Ondas
Movimento Ondulatório
ONDAS : Oscilação
MEIO : “onde” a onda “se propaga”
Onda & Meio
ondas na água
água
ondas em cordas
corda
luz
vácuo
som
ar
Ondas
ONDAS : SÓ transporta energia
NÃO transporta matéria
http://www.glenbrook.k12.il.us/gbssci/phys/mmedia
Tipos de Onda
MECÂNICAS : meio material
 Som
 Ondas de Terremotos
 Ondas nas cordas
ELETROMAGNÉTICAS : vácuo
 Luz
 Ondas de rádio
 Raios X
DE MATÉRIA : probabilidade
 Elétrons
 Prótons
 Neutrons
Tipos de Onda
ONDAS MECÂNICAS
Corda vibrando
Superfície da água
Tipos de Onda
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
Campo eletromagnético oscilante
Arco íris de Maxwell
Difração de laser em fenda circular
Tipos de Onda
ONDAS DE MATÉRIA
02 ::: Probabilidade de que uma párticula
seja detectada num dado ponto
Onda de matéria:    0 sen(kx  t )
Difração de elétrons

h
p
Louis De Broglie
1924
ONDAS TRANSVERSAIS
Oscilação perpendicular à
propagação
 Ondas na água
 Ondas de luz
 Ondas-S de Terremotos
OSCILAÇÃO
Tipos de Onda
PROPAGAÇÃO DA ONDA
ONDAS LONGITUDINAIS
Oscilação paralela à
propagação
 Som
 Ondas-P de Terremotos
OSCILAÇÃO
Parâmetros da Onda
Comprimento de Onda :  (direção da propagação)
Amplitude : A (direção da oscilação)
Parâmetros da Onda
COMPRIMENTO DE ONDA:
Distância entre dois pontos idênticos sucessivos
0
5 10 15 20 25 30 35 40
Parâmetros da Onda
Frequência:
Número de oscilações por unidade de tempo
Unidade : [1/seg] = [Hertz]
Parâmetros da Onda
Período:
T = intervalo de tempo para uma oscilação
Frequência:
f = número de oscilações por unidade de tempo
1 oscilação …T seg
f oscilações ...1 seg
f = 1/T
T = 1/f
Velocidade da onda
Velocidade da “informação” da onda
A informação relativa a um dado ponto da função de
onda se move uma distância λ num tempo T
Velocidade da onda :
v

T
 f
Propriedades das Ondas
A velocidade da onda é uma CONSTANTE.
Depende apenas do MEIO.
NÃO depende dos parâmetros da onda:
amplitude, comprimento de onda, período.


v  f 
T
2
Velocidade da Onda
v

T
 f
Que animal consegue ouvir o comprimento de
onda mais curto: Gatos (70.000 Hz) ou Morcegos
(120.000 Hz)?
Forma da onda
v
Até agora vimos apenas
“ondas contínuas”
infinitas nas duas direções;
v
v
Podemos ter também
“pulsos”
causados por um
distúrbio breve do meio;
e
“trens de pulsos”,
situação intermediária.
Descrição Matemática
y
Supondo uma função :
y = f(x)
x
0
f(x-a) tem a mesma forma, só
y
que deslocada uma distância
a para a direita
0
SE a=vt ,
f(x-vt) corresponde a uma
forma constante se movendo
para a direita com velocidade v
x
x=a
y
v
0
x=vt
x
Onda harmônica
Função harmônica de x :
 2 
y  x   A cos 
x
  
y

A
x
Onda harmônica se movendo para a direita com
velocidade v
t=0s t=1s t=2s
 2
y  x, t   A cos 
 x  vt  
 

