FI-144 TEORIA DE GRUPOS
Lista # 5
Guillermo Cabrera
http://www.i .unicamp.br/~cabrera/teaching/ 144.htm
Entrega: 16 de junho de 2009
So entregar os itens destacados com *
1. Grupos Dobrados
Determine as estruturas de classes e as tabelas de carateres dos grupos dobrados:
C3 ; D3 ; D4 ; T ; Th :
2. * Spin-Orbita vs Campo Cristalino
Determine os n veis de energia e as transic~oes permitidas para radiac~ao dipolar
eletrica para os n veis
2
D; 2 F
de um eletron em um atomo, nos seguintes casos:
(a) sem acoplamento spin-orbita e sem campo cristalino;
(b) sem acoplamento spin-orbita e com campo cristalino de simetria T ;
(c) com acoplamento spin-orbita e sem campo cristalino;
(d) com campo cristalino de simetria T fraco e acoplamento spin-orbita forte;
(e) com campo cristalino de simetria T forte e acoplamento spin-orbita fraco.
3. Grupo dobrado C2v
Construa explicitamente o grupo dobrado C2v obtendo a tabela completa de multiplicac~ao. Note que, embora C2v seja abeliano, o grupo dobrado n~ao. A partir da
tabela de multiplicac~ao, encontre as classes conjugadas e construa as representac~oes
de spin do grupo.
4. * Efeitos de Campo Cristalino nos multipletos de Ions de Terras Raras
Nos ons de Terras Raras, os efeitos de campo cristalino devem ser considerados
como uma perturbac~ao em cima dos multipletos determinados pelo acoplamento
1
spin-orbita. Consideremos aqui o caso do Ce3+ , donde a con gurac~ao eletr^onica
importante e
Ce3+ : [Xe] 4f 1 ;
que corresponde a uma camada f incompleta com apenas um eletron. Este on e
submetido a um campo cristalino com simetria cubica completa (grupo Oh ).
a) Determine primeiro os multipletos resultantes da interac~ao spin-orbita. A Teoria
de Grupos nada a rma sobre sobre a ordem do espectro. Porem existem regras
fenomenologicas, conhecidas como Regras de Hund, que permitem ordenar os n veis
at^omicos [1]. Lembrando as Regras de Hund (curso de Estrutura da Materia), diga
qual e o multipleto fundamental.
b) Considere agora o potencial cristalino com simetria Oh como uma perturbac~ao, e encontre o splitting dos multipletos achados acima. Lembre que o momentum angular
total e semi-inteiro devido a presenca de apenas um eletron.
c) Todos os n veis encontrados t^em a mesma paridade pois derivam do mesmo orbital f .
Desta maneira, as transic~oes dipolares eletricas est~ao proibidas. Em ordem mais
alta, podemos ter transic~oes dipolares magneticas. Encontre para estas ultimas as
regras de selec~ao para todos os n veis determinados acima.
d) Calculo expl cito das energias
Queremos calcular agora expl citamente as energias do multipleto fundamental.
Para isto ter amos que calcular elementos de matriz do potencial cristalino. No
caso de simetria cubica, na ordem mais baixa, o campo cristalino tem a forma (isto
sim pode ser deduzido da Teoria de Grupos):
x4 y 4 z 4
+ 4+ 4
r4
r
r
Vc (r) = F (r)
3
5
;
onde (x; y; z) s~ao as coordenadas do eletron. Podemos veri car que o potencial
acima e um invariante do grupo Oh (primeiro invariante n~ao trivial). O calculo pode
ser simpli cado com a ajuda do Teorema de Wigner-Eckart. Para um multipleto
dado (estados com o mesmo j), os elementos de matriz de operadores tensoriais
da mesma ordem s~ao proporcionais. Da que os elementos de matriz do operador
posic~ao r podem ser calculados a partir dos elementos de matriz de J, o momentum
angular total. Reescrevemos ent~ao o potencial cristalino na forma:
Vc (r) = A Jx4 + Jy4 + Jz4
3 4
J ;
5
(1)
onde A e o unico par^ametro da teoria. Este metodo e chamado dos operadores
equivalentes e esta exposto em [2].
2
i) Calcule agora a separac~ao dos n veis na presenca do campo cristalino (1).
Use as vantagens fornecidas pela Teoria de Grupos no calculo das energias.
Em func~ao de A, diga qual e o estado fundamental. Use para o multipleto a
representac~ao jjm > que diagonaliza (Jz ; J2 ), e reescreva o potencial (1) em
termos dos operadores escada do momentum angular
J+ = Jx + iJy ;
J = Jx iJy :
Ordene os estados do multipleto de maneira que tenha que diagonalizar submatrizes do menor tamanho poss vel.
ii) Encontre tambem express~oes expl citas para as func~oes de onda dos n veis de
campo cristalino no caso do multipleto fundamental.
References
[1] E.U. Condon e G. H. Shortley, em The Theory of Atomic Spectra, Cambridge University Press, 1970.
[2] K. W. H. Stevens, Proc. Phys. Soc. Lond. A65, 209 (1952).
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