O Efeito Casimir e a Constante
Cosmológica
Rafael Bán Jacobsen
Horacio Dottori (orientador)
IF - UFRGS
Método “Seicho No Ie” de Apresentação
Equações de Friedmann (1922)
As Equações de Friedmann são um conjunto de equações em cosmologia
física que governam a expansão métrica do espaço em modelos
homogêneos e isotrópicos do Universo dentro do contexto da Teoria Geral
da Relatividade. Foram apresentadas por Alexander Friedman em 1922 a
partir das equações de campo de Einstein.
Bases da Cosmologia:
• “Crença” na RG
• Homogeneidade cósmica
• Isotropia cósmica
• Universalidade das leis físicas
Alexander Friedmann (1888-1925)
Equações de Friedmann (1922)
• G é a constante gravitacional
• c é a velocidade da luz
• a é o fator de escala do Universo (hoje, a =1, por definição)
• K é a curvatura gaussiana
• ρ (densidade de matéria e radiação total) e p (pressão) são funções de a
• O parâmetro de Hubble, H, é a velocidade de expansão do universo
• Λ é a constante cosmológica
• Com condições de contorno apropriadas, podemos resolver essas 2 equações
(mais a EoS p = p(ρ)) para obtermos ρ(t), p(t) e a(t) – modelo cosmológico!
Equações de Friedmann (1922)
Relações importantes:
• Parâmetro de densidade:
•Parâmetro cosmológico:
•Parâmetro de curvatura:
As proporções
dessas 3
quantidades
definem
diferentes
modelos
cosmológicos
Equações de Friedmann (1922)
Utilizando o fato de que ρ=ε/c², a primeira das equações de Friedmann pode
ser escrita como:
Ainda, se definirmos
a equação fica escrita na forma
Onde εtotal é a densidade de energia total do universo, incluindo matéria,
radiação, constante cosmológica...
Equações de Friedmann (1922)
Resultado importante: densidade crítica εc
É a densidade total de matéria e energia (de todos os tipos possíveis) que
é necessária para que o nosso universo seja exatamente plano (curvatura
nula). Se a sua densidade for um pouco maior, o universo será fechado
(curvatura positiva). Se a sua densidade for um pouco menor, o universo
será aberto (curvatura negativa).
Para
(parâmetro de Hubble atualmente medido)
A Constante Cosmológica Λ (1917)
As equações de Friedmann, sem o termo de Λ, descrevem um universo
preenchido por matéria não-relativística e alguma radiação. Tal universo não
pode ser estático e deve colapsar gravitacionalmente.
GRAVIDADE:
ATRAÇÃO FATAL!
Foi exatamente para impedir esse colapso e “forçar” um universo estático que
Einstein introduziu Λ nas equações. Vejamos como a constante cosmológica
opera...
A Constante Cosmológica Λ (1917)
Para um universo de densidade ρ, o potencial gravitacional é dado pela
equação de Poisson:
A aceleração a em um ponto qualquer do espaço pode ser encontrada
tomando o gradiente desse potencial:
Em um universo estático, a deve ser nulo em todos os pontos do espaço. Logo, o
potencial φ deve ser constante no espaço. Porém, se φ é constante, então:
Ou seja: o único universo estático possível é aquele sem matéria alguma!
A Constante Cosmológica Λ (1917)
Como Einstein resolveu o problema?
Em termos newtonianos, o que ele fez foi equivalente a reescrever a equação
de Poisson na forma:
Com a introdução de Λ nas equações,
podemos ter um universo estático se
Origem Física de Λ?
Como Λ deve existir mesmo em um espaço livre de matéria e radiação, uma
candidata natural para explicar a origem física de Λ é a energia do vácuo
quântico.
Ponto de vista clássico:
“Nothing can come from nothing.”
(Rei Lear, Ato I, Cena I)
Origem Física de Λ?