y
v
x
Onda harmônica
 2

y  x, t   A cos   x  vt  
 

FREQUÊNCIA ANGULAR
2 2 v


T

NÚMERO DE ONDA
k
2

y  x, t   A cos  kx  t 
Como descrever uma onda se movendo para a esquerda
ao longo da direção x , sentido negativo ?
Ondas em cordas
Pulso se propagando numa corda
Corda tensionada
em repouso
v
O que determina a velocidade
da onda num meio ?
Como podemos fazer o pulso ir
mais rápido?
Corda tensionada
com pulso
Ondas em cordas
Tensão na corda: T
Densidade linear de massa: m
A forma da corda no máximo do pulso é
aproximadamente um círculo de raio R
m
R
Ondas em cordas
Referencial : movendo junto com o pulso
Pulso parado
Corda se movendo ao contrário do pulso
Sistema: pequeno segmento da corda no “topo” do pulso
v
y
x
Ondas em cordas
Força resultante
FR : soma da tensão T em cada ponta do segmento de corda
: sentido -y.
q
q
T
T
FR = 2T q
Como q é pequeno: sen q ~ q
y
x
Ondas em cordas
Massa m do segmento :
comprimento x densidade linear de massa :
m = (R x 2q x m
q
q
2q
R
y
x
Ondas em cordas
Aceleração do segmento : CENTRÍPETA
a=v 2/ R
sentido -y
v
a
R
y
x
Ondas em cordas
2
FR = ma
v
2Tq  R 2qm 
R
F
m
R
T  mv
2
v
a
Tensão T
T
m
Massa por
unidade de
comprimento m
v
Ondas em cordas
v
T
Tensão: T
m
Densidade linear
de massa: m
A velocidade SÓ depende
da natureza do MEIO
NÃO depende da ONDA :
amplitude, freqüência, ...
v
Aumenta a tensão → aumenta a velocidade.
Aumenta densidade da corda → diminui a
Ondas em cordas: exemplo
 Uma
onda com comprimento de onda
de 0,3 m viaja num fio de 300 m com
massa total de 15 kg. Se o fio está sob
tensão de 1000 N, qual é a velocidade
e a frequência da onda?
Ondas longitudinais
VELOCIDADE
Ondas Longitudinais
fator elastico
v
fator de inercia
v
E

v
B

Ondas em
Ondas em gases
sólidos
ou líquidos
E :: módulo elástico do material
ρ :: densidade
B :: módulo de compressão
volumétrico
p
B
V V
Propriedades das Ondas
Ondas :
Oscilações transportam
INFORMAÇÃO E ENERGIA
A intensidade é proporcional à amplitude.
SOM: amplitude implica em “barulho”
LUZ: amplitude implica em “brilho”
Potência e Intensidade
yx, t   A coskx  t 
Ty q
T : Tensão do elemento de
corda da esquerda sobre o
elemento da direita
y
Ty  Tsen q ~ Tq ~ Ttgq ~ T
x
Potência transmitida através da onda: esq→dir:
y
P  x, t   T y
t
y y
Px, t   T
x t
Potência e Intensidade
yx, t   A coskx  t 
Ty qT
T  mv 2
y y
Px, t   T
x t
y
  Ak sen kx  t 
x
y
 A sen kx  t 
t
Px, t   mv kA sen kx  t 
2
2
2
k

v
Px, t   mv A sen kx  t 
2
2
2
Potência e Intensidade
yx, t   A coskx  t 
Ty qT
2 2
2


P x, t  mv A sen kx  t 
Potência média
1
2
2
P

m
v

A
transmitida pela onda:
2
Potência e intensidade
1
P  mv2 A2
2
Intensidade da onda: I  P
Area
Ondas esféricas :
P
P
I

Area 4r 2
Intensidade cai com 1/r2
r : distância da fonte.
Princípio da superposição
Duas ondas :
y1 x, t 
e
y2 x, t 
SE as duas ondas existem numa corda simultaneamente,
yx, t   y1 x, t   y2 x, t  Onda resultante
Consequência direta do fato da
Equação da Onda ser uma Equação Diferencial Linear.
Interferência
Duas ondas na
superfície da água
Interferência construtiva
Diferença de fase entre as duas ondas = ZERO
Interferência Construtiva
Interferência destrutiva
Diferença de fase entre as duas ondas = ½ 
Interferência destrutiva
Interferência
construtiva
DOIS PULSOS IGUAIS
se propagando em
sentidos opostos
Interferência
construtiva

