor calculado de t não
exceda o valor de t tabelado em nenhuma das direções, positiva ou negativa, se
aceita H0, caso contrário deve-se rejeitá-la.
24
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO
Neste capítulo apresentamos os principais resultados obtidos na análise das
notas de Matemática e Física de estudantes de uma Escola Pública e de uma
Escola Particular da cidade de Erechim.
As informações apresentadas na Tabela 4.1 são referentes ao número de
alunos das escolas investigadas, distribuídos em relação ao ano e série, além disso,
mostra a nota média e o desvio padrão das notas dos estudantes nas disciplinas de
Matemática e Física. Pode-se observar que, considerando-se a média, as notas de
Matemática e Física dos estudantes de cada Escola, nas diferentes séries e anos,
são bastante próximas, porém, a média das notas dos alunos da Escola Pública, em
ambas as disciplinas, em geral, são inferiores as mesmas notas dos alunos da
Escola Particular.
Tabela 4.1 – Número de alunos, média e desvio padrão das notas de Matemática e de Física das
turmas do Ensino Médio das Escolas Pública e Particular da cidade de Erechim nos anos de 2005 a
2007.
Escola Pública
Ano/Série
2005
2006
2007
Número
Escola Particular
Matemática
Física
Número
Matemática
Física
de alunos
x
s
x
s
de alunos
x
s
x
s
1ª
23
5,02
1,25
4,85
1,47
42
6,66
1,92
6,49
1,82
2ª
14
5,48
1,55
4,88
1,25
69
6,95
1,98
6,84
1,73
3ª
22
5,44
0,60
5,58
0,62
49
5,25
1,75
6,37
1,78
1ª
36
3,97
1,66
3,45
1,48
56
6,06
2,38
6,46
1,84
2ª
11
5,51
1,26
4,60
1,12
38
6,56
1,79
6,27
2,57
3ª
23
5,14
1,21
5,07
1,13
62
6,67
2,03
7,45
1,38
1ª
28
4,21
1,37
3,73
1,58
50
6,82
1,81
6,96
1,50
2ª
20
5,03
1,50
4,61
1,32
53
6,45
1,98
6,87
1,92
3ª
19
5,35
1,13
4,99
1,01
31
6,82
2,29
7,57
1,50
Fonte: Autora
25
4.1
ANÁLISE
DA
CORRELAÇÃO
ENTRE
AS
VARIÁVEIS
NOTAS
DE
MATEMÁTICA E FÍSICA
Para se avaliar a correlação entre as variáveis notas de Matemática e Física
dos estudantes da Escola Pública e da Escola Particular, decidiu-se por apresentar
os dados em um gráfico cartesiano de pontos, denominado diagrama de dispersão.
As Figuras 4.1 a 4.9 mostram o comportamento apresentado pelas variáveis
notas de Matemática e Física, bem como o valor para o coeficiente de correlação
linear.
Observa-se, nessas figuras, que o comportamento apresentado pelas
variáveis investigadas é linear, bem como, a associação descrita é positiva,
indicando que, em geral, as notas de Física tendem a aumentar quanto maior forem
as notas de Matemática. Além disso, conclui-se pelo valor de r obtido, que existe
uma forte correlação entre as variáveis analisadas, sendo o resultado obtido para
coeficiente de correlação estatisticamente significativo (p < 0,05), pela aplicação do
teste “t”.
Figura 4.1 – Relação entre as notas de Matemática e Física dos estudantes da Escola Pública (a) e
da Escola Particular (b) referente à 1ª série do Ensino Médio do ano de 2005.
26
Figura 4.2 – Relação entre as notas de Matemática e Física dos estudantes da Escola Pública (a) e
da Escola Particular (b) referente à 2ª série do Ensino Médio do ano de 2005.
Figura 4.3 – Relação entre as notas de Matemática e Física dos estudantes da Escola Pública (a) e
da Escola Particular (b) referente à 3ª série do Ensino Médio do ano de 2005.
Figura 4.4 – Relação entre as notas de Matemática e Física dos estudantes da Escola Pública (a) e
da Escola Particular (b) referente à 1ª série do Ensino Médio do ano de 2006.
