Mtmaticad
Kit de sobrevivência de Matemática – Ferramentas Fundamentais
Autoria: Prof. Eduardo Izidoro Costa
Frações
Equações, sistemas e problemas de 1º grau.
Equações e problemas de 2º grau.
Problemas não ortodoxos: Raciocínio lógico e sequencial
Porcentagem
“Pela certeza indubitável de suas
conclusões, constitui a matemática o
ideal da Ciência.”
(Bacon)
Introdução
Ferramentas Fundamentais
Frações, equações do primeiro
grau e segundo graus.
Olá! Eis aqui um “kit de
sobrevivência de matemática” que
através de 45 exercícios resolvidos e
comentados proporciona uma boa
revisão dos assuntos fundamentais
de matemática:
Uma fração é assim representada:
-
Frações
Equações do 1º e 2º graus
Problemas de raciocínio
Porcentagem
Representação de frações
a
ou a/b
b
(a e b inteiros e b  0)
Onde a é chamado numerador e b é
chamado denominador.
Cada um deles é essencial para
poder caminhar pela matemática e
avançar nos seus estudos.
São ferramentas que devem
ser entendidas, habilidades a serem
desenvolvidas.
Conhecimentos
e
saberes que você merece possuir.
Sobre a autoria e uso
Equivalência de Frações
“Uma fração não terá seu valor
alterado
se
multiplicarmos
(ou
dividirmos) o seu numerador e seu
denominador por um mesmo número
diferente de zero”.
Simbolicamente:
Dados a,b e k com b e k não nulos,
temos:
Este
material
pode
ser
utilizado, copiado parcialmente ou
integralmente por qualquer pessoa,
empresa, escola ou cursos livres,
desde que:
Exemplos:

A fonte e autoria
devidamente citadas.
sejam
a)
2 23
6


5 5  3 15

Não tenha fins comerciais,
direta ou indiretamente.
b)
7 7  2 14


4 42
8
a ak

b b k
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c)
d)
3
33
1


12 12  3 4
c) Colocar as frações
ordem crescente.
15 15  5
3


75 75  5 15
R:
Exemplos
Obtenha frações equivalentes como
se pede:
8 5
1
,
e
em
9 4
6
1 8 5
< <
6 9 4
Justificativa: Devemos colocar
todas as frações dadas no mesmo
denominador, um “bom candidato”
para isso é o m.m.c1 entre 6, 9 e 4
que é 36.
a)
3
com denominador 12
4
mmc(6,9,4) = 36.
R:
9
12
6
8 32 5 45
1
=
; =
e =
,
9 36 4 36
6 36
então:
Justificativa: Basta encontrar
um número que multiplicado por 4
resulte em 12, isso pode ser obtido
simplesmente dividindo o 12 por 4
que resulta em 3. Logo para que
tenhamos uma fração equivalente a
3/4 mas com denominador 12
devemos multiplicar ambos termos
da fração por 3, ou seja:
R:
3
com numerador 27
8
Denominadores iguais
Exemplos:
27
72
1 2 7 127 6
  

5 5 5
5
5
Justificativa: Análoga ao item
anterior:
3 3  9 27


8 8  9 72
Soma e Subtração de frações
“Para somar ou subtrair frações de
mesmo denominador basta manter
este denominador e operar os
numeradores”
3 33
9


4 4  3 12
b)
6
32 45
1 8 5
<
<
 < <
36 36 36
6 9 4
3
6
17 3  6  17
8
1





16 16 16
16
16
2
1
m.m.c: mínimo múltiplo comum. Trata-se do
menor número que é múltiplo dos números dados,
grosso modo, é o primeiro encontro das tabuadas
dos números dados.
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Exemplos
Denominadores diferentes
Algoritmo para somar frações de
denominadores diferentes
1) calcula-se o m.m.c entre
denominadores envolvidos.
os
2) escreve-se este m.m.c como
denominador da fração a ser obtida.
3)
divide-se
o
m.m.c
pelo
denominador original de cada uma
das frações e multiplicamos cada um
dos valores obtidos nestas divisões
pelo respectivo numerador, anotando
este produto no numerador da fração
a ser obtida.
4)
operam-se
os
valores
no
numerador da fração a ser obtida.
Exemplo:
1 2 7
 
6 9 4

2 3

3 9
a)
Resolução:
2 3 23
6 :3 2
 


3 9 3  9 27 : 3 9
Note que a simplificação poderia ter
2 3 2  3 1
2
sido simplificada:
 


3 9
3

9
9
1
b)
3 3 1
  
5 9 3
Resolução:
3  3 1  3  3  3  1 3 6
6 :3 2
    




5 9 3 5  9 
5 9 3 15 : 3 5
Divisão de Frações
“Para dividir frações conservamos a
fração do dividendo e multiplicamos
pelo inverso da fração do divisor”(*)
mmc(6,9,4)=36
6  8  63 61

