CONTROLE
AVANÇADO
Prof. André Laurindo Maitelli
DCA-UFRN
INTRODUÇÃO AO
CONTROLE
ROBUSTO
O que é ?
• O projeto de sistemas de controle altamente
precisos na presença de incertezas requer
que o projetista procure um sistema robusto;
• A robustez pode ser na presença de
incertezas, na estabilidade ou no
desempenho.
Incertezas
• O modelo de um processo é sempre inexato em
relação ao sistema físico real devido à:
–
–
–
–
–
–
Mudanças de parâmetros;
Dinâmica não modelada;
Retardos não incluídos no modelo;
Mudanças de pontos de operação;
Ruídos no sensor;
Perturbações imprevisíveis;
• O objetivo do projeto de sistemas de controle
robustos é garantir o desempenho do sistema a
despeito da presença de incertezas consideráveis
sobre o processo a controlar.
Robustez
• A robustez é uma característica desejável de
sistemas de controle por pelo menos duas
razões:
– O sistema deve operar satisfatoriamente, ainda
que em condições de operação distintas
daquelas consideradas no modelo do projeto
(nominal);
– As condições de robustez podem ser utilizadas
com o objetivo de se adotar um modelo de
projeto intencionalmente simplificado, não só
para facilitar a sua análise, como também por
seu impacto sobre a complexidade do
controlador resultante;
Robustez
• Um sistema de controle é robusto quando:
– Apresenta baixa sensibilidade;
– É estável sobre uma faixa de variação de
parâmetros;
– O desempenho continua a atender as
especificações na presença de uma conjunto de
mudanças de parâmetros.
Sensibilidade
• A sensibilidade de uma função a um
parâmetro é dada por :
S T 
1
s
1
s
T1 (s) 
T / T T 

 /   T
1
s
T2 (s) 
1
s   1
S T1  
S T2  
1
s   2
1



1
s
s
s    12



1
s   1
s   1
Robustez de sistemas lineares
com parâmetros incertos
• Muitos sistemas tem alguns parâmetros que
são constantes, mas tem valores incertos
dentro de uma faixa;
• Considere a seguinte equação característica:
(s)  a n s n  a n 1s n 1  a n 2s n 2      a 0  0
Em que:
 i  a i  i
Robustez de sistemas lineares
com parâmetros incertos
• Para assegurar a estabilidade do sistema anterior
devem ser investigados, em princípio, todas as
combinações possíveis de parâmetros;
• Mas o teorema de Kharitonov, diz que é necessário
verificar somente a estabilidade de 4 polinômios:
q1 (s)   0  1s   2 s 2   3s 3   4 s 4   5 s 5    
q 2 (s)   0  1s   2 s 2   3s 3   4 s 4   5 s 5    
q 3 (s)   0  1s   2 s 2   3s 3   4 s 4   5 s 5    
q 4 (s)   0  1s   2 s 2   3s 3   4 s 4   5 s 5    
Exemplo
P(s)  s 3  3s 2  2s  4,5
4  a0  5
1  a1  3
2  a2  4
a3  1
q 1 (s)  4  1s  4s 2  s 3
instável
q 2 (s)  4  3s  4s 2  s 3
estável
q 3 (s)  5  1s  2s 2  s 3
instável
q 4 (s)  5  3s  2s 2  s 3
estável
Análise de Robustez
D(s)
R(s)
E(s)
+
Y(s)
+
Gc(s)
+
G(s)
-
T(s) 
G c (s)G(s)
1  G c (s)G(s)
S(s) 
T / T T G

G / G G T
Gc
T G c (1  G c G)  G c GG c


G
1  G c G 2
1  G c G 2
S(s) 
Gc
1  G c G 2
G
1

Gc
1  G (s)G c (s)
1  G c G 
S(s)  T(s)  1
Análise de Robustez
• O ideal em termos de controle é que
R(s)=Y(s), o que implica em T(s)=1;
• Assim, é importante fazer S(s) pequeno
• Em sistemas fisicamente realizáveis
G(s)Gc(s)→0 para ω→∞, ou seja, S(jω) →1
Análise de Robustez
• Perturbação Aditiva
–
–
–
–
Ga(s) = G(s)+A(s)
Ga(s) → processo nominal
A(s) → perturbação limitada em magnitude
Ga(s) e G(s) tem o mesmo número de pólos à
direita
• Neste caso, a estabilidade do sistema não
será modificada se:
A( j)  1  G( j)
p/ 
Análise de Robustez
• Perturbação Multiplicativa
– Gm(s) = G(s)[1+M(s)]
– M(s) → perturbação limitada em magnitude
– Gm(s) e G(s) tem o mesmo número de pólos à
direita
• Neste caso, a estabilidade do sistema não
será modificada se:
1
M( j)  1 
G( j)
p/ 
Análise de Robustez
• Exemplo
G(s) 
170(s  0.1)
s(s  3)(s 2  10s  10)
Considere uma perturbação multiplicativa:
50
1  M(s) 
s  50
 j
M ( j() 
j  50
s
M (s) 
s  50
Análise de Robustez
Pode não ser estável
Com controlador atraso:
0.15(s  25)
G c (s) 
(s  2.5)
Estabilidade OK
Projeto de Sistemas Robustos
• Duas tarefas:
– Determinar a estrutura do controlador;
– Ajustar os parâmetros do controlador escolhido
• Normalmente o projeto é realizado
considerando o modelo da planta
completamente conhecido;
• O caso ideal é que T(s)=1, ou seja,
Y(s)=R(s), o que é impossível na prática;
• Uma idéia de projeto é manter a curva de
magnitude da resposta em freqüência reta e
perto da unidade para uma grande largura
de banda.
Projeto de Sistemas Robustos
• As diretrizes de projeto são:
– T(s) com grande largura de banda
– Ganho de Gc(s)G(s) grande para minimizar a
sensibilidade