27
Figura 4.5 – Relação entre as notas de Matemática e Física dos estudantes da Escola Pública (a) e
da Escola Particular (b) referente à 2ª série do Ensino Médio do ano de 2006.
Figura 4.6 – Relação entre as notas de Matemática e Física dos estudantes da Escola Pública (a) e
da Escola Particular (b) referente à 3ª série do Ensino Médio do ano de 2006.
Figura 4.7 – Relação entre as notas de Matemática e Física dos estudantes da Escola Pública (a) e
da Escola Particular (b) referente à 1ª série do Ensino Médio do ano de 2007.
28
Figura 4.8 – Relação entre as notas de Matemática e Física dos estudantes da Escola Pública (a) e
da Escola Particular (b) referente à 2ª série do Ensino Médio do ano de 2007.
Figura 4.9 – Relação entre as notas de Matemática e Física dos estudantes da Escola Pública (a) e
da Escola Particular (b) referente à 3ª série do Ensino Médio do ano de 2007.
4.2 COMPARAÇÃO ENTRE AS NOTAS MÉDIAS DE MATEMÁTICA E FÍSICA
Para verificar se, em média, os estudantes da Escola Pública e da Escola
Particular obtiveram a mesma nota nas disciplinas de Matemática e Física, aplicouse o teste “t” para amostras independentes, considerando-se um nível de
significância de 5%. As Tabelas 4.2 e 4.3 apresentam os resultados obtidos.
29
Tabela 4.2 – Resultados da aplicação do teste “t” para as notas médias de Matemática e Física dos
estudantes da Escola Pública.
Disciplina
Ano/Série
2005
2006
2007
Estatística t
Valor de p
4,85 ± 1,47
0,4257
0,6724
5,48 ± 1,55
4,88 ± 1,25
1,1192
0,2733
3ª
5,44 ± 0,60
5,58 ± 0,62
- 0,7562
0,4538
1ª
3,97 ± 1,66
3,45 ± 1,48
1,3964
0,1670
2ª
5,51 ± 1,26
4,60 ± 1,12
1,8017
0,0867
3ª
5,14 ± 1,21
5,07 ± 1,13
0,1952
0,8462
1ª
4,21 ± 1,37
3,73 ± 1,58
1,2169
0,2289
2ª
5,03 ± 1,50
4,61 ± 1,32
0,9582
0,3440
3ª
5,35 ± 1,13
4,99 ± 1,01
1,0246
0,3124
Matemática
Física
1ª
5,02 ± 1,25
2ª
Fonte: Autora
Tabela 4.3 – Resultados da aplicação do teste “t” para as notas médias de Matemática e Física dos
estudantes da Escola Particular.
Disciplina
Ano/Série
2005
2006
2007
Estatística t
Valor de p
6,49 ± 1,82
0,4138
0,6801
6,95 ± 1,98
6,84 ± 1,73
0,3206
0,7490
3ª
5,25 ± 1,75
6,37 ± 1,78
- 3,1437
0,0022
1ª
6,06 ± 2,38
6,46 ± 1,84
- 0,9952
0,3218
2ª
6,56 ± 1,79
6,27 ± 2,57
0,5751
0,5669
3ª
6,67 ± 2,03
7,45 ± 1,38
- 2,5278
0,0128
1ª
6,82 ± 1,81
6,96 ± 1,50
- 0,4147
0,6792
2ª
6,45 ± 1,98
6,87 ± 1,92
- 1,1126
0,2685
3ª
6,82 ± 2,29
7,57 ± 1,50
- 1,5291
0,1315
Matemática
Física
1ª
6,66 ± 1,92
2ª
*
*
*
Nota: Indica resultado estatisticamente significativo pela aplicação do teste “t” ao nível de significância de 5%
Fonte: Autora
Analisando-se os resultados apresentados na Tabela 4.2, observa-se que, em
média, os estudantes da Escola Pública apresentaram a mesma nota em
Matemática e Física (p > 0,05). Quando se comparam as notas médias nas
disciplinas consideradas para os estudantes da Escola Particular (Tabela 4.3), nota-
30
se que os resultados diferem somente para a turma da 3ª série dos anos de 2005 e
2006 (p < 0,05).
