ANÁLISE DE VIBRAÇÕES TORCIONAIS EM PERFURAÇÃO DE POÇOS DE PETRÓLEO
Jorel Lopes Rodrigues dos Anjos
Dissertação
de
Mestrado
apresentada
ao
Programa de Pós-graduação em Engenharia
Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do Rio
de Janeiro, como parte dos requisitos necessários
à obtenção do título de Mestre em Engenharia
Mecânica.
Orientador: Marcelo Amorim Savi
Rio de Janeiro
Novembro de 2013
ANÁLISE DE VIBRAÇÕES TORCIONAIS EM PERFURAÇÃO DE POÇOS DE PETRÓLEO
Jorel Lopes Rodrigues dos Anjos
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA
DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL
DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO
DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.
Examinada por:
________________________________________________
Prof. Marcelo Amorim Savi, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Arthur Martins Barbosa Braga, Ph.D.
________________________________________________
Prof. Anna Carla Monteiro de Araujo, D.Sc.
________________________________________________
Dr. João Carlos Ribeiro Plácido, Ph.D.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
NOVEMBRO DE 2013
Anjos, Jorel Lopes Rodrigues dos
Análise de vibrações torcionais em perfuração de poços
de petróleo/Jorel Lopes Rodrigues dos Anjos. – Rio de
Janeiro: UFRJ/COPPE, 2013.
XIX, 92 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Marcelo Amorim Savi
Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de
Engenharia Mecânica, 2013.
Referências Bibliográficas: p. 88-92.
1. Vibrações Mecânicas. 2. Dinâmica Não-Linear. 3.
Interação Broca-Rocha. I. Savi, Marcelo Amorim. II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa
de Engenharia Mecânica. III. Título.
iii
AGRADECIMENTOS
À PETROBRAS por permitir o aprimoramento da minha capacitação profissional através
deste programa de pós-graduação.
A toda minha família pelo apoio e incentivo incondicional frente aos diversos desafios
da vida. Em especial agradeço à Lygia De Biase por entender e aceitar minha ausência
durante tanto tempo ao longo desenvolvimento deste trabalho.
Ao professor Marcelo Amorim Savi por todos os ensinamentos e incentivos passados ao
longo dos últimos anos, sendo estes fundamentais para minha formação acadêmica e
profissional.
Aos pesquisadores Romulo Aguiar e Slim Hbaieb pelas diversas colaborações ao longo
do desenvolvimento deste trabalho.
Aos professores Marian Wiercigroch e Emmanuel Detournay pelos momentos de
inspiração e colaboração.
À gerência de Perfuração e Completação de Poços do CENPES, pois fiz deste lugar uma
extensão de minha casa e das pessoas uma extensão de minha família.
iv
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
ANÁLISE DE VIBRAÇÕES TORCIONAIS EM PERFURAÇÃO DE POÇOS DE PETRÓLEO
Jorel Lopes Rodrigues dos Anjos
Novembro/2013
Orientador: Marcelo Amorim Savi
Programa: Engenharia Mecânica
Neste trabalho, investiga-se a vibração de colunas de perfuração para poços de
petróleo, que por serem estruturas extremamente esbeltas apresentam carregamentos
dinâmicos bastante amplificados. A descrição do processo de corte de rocha
desempenha um papel dominante na modelagem de uma coluna de perfuração e
usualmente advêm da generalização do processo de interação através de leis de atrito
equivalente. Tal abordagem é contestada por alguns autores e modelos específicos para
corte de rocha encontram-se disponíveis na literatura. Neste trabalho será avaliada a
influência de dois modelos de interação broca-rocha nos modos de vibração axial e
torcional de uma coluna de perfuração: (1) modelo de corte para broca PDC; (2) modelo
de atrito equivalente. Atenção especial é dada ao primeiro modelo, pois este resulta em
um sistema de equações diferenciais com atraso temporal dependente das variáveis de
estado, o que torna a solução do problema uma tarefa complexa. Investigações
numéricas são realizadas no intuito de desenvolver uma análise crítica entre os modelos,
proporcionando uma maior compreensão de diversas características associadas ao
comportamento dinâmico destes sistemas.
v
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
TORSIONAL VIBRATION ANALYSIS OF OIL WELLS DRILL STRINGS
Jorel Lopes Rodrigues dos Anjos
November/2013
Advisor: Marcelo Amorim Savi
Department: Mechanical Engineering
In this work, we investigate drill string vibrations, which can have their dynamic
loads very amplified due to the extreme slenderness of those structures. The description
of the rock cutting process plays a dominant role when modelling a drill string as it
represents the major source of excitation to the system. Usually such relations arise
from the generalization of the bit-rock interaction through equivalent friction laws.
Some authors confront this approach and specific models for rock cutting are available
on literature. In this work, we analyse the influence of two bit-rock interaction model on
the torsional and axial vibration of a drill string: (1) model for rock cutting by PDC bits;
(2) model of equivalent friction. It has been dedicated a special attention to the first
model as its combination with the drill string model results in a system of state
dependent delay differential equations, increasing considerably the complexity of
system and solution techniques. Numerical investigations are carried out in order to
develop a comparative analysis between the models providing a better understanding
of various features associated with the dynamic behaviour of these systems.
vi
SUMÁRIO
1.
INTRODUÇÃO ................................................................................................. 1
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
2.
VIBRAÇÕES EM COLUNAS DE PERFURAÇÃO .................................................................... 2
REVISÃO DE LITERATURA........................................................................................... 3
1.2.1.
Observações experimentais .................................................................... 3
1.2.2.
Modelagem clássica (Lei de atrito equivalente) ..................................... 8
1.2.3.
Modelos de corte .................................................................................. 10
MOTIVAÇÃO ........................................................................................................ 15
OBJETIVO ............................................................................................................ 16
ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO.................................................................................. 17
PERFURAÇÃO ROTATIVA .............................................................................. 19
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
3.
BROCAS COM PARTES MÓVEIS .................................................................................. 21
BROCAS SEM PARTES MÓVEIS................................................................................... 21
COLUNA DE PERFURAÇÃO........................................................................................ 24
PARÂMETROS DE PERFURAÇÃO ................................................................................ 25
INTERAÇÃO BROCA-ROCHA .......................................................................... 28
3.1.
3.2.
4.
MODELO DE CORTE PARA BROCAS PDC ..................................................................... 28
3.1.1.
Modelo de único cortador ..................................................................... 28
3.1.2.
Generalização do modelo para broca PDC ........................................... 31
LEI DE ATRITO EQUIVALENTE .................................................................................... 36
EQUAÇÕES DE GOVERNO ............................................................................. 38
4.1.
4.2.
MODELAGEM DA COLUNA DE PERFURAÇÃO ................................................................ 38
EQUAÇÕES DE MOVIMENTO .................................................................................... 40
4.2.1.
4.3.
4.4.
5.
Conservação da quantidade de movimento ......................................... 41
MODELO DE CORTE PARA BROCA PDC....................................................................... 42
4.3.1.
Adimensionalização do sistema ............................................................ 45
4.3.2.
Critérios de stick-slip e rotação reversa ................................................ 47
4.3.3.
Condições iniciais .................................................................................. 48
4.3.4.
Procedimento de solução ...................................................................... 50
MODELO DE ATRITO EQUIVALENTE ............................................................................ 51
RESULTADOS ................................................................................................ 53
5.1.
MODELO DE CORTE PARA BROCA PDC....................................................................... 53
vii
5.2.
6.
5.1.1.
Validação do modelo ............................................................................ 53
5.1.2.
Análise paramétrica do modelo ............................................................ 56
MODELO DE ATRITO EQUIVALENTE ............................................................................ 79
CONCLUSÃO ................................................................................................. 84
BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................ 88
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 – Layout de produção simplificado. ................................................................ 1
Figura 1.2 – Diagrama esquemático típico de um poço de petróleo. .............................. 2
Figura 1.3 – Tipos de vibração de uma coluna de perfuração. Adaptado de FRANCA
(2004)................................................................................................................................ 3
Figura 1.4 – Torque x rotação em função do peso sobre broca. Adaptado de BRETT
(1992)................................................................................................................................ 5
Figura 1.5 – Stick-slip causado por aumento de peso sobre broca. Adaptado de RICHARD
(2001)................................................................................................................................ 5
Figura 1.6 – Redução do stick-slip com aumento das rotações de superfície de 100 para
130 rpm. Adaptado de RICHARD (2001)........................................................................... 6
Figura 1.7 – Eliminação do stick-slip e incremento nas acelerações laterais com redução
do peso. Adaptado de RICHARD (2001). .......................................................................... 6
Figura 1.8 – Espectro de amplitude para velocidade angular Ω e o torque durante stickslip. (RICHARD, 2001). ...................................................................................................... 7
Figura 1.9 – Mapa de estabilidade da solução em função do peso e rotação do sistema
(FRANCA, 2004). ............................................................................................................... 9
Figura 1.10 – Ensaio de um cortador não confinado (SCHEI et al., 2000)...................... 11
Figura 1.11 – Aparato esquemático de um ensaio de único cortador. Adaptado de
RAJABOV (2010).............................................................................................................. 12
Figura 1.12 – Principais modos de falha observados durante ensaios de único cortador,
identificados em diferente níveis de profundidade de corte. Adaptado de RICHARD et al.
(1998).............................................................................................................................. 13
Figura 1.13 – Modo de falha dúctil e frágil em rocha durante scratch test (SCHEI et al.,
2000). .............................................................................................................................. 13
Figura 1.14 – Modelo de corte para usinagem. Adaptado de INSPERGER et al. (2006). 14
Figura 1.15 – (a) Vista de topo com duas lâminas consecutivas. (b) Vista radial da lâmina
2, no momento em que esta atinge a posição angular ocupada pela lâmina 1. Adaptado
de RICHARD (2001). ........................................................................................................ 14
Figura 2.1 – Diagrama esquemático de um sistema de perfuração rotativa. Adaptado de
ENCYCLOPAEDIA BRITANNICA ONLINE. ......................................................................... 19
ix
Figura 2.2 – Esquema geral de uma coluna de perfuração. Adaptado de RICHARD (2001).
........................................................................................................................................ 20
Figura 2.3 – Broca tricônica (SCHLUMBERGER, 2012). ................................................... 21
Figura 2.4 – Broca PDC. Adaptado de NORTHBASIN (2012)........................................... 22
Figura 2.5 – Exposição e ângulo de ataque do cortador. Adaptado de BESSON et al.
(2000).............................................................................................................................. 23
Figura 2.6 – Ângulo de saída lateral do cortador. Adaptado de BESSON et al. (2000). . 23
Figura 2.7 – Influência da exposição do cortador na geração de cascalho. Adaptado de
HUANG e IVERSEN (1981). .............................................................................................. 24
Figura 2.8 – Ilustração dos tubos de perfuração e dos comandos. Adaptado de
DIRECTIONAL DRILLING TECHNOLOGY. .......................................................................... 25
Figura 2.9 – Parâmetros de perfuração observados em campo. ................................... 27
Figura 3.1 – Forças agindo em um cortador: (a) afiado e (b) cego (HOFFMANN, 2006).
........................................................................................................................................ 29
Figura 3.2 – Espado das respostas admissíveis para modelo de interação cortador-rocha
(ADACHI et al., 1996). ..................................................................................................... 30
Figura 3.3 – Diagrama ℰ–
para modelo de único cortador (ADACHI et al., 1996). .... 31
Figura 3.4 – Representação da aresta e área de corte. Adaptado de BESSON et al. (2000)
e GERMAY (2002). .......................................................................................................... 32
Figura 3.5 – Distribuição das forças de atrito ao longo do perfil da broca. ................... 33
Figura 3.6 – Esquema de broca simétrica de 4 lâminas. Adaptado de RICHARD (2001).
........................................................................................................................................ 34
Figura 3.7 – Diagrama ℰ − teórico para modelo de broca equivalente (RICHARD, 2001).
