Nome dos Autores:
Luiz Fernando da Silva Gouveia - Bolsista da FAPESP
Leonardo Pereira da Costa Cruz
Orientador: Claudio Aguinaldo Buzzi
Instituição: Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas (IBILCE
- UNESP), São José do Rio Preto
Título do Trabalho: O Teorema de Grobman-Hartman
Sessão Temática: Sistemas Dinâmicos
Resumo:
O Teorema de Grobman-Hartman é um dos mais importantes resultados
da teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias. Este teorema nos
diz que dado um sistema não linear do tipo X ′ = f (X) e sua linearização
em torno de um ponto singular hiperbólico, então o teorema de GrobmanHartman garante a existência de um homeomorfismo que faz uma conjugação topológica entre esses dois sistemas. Dessa forma, estudando o comportamento qualitativo da linearização do sistema original em torno dos pontos singulares hiperbólicos, podemos inferir também sobre o comportamento
deste. Na verdade, se X ′ = AX é a linearização do sistema original, então
seu fluxo é eAt X0 , e o teorema garante a existência de um homeomorfismo
H que leva órbitas de um sistema no outro, isto é, H(φt (X0 )) = eAt H(X0 ),
onde φt (X0 ) é o fluxo do sistema X ′ = f (X).
Antes de enunciarmos o Teorema de Grobman-Hartman, faremos a seguinte definição:
Definição. Dois sistemas autônomos de equações como ẋ = f (x) (1) e
ẋ = Ax (2) são ditos topologicamente equivalentes em uma vizinhança da
origem ou possuem a mesma estrutura qualitativa próxima a origem se existe
um homeomorfismo H de um aberto U contendo a origem em um aberto V
contendo a origem cuja as trajetórias do sistema ẋ = f (x) de U são enviadas
nas trajetórias do sistema ẋ = Ax de V e tem orientações preservadas. Se o
homeomorfismo H preserva a parametrização pelo tempo, então os sistemas
acima são chamados topologicamente conjugados na vizinhança da origem.
1
Teorema. (Teorema de Grobman-Hartman) Seja E um aberto do Rn contendo a oriem, f ∈ C 1 (E), φt o fluxo do sistema não linear (1). Suponha
f (0) = 0 e que a matriz A = Df (0) não possua nenhum autovalor com parte
real nula. Então, existe um homeomorfismo H de um aberto U contendo a
origem em um aberto V contendo a origem tal que para cada x0 ∈ U, existe
um aberto I0 ⊂ R contendo 0 tal que para todo t ∈ I0
Hoφt (x0 ) = eAt H(x0 ),
isto é, as trajetórias de (1) próximas a origem são levadas em (2) próximas
a origem e o tempo é preservado.
Iremos fazer a seguir um esboço da prova do Teorema de GrobmanHartman. Para uma demonstração completa ver [4].
Considere o sistema não linear (1), f ∈ C 1 (E), f (0) = 0 e A = Df (0).
(1) Suponha que a matriz A é escrita na forma
P 0
,
A=
0 Q
onde os autovalores de P tem parte real negativa e os autovalores de Q tem
parte real positiva.
(2) Usandos o fluxo do sistema não-linear no tempo 1 e dositema linear
By
no tempo 1 para definir as transformações L(y, z) =
e T (y, z) =
Cz
By + Y (y, z)
, isto é, localmente L(x) = eA x e T (x) = φ1 (x).
Cz + Z(y, z)
Lema. Existe um homeomorfismo H0 de um aberto U contendo a origem em
um aberto V contendo a origem tal que H0 oT = LoH0 .
Vamos usar o método das aproximações sucessivas para demonstrarmos
o lema acima.
φ(y, z)
n
. Então H0 oT = LoH0 é equivaPara x ∈ R , temos H0 (x) =
ψ(y, z)
lente ao par de equações
Bφ(y, z) = φ(By + Y (y, z), Cz + Z(y, z))
Cψ(y, z) = ψ(By + Y (y, z), Cz + Z(y, z))
2
(3).
Defina agora as aproximações sucessivas para a segunda equação por
ψ0 (y, z) = z
ψk+1 (y, z) = C −1 ψk (By + Y (y, z), Cz + Z(y, z))
(4)
Segue por indução que ψk (y, z) é uma sequência de funções contínuas de
Cauchy no qual converge uniformemente para ψ(y, z) quando k → ∞. Tomando os limites em (4), mostra-se que ψ(y, z) é solução da segunda equação
em (3).
A primeira equação em (3) pode ser escrita como
B −1 φ(y, z) = φ(B −1 y + Y1 (y, z), C −1z(y, z)) (6),
onde as funções Y1 e Z1 são definidas pela inversa de T
−1
B y + Y1 (y, z)
−1
.
T (y, z) =
C −1 + Z1 (y, z)
Então, a equação (6) pode ser resolvida pelo método da aproximções
sucessivas com φ0 (y, z) = y. Logo, obtemos a aplicação contínua
φ(y, z)
.
H0 (y, z) =
ψ(y, z)
Pode-se provar que H0 é um homeomorfismo de Rn em Rn .
Tome H0 o homeomorfismo definido no lema acima e seja Lt e T t duas
famílias de trasformações a um parâmetro definidas por
Lt (x0 ) = eAt x0 e T t (x0 ) = φt (x0 ).
R1
Defina H = 0 L−s H0 T s ds. Do lema acima, segue que existe uma vizinhança da origem tal que, para
Z 1
Z 1−t
t
t−s
s−t
t
LH=
L H0 T dsT =
L−s H0 T s dsT t =
0
Z
=[
0
−t
−s
s
L H0 T ds +
−t
Z
1−t
−s
s
t
L H0 T ds]T =
0
Z
0
3
1
L−s H0 T s dsT t = HT t.
Assim, HT t = Lt H ou equivalentemente Hoφt (x0 ) = eAt H(x0 ) e pode-se
mostrar que H é um homeomorfismo de Rn .
Bibliografia:
[1] Dumortier, F., Llibre, J. e Artés, J. C., Qualitative Theory of Planar
Differential Systems. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2006.
[2] Palis, J. e Melo, W., Introdução aos sistemas dinâmicos. Projeto Euclides, 6, IMPA, Rio de Janeiro, 1978.
[3] Arrowsmith, D. K. e Place, C. M., An introduction to dynamical systems. Cambridge University Press, Cambridge, 1990.
[4] Perko, L., Differential equations and dynamical systems. Texts in Applied Mathematics, 7, Springer-Verlag, New York, 1991.
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