36
36
Multiplicação de frações
“Para
multiplicar
frações
basta
multiplicar numerador por numerador
e denominador por denominador”(*)
Simbolicamente:
a
b  ad
c
bc
d
(*) Respeitadas as condições de
existência
Exemplos:
a)
Simbolicamente:
a c
ac


b d
bd
(*) Respeitadas as condições de
existência
3
4  3  7  21
5
4 5
20
7
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b)
Resolução:
3
34
1
1
4
4 1 


2 3 3
23
3

5 7
57
3
38
11
1
11 5 55
8
 8  8 
 
3
3
3
8 3 24
5
5
5
7
1
7 35 1
 4 




6
3
4 6
3
35
c)
1 1
38
5


8 3  24  24   5  15   75
4 2
8
8
24 8
192

5 3
15
15
Problemas de 1° grau
Quadro Resumo
Problemas de 1° grau são
aqueles resolvidos com auxílio de
uma ou mais equações do 1° grau
Equações do primeiro grau são
redutíveis à forma:

245
1
245  8



24
3
24

253
24
2. Edson tinha R$ 1520,00. Ele
emprestou 2/5 dessa quantia para
seu
amigo.
Quantos
reais
sobraram para ele?
Resolução:
Se ele emprestou 2/5 para o
amigo sobraram 3/5 para ele, então:
ax+b = 0 (a0)
3
3  1520
 1520 
 912
5
5
onde a e b são coeficientes reais e x
é a incógnita. A solução é dada por:
R: Sobraram R$ 912,00
3. Calculando-se os 3/4 dos 2/5 dos
7/3 de 120, obtém-se:
b
x= 
a
Exercícios resolvidos
1. Calcule o valor de:
3
4
2
5
1
3

7

a)
b)
c)
d)
e)
95
87
84
21
16,8
Resolução: Alternativa c
O que se pede é dado por:
1
3
3 7 2
   120  84
4 3 5
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4. Uma pessoa investiu 1/2 de seu
dinheiro em ações, 1/4 em
caderneta de poupança, 1/5 em
ouro e os restantes R$ 10.000,00
em "commodities". O total, em
milhares de reais, investido foi:
5. Já li 2/5 de um livro
faltam 48 páginas para
de ler o livro todo.
páginas desse livro ela
Qual é o total de folhas
esse livro?
e ainda
terminar
Quantas
já leu?
que tem
a) 100
b) 150
c) 200
d) 500
e) 2.000
Resolução: Note: 1folha = 2 páginas
Se já foram lidas 2/5 das
páginas faltam 3/5 que são as 48
citadas, sendo x o total de páginas,
temos:
Resolução: Alternativa c
3
 x  48  3  x  48  5
5
1ª maneira:
x
A situação pode ser vista da
seguinte maneira:
48  5
 80 páginas
3
Do total, foram retirados
R: Páginas lidas
1 1 1 10  5  4 19
  

2 4 5
20
20
tem
1
do total
20
que equivalem aos R$ 10.000,00
Sobrando assim
Então o total é de 20∙10000= 200000
2ª maneira:
Sendo x o total, temos:
1
1
1
 x   x   x  10000  x
2
4
5
10x  5x  4x  200000 20x

20
20
19x  200000  20x
200000  x
2
 80  32 e o livro
5
80
 40 folhas
2
6. Três irmãos, Antonio, Beatriz e
Carlos,
receberam
respectivamente 1/2, 1/3 e 1/9 de
uma determinada herança. A
fração desta herança que não foi
distribuída entre estes irmãos foi
de:
a)
b)
c)
d)
e)
2/3
8/9
1/2
1/18
3/2
Resolução: alternativa d
Sendo x o total da herança,
temos, após a partilha:
x
x x x 18x  9x  6x  2x
x
  

2 3 9
18
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7. A soma dos inversos de dois
números é 1. Se um deles é 7/2,
o outro é:
a) 2/7
b) 5/7
c) 7/5
d) 5/3
e) 7/2
Resolução: Alternativa c
Sendo x e y os números em
questão, temos:
1 1
 x  y  1

y  7
2

8. Uma torneira enche um tanque
em duas horas e outra, o esvazia
em dez horas. O tanque estando
vazio e abrindo-se as duas
torneiras, em que tempo ficará ele
completamente cheio?
Resolução:
Nestes clássicos exercícios de
torneiras
deve-se
primeiramente
pensar no que cada uma das
torneiras faz em 1 hora.
Torneira A: Enche o tanque (T) em 2
horas, então em 1 hora teremos
T
metade do tanque:
2
Substituindo a segunda equação na
primeira:
Torneira B: Esvazia o tanque (T) em
10 horas, então em 1 hora terá saído
T
um décimo do tanque:
10
1 1

1
x 7
2
Enquanto
a
torneira
A
acrescenta água, a torneira B retira,
então em uma hora teremos para as
duas torneiras:
T
T
10 T  2T 8T 2T