........................................................................................................................................ 35
Figura 3.8 – Lei de decaimento exponencial para o conjunto de parâmetros:
= 1,
= 0,2 e Ω = 2. ......................................................................................................... 36
Figura 3.9 – Representação da formação como uma base elástica. Adaptado de RICHARD
(2001) e GERMAY (2002). ............................................................................................... 37
Figura 4.1 – Modelo discreto da coluna de perfuração. Adaptado de NANDAKUMAR e
WIERCIGROCH (2013). .................................................................................................... 40
x
Figura 4.2 – Representação de duas lâminas sucessivas. A intersecção entre a rocha e a
face de corte na lâmina 2, equivale a área escura na figura e sua espessura representa a
profundidade de corte
(RICHARD, 2001). ................................................................. 43
Figura 4.3 – Ilustração da perda de contato entre a base do cortador e a rocha (RICHARD,
2001). .............................................................................................................................. 44
Figura 4.4 – Regiões temporais de solução. ................................................................... 48
Figura 4.5 - Estratégia de solução do problema. ............................................................ 50
Figura 4.6 – Algoritmo de solução do modelo. .............................................................. 51
Figura 5.1 – Modelo discreto da coluna (RICHARD, 2001). ............................................ 53
Figura 5.2 – Velocidade angular: (Azul) Modelo presente e (Preto) (RICHARD, 2001). . 54
Figura 5.3 – Profundidade de corte e velocidade angular: (a) Modelo presente e (b)
(RICHARD, 2001). ............................................................................................................ 54
Figura 5.4 – Evolução da resposta média da profundidade de corte com a velocidade
angular : (a) Modelo presente e (b) (RICHARD, 2001). ............................................. 55
Figura 5.5 – Diagrama ℰ – da resposta média do sistema: (a) Modelo presente e (b)
(RICHARD, 2001). ............................................................................................................ 56
Figura 5.6 – Rotação e velocidade axial x tempo adimensional. ................................... 58
Figura 5.7 – Espaço de fase torcional e axial. ................................................................. 58
Figura 5.8 – Redução do índice de vibrações torcionais em função do número de ciclos
m. .................................................................................................................................... 59
Figura 5.9 – Índice de perda de contato Γ...................................................................... 59
Figura 5.10 – Profundidade de corte
e delay
ao longo do tempo. ........................ 59
Figura 5.11 – Torque e peso sobre broca ao longo do tempo. ...................................... 60
Figura 5.12 – Rotação e velocidade axial x tempo adimensional ( =
Figura 5.13 – Espaço de fase torcional e axial ( =
=
=
= 0). ..... 60
= 0). ................................... 61
Figura 5.14 – Aumento do índice de vibrações torcionais com o número de ciclos m ( =
= = 0). .................................................................................................................... 61
Figura 5.15 – Índice de perda de contato Γ ( =
=
= 0). ...................................... 61
Figura 5.16 – Comportamento da defasagem em regiões de stick-slip. ........................ 62
xi
Figura 5.17 – Rotação e velocidade axial x tempo adimensional ( =
= 0). ............. 62
Figura 5.18 – Influência da velocidade angular no índice de vibrações torcionais. ....... 63
= 22). ............................................. 63
Figura 5.19 – Espaço de fase torcional e axial (
Figura 5.20 – Mapa de severidade torcional. ................................................................. 64
Figura 5.21 – Superfície de severidade torcional. .......................................................... 65
Figura 5.22 – Índice de perda de contato....................................................................... 65
Figura 5.23 – Evolução do torque médio com as rotações ( = 0,36). ........................ 66
Figura 5.24 – Comparação entre a solução de NANDAKUMAR e WIERCIGROCH (2013) e
mapa de severidade à vibrações torcionais ( = 0,745). .............................................. 67
Figura 5.25 – Ocorrência de stick-slip na fase axial ( = 0,745,
= 2,5 e
= 1,373).
........................................................................................................................................ 68
Figura 5.26 – Ocorrência de stick-slip na fase axial e torcional simultaneamente
( = 0,745,
= 2,5 e
= 1,373). ......................................................................... 68
Figura 5.27 – Mapa de estabilidade torcional ( = 3,04). ............................................. 69
Figura 5.28 – Índice de perda de contato ( = 3,04). ................................................... 69
=5e
Figura 5.29 – Índice de vibrações torcionais (
Figura 5.30 – Evolução do torque médio pelas rotações (
Figura 5.31 – Evolução do torque médio pelas rotações (
= 3,04). ............................. 70
=5e
= 11 e
= 3,04). .......... 70
= 3,04). ........ 71
Figura 5.32 – Mapa de estabilidade torcional para um range estendido de parâmetros
( = 3,04). ...................................................................................................................... 72
Figura 5.33 – Transição entre stick-slip e bit-bounce ( = 3,04,
= 18 e
= 24).
........................................................................................................................................ 72
Figura 5.34 – Variação do espaço de fase ao longo da profundidade. .......................... 74
Figura 5.35 – Variação do espaço de fase em função da resistência da rocha. ............. 75
Figura 5.36 – Influência de " na estabilidade do sistema ( = 3,04,
Figura 5.37 – Diagrama de bifurcação axial ( #
= 8). ........... 76
). .................................................. 77
Figura 5.38 – Diagrama de bifurcação torcional ( #
)............................................ 77
= 7,6)............................................ 78
Figura 5.39 – Espaço de fase torcional e axial (
xii
Figura 5.40 – Espaço de fase #$ (
=7,6). ............................................................... 78
Figura 5.41 – Amortecimento retratado pela história no tempo da rotação e velocidade
axial. ................................................................................................................................ 79
Figura 5.42 – Espaço de fase torcional e axial: (Topo) Modelo de atrito equivalente.
(Base) Modelo de corte para brocas PDC....................................................................... 80
Figura 5.43 – Índice de vibrações torcionais x número de ciclos m. .............................. 80
Figura 5.44 – Influência da velocidade angular no sls. ................................................... 81
= 4). ............................................... 81
Figura 5.45 – Espaço de fase torcional e axial (
Figura 5.46 – Mapa de severidade torcional ( = 0,021).............................................. 82
Figura 5.47 – Superfície de severidade torcional. .......................................................... 82
Figura 5.48 – Mapa de severidade torcional ( = 3,04). ............................................... 83
Figura 5.49 – Superfície de severidade torcional. .......................................................... 83
xiii
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 – Dimensões típicas de campo (RICHARD, 2001). ........................................ 20
Tabela 4.1 – Dimensões típicas, módulo de cisalhamento/elasticidade e densidade dos
tubos de perfuração e BHA. ........................................................................................... 40
Tabela 4.2 – Resumo dos modos de interação. Adaptado de HOFFMANN (2006)........ 44
Tabela 4.3 – Parâmetros do sistema dimensional. ........................................................ 45
Tabela 4.4 – Parâmetros do sistema adimensional........................................................ 46
Tabela 5.1 – Parâmetros utilizados do modelo. ............................................................. 54
Tabela 5.2 – Parâmetros utilizados para obtenção da resposta média do modelo....... 55
Tabela 5.3 – Parâmetros base do modelo. ..................................................................... 57
Tabela 5.4 – Parâmetros do modelo variando o comprimento dos tubos de perfuração
%&. ................................................................................................................................... 73
Tabela 5.5 – Parâmetros do modelo variando a resistência da rocha '. ....................... 75
Tabela 5.6 – Parâmetros base do modelo. ..................................................................... 76
Tabela 5.7 – Parâmetros base do modelo. ..................................................................... 79
Tabela 5.8 – Parâmetros extras para definição dos forçamentos ( e
xiv
. ..................... 79
LISTA DE SÍMBOLOS
)
*
*+
,
Raio dimensional da broca
Projeção da área de corte na direção vertical
Área da seção transversal dos tubos de perfuração
Ângulo que caracteriza o perfil geométrico da broca
Parâmetro adimensional influenciado pela geometria da broca
-*
./
.0
Relação entre as frequências naturais axial e torcional
Conjunto de fundo de poço (Bottom Hole Assembly)
Amortecimento estrutural axial dos tubos de perfuração
Amortecimento estrutural torcional dos tubos de perfuração
Profundidade de corte equivalente para toda a broca
1
2
334
5
5
4
'
ℰ
6
78
79
7:
71
Profundidade de corte para cada aleta da broca
Profundidade de corte em condições de ausência de vibrações
Equações diferenciais com atraso temporal (Delay Differential Equations)
Deslocamento devido ao peso próprio
Profundidade de corte adimensional
Passo de integração
Módulo de elasticidade do material que compõe os tubos de perfuração
Energia intrínseca específica
Energia específica de perfuração
Indicativo da eficiência da broca
Forças de corte atuando no cortador (vetorial)
Forças de atrito atuando no cortador (vetorial)
Somatório das corças de corte na direção perpendicular ao corte
Somatório das corças de corte na direção normal ao corte
xv
2
9
;
<
=
>
-
-? @
A
AB
A+
CB
C+
D/
DE
D0
F
%∗
%B
%+
H
HB
Constante de atrito para o modelo de atrito equivalente
Constante de atrito para o modelo de atrito equivalente
Aceleração da gravidade
Módulo de cisalhamento do material que compõe os tubos de perfuração
Parâmetro adimensional que engloba a influência da geometria da broca
nos esforços
Índice de perda de contato entre a área de desgaste dos cortadores e a
rocha
Força de sustentação axial da coluna de perfuração
Função degrau
Inércia do sistema
Inércia do BHA
Inércia dos tubos de perfuração
Momento polar de inércia do BHA
Momento polar de inércia dos tubos de perfuração
Rigidez axial dos tubos de perfuração
Rigidez da base elástica
Rigidez torcional dos tubos de perfuração
Parâmetro adimensional proporcional ao amortecimento torcional da
coluna
Comprimento de desgaste de cada cortador
Comprimento de referência para adimensionalização
Comprimento do BHA
Comprimento da coluna de tubos de perfuração
Parâmetro adimensional influenciado pelo desgaste dos cortadores
Massa do sistema
Massa do BHA
xvi
H+
I
J
J8
J2
Massa dos tubos de perfuração
Coeficiente de atrito
Número de aletas da broca
Velocidade angular
Velocidade angular característica do decaimento para o modelo de atrito
equivalente
Velocidade angular na condição de ausência de vibrações
Velocidade angular adimensional
8
2
K3.
L
M
M2
M:
"
NBO
NBO
NB2
NB2
P
PB
Q2 R2
Velocidade angular adimensional característica do decaimento para o
modelo de atrito equivalente
Velocidade angular adimensional na condição de ausência de vibrações
Compacto de diamante policristalino (Polycrystalline Diamond Compact)
Perturbação adimensional da posição angular em relação à condição de
ausência de vibrações
Posição angular da broca
Posição angular da broca na ausência de vibrações
Diferença entre a posição angular de superfície e da broca em condições
de ausência de vibrações
Parâmetro adimensional que relaciona características da broca, rocha e
da coluna de perfuração
Raio interno do BHA
Raio interno dos tubos de perfuração
Raio externo do BHA
Raio externo dos tubos de perfuração
Coordenada radial adimensional
Densidade do material que compõe o BHA
Amplitude adimensional das irregularidades de fundo de poço
Amplitude das irregularidades de fundo de poço
xvii
QFQ
Q; ? @
S
T
T8
T9
T2
TU
Índice de severidade à vibrações torcionais
Função sinal
Tensão normal na base dos cortadores no momento do corte
Resistência à perfuração
Torque na broca
Parcela de corte do torque na broca
Parcela de atrito do torque na broca
Torque na broca em condições de ausência de vibrações
Torque na broca no momento de stick
Tempo dimensional
∗
1
12
(
(8
(9
(2
(U
Tempo de referência para adimensionalização
Defasagem temporal do sistema
Defasagem do sistema em condições de ausência de vibrações
Torque adimensional na broca
Parcela adimensional de corte do torque na broca
Parcela adimensional de atrito do torque na broca
Torque na broca adimensional em condições de ausência de vibrações
Torque na broca adimensional no momento de stick
Tempo adimensional
1
U
V
U
W
U
X
Y
YZ
Defasagem temporal adimensional do sistema
Tempo adimensional no momento de stick
Tempo adimensional imediatamente antes a broca entrar na fase de stick
Tempo adimensional imediatamente após a broca sair da fase de stick
Ângulo de ataque do cortador
Posição axial em relação à configuração deformada pelo peso próprio
Posição axial da coluna em relação à configuração indeformada da coluna
xviii
Y2
$
$2
[2
\
]
]8
]9
]2
Posição axial na condição de ausência de vibrações
Velocidade linear adimensional
Velocidade linear adimensional na condição de ausência de vibrações
Velocidade linear de superfície
Largura dos cortadores
Peso sobre broca
Parcela de corte do peso sobre broca
Parcela de atrito do peso sobre broca
Peso sobre broca em condição de ausência de vibrações
Peso sobre broca adimensional
8
9
2
#
^
^
_
Parcela adimensional de corte do peso sobre broca
Parcela adimensional de atrito do peso sobre broca
Peso sobre broca adimensional em condição de ausência de vibrações
Perturbação adimensional do deslocamento axial em relação à condição
de ausência de vibrações
Perturbação do deslocamento axial em relação à condição de ausência de
vibrações
Perturbação inicial da velocidade angular
Relação entre a componente horizontal e vertical da força de corte
Parâmetro adimensional proporcional ao amortecimento axial da coluna
xix
1. INTRODUÇÃO
O desenvolvimento de um campo de petróleo, desde sua descoberta à produção, é um
processo extremamente multidisciplinar que envolve as mais diversas engenharias e
geociências. Para tal, é possível destacar os seguintes macroprocessos:
•
Estudo sísmico para identificação das estruturas geológicas;
•
Definição das locações onde serão perfurados os poços;
•
Perfuração de poços exploratórios/desenvolvimento;
•
Definição de um layout de produção;
•
Produção dos poços.
A Figura 1.1 apresenta um desenho esquemático de produção de um campo de petróleo
offshore, onde é observado o traçado dos diversos poços acessando as rochas
reservatório.
Figura 1.1 – Layout de produção simplificado.
Neste trabalho, investiga-se a vibração de colunas de perfuração. Esse tema é pertinente
à área de construção de poços pois para atingir os objetivos do prospecto é necessária
a perfuração de rochas que compõem o subsolo. Tal processo ocorre em fases, onde a
perfuração é iniciada com um determinado diâmetro e a cada fase este diâmetro é
reduzido, gerando um perfil telescópico do poço (Figura 1.2). O tamanho de cada uma
das fases segue a critérios específicos, conforme pode ser visto nas seguintes
referências: ADAMS (1985), BOURGOYNE et al. (1986), ECONOMIDES et al. (1998) e
ROCHA et al. (2007).
1
Figura 1.2 – Diagrama esquemático típico de um poço de petróleo.
