Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto
ANO 2010
Camilo Daleles Rennó
[email protected]
http://www.dpi.inpe.br/~camilo/estatistica/
Teste de Aderência
Exemplo: Deseja-se testar a hipótese de que um dado seja honesto. Para tanto,
joga-se o mesmo 1200 vezes anotando-se os resultados:
Valor do dado
1
2
3
4
5
6
Freq. Abs. Obs.
180
207
191
203
210
209
1200
H0 : p
?i = 1/6 (i = 1, 2, ..., 6) (dado honesto)
H1: pelo menos algum pi  1/6
Se H0 é verdadeira, então
Valor do dado
1
2
3
4
5
6
Freq. Abs. Obs.
180
207
191
203
210
209
1200
Freq. Abs. Esp.
?
200
200
200
200
200
200
1200
c
X 
i 1
 FAObsi  FAEspi 
FAEspi
2
~
2
c 1
c21
c é o número de classes

0
X crít
H0 verd.
ac. H0
+
rej.
H0 falso
H0
Teste de Aderência
Exemplo: Deseja-se testar a hipótese de que um dado seja honesto. Para tanto,
joga-se o mesmo 1200 vezes anotando-se os resultados (tabela abaixo).
H0 : pi = 1/6 (i = 1, 2, ..., 6) (dado honesto)
H1: pi  1/6
Se H0 é verdadeira, então
Valor do dado
1
2
3
4
5
6
Freq. Abs. Obs.
180
207
191
203
210
209
1200
Freq. Abs. Esp.
200
200
200
200
200
200
1200
180  200
X
200
2
 207  200

200
2
 209  200
 ... 
200
2
 3,6
Conclusão: considerando 5% de significância,
aceita-se H0, ou seja,
não há razões para discordar que o dado seja honesto. 0
52
 = 0,05
XXcrítcrít11,07
? +
Teste de Normalidade / Teste de Aderência
Exemplo: Considere os dados abaixo, resultantes da observação de 40 valores
de uma variável aleatória qualquer Y. Deseja-se testar a hipótese de que esta
variável aleatória tenha distribuição normal com média  igual a 3,6 e
variância 2 igual a 0,8.
2,2
4,1
3,5
4,5
5,0
3,7
3,0
2,6
3,4
1,6
3,1
3,3
3,8
3,1
4,7
3,7
2,5
4,3
4,9
3,6
2,9
3,3
3,9
3,1
4,8
3,1
3,7
4,4
3,2
4,1
1,9
3,4
4,7
3,8
3,0
2,6
3,9
3,0
4,2
3,5
H0 : Y ~ N( = 3,6; 2 = 0,8)
H1 : Y ~ ?

H0 : (Y – 3,6)/0,8944 = Z ~ N(0,1)
H1: (Y – 3,6)/0,8944 ~ ?
Valores padronizados:
-1,57
0,56
-0,11
1,01
1,57
0,11
-0,67
-1,12
-0,22
-2,24
-0,56
-0,34
0,22
-0,56
1,23
0,11
-1,23
0,78
1,45
0,00
-0,78
-0,34
0,34
-0,56
1,34
-0,56
0,11
0,89
-0,45
0,56
-1,90
-0,22
1,23
0,22
-0,67
-1,12
0,34
-0,67
0,67
-0,11
Teste de Normalidade / Teste de Aderência
Exemplo: Considere os dados abaixo, resultantes da observação de 40 valores
de uma variável aleatória qualquer Y. Deseja-se testar a hipótese de que esta
variável aleatória tenha distribuição normal com média  igual a 3,6 e
variância 2 igual a 0,8.
Valores padronizados:
-1,57
0,56
-0,11
1,01
1,57
0,11
-0,67
-1,12
-0,22
-2,24
-0,56
-0,34
0,22
-0,56
1,23
0,11
-1,23
0,78
1,45
0,00
-0,78
-0,34
0,34
-0,56
1,34
-0,56
0,11
0,89
-0,45
0,56
-1,90
-0,22
1,23
0,22
-0,67
-1,12
0,34
-0,67
0,67
-0,11
Agrupando-se os valores padronizados em 7 classes equiprováveis tem-se
Limites
- a -1,068
-1,068 a -0,566
-0,566 a -0,180
-0,180 a 0,180
0,180 a 0,566
0,566 a 1,068
1,068 a +
FAObs
6
4
9
6
6
4
5
FAEsp
40/7
40/7
40/7
40/7
40/7
40/7
40/7
7
X 
 FAObsi  FAEspi 
i 1
FAEspi
2
~  62
X = 3,05
Conclusão:
aceita-se H0 a 5% sig., ou seja, Y ~ N( = 3,6; 2 = 0,8)
62
 = 0,05
0
X crít  12,59 +
Teste de Aderência
OBSERVAÇÕES:
- Deve-se agrupar os dados em 2 a 20 classes excludentes (ideal ≥ 5);
- Se houver apenas 2 classes, o valor esperado de cada uma deve ser ≥ 5;
- Se houver mais que 2 classes, não mais de 20% dos valores esperados
devem ser < 5, e nenhum deve ser nulo;
- Não é necessário que as classes sejam equiprováveis;
- Este teste não é sensível ao ordenamento das classes; e
- Para cada parâmetro estimado, perde-se 1 grau de liberdade.
Teste de Normalidade / Teste de Aderência
Exemplo: Considere os dados abaixo, resultantes da observação de 40 valores
de uma variável aleatória qualquer Y. Deseja-se testar a hipótese de que esta
variável aleatória tenha distribuição normal.
2,2
4,1
3,5
4,5
5,0
3,7
3,0
2,6
3,4
1,6
3,1
3,3
3,8
3,1
4,7
3,7
2,5
4,3
4,9
3,6
2,9
3,3
3,9
3,1
4,8
3,1
3,7
4,4
3,2
4,1
1,9
3,4
4,7
3,8
3,0
2,6
3,9
3,0
4,2
3,5
X  3,5275

