Lista de exercícios – n° 06 – Resolução - Probabilidade e Estatística – PRE-401
Prof. Dr. Marcelo de Paula Corrêa
Princípio Fundamental da Contagem
1) De quantas maneiras
a) podem ser dispostas em fila 5 pessoas?
5.4.3.2.1 = 120 ou P5,5
b) 10 pessoas poderão sentar-se em um banco, se houver apenas 4 lugares?
10.9.8.7 = 5040 ou P10,4
c) 10 pessoas podem ser separadas em dois grupos que contenham 4 e 6 pessoas,
respectivamente?
4!6! P=10! => C = 10!/(4!6!) = 210
2) Deseja-se colocar 5 homens e 4 mulheres em fila, de modo que as mulheres ocupem
os lugares pares. Quantos arranjos são possíveis?
Homens: P5,5
Mulheres P4,4
P4,4.P5,5 = (20.24) = 2880
3) Quantos números de 4 algarismos podem ser formados com algarismos de 0 a 9 se:
a) forem permitidas repetições;
0 ñ é permitido, portanto 9.10.10.10 = 9000
b) não forem permitidas repetições;
9.9.8.7 = 4536
c) o último algarismo deve ser 9 e não forem permitidas repetições.
8.9.7.1 = 448
4) De quantos modos diferentes 7 pessoas poderão sentar-se em torno de uma mesa
redonda se:
a) elas puderem sentar-se em qualquer lugar?
6! = 720
b) duas determinadas pessoas não puderem sentar-se uma ao lado da outra?
5!2! = 240 (juntos)
Total = 720 – 240 = 480
5) De quantas maneiras uma comissão de 5 pessoas pode se escolhida entre 9?
C9,5 = 9!/(5!4!)
6) Quatro derivados diferentes de carbono, seis de hidrogênio e dois de cloro podem ser
emitidos por uma empresa. Quantos arranjos diferentes são possíveis se:
a) os diferentes derivados de um mesmo elemento devem ser emitidos em conjunto?
C => P4,4 H => P6,6 Cl => P2,2 e os 3 grupos P3,3
4!6!2!3! = 207360
b) apenas os derivados de carbono devem ser emitidos em conjunto?
9!4! = 8709120
7) Quantas somas podem ser formadas usando 5 moedas de valores diferentes.
Cada moeda => escolhida ou não = 2!
P/ 5 moedas=> 25
Mas 25 – 1 (nenhuma) = 31
Ou C5,1 + C5, 2 + C5,3 + C5,4 + C5,5 = 31
8) Com 7 consoantes e 5 vogais, quantas palavras podem ser formadas, tal que sejam
compostas por 4 consoantes e 3 vogais, todas diferentes? Não é necessário que as
palavras tenham significado.
Cons:C7,4
Vog: C5,3
7 letras (4c + 3V) podem ser arranjadas de P7,7 = 7!
C7,4 x C5,3 x 7! = 35.10.5040 = 1764000
9) Use a aproximação de Stirling para calcular 50! Faça o mesmo cálculo com uma
calculadora ou no Excel e compare os resultados.
3,04 x 1064
10) Determine a probabilidade de ocorrerem três 6 em 5 lances de um dado honesto.
(1/6)³.(5/6)²
Mas há C5,3 = 10 eventos desta natureza que se excluem mutuamente.
10. (1/6)³.(5/6)² = 125/3888
11) Cinco cartas são tiradas de um baralho, bem embaralhado, de 52 cartas. Determine a
probabilidade de:
a) 4 serem ases
P(4 ases) = (C4,4 . C48,1)/C52,5 = 1/54145
b) 4 serem ases e 1 rei
P(4A1K) = (C4,4 . C4,1)/C52,5 = 1/649740
c) 3 serem dez e 2 valetes
P(3 “10” e 2 J) = (C4,3 . C4,2)/C52,5 = 1/108290
d) serem tiradas 9, 10, valete, dama, rei em qualquer ordem
P(...) = (C4,1.C4,1. C4,1. C4,1. C4,1)/C52,5 = 64/162435
e) 3 serem do mesmo naipe e 2 de outro
P(e) = (4C13,3.3C13,2)/C52,5 = 429/4165
f) ao menos uma ser ás.
P(ÑA) = (C48,5)/C52,5 = 35673/54145
P(1A) = 1 – 35673/54145 = 18472/54145
12) Verifica-se, em uma fábrica, que, em média, 20% dos parafusos produzidos não
satisfazem as especificações. Se forem selecionados ao acaso 10 parafusos da produção
diária dessa máquina, determine a probabilidade de serem defeituosos:
a) exatamente 2
P (2 def) = C10,2. (0,2)².(0,8)8 = 0,0302
b) 2 ou mais
P (2 ou +def) = 1 – P(ñdef) – P(1def) = 1- C10,0. (0,2)0.(0,8)10 - C10,1.(0,2)1.(0,8)9
= 0,6242
c) mais de cinco
P(+5) = P(6def) + P(7...) = C10,6. (0,2)6.(0,8)4... = 0,00637