1.1. VIBRAÇÕES EM COLUNAS DE PERFURAÇÃO
Uma coluna de perfuração é constituída pela conexão de diversos elementos tubulares
a uma ferramenta de corte em sua extremidade final. Para construção de poços
profundos, tal coluna possui diversos quilômetros de profundidade por apenas algumas
polegadas de diâmetro, sendo assim estruturas extremamente esbeltas.
Um sistema de perfuração rotativo naturalmente tende a apresentar comportamento
oscilatório, entretanto, devido à grande esbeltez da coluna, os carregamentos dinâmicos
associados às vibrações podem ser muito amplificados. Tais cenários podem ser bem
comportados, com o sistema convergindo para respostas periódicas ou até mesmo
apresentando resposta caótica (FRANCA, 2004; DIVENYI et al., 2006; DIVENYI, 2009; LIU
et al., 2012).
As vibrações em colunas de perfuração podem ser divididas em três modos principais,
que podem ocorrer inclusive de forma acoplada: vibrações axiais, torcionais e laterais.
A depender dos parâmetros do sistema, essas oscilações podem degenerar e atingir sua
forma mais severa, onde um padrão complexo de vibrações se desenvolve, resultando
em grandes amplitudes de deslocamento e forças de contato. Estas vibrações, em sua
forma severa, são conhecidas como bit-bounce, stick-slip e whirl e são descritas pela
Figura 1.3.
2
Figura 1.3 – Tipos de vibração de uma coluna de perfuração. Adaptado de FRANCA (2004).
Nesses cenários, grande parte da energia disponível na broca é dissipada pelas
vibrações, ocasionando dano à coluna de perfuração, desgaste prematuro da estrutura
de corte da broca e decréscimo na eficiência da perfuração.
Como o processo de perfuração representa um sistema físico extremamente não linear,
a existência de um tipo de vibração pode desencadear o aparecimento de outras formas
de vibração, e a abordagem do problema acoplado se faz necessária para avaliação e
controle de uma operação de perfuração.
1.2. REVISÃO DE LITERATURA
O desenvolvimento de pesquisas em vibração de colunas de perfuração remete ao início
dos anos 60, onde foram feitas as primeiras análises modais da estrutura como um
sistema contínuo (BAILEY et al., 1960). A avaliação da vibração era feita através dos
sensores de superfície, capazes de medir as forças e deslocamentos do topo da coluna.
Entretanto, devido à grande elasticidade da coluna, as oscilações eram bastante
atenuadas, impossibilitando muitas vezes a correta avaliação das vibrações junto à
broca (DYKSTRA et al., 1994; PAVONE e DESPLANS, 1994).
1.2.1. Observações experimentais
Após o advento dos sensores de fundo, tornou-se possível uma boa caracterização das
forças de excitação envolvidas no processo de perfuração, inclusive a identificação das
formas severas de vibrações em colunas, como conhecemos hoje: bit-bounce, stick-slip
e whirl.
3
DEILY et al. (apud LEINE, 1997) apresentou resultados de uma ferramenta de medição
de forças e acelerações em condições de fundo de poço. Através da interpretação destes
dados foram identificadas grandes variações no peso sobre broca indicando, para alguns
trechos, a perda de contato da broca com a formação. Este fenômeno foi então definido
como bit-bounce.
CUNNINGHAM (apud LEINE, 1997) utilizando a ferramenta de medição desenvolvida
pela Esso Research Company (DEILY et al., 1968apudLEINE 1997), analisou dados de
fundo para poços verticais. Neste trabalho foi definido um “fenômeno de batimento
angular” como a alternância entre trechos de alta rotação da broca seguidos por trechos
de rotação praticamente nula. Tais constatações representam as primeiras observações
do fenômeno de stick-slip em colunas de perfuração (LEINE, 1997). Também foi
destacado que este fenômeno era mais provável de ocorrer para baixas rotações.
Nos anos 80 foi possível verificar que oscilações do tipo stick-slip eram responsáveis pela
grande variação nas rotações da broca a partir do entendimento das vibrações torcionais
auto-excitadas (DAWSON et al., 1987apudLIN e WANG, 1990). Diversos autores
observaram experimentalmente a existência de uma relação decrescente entre o torque
e a velocidade angular (CHEATHANM e LOEB, 1985; BRETT, 1992; DYKSTRA et al., 1994;
PAVONE e DESPLANS, 1994). Tal relação foi assumida como propriedade intrínseca da
interação broca-rocha, e sua aplicação na modelagem do problema fundamentou o
conceito de vibrações torcionais auto-excitadas em colunas de perfuração
(BELOKOBYL'SKII e PROKOPOV, 1982; DAWSON et al., 1987; KYLLINGSTAD e HALSEY,
1988; LIN e WANG, 1990).
BRETT (1992) avaliou experimentalmente o comportamento de interação broca-rocha
através de testes em escala real realizados sob controle de peso sobre broca (servo
controlled). A relação de decaimento entre torque e velocidade angular foi observada
com boa definição, como apresentado na Figura 1.4.
4
Carbonato Bedford
] = 10aFb
350 gpm @ 1100 psi
] = 9aFb
] = 6aFb
] = 3aFb
Velocidade angular (rpm)
Velocidade angular (rpm)
Figura 1.4 – Torque x rotação em função do peso sobre broca. Adaptado de BRETT (1992).
As ocorrências de vibrações do tipo stick-slip são usualmente reportadas em condições
de alto peso sobre broca (]), baixas rotações (Ω) e perfurando rochas duras (DEILY et
al., 1968apudLEINE, 1997; CUNNINGHAM, 1968apudLEINE, 1997; DUFEYTE et al., 1991;
BRETT, 1992; PAVONE e DESPLANS , 1994), de forma que, tanto a redução do peso sobre
broca como o aumento das rotações, são estratégias comuns para a mitigação destas
oscilações.
RICHARD (2001) publicou resultados de fundo de poço, cedidos pela empresa SecurityDBS, onde é possível observar a influência do peso sobre broca e da rotação no
desenvolvimento/amortecimento das oscilações do tipo stick-slip. Na Figura 1.5 é
verificado que o aumento do peso sobre broca induziu a amplificação das vibrações até
a ocorrência de stick-slip. Além disso, observa-se a resposta característica desta
vibração, onde por um tempo finito a broca encontra-se parada e em sequência gira
com velocidade de duas a três vezes a rotação imposta em superfície (CUNNINGHAM,
1968apudLEINE 1997). Pela Figura 1.6, observa-se a saída do regime de vibrações
severas com um aumento das rotações de superfície.
Figura 1.5 – Stick-slip causado por aumento de peso sobre broca. Adaptado de RICHARD (2001).
5
Figura 1.6 – Redução do stick-slip com aumento das rotações de superfície de 100 para 130 rpm.
Adaptado de RICHARD (2001).
Embora o controle destes parâmetros possa amenizar as vibrações torcionais, seu
incremento/decremento de forma indiscriminada pode desencadear outras formas de
vibrações da coluna (DYKSTRA et al., 1994). Como visto na Figura 1.7, a redução do peso
sobre broca anula a ocorrência de stick-slip, no entanto, o nível de aceleração lateral
aumenta bastante, podendo evoluir e degenerar em um padrão de vibrações laterais
severas.
Aceleração lateral (g)
Figura 1.7 – Eliminação do stick-slip e incremento nas acelerações laterais com redução do peso.
Adaptado de RICHARD (2001).
Pela interpretação das medições de fundo (acelerações de pontos específicos da coluna
de perfuração) é observado que a frequência de vibração torcional, durante eventos de
stick-slip, é ligeiramente menor que a primeira frequência natural da coluna em torção
(BRETT, 1992; PAVONE e DESPLANS, 1994; RICHARD, 2001). Além disso, análises dos
espectros de amplitudes das variáveis de fundo revelam a predominância de apenas
uma frequência para o sinal das rotações, enquanto que para as forças um espectro bem
mais distribuído é observado. A Figura 1.8 mostra essa relação para as rotações e o
torque de fundo.
6
Figura 1.8 – Espectro de amplitude para velocidade angular Ω e o torque durante stick-slip.
(RICHARD, 2001).
Resumindo as observações experimentais é possível listar as principais características
das vibrações torcionais do tipo stick-slip:
1. Grande variação da rotação de fundo, onde por um tempo finito a broca
encontra-se parada e em sequência gira com velocidade de duas a três vezes a
rotação imposta em superfície;
2. O aumento do peso sobre broca e/ou redução das rotações pode induzir o
desenvolvimento de vibrações torcionais severas. Assim como o inverso tende a
eliminar tais oscilações.
3. Vibrações do tipo stick-slip estão mais associadas às brocas PDC, com desgastes
na estrutura de corte e durante a perfuração de rochas duras;
4. Brocas caracterizadas com relação decrescente entre torque e velocidade
angular estão mais susceptíveis a stick-slip;
5. Existência de uma velocidade limite da qual, para rotações superiores, oscilações
torcionais severas não são mais observadas;
6. A frequência de vibração durante o stick-slip é ligeiramente menor que o
primeiro modo natural de vibração da coluna em torção;
7
7. O espectro de amplitude das forças apresenta um sinal bastante rico e não se
limita às frequências de vibrações da coluna;
8. Vibrações do tipo stick-slip são inversamente relacionadas às vibrações laterais.
Desta forma, qualquer modelagem proposta para vibrações torcionais deve ser capaz
de reproduzir as características listadas acima.
1.2.2. Modelagem clássica (Lei de atrito equivalente)
Para a grande maioria dos autores, a coluna de perfuração é representada por um
sistema oscilatório discreto, do tipo massa-mola, e utilizando uma relação de
decaimento do torque pelas rotações como condição de contorno junto à broca (Figura
1.4) (BELOKOBYL'SKII e PROKOPV, 1982; DAWSON et al., 1987apudLIN e WANG, 1990;
KYLLINGSTAD e HALSEY, 1988; LIN e WANG, 1990; BRETT, 1992; PAVONE e DESPLANS,
1994; FRANCA, 2004). Tal relação corresponde à lei de interação broca-rocha e possui
papel de extrema importância, pois resume a contribuição das forças de interação de
cada cortador a uma equação média para toda a broca, representando assim, as
chamadas leis de atrito equivalente. O tipo de função escolhida para representar estas
leis advém de observações experimentais da relação entre os esforços na broca com a
rotação aplicada. A forma destas funções possui papel essencial no desenvolvimento
das vibrações tipo stick-slip, sendo reportada por diversos autores como uma relação de
decaimento exponencial, onde sua caracterização depende de ajuste de dados
experimentais (DEILY et al., 1968apudLEINE, 1997; BELOKOBYL'SKII e PROKOPOV, 1982;
LIN e WANG, 1990; PAVONE e DESPLANS, 1994). Esta característica de decaimento atua
como um amortecimento negativo, sendo responsável pelo aumento nas oscilações de
fundo que por fim degeneram a resposta do sistema a um padrão de vibrações do tipo
stick-slip (DAWSON et al., 1987apudLIN e WANG, 1990; LIN e WANG, 1990; PAVONE e
DESPLANS, 1994; RICHARD, 2001; RICHARD et al., 2007). Definindo I como o coeficiente
de atrito e $ a velocidade relativa entre duas superfícies em contato, a relação
c[I]/c[$] < 0 é uma condição essencial para o desenvolvimento de instabilidades em
torno da solução trivial do sistema (RICHARD et al., 2007; SINGIRESU, 2009, cap. 3).
A influência dos diversos parâmetros do modelo é usualmente avaliada através de
diagramas de estabilidade computados a partir dos autovalores do sistema linearizado
8
em torno da solução em regime permanente (PAVONE e DESPLANS, 1994; FRANCA,
2004). A Figura 1.9 apresenta um mapa de estabilidade para os parâmetros de controle
][ah]
e é avaliada a influência do amortecimento torcional (gama) na resposta do sistema.
Figura 1.9 – Mapa de estabilidade da solução em função do peso e rotação do sistema (FRANCA, 2004).
A utilização de leis de atrito equivalente possibilita a simplificação do sistema,
permitindo que fenômenos complexos, como por exemplo, o bit-bounce, possam mais
facilmente ser avaliados. Diversos autores analisaram sistemas não-suaves através da
suavização das equações dinâmicas, idealizando regiões de transição para as equações
específicas, permitindo que o sistema seja tratado como contínuo em todo seu domínio
(LEINE, 2000; WIERCIGROCH, 2000; SAVI et al., 2007; DIVENYI et al., 2007). Sistemas
deste tipo podem apresentar bifurcações do tipo grazing, características do fenômeno
de bit-bounce, e uma dinâmica bastante complexa pode se desenvolver, inclusive de
forma caótica (DIVENYI, 2009; DIVENYI et al., 2012).
Hipóteses simplificadoras do modelo de atrito equivalente: A principal hipótese
simplificadora para a modelagem de vibração de colunas de perfuração recai sobre a
relação que governa o problema de vibrações torcionais: a interação broca-rocha. Nesta
abordagem a relação de decaimento do torque pelas rotações é assumida como uma
propriedade constitutiva do sistema broca-rocha. Entretanto, esse efeito não é
observado durante testes realizados na escala de apenas um cortador (single cutter
test), onde a velocidade interfacial entre o cortador e a rocha aparentemente não afeta
as forças de reação no mesmo, sendo estes considerados insensíveis à velocidade de
corte (DETOURNAY e DEFOURNY, 1992; ADACHI et al., 1996; RICHARD et al., 1998). Além
9
disso, sob mesmas condições de perfuração, a relação de decaimento do torque com as
rotações varia de acordo com a geometria da broca, com algumas brocas consideradas
insensíveis à rotação.