31
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Um dos objetivos deste trabalho era verificar se, em média, os estudantes
possuíam o mesmo aproveitamento na disciplina de Matemática e na disciplina de
Física. Através da aplicação do teste “t” pode-se perceber que em média os
estudantes do Ensino Médio nas três séries e nos três anos, possuem
aproveitamentos bem próximos (p > 0,05) nas disciplinas de Matemática e Física.
Apenas em duas turmas de 3ª série dos anos 2005 e 2006 da Escola Particular,
observou-se que a média entre as disciplinas não são iguais (p < 0,05).
Outro objetivo deste estudo era verificar o grau de associação entre as
variáveis: notas de Matemática e notas de Física. Através da construção do
diagrama de dispersão pode-se perceber que o comportamento apresentado pelas
variáveis investigadas é linear. Além disso, a associação descrita é positiva,
indicando que, em geral, as notas de Física tendem a aumentar quanto maior forem
as notas de Matemática. Além disso, conclui-se pelo valor de r obtido, que existe
uma forte correlação entre as variáveis analisadas, sendo o resultado obtido para
coeficiente de correlação estatisticamente significativo (p < 0,05), pela aplicação do
teste “t” ao nível de significância de 5%.
Finalmente, comparando-se os resultados da Escola Pública com os
resultados da Escola Particular observou-se que ambas apresentam praticamente o
mesmo grau de associação entre o aproveitamento de Matemática e o
aproveitamento de Física. Porém, cabe destacar, que em média as notas tanto de
Matemática quanto de Física foram maiores na Escola Particular do que na Escola
Pública.
Respondendo ao problema da pesquisa, após o estudo concluído podemos
afirmar que o rendimento dos estudantes em Matemática no Ensino Médio de uma
Escola Pública e de uma Escola Particular da cidade de Erechim – RS influencia no
rendimento de Física destes estudantes.
32
Com este trabalho pude comprovar a hipótese de que o bom desempenho do
estudante em Matemática favorece o mesmo para ter também um bom rendimento
em Física.
Acredito que a partir dos resultados obtidos com este estudo, os professores
de Matemática e de Física possam se sentir estimulados a pensarem e
posteriormente realizarem um trabalho interdisciplinar entre estas disciplinas. Penso
que isto seria um grande aprendizado tanto para os alunos que poderiam trabalhar
com estas disciplinas interligadas e ver o quanto uma completa a outra, quanto para
os professores, pois estes teriam mais um desafio em suas profissões e também
uma grande conquista ao realizarem este trabalho e verem os resultados positivos
que com certeza irão acontecer.
33
REFERÊNCIAS
BASSANEZI, R. C. Modelagem como estratégia para Capacitação de professores de
Matemática. In :_________ Modelagem Matemática. São Paulo: Editora Contexto,
2003.
BORGES, O. Ensinar para menos e ensinar melhor. Minas gerais. Disponível em:
<http://sbf1.sbfisica.org.br/eventos/snef/xvi>. Acesso em: 10 nov. 2007.
BRASIL. Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica. Orientações
Curriculares para o Ensino Médio. Brasília: MEC/SEB, 2006.
CALLEGARI-JACQUES, S. M. Bioestatística: princípios e aplicações. Porto
Alegre: Artmed, 2003.
D’AMBROSIO, U. Da Realidade à Ação: reflexões sobre educação e
matemática. São Paulo: Summus, 1986.
LEVIN, J., FOX, J. A. Estatística para Ciências Humanas. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2004.
LOPES, J. B. Aprender e Ensinar Física. APPACDM de Braga, 2004.
SCHULZE, C.; CAMARGO, B.; WACHELKE, J. Alfabetização Científica e
Representações Sociais de Estudantes de Ensino Médio sobre Ciência e
Tecnologia.
Florianópolis,
2006.
Disponível
em:
<http://146.164.3.26./seer/lab19/ojs/viewarticle.php/id=101&layout=html>.
Acesso
em: 10 nov. 2007.
SOARES, J. F.; FARIAS, A. A.; CEZAR, C. C. Introdução à Estatística. Belo
Horizonte: Livros Técnicos e Científicos Editora, 1991.
VAZ JUNIOR, J. Disponível em: <http://www.ime.unicamp.br/%7Evaz/fismat.htm>.
Acesso em: 13 nov. 2007.