matA11 – geometria no plano e no espaço II
Relações num triângulo retângulo
comp. cateto oposto
comp. cateto adjacente
sin  
cos  
comp. hipotenusa
comp. hipotenusa
tan  
comp. cateto oposto
comp. cateto adjacente
a
b
tan  
b
c
Relações entre razões trigonométricas de um ângulo
sin 
1
1
1
tan  
tan 2   1 
1

sin 2   cos2   1
cos 
cos 2 
tan 2  sin 2 
Razões trigonométricas de alguns ângulos notáveis
Círculo trigonométrico
sin  

30º /

6
a
c
cos  
45º /
Seno
1
2
2
2
Cosseno
3
2
2
2
Tangente
Seno
Cosseno
Tangente

4
60º /

3
3
2
1
2
3
1
3
3
Razões trigonométricas, variação e sinal nos 4 quadrantes
1º quadrante
2º quadrante
3º quadrante
4º quadrante
+
+
–
–
Graus – Radianos
 rad  180º
1 rad  57,2958º
–
–
+
–
+
–
Relações entre razões trigonométricas
sin      sin 
sin       sin 
+
+
sin      sin 


sin      cos 
2

cos     cos 


sin      cos 
2

cos       cos 
 3

sin 
     cos 
 2

cos       cos 
 3

sin 
     cos 
 2



cos      sin 
2

tan      tan 


cos       sin 
2

tan       tan 
 3

cos 
     sin 
 2

tan      tan 
 3

cos 
    sin 
 2

1
 3

tan 
   
2
tan



1
1


 3

tan      
tan 
  
2
tan

2
tan





Função periódica
Uma função f, de domínio Df, diz-se periódica de período T se e só se x  D f , f  x  T   f  x 
1


tan     
2
tan



Equações trigonométricas
cos  x   cos 
sin x  sin 
 x    2k  x      2k , k 
Vetor como diferença de pontos
tan x  tan 
 x    k , k 
 x    2k  x    2k , k 
Norma de um vetor
Se A  a1 , a2 , a3  e B  b1 , b2 , b3  , então
u  u12  u2 2  u32
AB  B  A   b1  a1 , b2  a2 , b3  a3 
AB  medida de AB 
 b1  a1 
2
  b2  a2    b3  a3 
2
2
Soma de um ponto com um vetor (é um ponto)
B  A  u   a1  u1 , a2  u2 , a3  u3 
A  u  B  u  AB
Operações com vetores e propriedades
Adição de vetores (é um vetor)
u  v   u1  v1 , u2  v2 , u3  v3 
É comutativa, associativa, tem elemento neutro e cada vetor tem o seu simétrico.
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matA11 – geometria no plano e no espaço II
Produto de um número real por um vetor (é um vetor)

ku   ku1 , ku2 , ku3 


ku é um vetor colinear com u

 rk  u  r  ku 
k  u  v   ku  kv

u v  v u
Produto escalar de vetores (é um número)

u  v  u v cos  u ^ v   proju v  u1v1  u2 v2  u3v3

u   v  w  u  v  u  w

k   u  v    ku   v

Se u  0 e v  0
u  v  0   u ^ v   90º , vetores perpendiculares

cos  u ^ v  

cos  
u  v  0  0º   u ^ v   90º
u  v  0  90º   u ^ v   180º
u v
u v
u v
u v
, sendo α o ângulo de duas retas de

vetores diretores u e v .
Inclinação e declive de uma reta
Inclinação de uma reta é a amplitude do menor ângulo, medido no sentido positivo, que a reta faz com o semieixo
positivo das abcissas (tomando o semieixo como o lado origem).
O declive de uma reta não vertical, m, corresponde ao valor da tangente trigonométrica da inclinação da reta, α:
m  tan  .
1
Dada uma reta de declive m  m  0  , o declive de uma reta perpendicular, m´, é dado por: m '   .
m
Conjuntos de pontos definidos por condições no plano e no espaço
A mediatriz de um segmento de extremos A e B, de ponto médio M e P  x, y  um ponto, é definida por AB  MP  0

A circunferência de diâmetro [AB], é definida por AP  BP  0 , onde P  x, y  é um ponto da circunferência

A reta tangente a uma circunferência de cento C, no ponto T é definida por CT  TP  0 , onde P  x, y  é um ponto da
reta
O plano mediador de um segmento de extremos A e B, de ponto médio M e P  x, y, z  um ponto, é definido por




AB  MP  0

A circunferência de diâmetro [AB], é definida por AP  BP  0 , onde P  x, y, z  é um ponto da circunferência

A reta tangente a uma circunferência de cento C, no ponto T é definida por CT  TP  0 , onde P  x, y, z  é um ponto
da reta
Planos e retas no espaço
Um plano que passa pelo ponto P   x0 , y0 , z0  e é perpendicular ao vetor n   a, b, c  é definido por

Equação cartesiana: a  x  x0   b  y  yo   c  z  z0   0
Equação geral: ax  by  cz  d  0, com d  ax0  by0  cz0

Equações cartesianas da reta que passa no ponto A   xA , y A , z A  e que tem a direção do vetor  u1 , u2 , u3  , não nulo
x  xA x  y A x  z A


u1
u2
u3






Dois planos são paralelos se os vetores normais são colineares
Dois planos são perpendiculares se os vetores normais são perpendiculares
Uma reta é paralela a um plano se o vetor diretor da reta for perpendicular ao vetor normal do plano
Uma reta é perpendicular a um plano se o vetor diretor da reta for colinear com o vetor normal do plano
Interseção de planos
Dois planos podem ou não intersetar-se. Se os planos se intersetarem, são concorrentes ou coincidentes, se não se
intersetarem são estritamente paralelos
A interseção de três planos pode ser:
Conjunto vazio, se dois planos forem estritamente paralelos ou se se intersetarem dois a dois
Um plano, se os três planos forem coincidentes
Uma reta, se os planos forem concorrentes segundo a mesma reta
Um ponto, se os planos se intersetarem dois a dois segundo retas concorrentes
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