2 10
20
20
5
1 2
 1
x 7
7  2x
1
7x
Ou seja, após 1 hora (60
minutos), 2/5 do tanque está
completo; usando uma regra de três:
7  2x  7x
7  7x  2x
2
x  60  x  150 (minutos)
5
7
7  5x 
x
5
R: O tanque ficará cheio em 150
minutos (2h30min)
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9. Três torneiras A, B e C possuem a
capacidade
para
encher
um
tanque de capacidade T em 2, 3 e
5 horas, respectivamente. Estando
o tanque inicialmente vazio, e
abrindo
as
torneiras
simultaneamente, determine em
quanto tempo o tanque estará
cheio?
Resolução:
O raciocínio é análogo
anterior e teremos, após 1 hora:
ao
T T T 15T  10 T  6 T 31T
 


2 3 5
30
30
(y + 4) + y = 12  2y = 12 – 4
y = 4 em (II)  x = 4 + 4  x = 8
R: Os números são 8 e 4.
11. Em
um
estacionamento
existem
carros
e
motos,
totalizando 34 veículos, se o total
de rodas é 110, determine o
número de motos.
Resolução:
Denominando como:
- c: a quantidade de carros
- m: a quantidade de motos
Temos que:
-
Queremos a quantidade de motos
então:
x  58 (minutos)
R: O tanque ficará cheio
aproximadamente 58 minutos.
em
10. A soma de dois números é 12 e
a diferença entre eles é 4. Quais
são estes números?
Resolução:
c  m  34  c  34  m (I)

4c  2m  110 (II)

Substituindo (I) em (II).
4(34-m) + 2m = 110
136 – 4m + 2m = 110
Denominado como x e y os
números, temos o seguinte sistema:
Substituindo (II) em (I).
de veículos é dado por: c + m
de rodas dos carros: 4c
de rodas das motos: 2c
geral de rodas: 4c+2c
Do enunciado:
 c  m  34

4c  2m  110
31
x  60
30
x  y  12 (I)


x  y  4  x  y  4 (II)
Total
Total
Total
Total
-2m = 110 – 136
-2m = -26
m = 13
Existem
13
estacionamento.
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motos
no
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12. Por
uma
mensagem
dos
Estados Unidos para o Brasil, via
fax, a Empresa de Correios e
Telégrafos (ECT) cobra R $1,37
pela primeira página e R $ 0,67
por página que se segue ,
completa ou não. Qual o número
mínimo de páginas de uma dessas
mensagens para que seu preço
ultrapasse o valor de R$ 10,00 ?
a)8
b)10
c)12
d)14
e)16
13. Um estacionamento cobra R$
6,00 pela primeira hora de uso,
R$ 3,00 por hora adicional e tem
uma despesa diária de R$ 320,00.
Considere-se um dia em que
sejam cobradas, no total, 80
horas de estacionamento. O
número mínimo
de
usuários
necessário
para
que
o
estacionamento
obtenha
lucro
nesse dia é:
a) 25
b) 26
c) 27
d) 28
e) 29
Resolução: alternativa d
Como existe diferença entre os
valores
das
páginas
vamos
denominar como “p” o número de
páginas a partir da segunda. Então
queremos determinar o valor de p+1.
Resolução: alternativa c
Note: O número de usuários será
determinado pelo total de “primeiras
horas” cobradas.
Denominando como:
Teremos:
p: o total de primeiras horas
a: o total de horas adicionais
1,37 pela primeira página
0,67∙p pelas demais
Do enunciado:
Temos:
p + a : Total de horas
6p + 3a : Total cobrado
1,37 + 0,67∙p  10
0,67∙p  10 – 1,37
Além disso, o
concluir que:
0,67∙p  8,63
enunciado
permite
p + a = 80  a = 80 – p (I)
8,63
p
0,67
Para ter lucro, o total cobrado
deve ser maior que a despesa, então:
p  12,88 (aproximadamente)
6p + 3a > 320 (II)
p+1 = 13,88
Substituindo (I) em (II)
Como estamos falando em
número de páginas completas ou não
as 13,88 páginas serão cobradas
como 14.
6p + 3∙(80 – p) > 320
6p + 240 – 3p > 320
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3p > 320 – 240
Esquematicamente:
3p > 80
p>
Horas

80
 26,6
3
Como p também é o número de
usuários (logo, inteiro) p = 27.
R: 27 usuários
14. Em 8 horas, 20 caminhões
descarregam 160m3 de areia. Em
5 horas, quantos caminhões serão
necessários
para
descarregar
3
125m ?
Caminhões