RICHARD (2001) ao comentar as hipóteses simplificadoras desses modelos escreveu: “Se
a relação de decaimento é, na verdade, uma propriedade constitutiva da interface
broca-rocha, esta não pode ser afetada pela geometria da broca, já que a única
dimensão que caracteriza as propriedades geométricas da broca (perfil, raio, densidade
de cortadores, comprimento do chanfro) é a dimensão de comprimento” (RICHARD,
2001, tradução nossa).
Desta forma, a modelagem clássica assume que a resposta dinâmica oriunda da
interação entre duas estruturas complexas, envolvendo processos dissipativos
referentes ao corte da rocha e atrito dos cortadores, pode ser reduzida a um uma lei de
atrito equivalente considerada uma propriedade constitutiva do sistema.
1.2.3. Modelos de corte
No intuito de superar as limitações oriundas das leis de atrito equivalente, a modelagem
da interação broca-rocha necessita descrever o processo de corte de maneira mais
realista. Como um ponto de partida, diversos autores fundamentaram os modelos no
comportamento de interação entre um único cortador e rocha, e posteriormente
generalizaram o conceito à broca (GLOWKA, 1987; DETOURNAY e DEFOURNY, 1992;
RICHARD, 2001; GERMAY, 2002; GERBAUD et al., 2006; DETOURNAY et al., 2008). A
descrição das forças em um cortador são classicamente reportadas em trabalhos da área
de usinagem (GRABEC, 1986; WANG et al., 2006; INSPERGER et al., 2006; LITAK et al.,
2009), de forma que a modelagem da interação cortador rocha pode ser interpretada
como uma adaptação destes estudos.
A Figura 1.10 apresenta um equipamento projetado para avaliar algumas propriedades
da rocha através da quantificação das forças atuantes nos cortadores. Esta técnica
usualmente é conhecida como scratch test (ADACHI et al., 1996; RICHARD et al., 1998;
SCHEI et al., 2000; RICHARD, et al., 2012), e tecnologia muito similar balizou os primeiros
estudos de interação dos cortadores e rocha (GLOWKA, 1987).
10
Figura 1.10 – Ensaio de um cortador não confinado (SCHEI et al., 2000).
GLOWKA (1987) identificou os principais parâmetros que influenciam nas forças nos
cortadores: tipo de rocha, orientação do cortador, desgaste do cortador, posição na
broca, estado de tensões da rocha e tipo de fluido de perfuração. Além disso, destacouse que a área da seção transversal de rocha removida por cada cortador é o parâmetro
mais relevante na caracterização das forças de interação, como é feito também nas
operações de usinagem.
Observa-se que grande parte dessas condições podem ser reproduzidas em laboratório
utilizando uma ferramenta de usinagem adaptada e amostras de rocha. Neste sentido,
diversos trabalhos experimentais foram realizados com intuito de caracterizar as forças
de reação envolvidas em ensaios de cortador único (GLOWKA, 1987; ADACHI et al.,
1996; RICHARD, et al., 1998; SCHEI, 2000; GERBAUD et al., 2006; RAJABOV, 2010). Tais
ensaios consistem em utilizar um cortador PDC para “riscar” uma amostra de rocha a
uma profundidade de corte e velocidade de corte constantes. Através da medição das
forças normais e tangenciais aplicadas no cortador, para várias profundidades de corte,
é possível caracterizar sua interação com a rocha. Estes ensaios podem ser feitos com
amostras confinadas e não confinadas. Entretanto, esta escolha impacta drasticamente
na especificação do equipamento para o teste já que o ensaio confinado envolve o
acoplamento de um vaso de pressão capaz de aplicar elevadas pressões hidrostáticas na
rocha. A Figura 1.11 apresenta um aparato de teste com confinamento, onde é
observado o cortador agido em uma amostra circular de rocha confinada. De maneira
semelhante ao ensaio desconfinado, as forças de reação no cortador são medidas e
relacionadas às profundidades de corte, no entanto, é possível avaliar a influência da
pressão de confinamento no processo de corte.
11
Conexão do cortador
Vaso de pressão
Único cortador
Força na
direção vertical
Perfil do corte
Força na
direção
tangencial
Força na
direção radial
Direção do corte
Amostra de
rocha
Sistema rotativo
Figura 1.11 – Aparato esquemático de um ensaio de único cortador. Adaptado de RAJABOV (2010).
DETOURNAY e DEFOURNY (1992) abordaram o problema de interação broca-rocha sob
a hipótese de que as forças de reação nos cortadores eram caracterizadas pela
coexistência de dois processos desacoplados: corte da rocha e o atrito abaixo dos
cortadores. Baseado em observações experimentais, um modelo fenomenológico para
o processo de interação cortador-rocha foi proposto. Definiram-se as forças de corte
diretamente proporcionais à área da seção transversal do corte e as forças de contato
como sendo do tipo atrito seco. Avaliando a teoria proposta com os resultados
experimentais publicados por GLOWKA (1987), observou-se a existência de um ponto
de máxima eficiência de corte e a presença das forças atrito abaixo do cortador.
Seguindo o desenvolvimento de DETOURNAY e DEFOURNY (1992), vários autores
avaliaram a influência dos desgastes nos cortadores, profundidade de corte, ângulos do
cortador e tipos de rocha nas relações de interação e na caracterização mecânica das
rochas (DETOURNAY e DEFOURNY, 1992; ADACHI et al., 1996; RICHARD et al., 1998;
DETOURNAY et al., 2008). A Figura 1.12 e Figura 1.13 mostram a influência da
profundidade de corte no modo de falha da rocha. Para baixas profundidades de corte,
no entanto maiores que os grãos da formação, a rocha tende a falhar de maneira dúctil
onde é observado um fluxo de material cortado à frente do cortador. Um
comportamento de falha frágil, com o desenvolvimento e propagação de fraturas é
observado a partir de uma profundidade de corte limite (RICHARD et al., 1998). Este
modo (frágil) é caracterizado pela geração de lascas da rocha (chipping) e pela relação
não linear entre forças no cortador e profundidade de corte. Para profundidades de
corte menores que o tamanho dos grãos é observado o esmagamento e o rolamento de
12
grãos. Este modo é caracterizado por ter uma energia específica (energia necessária
para o corte de uma unidade de volume de rocha) uma ordem de grandeza acima da
energia específica no modo dúctil (RICHARD et al., 1998).
Dúctil
Frágil
Figura 1.12 – Principais modos de falha observados durante ensaios de único cortador, identificados em
diferente níveis de profundidade de corte. Adaptado de RICHARD et al. (1998).
Figura 1.13 – Modo de falha dúctil e frágil em rocha durante scratch test (SCHEI et al., 2000).
Para quantificar a resposta da broca é necessário realizar uma generalização do modelo
de único cortador, onde o peso sobre broca e o torque são divididos em parcelas de
corte e de atrito, e a contribuição de cada cortador é integrada ao longo do perfil da
broca. A metodologia proposta já foi comparada a diversos resultados experimentais, o
que torna a utilização do modelo bastante confiável (DETOURNAY e DEFOURNY, 1992;
RICHARD, 2001; HOFFMANN, 2006; DETOURNAY et al., 2008).
As leis de interação são formuladas em termos da profundidade de corte de cada lâmina
da broca, uma variável que traz para o equacionamento a posição da broca para um
tempo desconhecido a priori. A Figura 1.14 apresenta uma analogia com o problema de
usinagem, onde a profundidade de corte da ferramenta depende da usinagem na
revolução anterior. Fazendo a mesma associação para a estrutura de corte de uma broca
13
PDC, observa-se que essa dependência do histórico da solução ocorre para quando uma
lâmina percorre a posição ocupada pela lâmina imediatamente posterior, como visto na
Figura 1.15. Desta forma as equações diferenciais que governam o problema possuem
uma característica de defasagem temporal (Delay Differential Equations - DDEs). As
características acopladas e defasadas do sistema são responsáveis pela ocorrência de
vibrações auto-excitadas, que sob certas condições, resultam em oscilações do tipo
stick-slip e bit-bounce. Esta linha de pesquisa mostrou-se bastante promissora,
resultando na publicação de diversos trabalhos aprofundando o tema (RICHARD, 2001;
GERMAY, 2002; RICHARD et al., 2007; GERMAY, 2009; BESSELINK et al., 2011; LIU et al.,
2012; NANDAKUMAR e WIERCIGROCH, 2013).
Avanço
Superfície gerada pelo corte anterior
Superfície de corte atual
Material de trabalho
Figura 1.14 – Modelo de corte para usinagem. Adaptado de INSPERGER et al. (2006).
Figura 1.15 – (a) Vista de topo com duas lâminas consecutivas. (b) Vista radial da lâmina 2, no momento
em que esta atinge a posição angular ocupada pela lâmina 1. Adaptado de RICHARD (2001).
Este tipo de modelo é focado na análise das vibrações torcionais e axiais acopladas,
entretanto a modelagem do sistema durante fenômenos de bit-bounce, mesmo
podendo ser identificados, não são abordados. Para tal, seria necessário avaliar o
problema de impacto entre a broca e o fundo do poço, considerando o padrão
geométrico descrito anteriormente.
NANDAKUMAR e WIERCIGROCH (2013) avaliaram a estabilidade do sistema dinâmico
totalmente acoplado apresentado por RICHARD et al. (2007). Novas características
14
foram incluídas ao modelo, permitindo a identificação de regiões bem definidas de
estabilidade, algo que mostrou não ser possível com a abordagem original. É importante
destacar que a avaliação da estabilidade do sistema utilizado indica que o aumento das
rotações não necessariamente garante a mitigação de vibrações, podendo ser um
agente indutor.
1.3. MOTIVAÇÃO
Historicamente, diversos problemas de perfuração relacionados à falha de
componentes eletrônicos, desgaste de broca e perda na eficiência da perfuração eram
atribuídos à vibração. Entretanto, devido à grande não linearidade do sistema e aos
diversos acoplamentos existentes, uma interpretação precisa dos resultados de campo
pode ser uma tarefa bastante complexa, o que dificulta a quantificação da influência da
vibração na falha de um determinado equipamento. Desta forma, uma maneira de
melhorar o desempenho da perfuração vem da compreensão dos mecanismos
causadores destas vibrações severas, permitindo um melhor planejamento das
operações de perfuração e interpretação de resultados.
DUFEYTE e HENNEUSE (1991) analisaram dados reais, de fundo e superfície, medidos ao
longo da perfuração de 4 poços, resultando em torno de 3500 horas de perfuração (55
brocas tricônicas e 15 PDCs) e foi concluído que em torno de 50% do tempo, a
perfuração era afetada pelo stick-slip. Devido ao mecanismo de corte das brocas de
arrasto induzir um alto torque reativo, o fenômeno de stick-slip é muito mais
pronunciado (BRETT, 1992).
Para uma caracterização precisa do fenômeno de stick-slip e bit-bounce, faz-se
necessário a utilização de leis de interação broca-rocha para estimativa dos esforços
mecânicos oriundos do processo de corte. No entanto, acredita-se que o processo de
identificação e caracterização destas leis seja uma das grandes fontes de incerteza da
modelagem. Desta forma, a interação broca-rocha representa um dos aspectos mais
importantes para a modelagem dinâmica de uma coluna de perfuração, sendo uma linha
de pesquisa extremamente ativa dentro da indústria e universidades.
A modelagem de vibrações em colunas de perfuração é classicamente desenvolvida
utilizando relações de interação broca-rocha do tipo atrito equivalente, onde funções
15
preestabelecidas descrevem os forçamentos de fundo. No entanto, a particularização
destas leis à escala do cortador gera inconsistências com observações experimentais em
ensaios de único cortador. Desta forma, o desenvolvimento deste trabalho abordará o
problema de vibrações em colunas de perfuração partindo de uma lei de interação
broca-rocha, para brocas PDC, consistente com ensaios de único cortador e
considerando leis do tipo atrito equivalente. Um estudo comparativo entre os modelos
é desenvolvido.
1.4. OBJETIVO
Este trabalho tem por objetivo avaliar a influência de modelos de interação broca-rocha
no comportamento dinâmico de sistemas de perfuração, assim como avaliar estratégias
para mitigação de vibrações. São considerados dois modelos, um representando a
modelagem clássica, através de uma lei de atrito equivalente (DEILY et al., 1968;
BELOKOBYL'SKII e PROKOPOV, 1982; LIN e WANG, 1990; PAVONE e DESPLANS, 1994;
FRANCA, 2004) e outro utilizando um modelo de corte seguindo a abordagem iniciada
por RICHARD (2001) e continuada por GERMAY (2002), RICHARD et al. (2007), GERMAY
(2009), BESSELINK et al., (2011), LIU et al. (2012) e NANDAKUMAR e WIERCIGROCH
(2013). Uma análise crítica entre os modelos é fundamentada e apresentada ao longo
do desenvolvimento deste trabalho. Curvas de torque médio em função das rotações
são calculadas a partir dos modelos de corte e apresentam características bem mais
complexas que as assumidas pelos modelos de atrito equivalente. Uma investigação
sobre as possíveis condições que controlam o formato destas curvas é desenvolvida.
