Inferência Estatı́stica – Estimação Cláudio Tadeu Cristino1 1 Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, Brasil Segundo Semestre, 2011 C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 1 / 30 Estimação Inferência Estatı́stica A Inferência Estatı́stica é um conjunto de técnicas que objetiva estudar a população através de evidências fornecidas por uma amostra. É a amostra que contém os elementos que podem ser observados e, a partir daı́, quantidades de interesse podem ser medidas. Alguns exemplos: Suponha que a quantidade de empresas que são abertas em um mês seja modelada como sendo uma variável de Poisson, mas desconhecemos a sua média (que é essencial para podermos calcular as probabilidades relacionadas). A variância no consumo de etanol no paı́s é um importante indicador para tal consumo (que pode ser utilizado para programar de maneira ótima a produção e as exportações). C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 2 / 30 Parâmetros, Estimadores e Estimativas Parâmetros, Estimadores e Estimativas Para formalizar as ideias que serão apresentados nesta parte do curso, precisamos definir alguns conceitos: Definição As quantidades da população, em geral desconhecidas, sobre as quais temos interesse, são denominadas parâmetros e, usualmente, representadas por letras gregas, tais como θ, µ, σ. Por exemplo: Se a altura de uma população é modelada pela Normal, este modelo dependerá de dois parâmetros: a média, µ, e a variância, σ 2 . Se as pontuações de um pessoa em dois tipos diferentes de provas são dadas por variáveis aleatórias com correlação desconhecidas, deve-se estimar esta grandeza. C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 3 / 30 Parâmetros, Estimadores e Estimativas Parâmetros, Estimadores e Estimativas Definição Toda função de elementos de uma amostra é chamada estatı́stica. Estas funções são utilizadas para produzir aproximações para os parâmetros da população (que são inacessı́veis). Esta combinação dos elementos a amostra é denominada estimador do parâmetro de interesse. Como uma notação comum, escreve-se θb para um estimador do parâmetro θ. Aos valores numéricos assumidos pelos estimadores denominamos estimativas pontuais ou, simplesmente, estimativas. Matematicamente, escrevemos: para um parâmetro (ou grandeza de interesse) da população θ: θb = f (X1 , X2 , . . . , Xn ), em que (X1 , X2 , . . . , Xn ) é uma amostra de elementos da população e f é uma função adequada. Nesta caso, θb é um estimador de θ. C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 4 / 30 Parâmetros, Estimadores e Estimativas Estimação - Exemplo Estimação - Exemplo Estimando a média Suponha que desejemos obter o salário médio, µ de pessoas entre 18 e 25 anos, residentes na Região Metropolitana de Recife. Qual seria o procedimento? A ideia é retirar (adequadamente) uma amostra da população com o perfil desejado e fazer uma estimação. Suponha que tenhamos uma amostra de tamanho 10, (X1 , X2 , . . . , X10 ), e vamos observar algumas estatı́sticas que podem no ajudar: mı́nimo + máximo ; 2 µ b2 = f2 (X1 , . . . , X10 ) = X1 ; X1 + X2 + · · · + X10 µ b3 = f3 (X1 , . . . , X10 ) = = X. 10 µ b1 = f1 (X1 , . . . , X10 ) = C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 5 / 30 Parâmetros, Estimadores e Estimativas Estimação - Exemplo Estimação - Exemplo Estimando a média Se a amostra é dada por: 830,00 620,00 714,00 530,00 530,00 280,00 1200,00 475,00 400,00 320,00 Tabela: Salário (em reais) de trabalhadores entre 18 e 25 anos, RMR (fictı́cio). Temos: µ b1 = (280, 00 + 1200, 00)/2 = 740, 00. µ b2 = 830, 00. µ b3 = (830, 00 + 710 + · · · + 320, 00)/10 = 589, 90. C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 6 / 30 Parâmetros, Estimadores e Estimativas Estimação - Exemplo Estimadores usuais Temos alguns estimadores naturais para certos parâmetros: X1 + X2 + · · · + Xn a média amostral. Xn = n 1 Pn σ b2 = (Xi − X n )2 , a variância amostral; n − 1 i =1 número de ı́tens com a caracterı́sticas na amostra b p= . n C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 7 / 30 Parâmetros, Estimadores e Estimativas Como escolher um estimador? Como escolher um estimador? Definição Um estimador θb é dito não viciado ou não viesado para um parâmetro θ se b = θ. E(θ) Se θb = f (X1 , . . . , Xn ) é um estimador de θ, então o vı́cio ou viés desse estimador é dado pelo valor Definição b − θ. bθ (n) = E(θ) Um estimador θb é dito