s2  0,6528
H0 : Y ~ N( = 3,5275; 2 = 0,6528)
H1 : Y ~ ?
 2
H0 : (Y – 3,5275)/0,8080 = Z ~ N(0,1)
H1: (Y – 3,5275)/0,8080 ~ ?

Valores padronizados:
-1,64
-0,53
0,71
-0,28
-0,03
0,34
1,20
-0,53
1,82
1,45
0,21
0,21
-0,65
-1,27
-1,15
0,96
-0,16
1,70
-2,39
0,09
-0,78
-2,01
-0,28
-0,16
0,46
1,45
-0,53
0,34
1,57
-0,65
-0,53
-1,15
0,21
0,46
1,08
-0,65
-0,41
0,83
0,71
-0,03
Teste de Normalidade / Teste de Aderência
Exemplo: Considere os dados abaixo, resultantes da observação de 40 valores
de uma variável aleatória qualquer Y. Deseja-se testar a hipótese de que esta
variável aleatória tenha distribuição normal.
Valores padronizados:
-1,64
-0,53
-0,78
-2,01
0,71
-0,28
-0,28
-0,16
-0,03
0,34
0,46
1,45
1,20
-0,53
-0,53
0,34
1,82
1,45
1,57
-0,65
0,21
0,21
-0,53
-1,15
-0,65
-1,27
0,21
0,46
-1,15
0,96
1,08
-0,65
-0,16
1,70
-0,41
0,83
-2,39
0,09
0,71
-0,03
Agrupando-se os valores padronizados em 7 classes equiprováveis tem-se
Limites
- a -1,068
-1,068 a -0,566
-0,566 a -0,180
-0,180 a 0,180
0,180 a 0,566
0,566 a 1,068
1,068 a +
FAObs
6
4
7
5
7
4
7
FAEsp
40/7
40/7
40/7
40/7
40/7
40/7
40/7
Conclusão:
aceita-se H0 a 5% sig., ou seja, Y ~ N
7
 FAObsi  FAEspi 
i 1
FAEspi
X 
2
7-1-2 = 4
~  42
X=2
42
 = 0,05
0
X crít  9,49 +
Teste de Kolmogorov-Smirnov
Exemplo (usado no teste 2): Considere os dados abaixo, resultantes da
observação de 40 valores de uma variável aleatória qualquer X. Deseja-se
testar a hipótese de que esta variável aleatória tenha distribuição normal
com média  igual a 3,6 e variância 2 igual a 0,8.
2,2
4,1
3,5
4,5
5,0
3,7
3,0
2,6
3,4
1,6
3,1
3,3
3,8
3,1
4,7
3,7
2,5
4,3
4,9
3,6
2,9
3,3
3,9
3,1
4,8
3,1
3,7
4,4
3,2
4,1
1,9
3,4
4,7
3,8
3,0
2,6
3,9
3,0
4,2
3,5
H0 : X ~ N( = 3,6; 2 = 0,8)
H1 : X ~ ?