Volume

Agora igualamos o termo onde
tem a incógnita com o produto das
outras razões, lembrando que se a
grandeza
é
inversamente
proporcional deve ser utilizado seu
inverso neste produto.
20 5 160
 
x
8 125
20 20

x
25
25  20
 25
20
Resolução:
x=
Trata-se aqui de um clássico
problema de regra de três composta.
R: Serão necessários 25 caminhões
Podemos montar uma tabela
com as informações e em seguida
decidir
o
que
é
diretamente
proporcional e o que é inversamente
proporcional, sempre comparando
com a grandeza onde está a
incógnita.
15. Dois pedreiros levam 9 dias
para construir um muro com 2m
de altura. Trabalhando 3 pedreiros
e aumentando a altura para 4m,
qual será o tempo necessário para
completar esse muro?
Resolução:
Horas
8
5
Caminhões
20
x
Volume
160
125
Se
aumentarmos
o
número
caminhões, pode ser diminuído o
número de horas de trabalho. São
então inversamente proporcionais.
- Se aumentarmos o número de
caminhões
aumenta
o
volume
descarregado. São então diretamente
proporcionais
Pedreiros
2
3
Altura
2
4
Tempo
9
x
- Aumentado o tempo de trabalho
podemos diminuir o número de
pedreiros.
São
inversamente
proporcionais
- Aumentando o tempo mais muro
pode ser construído. São então
diretamente proporcionais.
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Esquematicamente:
Pedreiros

Exercícios resolvidos
Altura

Tempo

9 2 3
 
x 4 2
9 3
 3x  36  x = 12

x 4
16. Eu tenho 240 balas e vou
distribuir para um número “x” de
crianças. Notei que se cada
criança receber uma bala a
menos, o número de balas que
cada criança recebe será igual ao
número de crianças. Qual o
número de crianças?
Resolução:
R: Serão necessários 12 dias.
Problemas de 2° grau
Quadro Resumo
São problemas que podem ser
resolvidos com auxílio de equações
do segundo grau, que são redutíveis
à forma:
ax2+bx+c = 0 (a0)
- Dividir as 240 balas pelas “x”
240
crianças:
x
- Cada criança recebe uma bala a
240
1
menos:
x
- O número de balas por criança é
igual ao número de crianças:
240
1  x
x
onde a, b e c são coeficientes reais e
x é a incógnita. A solução é dada por:
x=
240
240  x
x
1  x 
x
x
b  
, onde ∆=b2 – 4ac
2a
240  x  x 2
Importante: Uma equação do
segundo grau sempre admite duas
raízes, reais ou não
0  x 2  x  240
  12  4  1  (240)  961
Soma e Produto das Raízes
(Relações de Girard)
x1 + x2 = 
x
b
a
 1  961
2 1

  1  31 
  15
 x1  
2


 1  31 
x

2

  1  31 
x 2  
  16

2


c
x1 ∙ x2 =
a
Análise do Discriminante (∆)
se ∆>0: duas raízes reais e distintas
se ∆=0: duas raízes reais e iguais
se ∆<0: não há raiz real
Como x representa o número
de crianças, descartamos o valor
negativo, logo são 15 crianças.
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17. Sabe-se que R e S são as
raízes da equação 3x2 - 52x +13 =
1 1
0, o valor de
é:

R S
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
Resolução: alternativa d
Neste caso não se pede as
raízes da equação e sim uma relação
entre elas, o que nos indica a
utilização das relações de Girard.
Queremos obter:
As raízes não são reais quando ∆<0,
ou seja, se ∆0 as raízes são reais,
então:
 a2

2x -x+(m+1)=0  b  1
c  (m  1)

2
(-1)2-4∙(2)∙(m+1)  0
 a3

2
Temos que: 3x -52x+13=0 b  52
 c  13

1- 8m – 8  0
-8m  7 ∙(-1)
8m ≤-7  m ≤ 
b
  52  52
 
(II)

a
3
 3 
7
8
19. Uma pessoa, em seu antigo
emprego,
trabalhava
uma
quantidade de x horas por semana
e ganhava R$ 60,00 pela semana
trabalhada.
Em
seu
novo
emprego, essa pessoa continua
ganhando os mesmos R$ 60,00
por semana. trabalha, porém 4
horas a mais por semana e recebe
R$ 4,00 a menos por hora
trabalhada. O valor de x é:
c 13

R∙S=
(III)
a
3
Substituindo (II) e (III) em (I)
52
SR
52 3
52
 3 


4
13
R S
3 13 13
3
18. Os valores de m que tornam as
raízes de 2x2-x+(m+1)= 0 reais
são:
a)
b)
c)
d)
e)
Novamente não se pede as
raízes e sim valores dos coeficientes
que tornam as raízes reais. O
discriminante deve ser analisado.
Queremos ∆  0; b2 - 4ac  0
1 1 SR
 
