4ª Lista- Prof. Marcos Vinicius
𝑑𝑦
1. Encontre 𝑑𝑥 por derivação implícita.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
𝑥 2 − 3𝑦 = 25
𝑥𝑦 − 𝑦 = 1
𝑥 3 − 4𝑥 2 𝑦 + 𝑦 3 = 10
√𝑥 + √𝑦 = 1
𝑦 2 = 3𝑥 2 − 𝑥
𝑦 3 = 𝑥𝑦 − 𝑥
2. Determine a equação das retas tangente e normal à curva dada, no ponto
especificado.
a) 𝑥 2 = 𝑦 3 , 𝑃(8,4)
b) 𝑥𝑦 = 2, 𝑃(2,1)
c) 𝑥 2 𝑦 3 − 2𝑥𝑦 = 6𝑥 + 𝑦 + 1, 𝑃(0,1)
3. Nos exercícios abaixo, as variáveis x, y e z são funções de uma terceira variável t.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
a) Se 2𝑥 + 𝑦 3 = 8, 𝑑𝑡 = 1, encontre
b) Se 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4, 𝑑𝑡 = 2, encontre
c) Se 𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 2 = 1,
d) Se 𝑧 2 = 𝑥 2 +
𝑑𝑥
𝑦 2 , 𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑡
, quanto 𝑥 = 1 e 𝑦 = 2.
, quanto 𝑦 = 1.
= 10, encontre
= 10 e
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
, quanto 𝑥 = 20 e 𝑦 = 5.
= 15, encontre
𝑑𝑧
𝑑𝑡
, quanto 𝑥 = 8, 𝑦 = 9 e
𝑧 = 4.
4. Ar está sendo bombeado para dentre de um balão esférico e seu volume cresce à
taxa de 50 𝑐𝑚3 /𝑚𝑖𝑛. Qual a velocidade com que o raio cresce quando o diâmetro
for 10cm?
5. Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido, com raio da base
2m e a altura 4m. Se a água está sendo bombeada para dentro do tanque à taxa de
2 m3 / min, encontre a taxa pela qual o nível de água estará elevando quando a água
estiver a 3 m de profundidade.
6. Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6cm/s. Com que taxa a
área do quadrado estará aumentando quando a área do quadrado for 16 cm2?
7. O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm/s. Quão rápido o volume
está aumentando quando o diâmetro for 80 mm?
8. Se uma bola de neve derrete de forma que a área de sua superfície decresce a taxa
de 1 cm2/min, encontre a taxa segunda a qual o raio decresce quando o diâmetro é
10 cm.
9. Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando
o raio do tumor for 0,5cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001cm por dia,
qual será a taxa de aumento do volume do tumor naquele instante?
10. Um pequeno balão esférico é introduzido em uma artéria obstruída e inflado à razão
de 0,002 π mm3/ min. Qual é a taxa de aumento do raio do balão quando o raio é R
= 0,005 mm?
11. Um estudo ambiental realizado em certa cidade revela que haverá Q(p) = p 2+ 4p +
900 unidades de um perigoso poluente no ar quando a população for de p mil
habitantes. Se a população atual é de 50.000 habitantes e está aumentando à taxa de
1.500 habitantes por ano, qual é a taxa de aumento da poluição causada pelo
produto?
12. Nos processos adiabáticos não existe troca de calor com o ambiente. Suponha que
um balão de oxigênio seja submetido a um processo adiabático. Nesse caso, se a
pressão do gás é P e o volume é V, pode-se demonstrar que PV1,4 = C, onde C é
uma constante. Em certo instante, V=5m3, P = 0,6 Kg/m2 e P está aumentando à
razão de 0,23 Kg/m2 /s. Qual é a taxa de variação do volume neste instante? O
volume está aumentando ou diminuindo?
13. Uma pipa está voando a uma altura de 40 m. Uma criança está empinando-a de tal
forma que se mova horizontalmente a uma velocidade de 3m/s. Se a linha estiver
esticada, com que velocidade a linha estará sendo “dada”, quando o comprimento
da linha desenrolada for de 50m?
14. Uma verta quantidade de areia é despejada a uma taxa de 10m3/min, formando um
monte cônico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que
taxa a altura está crescendo quando o monte tiver 8m de altura?
15. Esta semana uma fábrica está produzindo 50 unidades de um determinado produto
e a produção está crescendo a uma taxa de 2unidades por semana. Se C(x) for o
custo total da produção de x unidades e 𝐶(𝑥) = 0,08𝑥 3 − 𝑥 2 + 10𝑥 + 48, ache a
taxa corrente segundo a qual o custo da produção está crescendo.
16. Se dois resistores com resistência R1 e R2 estão conectados em paralelo, então a
resistência total R, medida em ohms (Ω), é dada por
1
1
1
=
+
𝑅 𝑅1 𝑅2
Se R1 e R2, estão crescendo a taxas de 0,3 Ω/𝑠 e 0,2 Ω/𝑠 , respectivamente, quão
rápido está variando R quando 𝑅1 = 80Ω e 𝑅2 = 100Ω?