Partindo do trabalho de NANDAKUMAR e WIERCIGROCH (2013), diversas análises
paramétricas são realizadas com o intuito de avaliar o comportamento do sistema e
identificar as variáveis de maior relevância do problema. Mapas de severidade à
vibração torcional são geradas e comparadas com diagramas de estabilidade reportados
por NANDAKUMAR e WIERCIGROCH (2013) obtendo uma boa correspondênia entre as
soluções. Além disso, as fronteiras entre bit-bounce, stick-slip tocional e stick-slip axial
são identificadas no domínio dos parâmetros de perfuração.
Padrões de reposta não usuais, relacionados às vibrações do tipo stick-slip, foram
identificados e reportados:
16
•
Ocorrênca de eventos de stick-slip associados à relações crescentes de torque
médio;
•
Regiões onde há indução de sitck-slip com o aumento da velocidade angular;
•
Constatação que a característica crescente da curva de torque médio não é
decorrente apenas de parâmetros geométricos da broca, como associado por
alguns autores.
1.5. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
Esta dissertação é composta por seis capítulos, sendo este dedicado à introdução,
revisão bibliográfica, motivação, objetivo e organização do trabalho.
O capítulo 2 é dedicado a uma discussão sobre o processo de perfuração rotativa,
descrevendo os equipamentos envolvidos e os parâmetros de controle do sistema. Isso
permite uma contextualização na área de perfuração de poços, proporcionando ao
leitor uma familiarização com os termos técnicos utilizados durante o desenvolvimento
deste trabalho.
O capítulo 3 apresenta a fundamentação teórica para os modelos de interação brocarocha: (1) modelo de corte para brocas PDC; (2) lei de atrito equivalente. Em relação ao
modelo de corte, a formulação de interação broca-rocha é expressa pela generalização
da resposta cortador-rocha, não resultando diretamente em expressões fechadas para
os forçamentos na broca e sim em relações de restrições entre os esforços. Para o
modelo de atrito equivalente, o comportamento do torque é assumido atender a uma
lei de decaimento exponencial em função das rotações de fundo, enquanto que o peso
sobre broca é calculado através da interação da broca com uma base elástica.
O capítulo 4 apresenta a estratégia de modelagem matemática para o problema de
vibrações axiais e torcionais associadas à perfuração de poços com brocas PDC. Uma
formulação adimensional é desenvolvida para as equações de movimento, e o
acoplamento entre o modo axial e o torcional é realizado através das leis de interação
broca-rocha. Devido à formulação do modelo de corte recair em um sistema de
equações diferenciais com atraso temporal, dependentes das variáveis de estado,
estratégias de solução do sistema são apresentadas. A formulação para a lei de atrito
17
equivalente é adaptada de forma a atender às condições de restrição impostas pelo
modelo de corte, permitindo assim uma melhor correspondência entre os modelos.
O capítulo 5 apresenta os resultados dos modelos para diversos cenários de estudo. É
apresentada uma validação do modelo de corte comparando resultados publicados por
RICHARD (2001) e NANDAKUMAR e WIERCIGROCH (2013). Mapas de severidade à
vibração torcional e índices de perda de contato são gerados no intuito de avaliar o
comportamento do sistema e identificar as variáveis de maior relevância do problema.
Além disso, uma análise comparativa entre os modelos é realizada visando destacar a
influência dos modelos broca-rocha no padrão de resposta do sistema.
Finalmente o capítulo 6 apresenta as principais conclusões do trabalho e sugestões para
futuros aprimoramentos.
18
2. PERFURAÇÃO ROTATIVA
Dado que os poços constituem a interface direta entre as formações produtoras e a
superfície, sua construção é uma etapa essencial para a exploração e produção de
hidrocarbonetos. Existem diversos sistemas de perfuração de poços, entretanto o
sistema mais utilizado pela indústria do petróleo é a perfuração rotativa (ADAMS, 1985).
Este sistema baseia-se em prover um movimento circular contínuo a uma ferramenta
de corte, denominada broca, através de um conjunto de tubos conectados uns aos
outros, formando a coluna de perfuração. O movimento circular é transmitido à coluna
através da mesa rotativa ou do top drive, que constituem sistemas que se acoplam ao
final da coluna de perfuração provendo a rotação. O deslocamento vertical da coluna no
poço se dá através de um sistema de içamento, composto por um simples mecanismo
de roldanas e cabos controlados por um guincho. A Figura 2.1 representa de uma
maneira simplificada um sistema de perfuração rotativa.
Bloco de coroamento
Comandos
Catarina
Mesa
rotativa
Broca
Separador
gás-fluido
Planta de geração energia
Tanques de
fluido
Diques
Revestimento
Tubos de perfuração
Raque de tubos
de perfuração
Cimento
Broca
Bombas
de fluido
Acumuladores de pressão
Figura 2.1 – Diagrama esquemático de um sistema de perfuração rotativa. Adaptado de
ENCYCLOPAEDIA BRITANNICA ONLINE.
Um sistema de perfuração rotativa envolve a utilização de dezenas de equipamentos
com funcionalidades bem específicas. O desenvolvimento e documentação desses
equipamentos remetem ao início do século 19 até os dias atuais, possuindo extensa
bibliografia (BOURGOYNE et al., 1986; ECONOMIDES et al., 1998; THOMAS, et al., 2001).
19
A Figura 2.2 mostra um modelo simplificado da coluna de perfuração em um poço
vertical, destacando seus principais elementos e forças externas envolvidas no processo
de perfuração. A Tabela 2.1 apresenta dimensões usuais para sistemas de perfuração de
poços profundos e seus parâmetros de controle. Observa-se que uma coluna de
perfuração pode atingir diversos quilômetros de comprimento, por apenas alguns
centímetros de raio, resultando em estruturas extremamente esbeltas.
Fluido de perfuração
Tubos de perfuração
Broca
Figura 2.2 – Esquema geral de uma coluna de perfuração. Adaptado de RICHARD (2001).
%B [i]
200 – 400
Tabela 2.1 – Dimensões típicas de campo (RICHARD, 2001).
%+ [i]
100 – 5.000
)[ i]
8 – 15
]2 [ah]
20 – 100
Ω2 [jKH]
60 – 240
onde: %B representa o comprimento do BHA; %+ o comprimento da coluna de
perfuração; ) o raio da broca; ]2 o peso sobre broca na ausência de vibrações; Ω2
rotação em superfície.
Todo material de rocha cortado pela broca, denominado de cascalho, é transportado
até a superfície pelo fluido de perfuração. Este fluido é bombeado continuamente por
dentro da coluna de perfuração, passando pela broca e retornando pelo espaço anular
entre a coluna e o poço. Desta forma, é possível remover os cascalhos gerados pela
perfuração e expor formações novas aos cortadores da broca.
Existem diversos tipos de brocas disponíveis para aplicação na indústria do petróleo
(BOURGOYNE et al., 1986; PLÁCIDO e PINHO, 2010), entretanto destacam-se duas
principais: brocas com partes móveis (roller cone) e brocas sem partes móveis (drag bit).
20
2.1. BROCAS COM PARTES MÓVEIS
As brocas tricônicas são as mais comuns entre as brocas com partes móveis e tem como
característica possuírem três cones móveis, repletos de cortadores (dentes). Assim que
a coluna de perfuração gira, ocorre o rolamento dos cones e os dentes da broca são
identados na rocha. Este processo é cíclico e a cada rotação novos cortadores vão sendo
expostos. Maiores detalhes podem ser obtidos em (BOURGOYNE et al., 1986; PLÁCIDO
e PINHO, 2010).
Figura 2.3 – Broca tricônica (SCHLUMBERGER, 2012).
2.2. BROCAS SEM PARTES MÓVEIS
As brocas sem partes móveis são compostas por lâminas fixas ao corpo da broca e atuam
solidárias à coluna de perfuração, de forma que a rotação da coluna é transmitida
integralmente à broca. O uso deste tipo de ferramenta é observado desde à introdução
da perfuração rotativa no início do século 19 (BOURGOYNE et al., 1986), podendo ser
dividido em três grupos: borcas com cortadores de aço, borcas de diamante e brocas
PDC (Figura 2.4). Como o foco deste trabalho está em brocas PDC, apenas estas serão
detalhadas abaixo.
Após o surgimento dos cortadores PDC (polycrystalline diamond compact) em meados
dos anos 70, uma nova família de brocas foi desenvolvida. A aplicação dessa nova
tecnologia se mostrou extremamente vantajosa, de forma que no início dos anos 80
cerca de 900 quilômetros de poços já haviam sido perfurados utilizando brocas PDC
(CERKOVNIK, 1982).
As brocas PDC possuem diversos cortadores de diamantes sintéticos fixados em uma
sequência de lâminas que compõem o corpo da broca (Figura 2.4). Diferentemente das
brocas de cones, que o mecanismo de corte é o esmagamento e fratura da rocha no
21
entorno dos dentes, a broca PDC atua cisalhando a formação. Como a quantidade de
energia necessária para falhar uma rocha por cisalhamento é significativamente menor
que por compressão, a utilização desta tecnologia permite uma perfuração com maior
eficiência, resultando em menor peso sobre broca (CERKOVNIK, 1982). Este tipo de
broca é muito eficiente para perfuração de rochas de dureza média à alta (BOURGOYNE
et al., 1986).
Figura 2.4 – Broca PDC. Adaptado de NORTHBASIN (2012).
O projeto de uma broca PDC apresenta elementos bem diferenciados quando
comparados a outras brocas, pois a definição da estrutura de corte influencia na
estabilidade e agressividade da broca. A completa caracterização da estrutura de corte
necessita da definição das seguintes variáveis (BOURGOYNE et al., 1986):
•
Tamanho e forma do cortador;
•
Número de cortadores;
•
Exposição do cortador (exposure ou chip clerance);
•
Ângulo de ataque (backrake);
•
Ângulo de saída lateral (siderake).
A orientação dos cortadores deve ser compatível com a dureza e abrasividade da rocha
de forma a obter um balanço entre agressividade e máxima taxa de desgaste da broca
durante a perfuração. A Figura 2.5 e a Figura 2.6 exemplificam os parâmetros envolvidos
na orientação do cortador.
22
Exposição
Ângulo
de ataque
Figura 2.5 – Exposição e ângulo de ataque do cortador. Adaptado de BESSON et al. (2000).
Ângulo
de saída
Figura 2.6 – Ângulo de saída lateral do cortador. Adaptado de BESSON et al. (2000).
A seguir apresentam-se algumas definições para os parâmetros de orientação dos
cortadores (HUANG e IVERSEN, 1981; CERKOVNIK, 1982; CALLIN, 1988; FERNÁNDEZ et
al., 2009):
Exposição do cortador (exposure ou chip clerance): Distância entre o topo do cortador
PDC e o corpo da broca. Tal parâmetro influência drasticamente na formação do
cascalho. Para pequena exposição do cortador, em formações moles ou plásticas o
cascalho tenderá a ficar preso entre o corpo da broca e a formação, sendo compactado
frente ao cortador (Figura 2.7). Este cenário demandará elevada potência hidráulica
para uma eficiente limpeza da broca. Desta forma a exposição do cortador deve ser
dimensionada para permitir uma geração de cascalhos suave e contínua (HUANG e
IVERSEN, 1981).
23
Interferência
Corpo da broca
PDC
Folga para
cascalho
Área para
fluido
Rocha
Cascalho
Corpo da broca
Folga para
cascalho
PDC
Área para
fluido
Baixa velocidade
de fluido
Cascalho
Figura 2.7 – Influência da exposição do cortador na geração de cascalho. Adaptado de
HUANG e IVERSEN (1981).
Ângulo de ataque (backrake): Ângulo definido entre um determinado cortador de uma
broca PDC e a superfície de rocha exposta. À medida que este ângulo é reduzido, o
processo de perfuração se torna mais eficiente, proporcionando uma maior
profundidade de corte para o mesmo peso sobre broca, o que em geral representa
aumento no tamanho dos cascalhos e na taxa de penetração (Rate of Penetration –
ROP). Entretanto um baixo ângulo de ataque torna o cortador mais susceptível à falhas
por impacto durante a perfuração de rochas duras. Por outro lado, um alto ângulo de
ataque produzirá menores cascalhos e menor ROP, entretanto prologará a vida útil da
broca frente a formações duras.
Ângulo de saída lateral (siderake): Ângulo, orientado pelo centro do cortador, formado
entre a face do cortador a direção radial (Figura 2.6). Este ângulo afeta a remoção dos
cascalhos frente aos cortadores, direcionando-os para a periferia da broca e facilitando
sua remoção pelo fluido de perfuração. A otimização do ângulo de saída permite o
desenho de uma estrutura de corte com menor exposição (Figura 2.5) aumentando a
velocidade do fluido frente aos cortadores e visando uma melhor limpeza da broca.
2.3. COLUNA DE PERFURAÇÃO
No intuito de prover o sistema com a energia mecânica necessária ao corte das
formações, a coluna de perfuração (Figura 2.2) é responsável por aplicar peso sobre a
24
broca, transmitir a rotação, circular o fluido pelo poço, manter o calibre do poço e
garantir controle direcional (FERNÁNDEZ et al., 2009).
A coluna de perfuração é composta basicamente por dois grandes elementos, os tubos
de perfuração (drill pipes) e o Bottom Hole Assembly (BHA) (Figura 2.8).
Figura 2.8 – Ilustração dos tubos de perfuração e dos comandos. Adaptado de DIRECTIONAL DRILLING
TECHNOLOGY.