(I)
R S
R S
R+S= 
Resolução:alternativa d
maiores ou iguais a 3
menores que 5 e maiores que 1
entre -1 e 0
menores ou iguais que -7/8
nulos
a)6
b)8
c)10
d)12
e) 14
Resolução: alternativa a
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Uma tabela nos ajuda a colher
os dados do enunciado:
Anterior
Atual
x
x+4
60
60
60
x
60
x4
Horas
Semanais
Valor
semanal
Valor por
hora
Do enunciado, temos que o valor por
hora anterior é maior em R$ 4,00 que
o atual, então:
60
60
4
x4
x
60  4(x  4) 60

x4
x
Problemas não ortodoxos são
aqueles que não se resolvem com
esta ou aquela teoria em especial,
existem
diversas
abordagens
possíveis. O mesmo ocorre no que
chamamos
aqui
de
raciocínio
sequencial. São problemas onde as
teorias formais de matemática nem
sempre são necessárias ou mesmo
aplicáveis. São como problemas
encontrados
em
revistas
de
passatempo, onde a imaginação e o
raciocínio são muitas vezes mais
importantes que os conhecimentos
matemáticos.
Exercícios resolvidos
20. Uma determinada regra lógica
determina
a
sequência
de
palavras a seguir, dentre as
alternativas qual é a próxima
palavra que segue a mesma
regra?
60  4x  16 60