consistente se as seguintes propriedades são satisfeitas: b = θ (ou seja, é assintoticamente não viciado); 1 lim E(θ) n→∞ 2 b = 0 (tende a uma constante). lim Var(θ) n→∞ C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 8 / 30 Parâmetros, Estimadores e Estimativas Como escolher um estimador? Precisão ou Exatidão? C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 9 / 30 Parâmetros, Estimadores e Estimativas Como escolher um estimador? Escolha de estimadores Definição Dados dois estimadores θb1 e θb2 , ambos não viciados para um parâmetro θ, dizemos que θb1 é mais eficiente do que θb2 se Var(θb1 ) < Var(θb2 ). Tabela: Estimadores para a média (µ), proporção (p) e variância (σ 2 ). Parâmetro µ Estimador X = (X1 + · · · + Xn )/n Propriedades não viciado e consistente p b p = (freq.na amostra)/n Pn 2 2 S2 = i =1 Xi − nX /(n − 1) Pn 2 2 σ b2 = i =1 Xi − nX /n não viciado e consistente σ2 σ2 C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação não viciado e consistente viciado e consistente 2011 10 / 30 Distribuições Amostrais Distribuição de X e S 2 Nosso objetivo é determinar uma possı́vel distribuição para a média amostral. Lembre-se: como X e S 2 são duas estatı́sticas (funções) de elementos de uma amostra, tal média e tal variância amostrais podem ser vistas como variáveis aleatórias, possuindo, portanto, função de distribuição, esperança e variância, etc.... Estas medidas qualificam a média e a variância amostral. Exemplo Suponha que estejamos interessados em estudar o número de contaminações pela dengue em nossa cidade. A ANVISA - Agência Nacional de Vigilância Sanitária, informa que em Recife as probabilidades de número de infecções de uma pessoa pelo vı́rus da dengue é: X P(X = x) 0 0,10 1 0,25 2 0,35 3 0,30 Tabela: Número de infecções de uma mesma pessoa pelo vı́rus da dengue em Recife (dados fictı́cios). C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 11 / 30 Distribuições Amostrais As distribuições da média e da variância amostral foram obtidas e apresentadas como: Tabela: Distribuição da média amostral X = (X1 + X2 + X3 )/3. X P(X = x) 0 0,001 1/3 0,0075 2/3 0,02925 1 0,077125 4/3 0,147375 X P(X = x) 5/3 0,211125 2 0,227375 7/3 0,17775 8/3 0,0945 3 0,027 2 Tabela: Distribuição da variância amostral S 2 = (X12 + X22 + X32 − 3 × X )/2. S2 0,0865 C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) 0 0,3885 1/3 0,21 1 0,171 4/3 0,108 Inferência Estatı́stica – Estimação 7/3 0,036 3 2011 12 / 30 Distribuições Amostrais Consideremos primeiramente o caso de uma população Normal, isto é, a variável de interesse X ∼ N(µ, σ 2 ). Portanto, temos que (X1 , X2 , . . . , Xn ) representa uma amostra distribuı́dos com densidade Normal de média µ e variância σ 2 , ou seja, Xi ∼ N(µ, σ 2 ), i = 1, . . . , n; Xi é independente de Xj , para todo i 6= j. P É fácil ver que qualquer combinação linear ni=1 ai Xi de variáveis aleatórias Normais e constantes (nem todas nulas) ai ’s, também segue o modelo Normal. Assim X ∼ N(µX , σX2 ) com n 1X Xi n ! 1 nµ = µ; n i =1 ! n 1X 1 σ2 2 σX = Var(X ) = Var Xi = 2 nσ 2 = . n n n µX = E(X ) = E = i =1 C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 13 / 30 Distribuições Amostrais Exemplo Considere uma amostra independente de tamanho n de uma variável aleatória N(10, 16). Isto é, X1 , . . . , Xn são independentes e todas com distribuição Normal com média 10 e variância 16. Assim X tem distribuição Normal como média 10 e variância 16/n. C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 14 / 30 Distribuições Amostrais Teorema do Limite Central Um grande resultado Teorema (Teorema do Limite Central) Suponha que uma amostra aleatória simples de tamanho n seja retirada de um população com média µ e variância σ 2 (nenhum modelo de distribuição está sendo especificado). Então para a média amostral, X temos: X − µ n→∞ √ −→ Z , σ/ n (3.1) em que Z ∼ N(0, 1). C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 15 / 30 Distribuições Amostrais Teorema do Limite Central Uma aplicação Uma aplicação do Teorema do Limite Central relaciona-se com a distribuição da proporção amostral. Esta grandeza é dada por b p= número de indiv. da amostra com a caracterı́stica de interesse . n Se construirmos para o i -ésimo indivı́duo uma variável aleatória Yi tal que: ( 1, se o indivı́duo apresenta a caracterı́stica, Yi = 0, caso contrário. Podemos escrever a proporção como n b p= C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) 