Tubos de perfuração (drill pipes): Elementos tubulares de baixa rigidez que conectam o
BHA aos equipamentos de superfície. Possui função de manipular axialmente a coluna,
transmitir rotação ao sistema e permitir a circulação de fluido pelo poço. A conexão de
cada tubo de perfuração é feito através de perfis roscados, denominados tool joints.
Bottom Hole Assembly (BHA): Parte inferior da coluna de perfuração, sendo composto
pela broca e por diversos elementos tubulares de alta rigidez. Tais elementos variam
desde simples tubos de aço até ferramentas de alta tecnologia capazes de medir
propriedades das rochas durante sua perfuração. O BHA deve ser dimensionado de
forma a prover suficiente peso sobre broca durante a operação de perfuração. Neste
sentido, são adicionados elementos tubulares de grande espessura de parede,
denominados comandos (drill collars). Maiores informações podem ser encontradas em
(ROCHA et al., 2006; AADNOY et al., 2009).
2.4. PARÂMETROS DE PERFURAÇÃO
O acompanhamento do processo de perfuração envolve a análise indireta de diversos
parâmetros, pois na grande maioria das operações não se dispõe de sensores de fundo
(próximos à broca) e toda instrumentação é feita em superfície (Figura 2.9). Os principais
parâmetros utilizados para acompanhamento e controle da perfuração estão listados a
seguir:
Peso sobre broca: Peso aplicado diretamente sobre a broca através dos comandos. Este
é necessário para identação dos cortadores da broca na rocha, provendo assim, parte
25
da energia mecânica necessária à perfuração. O peso sobre broca é uma grandeza
indiretamente avaliada através da diferença entre a carga no gancho (weight on hook)
com a broca fora do fundo e com a broca no fundo (durante a perfuração). Como esta
metodologia é muito suscetível à propagação de erros, diversas calibrações são feitas
durante a perfuração.
Rotação: Embora a rotação da coluna seja um parâmetro de entrada do sistema
(controlado de superfície), este apresenta flutuações em torno de seu valor médio,
decorrentes das vibrações torcionais inevitáveis em qualquer sistema de perfuração
rotativa.
Torque na coluna: Torque necessário para rotacionar a coluna de perfuração com uma
determinada velocidade angular. A análise desta medida auxilia na identificação de
diversos fenômenos relacionados à interação coluna/poço e broca/rocha. Para avaliar o
nível de torque associado à perfuração é usual sua comparação em dois momentos:
torque no fundo e torque fora do fundo.
Vazão de bombeio: Prover potência hidráulica suficiente para limpar os cortadores da
broca e garantir o transporte dos cascalhos do fundo do poço à superfície. Possibilitando
assim a limpeza do poço.
Pressão de bombeio: Reação direta à vazão utilizada, reproduzindo as perdas de carga
do sistema. Variações na pressão de bombeio trazem informações relevantes quanto à
hidráulica do poço e integridade de formações.
Taxa de penetração: Principal parâmetro utilizado para avaliação da perfuração, sendo
função de todas as variáveis até então descritas. Através de sua análise é possível
identificação desde mudanças de litologia até desgastes de brocas. Todo o foco da
otimização da perfuração consiste no balanço entre ROP e durabilidade da broca.
A Figura 2.9 apresenta um cenário real de perfuração de poço, onde os parâmetros de
perfuração estão em função do tempo. Devido à grande oscilação do ROP é comum
avaliarmos essa grandeza através da posição do gancho ao longo do tempo, onde é
possível avaliar uma ROP média.
26
Figura 2.9 – Parâmetros de perfuração observados em campo.
Dos parâmetros descritos, só é possível controlar o peso sobre broca, rotações e vazão.
As demais variáveis descritas são utilizadas para monitoração do sistema e não para
controle.
27
3. INTERAÇÃO BROCA-ROCHA
Neste capítulo apresenta-se a formulação para dois tipos de modelos de interação
broca-rocha: (1) modelo de corte para brocas PDC; (2) lei de atrito equivalente.
3.1. MODELO DE CORTE PARA BROCAS PDC
Para a consideração do processo de corte da rocha nas relações de interação brocarocha, utiliza-se um modelo compatível com ensaios de um único cortador (Figura 1.10).
Essa consideração é fundamental para a definição da estratégia de simulação das
vibrações auto-excitadas, pois a compatibilidade com estes ensaios exclui os efeitos de
decaimento do torque com a velocidade angular. Esse efeito é uma condição necessária
ao desenvolvimento das oscilações sob o ponto de vista da modelagem clássica,
utilizando leis de atrito equivalente. Desta forma, as relações de interação broca-rocha
são consideradas de acordo com a metodologia proposta por DETOURNAY e DEFOURNY
(1992) e DETOURNAY et al. (2008). Nesta seção apresentamos um resumo das principais
conclusões desses trabalhos.
3.1.1. Modelo de único cortador
O modelo fenomenológico de interação cortador-rocha, proposto por DETOURNAY e
DEFOURNY (1992), é deduzido para um cortador em movimento, cinematicamente
controlado. Desta forma, a velocidade de avanço da ferramenta é constante, resultando
em uma profundidade de corte
constante durante o experimento.
Devido à existência de uma área desgastada na base do cortador, decorrentes do
próprio processo de perfuração, os cortadores podem ser divididos em duas categorias:
cortadores afiados (sharp) e cegos (blunt) (Figura 3.1). Embora a existência de uma
estrutura de corte perfeitamente afiada não seja factível, essa consideração é
fundamental para o desenvolvimento da teoria, pois desacopla as parcelas dissipativas
das forças de reação, permitindo a determinação de parâmetros do modelo através de
ensaios com cortadores afiados e cegos.
A Figura 3.1b ilustra a idealização do processo de destruição da rocha pela ação do
cortador, sendo caracterizado pela coexistência de dois processos desacoplados: corte
puro da rocha e atrito abaixo do cortador junto à área desgastada.
28
(a)
(b)
Figura 3.1 – Forças agindo em um cortador: (a) afiado e (b) cego (HOFFMANN, 2006).
As forças atuantes no cortador podem ser decompostas entre as parcelas de corte e de
atrito, k8 e k9 , respectivamente. A força de corte é assumida proporcional à projeção
da área de corte na direção vertical * = \, onde
é a profundidade de corte e \ é a
largura do cortador, enquanto que a parcela de atrito é definida pelo coeficiente de
atrito I existente entre a área desgastada do cortador e a rocha (DETOURNAY e
DEFOURNY, 1992; ADACHI et al., 1996; RICHARD et al., 1998; SCHEI et al., 2000). Essas
forças podem ser projetadas em relação à direção de corte ?Q@, 78: e 79: , e em relação à
direção normal ? @ à superfície desgastada, 781 e 791 , sendo descritas por:
78: = '*,781 = _'*
79:
=
I791
(3.1)
(3.2)
onde ' é definido como a energia específica intrínseca (intrinsic specific energy),
representando a quantidade de energia necessária para cortar uma unidade de volume
de rocha, não envolvendo efeitos dissipativos de atrito. Por conveniência ' é expresso
em unidades de tensão ([HK)] e [C/ il ] que são numericamente equivalentes). O
parâmetro _ representa a relação entre as forças horizontal e vertical atuando na face
do cortador. Experimentos mostram que essa variável apresenta baixa dependência do
tipo da rocha, variando de 0,7 a 0,9 para cortadores PDC com ângulo de ataque X
variando de 15° a 20° (RICHARD et al., 1998). Trabalhos realizados para a caracterização
de rochas indicam uma boa correlação entre os parâmetros I e ' com ângulo de atrito
interno e a resistência compressiva da rocha (ADACHI et al., 1996; RICHARD et al., 1998;
SCHEI et al., 2000).
Tomando o somatório das forças em relação às direções horizontal (s) e vertical (n)
(7 : = 78: + 79: e 7 1 = 781 + 791 ), e utilizando as equações (3.1) e (3.2) temos:
29
7 : = ?1 − I_@'* + I7 1
(3.3)
A equação (3.3) representa uma restrição na resposta do cortador, de forma que as
grandezas ?7 : , 7 1 , @ não são independentes e devem satisfazer tal restrição. Pela
equação (3.3) define-se o plano no espaço ?7 : , 7 1 , @ que representa o estado de
respostas admissíveis para um determinado cortador e rocha, independente do nível de
desgaste (Figura 3.2).
Figura 3.2 – Espado das respostas admissíveis para modelo de interação cortador-rocha (ADACHI et al.,
1996).
No entanto esta restrição pode assumir uma representação geométrica ainda mais
simples, sendo caracterizada por uma equação de reta, compondo o chamado diagrama
ℰ–
(Figura 3.3).
ℰ = ℰ2 + I
(3.4)
Tal relação é obtida pela divisão da equação (3.3) pela área de corte *, onde ℰ = 7 : /*
representa a energia específica,
definido por:
= 7 1 /* representa a resistência à perfuração e ℰ2 é
ℰ2 = ?1 − I_@'
(3.5)
É importante destacar que a energia específica ℰ é a energia necessária para cortar um
volume unitário de rocha, independente da dissipação por atrito. Enquanto que ' está
relacionado exclusivamente ao processo de corte. Para cortadores afiados temos que
ℰ='e
= _'.
30
ℰ
Linha de corte
Linha de atrito
ℰ2
Ponto de corte
Figura 3.3 – Diagrama ℰ–
No diagrama ℰ–
para modelo de único cortador (ADACHI et al., 1996).
apresentado na Figura 3.3, toda a resposta decorrente de um
cortador afiado colapsa para o chamado ponto de corte (cutting point), enquanto que
para cortadores cegos esta resposta é distribuída ao longo da chamada linha de atrito
(friction line). Desta forma a região delimitada entre o ponto de corte e a linha de atrito
representa a gama de respostas admissíveis do problema.
Define-se também a magnitude da tensão normal S atuante na área desgastada do
cortador através da expressão:
791
S=
*9
(3.6)
onde *9 = F\ representa área desgastada abaixo do cortado. Evidências experimentais
apontam que, mantido o contato entre a área de desgaste e a rocha, a tensão normal S
é aproximadamente constante e sua magnitude é da mesma ordem de ' (ADACHI et al.,
1996).
3.1.2. Generalização do modelo para broca PDC
As relações de interação broca-rocha são obtidas através de uma generalização do
modelo de único cortador, onde o peso sobre broca ] e o torque T são divididos em
duas parcelas desacopladas de corte e de atrito.
] = ]8 + ]9
(3.7)
T = T8 + T9
(3.8)
As componentes de corte ]8 , T8 correspondem ao balanço de forças e momentos
transmitidos pela face de cada cortador, enquanto que o par ]9 , T9 representam as
31
componentes de dissipação por atrito devido ao contato entre a área desgastada dos
cortadores e a rocha. Para o cálculo dessas componentes, a estrutura de corte da broca
é abstraída a uma sequência equivalente de arestas de corte (Figura 3.4) e as forças de
reação são calculadas pela integração das componentes de tensão agindo ao longo do
perfil de cada lâmina. Para isto, consideram-se as hipóteses de que as parcelas de corte
são proporcionais à área de corte e que a face de corte é ortogonal à área de desgaste
(chanfro).
Figura 3.4 – Representação da aresta e área de corte. Adaptado de BESSON et al. (2000) e
GERMAY (2002).
Desta forma, as parcelas
T8 e
]8 podem ser deduzidas para um elemento
infinitesimal *, situado a uma distância N do centro da broca de raio ) e espessura F1 ,
como segue:
T8 = N 78: = N' *
]8 = 781 = _' *
(3.9)
(3.10)
Parametrizando as equações (3.9) e (3.10) em função da coordenada radial
adimensional P = N/), temos:
T8 = )n P'
onde
1 ?P@
]8 = )_'
1 ?P@
1 ?P@
P
P
(3.11)
(3.12)
é a profundidade de corte pontual ao longo da face de corte. É importante
destacar que a dependência geométrica das expressões é apenas na área de corte, não
sendo influenciadas pela geometria da broca (DETOURNAY e DEFOURNY, 1992;
GERMAY, 2002; HOFFMANN, 2006; RICHARD et al., 2007).
32
As parcelas de atrito T9 e ]9 são funções da área de contato entre a rocha e a aresta
de corte, similar à área de desgaste dos cortadores. Desta forma é mais conveniente
expressarmos estas relações em termos do elemento infinitesimal Q, situado a uma
distância N do centro da broca de raio ). Desta forma, temos:
Figura 3.5 – Distribuição das forças de atrito ao longo do perfil da broca.
T9 = N 79: = NISF1 Q
(3.13)
]9 = 791 cos?,@ = SF1 cos?,@ Q
(3.14)
Parametrizando as equações (3.13) e (3.14) em função da coordenada radial
adimensional P = N/) temos:
T9 = )n P
IF1 S
P
cos?,@
(3.15)
]9 = )F1 S P
(3.16)
Para uma broca genérica, possuindo uma disposição de cortadores quaisquer, as
expressões dos esforços T e ] são dadas pela integração das equações (3.11), (3.12),
(3.15) e (3.16), para cada lâmina r da broca.