x4
x
76  4x 60

x4
x
x  (76  4x)  60(x  4)
76x  4x 2  60x  240
Problemas não ortodoxos
Raciocínio lógico e sequencial
seguro, terra, qualidade,
sextante, sábio, _______
(4)
a)
b)
c)
d)
e)
2
19x + x = 15x + 60
x2 + 4x – 60 = 0
Por soma e produto:
x = 6 ou x = -10 (não convém)
quilate,
China
inculto
água
domínio
computador
Resolução: Alternativa d
Note que as três letras iniciais
de cada uma das palavras da
sequência são abreviações dos dias
da semana: seg, ter, qua, qui, sex,
sáb. O próximo dia da sequência é o
domingo é a única palavra que inicia
com dom é a “domínio”
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21. Determine o próximo número
da sequência a seguir:
2,10,12,16,17,18,19,____
Resolução:
Neste caso temos números que
tem como inicial a letra “d” em sua
grafia em português. O próximo
número que inicia em “d” é o número
200.
22. Maria e Manuel disputaram um
jogo no qual são atribuídos 2
pontos por vitória e é retirado um
ponto por derrota. Inicialmente
cada um tinha 5 pontos. Se o
Manuel ganhou exatamente 3
partidas, e a Maria no final ficou
com 10 pontos, quantas partidas
eles disputaram?
Resolução:
Se
o
Manuel
ganhou
exatamente 3 partidas, a Maria
perdeu três pontos sobrando-lhe 5 –
3 = 2 pontos. Como no final a Maria
ficou com 10 pontos é porque ganhou
8 pontos, logo mais 4 partidas.
Realizaram, portanto 3 + 4 = 7
partidas.
23. Um pequeno caminhão pode
carregar 50 sacos de areia ou 400
tijolos. Se foram colocados no
caminhão 32 sacos de areia,
quantos tijolos pode ainda ele
carregar?
Resolução:
Aqui podemos imaginar que
cada saco de areia equivale a 8
tijolos. Como já são 32 sacos de areia
isso equivale a 32 x 8 = 256 tijolos e
400 – 256 = 144.
24. Dois trens estão na mesma via,
separados por 100 Km. Começam
a se mover um em direção ao
outro, a uma velocidade de
50Km/h. No mesmo momento,
uma supermosca sai da 1ª
locomotiva de um dos trens e voa
a 100 Km/h até a locomotiva do
outro trem. Apenas chega, dá
meia volta e regressa até a
primeira locomotiva, e assim vai e
vem de uma locomotiva para a
outra até que os dois trens se
chocam e assim morre no
acidente. Que distância percorreu
a supermosca?
Resolução:
Uma
maneira
rápida
de
calcular este problema:
- Os dois trens viajam a 50 km/h e a
distância entre eles é de 100
km...logo vão se chocar no meio do
percurso após 1 hora que é o tempo
que a mosca esteve em vôo. A
velocidade da mosca é de 100 km/h
logo percorreu 100 km.
25. Calcular o valor do seguinte
produto:
(x-a)(x-b)(x-c)
...
(x-z),
onde
a,b,c,d,e, ... , z são números reais.
Resolução:
Pela lógica, em um momento
haverá um fator (x-x) que é zero,
logo o produto todo será zero.
26. Um peregrino se dirige para
meditar em uma capela situada
em cima de um monte. O
peregrino sobe esta encosta com
um ritmo de 2 Km/h e desce em
um ritmo de 6 Km/h. Qual será a
velocidade média que o peregrino
terminará (considerar ida e volta)
a peregrinação?
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Resolução:
Vamos denominar como “S” o
percurso de ida, então 2S é o
percurso de ida e volta.
Denominando como t o tempo de
subida e sabendo que ele sobe três
vezes mais lento leva então 3t para
subir, levando no total 3t + t = 4t no
percurso todo.
Velocidade na volta: 6=S/t
Velocidade na ida: 2=S/3t  6=S/t
Velocidade média é a razão entre o
espaço percorrido e o tempo, logo:
V
V
V
V
=
=
=
=
2S/4t
0,5·S/t
0,5·6
3 km/h
Resolução:
5000 cachorros...Não importa
quantas famílias têm um único
cachorro! Como a parte restante ou
não possui animal (50% do restante)
ou tem dois (50% do restante) que
dá a média de um cachorro por
família.
Ou algebricamente:
Seja x (x>2500) o número de
famílias que possuem um único
cachorro e C o número de cachorros,
temos:
C= x·1 + [(5000 – x)/2]·2
C = 5000
27. De quantos modos diferentes
podemos escrever o número 497
como a soma de dois números
naturais primos?
Resolução:
Nenhuma. O número 497 é
ímpar e para que a soma de dois
naturais seja impar os números
devem ser, necessariamente, um par
e um ímpar. O único par primo é o
número dois então a outra parcela
deveria ser o número 495, que não é
primo (ele é múltiplo de cinco).
28. Em uma cidadezinha vivem
apenas 5000 famílias. Algumas
delas não possuem cachorros e as
restantes possuem um ou dois.
Todos os cachorrinhos dessa
cidade vivem com uma família. A
maioria das famílias tem um
cachorrinho e a metade das
famílias restantes tem dois. Qual é
o número de cachorros dessa
cidade?
29. Num certo verão, a fábrica de
sorvetes Kibon trocava dez palitos
de sorvete por um sorvete de
palito. Nessa promoção, um palito
de sorvete corresponde a que
fração do preço de um sorvete?
Resolução:
1/9, pois ao trocar 10 palitos
recebe um sorvete, que vem com um
palito!
30. Uma aranha tece sua teia no
marco de uma janela. Cada dia
duplica
a
superfície
feita
anteriormente. Dessa forma tarda
30 dias para cobrir o vazio da
janela. Se em vez de uma aranha,
fossem
duas,
quanto
tempo
demoraria para cobrir o vazio?
Resolução:
Em 29 dias! Se uma aranha
leva 30 dias para preencher o vazio,
em 29 dias terá preenchido metade.
A outra aranha terá preenchido a
outra metade.
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Princípio da casa dos pombos
Suponha que existam “p”
pombos em uma cidade e “c” casas
onde eles se abrigam de tal modo
que o número de casas é menor que
o número de pombos.
Podemos
afirmar
que,
necessariamente existem casas com
mais de um pombo.
Por exemplo: Se existem 13 pessoas
em uma sala, pelo menos duas delas
tem aniversário no mesmo mês. Ora,
se são 12 os meses (casas) e existem
13 pessoas (pombos) deve haver
coincidência no mês de aniversário de
ao menos duas pessoas.
Exercícios Resolvidos
31. Uma floresta tem um milhão
de árvores. Nenhuma árvore tem
mais de 300.000 folhas em sua
copa. pode-se concluir que:
a) Certamente existem árvores com
mesmo total de folhas nesta floresta.
b) Somente por acaso haverá arvores
com copas de igual total de folhas
nesta floresta.
c) Certamente existem árvores com
menos de 300.000 folhas em sua
copa.
d) O número médio de folhas nas
copas é de 150.000.
e) Nada do que foi dito pode ser
concluído
com
os
dados
apresentados.
Resolução: alternativa a
Existem 300.001 tipos de
árvores em relação ao número de
folhas pois o enunciado garante que
nenhuma delas tem mais de 300000
folhas, podemos ter árvores com:
- 0 folhas
- 1 folha
- 2 folhas
- 3 folhas
...
- 300.000 folhas
Como
são
1.000.000
de
árvores (pombos) e são possíveis
300.001
tipos
(casas)
existem
árvores com o mesmo número de
folhas.
32. Ana guarda suas blusas em
uma única gaveta em seu quarto.
Nela encontram-se sete blusas
azuis, nove amarelas, uma preta,
três verdes e três vermelhas. Uma
noite, no escuro, Ana abre a
gaveta e pega algumas blusas. O
número mínimo de blusas que Ana
deve pegar para ter certeza de ter
pegado ao menos duas blusas da
mesma cor é:
a) 6
b) 4
c) 2
d) 8
e) 10
Resolução: alternativa a
Existem 5 tipos de blusas onde
4 delas se repetem, se Ana tiver o
azar de retirar 5 blusas em sequência
e sem reposição de cores distintas, a
sexta, necessariamente deve repetir
de cor.
33. Sobre 20 caixas de laranjas
sabemos que cada caixa contém
pelo menos 52 e, no máximo, 68
laranjas. Pode-se afirmar que,
necessariamente:
a) Existe exatamente uma caixa com
60 laranjas.
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b) Existem 3 caixas com o mesmo
número de laranjas.
c) Existem exatamente 2 caixas com
o mesmo número de laranjas.
d) se tomarem 2 caixas quaisquer,
elas têm sempre números diferentes
de laranjas.
e) Existe ao menos uma caixa com
mais de 52 laranjas.
Porcentagem de um número A em
relação a outro número B (B0)
A
- É a razão
B
Resolução: alternativa e
Existem 20 caixas e 17 tipos
de caixa possíveis.
Fator de aumento: (1+ i)
Fator de desconto: (1 - i)
i é a taxa percentual em decimais
- com 52 laranjas
- com 53 laranjas
...
- com 68 laranjas
Exemplos:
taxa: 32%; i = 0,32
Necessariamente haverá caixas
com o mesmo número de laranjas.
Aqui há uma restrição, as caixas
devem ter no mínimo 52 laranjas,
então pelo menos uma delas terá
mais que 52 laranjas.
Porcentagem
Exemplo: Quantos porcento 5 é de
30?
5
1
=  0,17  17 %
30 6
- Para aumentar um valor em 32%,
basta multiplicar por (1 + 0,32)=1,32
- Para descontar 32% de um
determinado valor basta multiplicá-lo
por (1 - 0,32) = 0,68
Exercícios resolvidos
34. Calcule as porcentagens que se
pede:
Quadro Resumo
a)
b)
c)
d)
e)
O símbolo %
p
- p% =
100
Existem ainda as representações
equivalentes, por exemplo:
35
7