1X Y1 + · · · + Yn = Yi = Y . n n i =1 Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 16 / 30 Distribuições Amostrais Teorema do Limite Central Uma aplicação – Cont. Logo, a proporção amostral nada mais é do que a média das variáveis aleatórias convenientemente definidas. Considerando a proporção de indivı́duos com a caracterı́stica de interesse seja p e que os indivı́duos são selecionados aleatoriamente, temos que Y1 , . . . , Yn formam uma sequência de variáveis aleatórias independentes com distribuição de Bernoulli. Assim E (Yi ) = p e Var(Yi ) = p(1 − p). Logo, ! ! n n 1X 1X p(1 − p) E(b p) = E Yi = p e Var(b p ) = Var Yi = , n n n i =1 i =1 b é um estimador não viciado e consistente para p. ou seja p Tendo em vista o Teorema do Limite Central, temos que para n suficientemente grande: b Y − E(Y ) p−p n→∞ q =p −→ N(0, 1). p(1 − p)/n Var(Y ) C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 17 / 30 Estimação por Intervalos Estimação por Intervalos Os estimadores até agora discutidos foram estimadores pontuais, pois fornecem como estimativa um único valor numérico para o parâmetro de interesse. Seria mais prudente que pudéssemos estabelecer uma “faixa” para nossas estimativas, levando em consideração que os estimadores são variáveis aleatórias e, assim, podem ocorrer com uma certa probabilidade para valores longe da estimativa encontrada. Está faixa será denominada intervalo de confiança da estimativa calculada. C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 18 / 30 Estimação por Intervalos Intervalo de confiança Intervalos de confiança Consideremos, inicialmente, o intervalo de confiança para a média µ de uma certa população Normal com a variância σ 2 conhecida. Supondo uma amostra aleatória de tamanho n dada por (X1 , . . . , Xn ), temos que a média amostral tem distribuição Normal com a mesma média µ e variância σ 2 /n. Assim, X −µ √ ∼ N(0, 1). Z = σ/ n Fixando um valor γ tal que 0 < γ < 1, podemos encontrar um valor zγ/2 tal que: P |Z | ≤ zγ/2 = P − zγ/2 ≤ Z ≤ zγ/2 = γ. C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 19 / 30 Estimação por Intervalos Intervalo de confiança O ı́ndice de zγ/2 apresenta o valor de γ dividido por 2, uma vez que a “massa” γ deve ser dividida igualmente em torno do 0 (Figura). O valor zγ/2 pode ser obtido da tabela da Normal padrão, localizando o valor γ/2 no “miolo” da tabela e tomandose os valores nas margens correspondentes. Assim, X −µ √ < zγ/2 σ/ n σ σ ⇒ X − zγ/2 √ < µ < X + zγ/2 √ n n E o intervalo de confiança para µ, com coeficiente de confiança γ é: h σ σ i IC (µ, γ) = X − zγ/2 √ , X + zγ/2 √ n n −zγ/2 < Z < zγ/2 C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) ⇒ −zγ/2 < Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 20 / 30 Estimação por Intervalos Intervalo de confiança O que representa o intervalo de confiança A interpretação do intervalo de confiança deve ser feita com cuidado: ... se obtivermos várias amostras de mesmo tamanho e, para cada uma delas, calcularmos os correspondentes intervalos de confiança com coeficiente de confiança γ, esperamos que a proporção de intervalos que contenham o valor verdadeiro de µ seja igual a γ. Esta interpretação do IC é chamada uma visão clássica para o estimador por intervalos. C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 21 / 30 Estimação por Intervalos Exemplo - intervalo de confiança Uma Aplicação Exemplo Suponha que desejemos estudar a variação de preços gerais de uma maneira mais “rápida” e de modo a saber se em média houve deflação ou inflação. Na Tabela 6, são apresentadas as variações percentuais de 30 produtos escolhidos ao acaso. 2,49% 3,92% 2,72% 5,56% -5,65% 0,85% 2,69% -3,37% 0,90% 3,20% 2,80% 8,17% 7,56% -0,40% -3,98% 2,80% 1,69% 4,27% 5,26% 2,44% 3,07% -0,58% 0,21% -2,67% 1,12% 3,78% 0,37% 5,07% -0,33% 1,85% Tabela: Variação de preços (dados fictı́cios). C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 22 / 30 Estimação por Intervalos Exemplo - intervalo de confiança Uma Aplicação - continuação Para os dados apresentados, temos: Média (amostral): X = 1, 86%. Mediana (amostral): MedX = 2, 47%. Variância (amostral): S 2 = 0, 001001671, desvio padrão (amostral): S = 0, 031649192 Baseado nas medidas de resumo, podemos afirmar que (em média) os preços aumentaram. Será? C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 23 / 30 Estimação por Intervalos Exemplo - intervalo de confiança