Ponto de vista quântico:
Princípio da incerteza de Heisenberg permite que pares partícula-antipartícula
apareçam espontaneamnete e se aniquilem em um vácuo outrossim vazio. A
energia total e o tempo de vida dessas partículas devem satisfazer a relação:
ΔE Δt ≤ h
Assim como existe uma densidade de energia ρc2 associada às partículas reais,
existe uma densidade de energia do vácuo εvac associada com os pares virtuais
partícula-antipartícula.
Origem Física de Λ?
Estimando a εvac :
Comprimento de Planck:
Massa de Planck:
Energia de Planck:
Tomando como valor “natural” para a densidade de energia do
vácuo o valor da densidade de energia de Planck, temos:
Esse é um valor 124 ordens de grandeza maior do que a densidade
crítica do universo!
O Universo em Expansão (1929)
Em 1929, analisando a luz de galáxias distantes e verificando que esta sofria
um deslocamento para o vermelho, Edwin Hubble demonstrou que as
galáxias se afastam em grande velocidade e que essa velocidade aumenta
com a distância. A relação entre a velocidade e a distância da Terra é
conhecida como a Lei de Hubble. A razão entre os dois valores é conhecida
como Constante de Hubble (H ~ 70 km/s/Mpc).
Λ: O maior erro de Einstein?
Com a descoberta de Hubble, Einstein abandonou a constante cosmológica, mais
tarde referindo-se a ela como o seu “maior erro” (na verdade, foi Gamow quem disse
que Einstein disse...).
O Memorial Albert Einstein, na National Academy of Sciences (Washington): cadê o Λ?
Λ: O maior erro de Einstein?
Mas parece que nem o próprio Einstein estava tão certo de seu erro. Em
1932, ele escreveu a respeito da constante cosmológica:
“Increase in precision data will enable us in the future to fix its sign and
determine its value.”
As palavras de Einstein foram
um brilhante vaticínio...
Expansão Acelerada (1998)
• Em 1998, foi construído o primeiro diagrama de Hubble utilizando-se supernovas do tipo
Ia, cuja magnitude (brilho intrínseco) é bem conhecida.
• Como são muito brilhantes, podem ser observadas a distâncias cosmológicas.
• O diagrama mostrou que a expansão do universo está se acelerando.
• Resultado encontrado por Perlmutter et al. e rapidamente confirmado por Riess et al.
Eixo horizontal: desvio para o vermelho (z)
Eixo vertical: diferença entre magnitudes aparente (m)
absoluta (M), que se relaciona com a distância por:
As linhas mostram as predições para modelos
cosmológicos com diferentes valores dos parâmetros
de densidade m e Λ. Os pontos correspondentes aos
dados observacionais estão dominantemente acima da
linha para um universo com =0. No painel inferior,
tendo-se suprimido o efeito da lei do inverso do
quadrado, é mostrada mais claramente a diferença
entre os modelos, evidenciando por que um modelo
com >0 é favorecido.
Modelo Cosmológico Padrão
• Observações mostram que a densidade do nosso universo está hoje
muito próxima da densidade crítica (ΩK = - 0.014 +- 0.017)
• Resultados das SN Ia apontam para um universo dominado por uma
constante cosmológica (Ωm = 0.3 e ΩΛ = 0.7)
Modelo Cosmológico Padrão
Energia Escura
• Nosso universo é composto 70% de “algo” que
não sabemos o que é.
• Esse “algo” deve existir mesmo na ausência de
matéria e radiação e se comporta como uma
força anti-gravitacional, acelerando a expansão
do cosmos (“o lado negro da força!”).
• Esse “algo” pode ser descrito em termos de
uma constante cosmológica, cujo valor, porém, é
muitíssimo menor do que a abundante energia
do vácuo quântico.
Dificuldades do Modelo Padrão
• Problema do horizonte: universo parece o mesmo em lados opostos do céu
(horizontes opostos) embora não tenha havido tempo, desde o Big Bang,
para a luz (ou qualquer outra coisa) viajar através do universo e voltar. Sendo
assim como os horizontes opostos “sabem” como manter-se simetricamente
um em cada lado?