 0,35
35%=
100 20
Porcentagem de um número
p
px
- p% de x:
∙x=
100
100
25  40
 10
Exemplo: 25% de 40:
100
DICA: p% de x = x% de p
30% de 4500
16% de 208
124% de 1,08
4500 aumentados de 30%
208 descontados de 16%
Resolução:
30
 4500  1350
a)
100
b)
16
 208  33,28
100
c)
124
 1,08  1,3392
100
d) 4500 ∙ 1,30 = 5850
e) 208 ∙ 0,84 = 174,72
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35.
a)
b)
c)
d)
e)
O valor de (20%)2 é:
400%
40%
4%
0,4%
0,04%
Resolução: Alternativa c
Uma típica questão onde a
pressa pode atrapalhar. Não, a
resposta não é 400%. Vejamos
porque:
20% =
20
2

100 10
2
4
 2 
 4%
(20%)2 = 
 
100
 10 
36. Em junho de 1997, com a
ameaça de desabamento da Ponte
dos Remédios, em São Paulo, o
desvio do tráfego provocou um
aumento do fluxo de veículos em
ruas vizinhas, de 60 veículos por
hora, em média, para 60 veículos
por minuto, em média, conforme
o noticiário da época. Admitindose esses dados, o fluxo de
veículos nessas ruas no período
considerado aumentou cerca de:
a) 60%
b) 100%
c) 3.600%
d) 5.900%
e) 6.000%
Pede-se o aumento percentual,
mas
para
isso
precisamos
do
aumento do número de veículos.
Como passou de 1 veículo por minuto
para 60 veículos por minuto, o
aumento foi de 59 veículos.
Queremos calcular quantos
porcento isso significa em relação ao
valor anterior, em outras palavras
quantos porcento 59 é de 1:
59 59 100 5900
=
= 5900%


1
1 100
100
37. Um produto que custava R$
12,50 passou a custar R$ 13,50. A
majoração foi de:
a) 108%
b) 10,8%
c) 8%
d) 1,8%
e) 8,01%
Resolução: alternativa d
Novamente, queremos calcular
o aumento percentual (majoração),
mas precisamos conhecer o aumento
em valores, neste caso o aumento foi
de R$ 1,00 e queremos saber
quantos porcento este aumento é do
valor inicial que é 12,50.
1
1
8
8

 
 8%
12,50 12,50 8 100
Resolução: Alternativa d
Neste caso o que se pede o
aumento percentual e não o valor
aumentado.
Antes: O tráfego é de 60 veículos por
hora ou, de maneira equivalente, 1
veículo por minuto.
Depois: O tráfego é de 60 veículos
por minuto.
38. Devido a um problema de
programação, um aumento de
30% é gerado erroneamente nas
contas dos clientes de uma grande
rede de lojas. Tentando resolver o
problema,
um
dos
gerentes
decidiu dar descontos de 30%
para todos os clientes. Perguntase, este procedimento é correto?
Resolução:
Não. Não é um procedimento
correto. Ao aumentar um produto em
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x% e, em seguida, descontar o valor
aumentado dos mesmos x% não faz
com que o valor volte ao inicial. Um
exemplo numérico:
- R$ 100,00 aumentados de 30%
100 ∙ 1,30 = 130
- R$ 130,00 descontados de 30%
130,00 ∙ 0,7 = 91
39. Um determinado produto custa
hoje R$ 26875,00. Determine o
valor
deste
mesmo
produto
sabendo que o valor anterior foi
aumentado de 25%.
41. Em uma sala onde estão 100
pessoas, sabe-se que 99% são
homens. Quantos homens devem
sair para que a porcentagem de
homens na sala passe a ser 98%?
Resolução:
Como são 100 pessoas e 99
são homens, há uma mulher. Esta
única mulher deverá corresponder a
2% após a saída de um determinado
número de homens.
Denominando como x o total
de pessoas após a saída dos homens,
teremos:
Resolução:
Sendo Vi o valor inicial, temos:

Então:
1,25 ∙ Vi = 26875
Vi =
R: O valor
21500,00
0,02·x = 1  x = 50
26875
 21500
1,25
anterior
era

de
R$
40. O preço de produto que sofre
sucessivamente um aumento de
32% e em seguida um desconto
de 25% sofreu:
a)
b)
c)
d)
e)
2% de x = 1 (a única mulher)
x – 1 será o novo número de
homens
Então:
50-1 = 49
Como são 99 homens inicialmente
devem sair 50 deles.
R: Devem sair 50 homens
um aumento de 7%
um desconto de 7%
um aumento de 1%
um desconto de 1%
não há alteração no preço.
Outra maneira de abordar este
problema.
Resolução: alternativa d
Cuidado. Não se pode fazer
aqui uma mera subtração. Sendo p o
preço do produto, temos:
p∙1,32 ∙ 0,75 = p ∙ 0,99, que equivale
a um desconto de 1% sobre p
Para que a única mulher presente
passe de 1% para 2% do total de
pessoas este total deve ser reduzido
pela metade, ou seja, para 50. E isto
ocorre com a saída de 50 homens.
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42. Considere que hoje um produto
que custa R$ 1.881,60. Sabendo
que houve uma inflação de 12%
ao mês nos últimos 3 meses e há
uma perspectiva que ela se
mantenha assim nos próximos 3
meses, determine:
a) o preço deste produto dois
meses atrás
b) quanto custará este produto
daqui a dois meses.
Resolução:
Clássico problema de juros
compostos. Novamente não devemos
pensar em termos de subtração ou
soma de taxas. Observe.
a) Seja “p” o preço dois meses atrás,
do enunciado, temos:
p ∙ 1,12 ∙ 1,12 = 1881,60
Resolução:
Nos 10 kg iniciais tem-se:
- 9,5kg de água
- 0,5 kg de “polpa”
Após
o
processo
de
desidratação os 0,5 kg de polpa (o
processo eliminará somente água)
correspondem a 10% da massa da
melancia. Denominando esta massa
de m, temos:
0,1·m = 0,5  m = 5
R: A massa será de 5 Kg
44. João e Pedro são vendedores e
ganham R$ 1000,00 de salário e
comissão de 8% sobre as vendas.
Em setembro, João ganhou R$
2000,00 e Pedro ganhou R$
2500,00. Nesse mês, as vendas
de Pedro superaram as de João
em:
p ∙ 1,2544 = 1881,60
p=
a)
b)
c)
d)
e)
1881,60
 1500
1,2544
R: O produto custava R$ 1500,00
b) 1881,60∙1,12∙1,12 = 2360,28
R: Custará 2360,28
43. 95% da massa de uma
melancia de 10 kg é constituída
de água. A fruta é submetida a
um processo de desidratação
(processo que elimina apenas a
água) até que a participação da
água na massa de melancia se
reduz a 90%. Qual a massa da
melancia após este processo?
20%
25%
30%
40%
50%
Resolução: alternativa d
Note que:
- A pergunta se refere ao total de
vendas
que
está
diretamente
relacionado aos valores pagos como
comissões.
- O valor recebido pelas vendas de
João foi de 1000 reais, enquanto a
comissão de Pedro foi de 1500 reais.
- Como a diferença entre as
comissões é de 1500 – 1000 = 500 e
500 / 1000 = 50/100 tem-se que
Pedro vendeu 50% a mais que João.
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45. Se os preços sobem 20% e os
salários sobem 26%, de quanto
aumenta o seu poder aquisitivo?
a) 6%
b) 5%
c) 20%
d) 26%
e) 12%
Resolução: alternativa b
Primeiramente é necessário
escrever matematicamente o termo
“poder aquisitivo” que nada mais é
que o poder de compra. O poder
aquisitivo de uma pessoa é dado pela
razão entre o salário e os preços.
Denominando como:
Colabore com o site!
- Sempre que possível acesse o
site dos patrocinadores (banners)
nas suas visitas.
- Divulgue o site nas suas redes
sociais
S: Salário
P: Preços
PAi : Poder aquisitivo inicial
PAf : Poder aquisitivo final
- Caso você tenha encontrado
algum erro ou tenha alguma
sugestão não hesite em enviar-me
uma mensagem:
Teremos:
PA i 
Observações Finais:
S
P
[email protected]
1,26∙S: Salário aumentado de 26%
1,20∙P: Preços aumentados de 20%
1,26  S
S
 1,05   1,05  PA i , ou
1,20  P
p
seja um aumento de 5%
PA f 
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