DOIS PULSOS
OPOSTOS se
propagando em
sentidos opostos
Interferência
y1 x, t   Asin kx  t 
y2 x, t   Asin kx  t  
yx, t   y1 x, t   y2 x, t   A sinkx  t   A sinkx  t   
: Diferença de fase
entre as ondas
 a b   a b 
 sin 

sen a  sen b  2 cos
 2   2 
 

yx, t   2 A cos  sin  kx  t  
2
2 
Interferência
amplitude
fase
 

yx, t   2 A cos  sin  kx  t  
2
2 
SE  = 0 → Amplitude = 2A
Interferência construtiva
Se  =  → Amplitude = 0
Interferência destrutiva
Interferência
Interferência construtiva
Interferência destrutiva
Interferência intermediária
Interferência
ONDAS LUMINOSAS
Construtiva
Diferença de caminho
= múltiplos de 
Destrutiva
Diferença de caminho
= múltiplos de /2
Interferência
ONDAS LUMINOSAS
Experimento de Young
Fenda dupla
Reflexão de ondas
Diferença da ”impedância” característica dos
meios
Quanto maiores a diferença de impedância
maior a fração de energia refletida e menor a
fração de energia transmitida.
Reflexão de ondas
Corda com uma
extremidade fixa:
Pulso refletido invertido ao
pulso incidente
Cordas com uma
extremidade solta
Pulso refletido igual ao
pulso incidente.
Reflexão de ondas
Reflexão em uma
interface suave-dura
Reflexão em uma
interface dura-suave
Ondas estacionárias
Duas ondas idênticas propagando em sentidos opostos:
y1 x, t   Asin kx  t 
y2 x, t   Asin kx  t 
 a b   a b 
 sin 

sen a  sen b  2 cos
2
2

 

yx, t   2Asin kx cost 
Ondas estacionárias
Amplitude depende de x
yx, t   2Asin kx cost 
Variação
temporal
NÃO tem termo (kx-t) → NÃO é uma onda progressiva
→ É uma onda estacionária
Pontos de amplitude nula
 3 5
kx  ,
,
,......
2 2 2
NÓS
Pontos de amplitudes máxima
kx  0,  , 2 , ......
ANTI-NÓS
Formação de Ondas Estacionárias
Onda incidente
em extremidade fixa
+
Onda refletida
mesma amplitude e
frequência
= Onda estacionária
Onda estacionária com 1  de comprimento: 3 nós e 2 anti-nós
Formação de ondas estacionárias
Ondas estacionárias
CORDAS VIBRANTES
Ondas estacionárias : RESSONÂNCIAS
CONDIÇÃO: extremidades fixas = NÓS
SE não satisfaz CONDIÇÃO :
Interferências destrutivas
Ressonâncias
Comprimentos de onda / Frequências ressonantes:
Ln
n 
2L
n

2
n  1, 2, 3, ...
fn 
v
n

nv
2L
Menor frequência: FREQUÊNCIA FUNDAMENTAL
Demais frequências: SOBRETONS / HARMÔNICAS
Ressonâncias
Simulador de cordas
Exemplo
A tecla mais aguda de um piano tem uma frequência
150 vezes maior que a corda mais grave. Se o
comprimento da corda mais aguda é 5 cm, quanto
seria o comprimento da corda mais grave se elas
tivessem a mesma densidade linear de massa e a
mesma tensão?
SE m e T iguais → velocidade iguais
v
f 
2L
Lg
f
 a
La f g
Lg  La
fa
 5 150  750 cm = 7,5 m
fg
As cordas mais graves são mais pesadas para evitar que
sejam muito compridas.