• Problema da planicidade: as equações de Friedmann mostram que
Ωm,Λ - 1 = K/(a² H²). Durante a maior parte de “vida” do nosso universo, o
termo a² H² diminui, o que implicaria um valor maior do que 1 para Ωm,Λ ,
mas as observações, como vimos, sugerem Ωm,Λ = 1 (ou muito perto disso).
Como explicar a contradição?
• Problema da abundância dos monopolos magnéticos: Os monopolos
magnético são previstos pelos modelos de unificação das forças
fundamentais forte, fraca e eletromagnética (GUTS). Esses modelos prevêem
a existência de uma quantidade abundante dessas partículas, que seriam
produzidas nos primeiros estágios do universo primitivo. Como essas
partículas não são observadas, deve-se incorporar um mecanismo que
elimine sua disseminação no universo.
Inflação (1981)
A teoria inflacionária propõe uma solução para esses “problemas”!
Os problemas da cosmologia do Big Bang consistem no fato de que o
Universo sempre exibiu uma expansão desacelerada.
Se assumirmos a existência de um estágio no Universo primitivo com uma
expansão acelerada, então da/dt (= aH) aumenta durante a inflação. Então
o raio comóvel de Hubble, (aH)-1, diminui na fase inflacionária.
Essa propriedade é o ponto chave para resolvermos os quebra-cabeças
cosmológicos do modelo cosmológico padrão do Big Bang.
Inflação (1981)
Solução do problema da planicidade: como o termo a²H² na equação
Ωm,Λ - 1 = K/(a² H²) aumenta durante a inflação, Ωm,Λ se aproxima
rapidamente de um. Após o fim do período inflacionário, a evolução do
universo é seguida pela fase de Big Bang convencional e |Ωm,Λ – 1|
começa a aumentar. A despeito disso, contanto que a expansão
inflacionária ocorra suficientemente e torne Ωm,Λ muito próximo de um,
Ωm,Λ permanece da ordem de um mesmo na época presente.
A época da inflação "esticou" o Universo tão violentamente que o Universo é na verdade plano (ou,
na pior das hipóteses, muito perto disso). Qualquer curvatura que o Universo pode ter tido antes da
inflação foi destruída pela enorme expansão, fazendo com que o Universo ficasse plano.
Inflação (1981)
Solução do problema do horizonte: o problema de horizonte é resolvido
porque a inflação trouxe regiões que já tinham tido tempo de se comunicar
para posições bem distantes umas das outras, fora de comunicação. O
Universo durante a época da inflação expandiu muito mais rapidamente do
que a velocidade da luz. Logo, regiões que antes da inflação poderiam ter
estado muito próximas, foram levadas para pontos afastados (a relatividade
restringe a velocidade da matéria e energia como sendo sempre menor que
a da luz, mas não restringe a velocidade do Universo como um todo). As
propriedades de duas regiões opostas no Universo atual podem então ser
as mesmas porque estas regiões estavam em contato antes da inflação.
Inflação (1981)
Solução do problema dos monopolos magnéticos: se monopolos magnéticos
foram criados antes ou durante a inflação, ao final do processo de crescimento
exponencial eles devem ter sido “diluídos” a um nível indetectável.
Densidade de monopolos no início da inflação: 1082 m-3
Densidade de monopolos no fim da inflação: 5 x 10-49 m-3 ~ 15 pc-3
Densidade de monopolos hoje (após expansão adicional): 1 x 10-61 Mpc-3
Inflação (1981)
Como a inflação funciona?
A energia que promove a rápida expansão inflacionária vemd e um
campo escalar que deve surgir como parte de uma quebra espontânea
de simetria na dinâmica de uma possível teoria unificada das
interações.
Esse campo é chamado de inflaton. Em uma métrica associada ao
crescimento exponencial, dada por
sua equação de movimento é
e a equação de Einstein com o campo escalar fica
Inflação (1981)
O potencial do inflaton:
Mudando de assunto...
Efeito Casimir (1948)
Tirando “fatias” da abundante energia do vácuo quântico!
