A.5.1 - Matemática
A não existência de involuções sobre variedades fechadas de dimensão maior que 1 fixando
exatamente um ponto
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Amanda F. Lima , Pedro L. Q. Pergher
1. Estudante de Pós-graduação/Doutorado em Matemática, UFSCAR; *[email protected]
2. Professor Titular do Depto. de Matemática, UFSCAR, São Carlos/SP
Palavras Chave: Involuções, Cobordismo equivariante, Sequência exata de Conner e Floyd
Introdução
Agradecimentos
Sejam M uma variedade suave fechada e T uma involução
suave sobre M. Então é conhecido o fato de que o
conjunto de pontos fixos F de T é uma união disjunta e
finita de subvariedades fechadas de M. Um problema
básico neste contexto é, para uma dada F, a classificação,
a menos de cobordismo equivariante, dos pares (M,T) que
possuem conjunto de pontos fixos igual a F.
CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de
Nível Superior
UFSCAR - Universidade Federal de São Carlos
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[1] P. E. Conner and E. E. Floyd, Differentiable Periodic Maps, SpringerVerlag, 1964.
O objetivo deste trabalho é provar que, para todo conjunto
F constituído de um único elemento, não existe involução
T sobre variedade fechada M de dimensão maior que 1
fixando F.
Resultados e Discussão
Na teoria de classificação de involuções sobre variedades
suaves fechadas que possuem um determinado fixed-data,
uma ferramenta fundamental é a sequência de Conner e
Floyd, dada por
0→In(Z2)→Mn→Nn-1(BO(1))→0,
(1)
onde In(Z2) é o grupo das classes de bordismo de
involuções sobre variedades suaves fechadas ndimensionais, Nn-1(BO(1)) é o grupo das classes de
bordismo de 1-fibrados vetoriais sobre variedades
fechadas (n-1)-dimensionais, e Mn é a soma direta dos
grupos de classes de bordismo de (n-j)-fibrados vetoriais
sobre variedades j-dimensionais, para j=0,...,n.
Teorema 1: (Sequência de Conner e Floyd) Para cada n
natural, a sequência de Z2-módulos dada em (1) é exata.
Ver [1].
Através desta sequência e de resultados obtidos através
dela, demonstraremos neste trabalho o seguinte resultado:
Teorema 2: Não existe involução (M,T) em uma variedade
suave fechada M de dimensão n>1, fixando exatamente
um ponto.
Conclusões
Este trabalho nos permitirá apresentar a demonstração do
teorema 2, que é seu objetivo, mas também possibilitará a
apresentação de uma introdução à teoria de classificação
de involuções sobre variedades fechadas que fixam um
determinado conjunto, teoria essa muito importante para a
área de topologia algébrica.
67ª Reunião Anual da SBPC