Uma Aplicação - continuação Como X é uma estatı́stica (função de variáveis aleatórias), numa outra amostra com outros produtos, poderı́amos chegar uma conclusão divergente: ou que os preços sofreram deflação ou que estiveram estáveis. Qual seria o intervalo de confiança para a média da variação de preços para uma confiança de γ = 80%, sabendo que a variância da população é de 0,0009? h i Sabemos que IC (µ, γ) = X − zγ/2 √σn , X + zγ/2 √σn , em que X = 1, 86%, σ = 0, 03, n = 30. Resta-nos determinar o valor de zγ/2 , tal que: X − µ P √ ≤ zγ/2 = γ ⇔ P −zγ/2 ≤ Z ≤ zγ/2 = γ σ/ n C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação Z ∼ N(0, 1) 2011 24 / 30 Estimação por Intervalos Exemplo - intervalo de confiança Uma Aplicação - continuação Figura: Determinando zγ/2 para uma tabela da normal padrão P(Z ≤ z) = p. C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 25 / 30 Estimação por Intervalos Exemplo - intervalo de confiança Uma Aplicação - continuação Logo, da tabela da Normal padrão que apresenta valores de P(Z ≤ z) = p, temos que zγ/2 = 1, 28 (este é o valor mais próximo para a probabilidade de 0,9, o valor real para P(Z ≤ 1, 28) é 0,899727). Assim, h 0, 03 0, 03 i IC (µ, 80%) = 1, 86 − 1, 28 × √ ; 1, 86 + 1, 28 × √ 30 30 ⇒ IC (µ, 80%) = [1, 853; 1, 867]. Este intervalo nos garante que 80% de outras amostras de variação de preços terão a média contida neste intervalo. A conclusão: houve uma inflação de preços. C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 26 / 30 Estimação por Intervalos Amplitude do intervalo de confiança Amplitude do IC e o tamanho a amostra A amplitude do intervalo de confiança é dada pela diferença entre os extremos de tal intervalo, isto é, 2 × zγ/2 √σn , o que claramente indica que ela depende da confiança γ, do desvio padrão σ e do tamanho da amostra n. É usual se referir à metade da amplitude como o erro envolvido na estimação. Note que podemos estabelecer a seguinte condição a priori: Qual é o tamanho da amostra para que a amplitude do intervalo de confiança (erro envolvido) seja de ε? σ σ 2 2 × zγ/2 √ = ε ⇒ n = 2 × zγ/2 . ε n C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 27 / 30 Estimação por Intervalos Amplitude do intervalo de confiança Intervalo de confiança para a proporção populacional b, Um estimador pontual para a proporção populacional p é foi dado com p a proporção amostral. Pelo Teorema do Limite Central, para uma amostra suficientemente grande: p(1 − p) b p ∼ N p, . n Assim o intervalo de confiança com coeficiente de confiança γ é dado por: " # r r p(1 − p) p(1 − p) IC (p, γ) = b p − zγ/2 ;b p + zγ/2 . n n Note que na expressão acima o IC depende de p, que é desconhecido. O que fazer? C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 28 / 30 Estimação por Intervalos Amplitude do intervalo de confiança IC da proporção: otimismo ou conservadorismo? Uma solução para obtermos o IC (p, γ), já que ele originalmente depende de p (desconhecido), é substituir p(1 − p) por b p (1 − b p ). Desta forma, temos: " # r r b b p (1 − b p) p (1 − b p) b + zγ/2 IC1 (p, γ) = b p − zγ/2 ;p , n n b está que é uma estimativa (intervalar) otimista, pois acredita que p suficientemente perto de p. Outra visão seria utilizara o maior valor possı́vel para p(1 − p), que seria uma visão conservadora para o caso. Neste caso o máximo da função f (x) = x(1 − x) pode ser encontrado fazendo f ′ (x) = 0 (pontos crı́ticos de f ), o que implica que x = 1/4 é o máximo para f em [0, 1]. Logo, " r r # 1 1 b + zγ/2 IC2 (p, γ) = b p − zγ/2 ;p 4n 4n C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 29 / 30 Estimação por Intervalos Resumo A aplicação do Teorema do Limite Central permite a obtenção de intervalos de confiança para µ, mesmo quando a distribuição das variáveis aleatórias que constituem a amostra não seja Normal. Neste caso, o intervalo construı́do terá um coeficiente de confiança aproximadamente igual a γ, sendo que esta aproximação melhora à medida que aumenta o tamanho da amostra. Tabela: Intervalos de confiança para a média µ e a proporção populacional p. Parâmetro µ p p h Intervalo de Confiança i X − zγ/2 √σn , X + zγ/2 √σn q q h i b b p) p (1−b p) b b p − zγ/2 p(1−b ; p + z (otimista) γ/2 n n q q i h 1 1 b p − zγ/2 4n ;b p + zγ/2 4n (conservador) C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Inferência Estatı́stica – Estimação 2011 30 / 30
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