Mecânica e Ondas, 20 Semestre 2006-2007, LEIC
Série IV
Momento Angular
1. Calcule o momento angular dos seguintes sistemas:
a) Corpo de massa m livre da acção de forças exteriores, movendo-se, portanto, com velocidade constante, ~v (movimento uniforme).
b) Corpo de massa m que descreve uma circunferência de raio R com módulo de velocidade
constante v (movimento circular uniforme).
2. Uma esfera de massa m move-se sem atrito numa mesa horizontal, estando ligada a um
ponto ’O’ da mesa por um fio que a obriga a descrever uma circunferência centrada em O.
Inicialmente o comprimento do fio é ℓo e a velocidade da esfera é v. Se o comprimento do
fio for reduzido para metade (ℓ = ℓo /2):
a) Determine a nova velocidade, v ′ ;
b) Determine a nova velocidade angular;
c) Suponha que o fio era cortado. Preveja o movimento da esfera e calcule o seu momento
angular.
3. Colocou-se, como se indica na figura, uma massa de 0.5 kg presa
por um fio com 90 cm de comprimento. Fez-se girar no plano vertical
com velocidade angular constante ω. Sabe-se que o fio parte quando se
suspende uma massa (em repouso) igual ou superior a 20 kg.
a) Qual a velocidade angular mı́nima que deve ser aplicada ao fio para ele partir?
b) Qual a velocidade angular mı́nima que assegura um movimento circular?
c) Calcule o momento da força da gravidade relativamente à origem ’O’ e calcule o momento
adicional que tem de ser aplicado ao sistema para manter uma velocidade angular constante.
4. Uma haste homogénea de 40 kg de massa apoia-se contra
uma parede vertical e contra um canto de outra parede. Desprezando o atrito, determine as reacções em A e em B e a
posição de equilı́brio da barra (β).
1
C
ß
B
A
d
5. Considere o sistema representado na figura. A massa da esquerda,
m/2, vem colidir, com velocidade v = 5 m/s no halter parado, formado
pelas massas m/2 e m, rigidamente ligadas à distância a = 0.5 m. O
m/2
v
m/2
a
choque faz com que as bolas de massas m/2 se juntem e com que o
halter se comece a mover. (m = 0.8 kg)
m
a) Calcule o movimento do centro de massa do conjunto;
b) Calcule, no referencial do centro de massa, o movimento de rotação do halter depois do
choque. Justifique os cálculos;
c) Calcule a energia dissipada no choque.
6. Considere as seguintes configurações do sistema (despreze a massa da
barra):
ω
m
a) Dado o sistema representado na figura ao lado a rodar em torno de
~ = I ~ω , em que
um eixo perpendicular à barra que as une, verifique que L
m
r
r
I = 2 m r2 ;
ϕ
b) Se o sistema se apresentar a rodar como indica a figura ao lado, mostre
que o momento angular não é paralelo a ~ω e ainda que a sua projecção sobre
~ω é dada por Lω = I′ ω.
r
r
7. Um corpo D com 6 kg de massa gira sem atrito sobre uma superfı́cie
cónica ABC em torno do eixo EF com velocidade angular 10 rpm, conforme
F
B
mostra a Figura. O fio DF mede 4.5 m de comprimento e o ângulo α vale
30o . Calcule
α
D
a) O valor da velocidade linear do corpo;
A
b) A reacção normal da superfı́cie sobre o corpo e a tensão no fio;
C
E
c) A velocidade angular necessária para que a reacção normal da superfı́cie sobre o corpo
seja nula.
8. Uma particula de massa m, presa por uma corda de comprimento ℓ a
um ponto fixo ’O’, gira descrevendo um movimento circular de velocidade
angular ω. (A este sistema dá-se o nome de pêndulo cónico). Determine:
a) A tensão a que o corda se encontra sujeita;
b) O ângulo que a corda faz com a vertical;
O
ϕ
l
m
c) O momento angular axial da partı́cula em relação ao eixo vertical passando por ’O’.
2
9. Um meteoro aproxima-se do Sol. A grande distância a sua
velocidade é de 500 m/s estando apontada a b = 1012 m do centro
do Sol (parâmetro de impacto).
vo
b
a) Determine a distância mı́nima a que o meteoro passa do centro
do Sol e a sua velocidade nesse ponto;
d
Sol
b) Qual o valor mı́nimo de b para que o meteoro não colida com o Sol?
10. Considere um disco homogéneo de raio 2 m e de massa 1.3 × 105 kg que roda em torno
do seu eixo perpendicular ao disco com 2500 rot/min. A certa altura aplica-se na borda
exterior um travão que exerce sobre o disco uma força de 105 N. Calcule:
a) O momento de inércia do disco;
b) O seu momento angular inicial;
c) O sua energia cinética inicial;
d) Sabendo que a força de atrito sólido-sólido resultante da aplicação do travão é dada por
|F~at | = 0.3 |F~aplic |, calcule o tempo que a roda leva a parar;
e) Qual a energia dissipada na travagem?
11. Um disco maciço e homogéneo de raio igual a 15 cm e massa 10 kg, encontra-se fixa pelo
seu eixo de simetria e pode rodar livremente em torno dele. Na sua borda exterior encontrase enrolado um fio e nele pendurada uma massa de 1.0 kg. Inicialmente o sistema encontra-se
em repouso. Num dado instante a massa é solta e fica sujeita à acção da gravidade, descendo
2 m. Calcule:
a) O momento de inércia do disco;
b) A velocidade angular do disco no instante final;
c) A velocidade final da massa;
d) O momento angular final;
e) A energia cinética final.
12. Uma esfera maciça de raio 5 cm e de massa especı́fica 7.5 g/cm3 rola, sem deslizar, sobre
uma superfı́cie horizontal com 3 m/s. Num certo instante encontra um plano inclinado,
começando a subir. Admitindo que a esfera rola sem deslizar. Calcule:
a) O momento de inércia da esfera;
b) A velocidade angular da esfera;
c) O seu momento angular inicial;
d) O sua energia cinética inicial;
e) A altura máxima atingida pela esfera.
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