Z
1?v@
T = ) 's t P
n
z uwZ
Z
1u
1?v@
] = )' s t _
z uwZ
Z
1?v@
?P@ P + ) S s t P
n
1u
z uwZ
Z
IF1u ?P@
cos x,u ?P@y
1?v@
P
?P@ P + )S s t F1u ?P@ P
z uwZ
(3.17)
(3.18)
No intuito de desenvolvermos expressões analíticas para as leis de interação brocarocha, as equações (3.17) e (3.18) são particularizadas para uma broca de perfil
genérico, composta por
lâminas simétricas e igualmente espaçadas. Desta forma as
parcelas de corte e de atrito dos esforços T, ] podem ser escritas como:
33
Aresta de corte
Chanfro
Figura 3.6 – Esquema de broca simétrica de 4 lâminas. Adaptado de RICHARD (2001).
)n
' 1 ,]8 = )_' 1
2
)n
T9 = =I F1 S,]9 = ) F1 S
2
Resultando na condição:
T8 =
(3.19)
(3.20)
2T9 = I)=]9
(3.21)
O parâmetro adimensional = é definido como uma constante da broca que caracteriza
a orientação das superfícies de atrito. Essa variável engloba a influência da geometria
da broca na resposta global do torque e peso sobre broca, sendo oriunda do balanço de
forças e momentos. DETOURNAY e DEFOURNY (1992) demonstrou que este parâmetro
é tipicamente limitado ao intervalo 1 ≤ = ≤ 4/3.
A profundidade de corte combinada é definida como
=
1,
e a espessura de
desgaste equivalente como F = F1 . Em condições de perfuração na ausência de
vibrações ([ e Ω constantes),
representa a profundidade de corte por revolução. Para
uma condição real de perfuração, as expressões acima também se aplicam ao avaliar a
média das grandezas ao longo de várias revoluções, por exemplo: 〈 〉, 〈T〉 e 〈]〉.
De maneira semelhante ao desenvolvido para um único cortador, uma restrição na
resposta da broca PDC é determinada pela combinação das equações (3.7), (3.8), (3.19)
e (3.21).
onde
2T
]
= ?1 − @' + I=
n
)
)
34
(3.22)
= I=_
(3.23)
A divisão da equação (3.22) pela profundidade de corte permite a representação
geométrica desta restrição através da equação de uma reta. Da mesma forma como
feito para o cortador, é possível representar as respostas admissíveis através de um
diagrama ℰ −
(Figura 3.7).
ℰ = ℰ2 + I=
(3.24)
onde ℰ e são definidos como energia específica de perfuração (drilling specific energy)
e resistência à perfuração (drilling strength), respectivamente.
ℰ=
onde
2T
]
, =
n
)
)
(3.25)
ℰ2 = ?1 − @'
(3.26)
Linha de atrito
ℰ
ℰ2
Figura 3.7 – Diagrama ℰ −
Ponto de corte
teórico para modelo de broca equivalente (RICHARD, 2001).
Assim como no caso do cortador, ℰ representa a energia necessária para perfurar uma
unidade de volume de rocha. Note que para o caso de uma broca composta por
cortadores afiados, ℰ = ' e
= _', caracterizando o ponto de corte no diagrama ℰ −
. Na proporção em que o atrito vai se desenvolvendo (desgaste ou problemas de
limpeza), mantido ] constante, os pontos que compõem a resposta da broca se
deslocam para cima junto à linha de atrito. A posição relativa à linha de atrito é um
indicativo da eficiência da broca 6, sendo definida como:
6=
'
ℰ
(3.27)
35
Entretanto, a resposta deste modelo não caracteriza totalmente a interação brocarocha, não sendo capaz de predizer os valores de torque e taxa de penetração em função
do peso e rotação aplicados. No entanto, o equacionamento proporciona uma restrição
às variáveis do problema (T, ], j~K, Ω), definindo um estado de respostas admissíveis.
3.2. LEI DE ATRITO EQUIVALENTE
No intuito de reproduzir a modelagem clássica do problema de vibrações torcionais, o
processo de destruição de rocha é simplificado à leis de atrito equivalente entre a broca
e a rocha. Seguindo o desenvolvimento de trabalhos anteriores, uma lei de decaimento
exponencial é utilizada para descrever o torque reativo em função das rotações da broca
(DEILY et al., 1968; BELOKOBYL'SKII e PROKOPOV, 1982; LIN e WANG, 1990; PAVONE e
DESPLANS, 1994; FRANCA, 2004). Com isso, escreve-se a seguinte relação:
T? @ = ]? @[
2
+
0
exp?−|J/Ω8 |@]
onde ]? @ equivale ao peso sobre broca,
2
e
0
(3.28)
correspondem a constantes de atrito e
Ω8 é o parâmetro de decaimento. A Figura 3.8 representa a forma da curva descrita pela
equação (3.28) para um conjunto particular de parâmetros.
Figura 3.8 – Lei de decaimento exponencial para o conjunto de parâmetros:
2
= 1,
0
= 0,2 e Ω8 = 2.
No que diz respeito ao forçamento axial do sistema, faz-se a idealização do contato
broca/rocha se dar através de uma base elástica de rigidez DE (Figura 3.9). Devido ao
processo natural de perfuração produzir irregularidades no perfil de fundo de poço, o
36
movimento rotacional da broca acarreta excitações axiais do sistema. A equação que se
segue representa o peso sobre broca ]? @ (DIVENYI, 2009).
]? @ = ]2 + DE [Y − R2 Qƒ ? Φ@]
(3.29)
onde ]2 é o peso sobre broca em condições de ausência de vibrações; Y equivale ao
deslocamento axial da broca;R2 é a amplitude das irregularidades de fundo de poço;
é o número de aletas ou lâminas da broca;Φ é a posição angular da broca.
Figura 3.9 – Representação da formação como uma base elástica. Adaptado de RICHARD (2001) e
GERMAY (2002).
37
4. EQUAÇÕES DE GOVERNO
Neste capítulo é apresentada a estratégia de modelagem matemática do problema de
vibrações, axiais e torcionais associadas à perfuração de poços com brocas PDC. Para tal,
a coluna é considerada por seus elementos mecânicos essenciais e o acoplamento entre
o modo axial e o torcional é feito através das leis de interação broca-rocha. Neste
sentido, será avaliada a influência dos modelos apresentados no capítulo 3: (1) modelo
de corte para broca PDC (DETOURNAY e DEFOURNY, 1992; DETOURNAY et al., 2008); (2)
modelo de atrito equivalente (BRETT, 1992; PAVONE e DESPLANS, 1994).
4.1. MODELAGEM DA COLUNA DE PERFURAÇÃO
A descrição da coluna de perfuração é feita através de um modelo de parâmetros
concentrados, considerando dois graus de liberdade (axial e torcional). Essa escolha é
baseada em observações experimentais de que as vibrações do tipo stick-slip acontecem
em uma frequência ligeiramente inferior ao primeiro modo natural em torção (BRETT,
1992; PAVONE e DESPLANS, 1994; RICHARD, 2001).
No intuito de descrever a física do fenômeno de stick-slip de maneira realista, e
utilizando o mínimo de variáveis possível, são consideradas as seguintes simplificações:
•
O poço e a coluna de perfuração são considerados verticais e retos;
•
Não existe movimento lateral da broca, que permanece centrada no eixo do
poço;
•
O BHA é considerado como rígido em relação aos tubos de perfuração devido à
sua grande rigidez;
•
•
Desconsidera-se toda forma de atrito ao longo da coluna de perfuração;
A velocidade linear [2 e a velocidade angular Ω2 são constantes e representam
as condições de contorno de superfície.
A Figura 4.1 representa o modelo de parâmetros concentrados, equivalente à coluna de
perfuração. Um elemento rígido de massa H e momento de inércia A representa o BHA,
enquanto que os tubos de perfuração são considerados flexíveis, descritos pelos
coeficientes de rigidez axial e torcional D/ , D0 e pelos respectivos amortecimentos ./ e
.0 .
38
A completa definição da dinâmica da broca no espaço é feita pelas quantidades ?Y, Φ@,
que correspondem a seu deslocamento vertical e posição angular, sendo definidas
como:
0
0
Y = s [ ,Φ = s Ω
z
z
(4.1)
onde [ e Ω representam a velocidade axial e angular da broca, respectivamente. Os
forçamentos associados ao sistema são o peso sobre broca ] e o torque na broca T.
Expressões para H, A, D0 , D/ podem ser facilmente deduzidas ao aproximarmos a coluna
de perfuração por dois elementos tubulares ocos de seção transversal constante e
densidade PB .
… †
n
†
n
]%B ,A = PB CB %B ,CB = [NB2
]
H = P…[NB2
− NBO
− NBO
2
D0 =
<C+
4*+
,D/ =
%+
%+
onde:
H/A: Massa/inércia do BHA;
NBO /NB2 : Raio interno/externo do BHA;
N+O /N+2 : Raio interno/externo dos tubos de perfuração;
%B /%+ : Comprimento do BHA/tubos de perfuração;
</4: Módulo de cisalhamento/elasticidade;
CB /C+ : Momento polar de inércia do BHA/tubos de perfuração.
*+ : Área de seção transversal dos tubos de perfuração.
39
(4.2)
(4.3)
H, A
Figura 4.1 – Modelo discreto da coluna de perfuração. Adaptado de
NANDAKUMAR e WIERCIGROCH (2013).
A Tabela 4.1 apresenta valores típicos para os raios, massa específica, módulo de
elasticidade e módulo de cisalhamento.
Tabela 4.1 – Dimensões típicas, módulo de cisalhamento/elasticidade e densidade dos tubos de
perfuração e BHA.
N+O [ i]
2,5 – 7,5
N+2 [ i]
6,4 – 8,4
NBO [ i]
1,9 – 3,8
NB2 [ i]
4,3 – 12,7
<[<K)]
77
4[<K)]
200
PB [a;/il ]
8000
4.2. EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
As deduções das equações de movimento apresentada nesta seção são baseadas nos
trabalhos de RICHARD (2001), GERMAY (2002), RICHARD et al. (2007) e NANDAKUMAR
e WIERCIGROCH (2013). Partindo do modelo discreto de coluna apresentado na Figura
4.1, os graus de liberdade axial e torcional são avaliados e seu acoplamento é realizado
através da interação broca-rocha. As condições de contorno em superfície são
equivalentes à velocidade angular Ω2 e linear [2 , ambas constantes. Para o final da
coluna (broca), estas condições de contorno representam as equações de peso sobre
broca ] e torque na broca T, que são funções dos modos de interação com rocha.
40
No intuito de aglutinar as variáveis relevantes à modelagem das vibrações na broca, o
conjunto ℛ? @ = ˆ]? @, T? @, [? @, Ω? @‰ é definido como resposta da broca.
4.2.1. Conservação da quantidade de movimento
Para descrição da equação de governo do problema axial, é realizado o balanço da
quantidade de movimento linear da estrutura. Para tal, utiliza-se o sistema de referência
em relação a estrutura indeformada pela ação do peso próprio.
HYZŠ + ./ YZ‹ + D/ ?YZ − [2 @ = H; − ]
(4.4)
Em um cenário sob ausência de vibrações é possível escrever YZ = [2 + Δ. Nestas
condições, o deslocamento devido a ação do peso próprio e forças dissipativas, pode ser
escrito como:
Δ = ?H; − ]2 − ./ [2 @/D/
(4.5)
Dado que a adição de um termo constante à solução do problema não é de muita
consequência para a dinâmica do sistema e que este parâmetro surge dada uma escolha
particupar de referência, avalia-se a equação (4.4) em relação a variável Y = YZ − Δ,
definindo-se a equação de movimento axial do problema.
HYŠ + ./ Y‹ + D/ ?Y − [2 @ = ?]2 + ./ [2 @ − ]
(4.6)
No caso da equação de governo do problema torcional, faz-se a conservação da
quantidade de movimento angular da estrutura, resultado na seguinte equação de
movimento:
AΦŠ + .0 Φ‹ + D0 ?Φ − Ω2 @ = −T
(4.7)
Solução de referência: Visando a escrita das equações de movimento em uma forma
perturbada, adota-se o cenário onde não existem vibrações no sistema como solução
de referência, de forma que o conjunto de solução é expresso pela resposta trivial ℛ2 =
ˆ]2 , T2 , [2 , Ω• ‰. Nestas condições os deslocamentos Y e Φ são descritos por:
Y2 = [2
(4.8)
Φ • = Ω• + Φ :
(4.9)
onde Φ: representa o ângulo de equilíbrio, gerado pelo torque de fundo T2 , entre a
broca e o topo da coluna. Impondo tais condições às equações de movimento (4.6) e
(4.7), temos:
41
Φ: = −?T2 + .0 Ω2 @/D0
(4.10)
Para a condição de referência, a profundidade de corte instantânea é equivalente à
profundidade de corte por revolução, sendo relacionado à taxa de penetração pela
seguinte equação:
2
= 2π[2 /Ω2
(4.11)
As expressões para T2 e ]2 devem ser avaliadas mediante o modelo de interação broca
rocha utilizado, particularizando as expressões de T e ] de acordo com as restrições
impostas pelo conjunto solução ℛ2 .
Forma perturbada das equações de movimento: Uma forma conveniente para
reescrever as equações de movimento é perturbando-as em torno da solução trivial ℛ2 .
Y? @ = Y2 ? @ + ^? @
Φ?t@ = Φ2 ? @ + L? @
(4.12)
(4.13)
Desta forma, utilizando as definições acima nas equações (4.6) e (4.7), obtém-se a forma
perturbada das equações de movimento.