O Efeito Casimir, em sua forma mais simples, aparece na interação de um
par de placas planas e condutoras, eletricamente neutras, devido a
perturbações no vácuo do campo eletromagnético. É um efeito puramente
quântico (não há força entre as placas de acordo com a eletrodinâmica
clássica). Portanto, é apenas o vácuo, isto é, o estado fundamental da
eletrodinâmica quântica que faz com que as placas se atraiam mutuamente.
d = 1 μm
Efeito Casimir (1948)
Característica única da força de Casimir é sua forte dependência na forma
do sistema físico considerado, variando de atrativa a repulsiva,
dependendo, basicamente, da forma dos campos e das condições de
contorno (geometria, topologia e dimensionalidade).
Exemplos:
Efeito Casimir: Campo Espinorial em Sacola
Energia de ponto zero para um campo espinorial (spin = ½) massivo, confinado em
uma região tridimensional esférica de raio R, e portanto limitada por uma
superfície = casca esférica (bidimensaional). Esta é a chamada sacola.
Condição de contorno: o campo se anula exatamente na sacola.
Método: utilizar coordenadas esféricas usuais (r,θ,φ) para resolver a equação
com o hamiltoniano
e a condição de contorno
Efeito Casimir: Campo Espinorial em Sacola
A energia do sistema consiste de 2 partes:
1) Sistema clássico consistindo de uma superfície esférica (sacola) com raio R, com
energia:
Onde:
V = 4/3 π R3 é o volume do espaço contido e subjacente à sacola
S = 4πR2 é a superfície da sacola
p é a pressão
Parâmetros que determinam a
σ é a tensão superficial
energia. Parâmetros livres: k e σ
F, k e h não possuem nomes especiais
2) Campo espinorial φ que obedece à equação de Dirac e as condições de
sacola na superfície. O campo quântico tem energia de ponto zero dada por:
com s=0.
Efeito Casimir: Campo Espinorial em Sacola
Energia do sistema para uma escolha
específica de renormalização
Propriedades:
1) Energia alta (positiva) para raio pequeno
2) Energia negativa para raios intermediários
3) Energia positiva novamente (mas bastante menor) para raios grandes
4) Energia tende a zero no limite R →∞
Energia do Vácuo x Λ
Motivação
“A energia do vácuo é um fenômeno quântico que não se importa
nem um pouco com a expansão do universo e permanece
independente do tempo à medida que o universo se expande ou
contrai.”
(Barbara Ryden, Introduction to Cosmology)
Será mesmo?
Motivação
“Uma diferença é fundamental entre a inflação e a atual expansão
acelerada: a escala de energia envolvida nos dois processos. Todavia,
parece haver uma conexão conceitual entre as duas coisas. A inflação
foi um mecanismo que homogeneizou e planificou e “limpou o cenário”
no universo no início dos tempos. Se nada diferente ocorresse após o
fim do processo inflacionário, essa “faxina” teria um tempo de duração
limitado. A energia escura parece estar desempenhando esse mesmo
papel agora, mantendo a homogeneidade, a planicidade e a isotropia
que, possivelmente, não se manteriam indefinidamente após o final do
período inflacionário. Assim, as duas coisas parecem estar
conceitualmente relacionadas.”
(Paul Steinhardt)
Motivação
“O dinamismo é a característica que os cosmólogos consideram
atraente na quintessência. O maior desafio para qualquer teoria da
energia escura é explicar a densidade inferida do universo (...). Para
explicar a quantidade de energia escura atual, o valor da constante
cosmológica precisaria ter sido perfeitamente ajustado no
momento da criação do universo para que tivesse assim o valor
apropriado – algo que faz a constante cosmológica parecer um
fator arbitrário. Em contraste, a quintessência interage com a
matéria e evolui com o tempo, de modo que pode ajustar-se
naturalmente para alcançar o valor observado hoje.”
(Paul Steinhardt)
E que tal se a quintessência interagir com a geometria?
Um Modelo Dinâmico para Λ
Λ dependente de a (fator de escala) de acordo com:
Um Modelo Dinâmico para Λ
• Neste modelo (um “toy model”), o nosso universo é representado
pela sacola em si (um objeto de 2 dimensões).