H0 : (X – 3,6)/0,8944 = Z ~ N(0,1)
H1: (X – 3,6)/0,8944 ~ ?
Valores padronizados:
-1,57
0,56
-0,11
1,01
1,57
0,11
-0,67
-1,12
-0,22
-2,24
-0,56
-0,34
0,22
-0,56
1,23
0,11
-1,23
0,78
1,45
0,00
-0,78
-0,34
0,34
-0,56
1,34
-0,56
0,11
0,89
-0,45
0,56
-1,90
-0,22
1,23
0,22
-0,67
-1,12
0,34
-0,67
0,67
-0,11
Teste de Kolmogorov-Smirnov
Exemplo (usado no teste 2): Considere os dados abaixo, resultantes da
observação de 40 valores de uma variável aleatória qualquer X. Deseja-se
testar a hipótese de que esta variável aleatória tenha distribuição normal
com média  igual a 3,6 e variância 2 igual a 0,8.
Valores padronizados ordenados:
-2,24
-1,9
-1,57
-1,23
-1,12
-1,12
-0,78
-0,67
-0,67
-0,67
-0,56
-0,56
-0,56
-0,56
-0,45
-0,34
-0,34
-0,22
-0,22
-0,11
-0,11
0,00
0,11
0,11
0,11
0,22
0,22
0,34
0,34
0,56
0,56
0,67
0,78
0,89
1,01
1,23
1,23
1,34
1,45
1,57
1
i
3
 Fobs (1,57) 
n
40
Fesp (Zi )  P(Z  Zi )
 Fesp (Z  1,57)  0,0582
Fobs ( Zi ) 
F (Z )
0,8
0,6
0,4
D  máx Fobs ( Z i )  Fesp ( Z i )
0,2
0
-3
-2
-1
0
1
Z
Observado
Observado
Esperado
2
3
valores críticos tabelados!
Se D maior que Dcrít, então conclui-se que a
distribuição teórica não é válida, com certo
nível de significância.
Teste de Kolmogorov-Smirnov
D  máx Fobs ( X )  Fesp ( X )
Teste de Kolmogorov-Smirnov
Exemplo (usado no teste 2): Considere os dados abaixo, resultantes da
observação de 40 valores de uma variável aleatória qualquer X. Deseja-se
testar a hipótese de que esta variável aleatória tenha distribuição normal
com média  igual a 3,6 e variância 2 igual a 0,8.
Valores padronizados ordenados:
-2,24
-1,9
-1,57
-1,23
-1,12
-1,12
-0,78
-0,67
-0,67
-0,67
-0,56
-0,56
-0,56
-0,56
-0,45
-0,34
-0,34
-0,22
-0,22
-0,11
-0,11
0,00
0,11
0,11
0,11
0,22
0,22
0,34
0,34
0,56
0,56
0,67
0,78
0,89
1,01
1,23
1,23
1,34
1,45
1,57
1
i
3
 Fobs (1,57) 
n
40
Fesp (Zi )  P(Z  Zi )
 Fesp (Z  1,57)  0,0582
Fobs ( Zi ) 
F (Z )
0,8
0,6
0,4
D  máx Fobs ( Z i )  Fesp ( Z i )
0,2
0
-3
-2
-1
0
1
Z
Observado
Esperado
2
3
D  0,0919
Dcrít  0,2150 (  5%)
Conclusão: pode-se aceitar a hipótese de que
os dados provenham de uma normal, a 5% de
significância.
Teste de Kolmogorov-Smirnov
OBSERVAÇÕES:
- É o teste mais apropriado para dados ordenados;
- Ideal quando a variável tem distribuição contínua; e
- Não há uma modificação quando se estima os parâmetros de uma
distribuição (não há perdas de graus de liberdade como no teste 2).
Teste de Independência
Exemplo: Suponha que 200 estudantes sejam selecionados aleatoriamente em
uma universidade e que cada estudante seja classificado de acordo com a sua
área de estudo e com sua preferência entre dois candidatos para uma
próxima eleição.
Área de Estudo
Engenharia
Psicologia
Direito
Administração
Total
A
24
24
17
27
92
Candidato
B
23
14
8
19
64
Indeciso
12
10
13
9
44
Total
59
48
38
55
200
Deseja-se testar a hipótese de que a preferência a um certo candidato é
independente da área de estudo.
pi = probabilidade de estar na área i
pj = probabilidade de votar no candidato j
H0 : pij = pi * pj
H1: pij  pi * pj
Teste de Independência
Observado
Exemplo: Suponha que 200 estudantes sejam selecionados aleatoriamente em
uma universidade e que cada estudante seja classificado de acordo com a sua
área de estudo e com sua preferência entre dois candidatos para uma
próxima eleição.
Área de Estudo
Engenharia
Psicologia
Direito
Administração
Total
A
24
24
17
27
92
Candidato
B
23
14
8
19
64
Indeciso
12
10
13
9
44
H0 : pij = pi * pj
H1: pij  pi * pj
Total
59
48
38
55
200
Se H0 é verdadeira, então
Esperado
Área de Estudo
Engenharia
Psicologia
Direito
Administração
Total
A
27,14
?
22,08
17,48
25,30
92
Candidato
B
18,88
15,36
12,16
17,60
64
l
Indeciso
12,98
10,56
8,36
12,10
44
Total
59
48
38
55
200
c

i 1 j 1
*92
59FAObs
200
ij  FAEspij 
FAEspij
2
~ ?2(l 1)(c1)
2
l é o número de linhas
c é o número de colunas
Teste de Independência
Observado
24
24
17
27
23
14
8
19
12
10
13
9
Esperado
Exemplo: Suponha que 200 estudantes sejam selecionados aleatoriamente em
uma universidade e que cada estudante seja classificado de acordo com a sua
área de estudo e com sua preferência entre dois candidatos para uma
próxima eleição.
27,14
22,08
17,48
25,30
18,88
15,36
12,16
17,60
12,98
10,56
8,36
12,10
4
3
X  
i 1 j 1
 FAObs
ij  FAEspij 
FAEspij
62
2
 6, 68
 = 0,05
0
? +
XXcrítcrít12,59
Conclusão:
aceita-se H0 a 5% sig., ou seja,
há independência entre a área e o
candidato escolhido pelo estudante