• Assim, nosso universo se comporta como uma bolha em expansão em
um “background” com uma dimensão espacial a mais.
• No caso de um universo tridimensional, o “background” teria 4
dimensões espaciais.
• Esse “background” é habitado por um campo espinorial massivo que
se anula perfeitamente no nosso universo.
Vantagens do Modelo
• Explicar a inflação primordial do universo e a atual expansão
acelerada através de um mesmo mecanismo.
• Tal mecanismo é algo bastante “palpável” (Efeito Casimir): pode
ser (e já foi!) medido em laboratório.
• Apresenta uma previsão “testável”: a atual expansão acelerada é
um fenômeno transiente.
• O campo responsável pela energia é identicamente nulo em todo
o nosso universo.
• A constante cosmológica não é constante, mas sim uma
quantidade dinâmica, o que pode soar menos “artificial” (ou
antrópico): é um modelo quintessencial.
Críticas ao Modelo
1) O universo apresentado no modelo tem apenas 2 dimensões!
Resposta: Temos que começar em algum ponto! Introduzir uma terceira
dimensão não é tão complicado assim e tampouco deve comprometer
as propriedades gerais apresentadas.
2) O modelo “apela” para uma dimensão extra!
Resposta: É verdade, mas, mesmo assim, nem tem tantas “dimensões
ocultas” quanto outras teorias “disponíveis no mercado”...
3) O campo responsável pela energia é identicamente nulo em todo o
nosso universo. Sendo assim, não há como medi-lo diretamente!
Resposta: Correto. Porém, as implicações da existência de tal campo
devem ser suficientes para nos convencer de sua plausibilidade tanto
quanto as implicações do modelo inflacionário são capazes de nos
convencer da plausibilidade do inflaton.
Críticas ao Modelo
4) Mas por que o nosso universo deveria ser o único nesse
“background” com uma dimensão extra?
Resposta: Não deveria! A palavra “universo” foi originalmente
concebida para englobar tudo que existe. Porém, novos modelos físicos
apontam para a possibilidade de “universos bolha”, sendo o nosso
apenas um entre muitos (ou até infinitos). São as chamadas teorias de
multiverso. Outros universos podem ter condições físicas muito
diferentes das nossas, e é provável que nunca nosso universo tenha
contato com os outros.
Um pensamento para exercitar a humildade:
Nós não apenas ocupamos uma posição desprivilegiada em nosso
universo como podemos também estar em um universo desprivilegiado
no multiverso!
O conceito de Multiverso tem
suas raízes na moderna
Cosmologia e na Teoria
Quântica e engloba várias idéias
da Teoria da Relatividade de
modo que pode ser possível a
existência de inúmeros
Universos onde todas as
probabilidades quânticas de
eventos ocorrem. Simplesmente
há espaço suficiente para
acoplar outros Universos numa
estrutura dimensional maior: o
chamado Multiverso.
There are more things in Heaven and Earth, Horatio,
Than are dreamt of in your philosophy.
Hamlet, Ato I, Cena V
Bibliografia Básica
1) Cosmologia básica:
Barbara Ryden, Introduction to Cosmology, Addison Wesley (2003)
2) Quase tudo sobre a constante cosmológica:
Carroll & Press: Annu. Ver. Astron. Astrophys. 1992. 30: 499-542
http://nedwww.ipac.caltech.edu/level5/Carroll/frames.html
3) Quase tudo sobre Efeito Casimir:
• K. Milton. The Casimir Effect: Physical Manifestations of Zero Point Energy.
arXiv:hep-th/9901011v1
• Bordag, Mohideen, Mostepanenko. New Developments in the Casimir Effect.
arXiv:quant-ph/0106045v1
4) Efeito Casimir em geometrias esféricas:
• Cognola, Elizalde, Kirsten. Casimir Energies for Spherically Symmetric Cavities.
arXiv:hep-th/9906228v2
• Elizalde, Bordag, Kirsten. Casimir energy in the MIT bag model.
arXiv:hep-th/9707083v1