H^Š + ./ ^‹ + D/ ^ = ]2 − ]
ALŠ + .0 L‹ + D0 L = T2 − T
(4.14)
(4.15)
Para a continuidade do desenvolvimento da formulação, faz-se necessário a explicitação
de um modelo de interação broca-rocha. Desta forma, é apresentado nas seções que se
seguem a particularização das equações e a estratégia de solução para os modelos de
interação descritos nas seções 3.1 e 3.2.
4.3. MODELO DE CORTE PARA BROCA PDC
Para o modelo de broca equivalente considerado neste trabalho, a estrutura de corte é
idealizada por um sistema composto por
lâminas, igualmente espaçadas e de raio )
(Figura 4.2). Cada lâmina é caracterizada por uma superfície de corte e um chanfro (área
de desgaste) de espessura F1 constante, ortogonal à face da lâmina.
42
Figura 4.2 – Representação de duas lâminas sucessivas. A intersecção entre a rocha e a face de corte na
lâmina 2, equivale a área escura na figura e sua espessura representa a profundidade de corte 1
(RICHARD, 2001).
Partindo da hipótese de que durante a perfuração a broca está restrita de qualquer
dinâmica lateral, a profundidade de corte instantânea
1
é igual para cada lâmina e
constante ao longo da mesma (RICHARD, 2001; GERMAY, 2002; RICHARD et al., 2007;
NANDAKUMAR e WIERCIGROCH, 2013). Desta forma
onde
1?
1?
@ = Y? @ − Y? −
1@
1
pode ser escrito como:
(4.16)
@ é o tempo necessário para a broca girar um ângulo de 2…/ até atingir sua
posição no tempo . O tempo
1?
sendo solução da seguinte equação:
@ é definido como defasagem do sistema (delay),
Φ? @ − Φ? −
1@
= 2…/
(4.17)
A profundidade de corte por revolução é escrita como:
? @ = [Y? @ − Y? −
1 @]
(4.18)
Na ausência de vibrações torcionais, a broca gira com velocidade angular Ω2 , de forma
que a solução da equação (4.17) equivale a
12
= 2…/ Ω2 . No entanto, na presença de
vibrações torcionais, o cálculo da defasagem depende da evolução da dinâmica do
sistema, sendo função do histórico da solução nos últimos 2…/ radianos. Esta
característica da defasagem (dependente do histórico) torna a análise do sistema um
tanto complexa.
Quando as equações diferenciais de um determinado problema apresentam uma
dependência na solução para um tempo anterior, elas são denominadas equações
43
diferencias com atraso temporal, representando uma área de intensa pesquisa em
matemática e engenharia (STÉPAN, 1989; ERNEUX, 2009). Para o problema em questão,
o atraso temporal não é constante e varia ao longo do tempo, de forma que o sistema é
classificado como equações diferencias com atraso temporal dependentes do estado.
Outro fator complicador na solução deste problema advém do fato de que os
forçamentos T e ] possuem características descontínuas. A Tabela 4.2 resume os
forçamentos em função dos modos de interação entre broca e rocha.
Tabela 4.2 – Resumo dos modos de interação. Adaptado de HOFFMANN (2006).
Perfurando
J > 0,
>0
Rotação
reversa
Ω < 0,
>0
Sticking
Bit-bouncing
Ω = 0,
>0
<0
[>0
[≤0
[=0
] = ]8 + ]9
T = T8 + T9
] = ]8
T = T8
] = ]9
T = −T9
] = ]U
T = TU
T=]=0
Tais descontinuidades ocorrem em função da existênca de atrito seco abaixo dos
cortadores e pelo desacoplamento dos esforços em uma parcela de corte e outra de
atrito. As parcelas ? @U representam os esforços no momento em que a broca para,
atingindo a condição de stick. Neste cenário, assume-se o pleno contato entre a base
dos cortadores e a rocha. A Figura 4.3 ilustra o processo de perda de contato abaixo do
cortador, o que resulta na não contabilização das parcelas de atrito nos esforços.
Figura 4.3 – Ilustração da perda de contato entre a base do cortador e a rocha (RICHARD, 2001).
44
De uma maneira geral, os esforços T e ] podem ser expressos por uma única equação,
fazendo uso das funções degrau -?#@ e sinal Q; ?#@ (NANDAKUMAR e WIERCIGROCH,
2013).
onde:
] = ]8 -? @-?Ω@ + ]9 -? @-?[@
(4.19)
T = T8 -? @-?Ω@ + Q; ?Ω@T9 -? @-?[@
(4.20)
1,# > 0
1,# ≥ 0
-?#@ = ‘
Q; ?#@ = “ 0,# = 0
0,# < 0
−1,# < 0
(4.21)
As expressões para as parcelas de corte e de atrito dos esforços, apresentadas na seção
3.1.2, são reescritas a seguir considerando a profundidade instantânea de corte por
revolução ? @ e o comprimento total de desgaste da broca F.
)n
T8 = ' ,]8 = )_'
2
)n
T9 = =ISF,]9 = )SF
2
(4.22)
(4.23)
Para a completa caracterização do sistema dinâmico composto pelas equações (4.14),
(4.15), (4.17) e (4.18), faz-se necessário a definição de 14 parâmetros independentes
relembrados na Tabela 4.3.
Tabela 4.3 – Parâmetros do sistema dimensional.
Parâmetro
Massa
Inércia
Rigidez axial
Rigidez torcional
Amortecimento axial
Amortecimento torcional
Número de lâminas
Variável
H
A
D/
D0
./
.0
Parâmetro
Variável
Raio da broca
)
Geometria da broca
=
Comprimento desgastado
F
Energia intrínseca específica
'
Resistência de contato
S
Coeficiente de atrito
I
Coeficiente do cortador
_
4.3.1. Adimensionalização do sistema
O número de parâmetros utilizado no modelo pode ser reduzido ao mínimo pela
formulação do problema de maneira adimensional. Para tal, são definidas as variáveis
de referência temporal e axial (RICHARD, 2001):
∗
= ”A/D0 ,%∗ = 2D0 /')n
45
(4.24)
onde a frequência natural em torção do sistema equivale a 1/2… ∗ , enquanto que %∗
corresponde à profundidade de corte resultante do giro de 1 radiano, em condições de
ausência de vibrações e utilizando uma broca afiada (F = 0).
A forma adimensional das equações de movimento é escrita a seguir:
# •• + 2
#• +
n
# = "?
−
2
L •• + 2 L • + L = (2 − (
@
(4.25)
(4.26)
Com as seguintes definições:
#=—,
=—,
–
˜
∗
∗
=0,
$=
0
∗
™0∗
—∗
,
= Ω ∗,
= /›œ— ,
š
∗
(=ž
•
Ÿ
(4.27)
Em relação às variáveis # e L, as velocidades angulares e lineares podem ser expressas
por
=
2
+ L • e $ = $2 + # • . Onde o operador ? @′ equivale à derivada em relação
ao tempo adimensional = / ∗ . Além disso, os 14 parâmetros do sistema dimensional
são reduzidos a 6 parâmetros adimensionais (Tabela 4.3) (GERMAY, 2002;
NANDAKUMAR e WIERCIGROCH, 2013).
"=
›/œ£
¤žŸ
, =
= I=_,
¥¦
n”ž¦ ¤
,
= ›œ—
¡¢
∗
(4.28)
= § ¦ ¨§ Ÿ ,
ž
¤
ž
£
=
¥Ÿ
n”žŸ £
(4.29)
Tabela 4.4 – Parâmetros do sistema adimensional.
Parâmetro
Variável
Influência da geometria da broca
Influência do desgaste dos cortadores
Influência da rocha e da coluna
"
Relação entre frequências naturais
Influência do amortecimento axial
Influência do amortecimento torcional
As parcelas de corte e de atrito dos forçamentos
9
8
= (8 = δ
= ,
e ( são apresentados a seguir.
(4.30)
(9 =
(4.31)
Enquanto que as equações para o cálculo da profundidade de corte e da defasagem são
descritas como:
46
? @ = [$2
2 1
1
+ #? @ − #? −
+ L? @ − L? −
1@
1 @]
(4.32)
= 2…/
(4.33)
Desta forma o sistema é completamente caracterizado pela solução das equações
(4.25), (4.26), (4.32) e (4.33).
4.3.2. Critérios de stick-slip e rotação reversa
Nesta seção são estabelecidos os critérios que caracterizam o stick-slip e a rotação
reversa. O fenômeno de stick está associado à momentânea parada da broca no fundo
do poço, ω? U @ = 0. Assume-se que durante estes eventos existe contato entre a área
de desgaste dos cortadores e a rocha.
O fenômeno de stick-slip pode ocorrer em duas situações: (a) broca está girando no
sentido positivo e cortando rocha; (b) broca girando no sentido negativo e dissipando
energia por atrito apenas. Para identificar a condição de stick, a equação diferencial do
problema é avaliada para a broca desacelerando e posteriormente acelerando no
sentido reverso, sendo possível relacionar L? @ com os forçamentos de fundo na
condição de parada.
•
ω? <
U@
> 0: Avaliando a equação de movimento imediatamente antes e
depois que a velocidade angular da broca é nula (
a rotação do sistema é no sentido reverso temos:
L •• + 2 L • + L = (2 − (8 − (9 , =
L •• + 2 L • + L = (2 + (9 , =
W
V W
U , U ) e assumindo que em U
V
U
(4.34)
W
U
(4.35)
Nos dois cenários descritos L •• < 0 e para o que sistema continue a acelerar no
sentido reverso, é necessário que:
2 L • + L ≥ (2 + (9
(4.36)
Caso contrário a broca para, caracterizando o stick. Neste caso, o topo da coluna
continua girando a uma velocidade ω2 e energia de deformação elástica é
armazenada na coluna até que esta possa superar o torque reativo de fundo.
Desta forma a broca entra na fase de slip no tempo
L« + ¬ ≤ (2 − (U + 2
47
2
+
quando:
(4.37)
•
ω? <
U@
< 0: De maneira semelhante é avaliado o critério de stick quando a
broca gira em sentido reverso. Desta forma, a condição necessária para a broca
parar e o tempo de slip equivalem a:
2 L • + L ≥ (2 − (9
L« + ¬ ≤ (2 − (U + 2
(4.38)
2
(4.39)
Observa-se a mesma condição de slip para os dois casos apresentados, no entato o valor
de (U depende do sentido em que a broca está girando.
onde
V
(U = ? U @ + Q; ?
equivale a ω? =
V
U @.
V@
(4.40)
Para maiores detalhes na dedução apresentada nesta
seção consutlar GERMAY (2002).
4.3.3. Condições iniciais
Devido ao problema ser representado por um sistema de equações diferenciais com
atraso temporal, a caracterização das condições iniciais do problema é um tanto
diferente da realizada para de sistemas de equações ordinárias. Em função das equações
serem escritas em relação à defasagem
1,
a solução no tempo, de um sistema de DDEs
não é unicamente determinada por uma condição inicial (instante específico), fazendose necessário a definição de uma função de solução inicial escrita num intervalo com
comprimento igual a defasagem (ERNEUX, 2009). Em decorrência desta definição, é
possível definir três regiões temporais com características peculiaridades conforme
apresentado na Figura 4.4.
43~
334
Figura 4.4 – Regiões temporais de solução.
48
A primeira região é definida pela solução inicial do problema, para o trabalho em
questão esta é considerada a solução trivial do sistema (RICHARD, 2001). Devido a essa
condição resultar na ausência de vibrações, a defasagem do sistema é constante e igual
a
12
= 2…/
intervalo entre
2.
Por conveniência a prescrição da solução inicial é adotada para o
=−
12
= 0. A segunda região é em decorrência do histórico das
e
soluções # e L, para um tempo
< 0, serem nulas. Tal condição simplifica bastante as
equações (4.32) e (4.33), referentes ao cálculo da profundidade de corte e defasagem,
respectivamente.
? @=
1
2
=
+ -#? @ −
$2
2
L? @®
1 2…
- − L? @®
2
Esta região é definida pelo intervalo entre = 0 e =
(4.41)
(4.42)
∗
, onde
∗
representa o tempo
referente a um giro de 2…/ radianos da broca. Note que nesta região o sistema perde
a dependência da defasagem e passa a se comportar como um sistema de EDOs, além
disso, a equação para o cálculo da defasagem pode ser diretamente explicitada.
A transição entre a primeira e a segundo região é decorrente da perturbação da solução
inicial. Para tal, será seguida a abordagem apresentada por NANDAKUMAR e
WIERCIGROCH (2013), onde é utilizado o parâmetro ¯ para perturbação da velocidade
angular, tal que:
Y?0W @ = 0,Y‹?0W @ = [2
(4.43)
Φ?0W @ = Φ• ,Φ‹?0W @ = ¯Ω2
(4.44)
Em coordenadas adimensionais tais condições resultam em:
#?0W @ = 0,#‹ ?0W @ = 0
L?0W @ = 0,L‹?0W @ = ?¯ − 1@
(4.45)
2
(4.46)
A terceira região resulta do procedimento completo de solução do sistema de DDEs e é
referente ao intervalo entre
=
∗
e o tempo total da análise. Tal procedimento será
apresentado em detalhes na seção seguinte.
49
4.3.4. Procedimento de solução
Adota-se por estratégia a divisão do problema em três etapas (Figura 4.5): (1) Descrição
das condições de contorno de superfície, referentes à mesa rotativa e a posição do
guincho; (2) Vetorização do modelo de dois graus de liberdade e solução do sistema de
equações; (3) Cálculo dos forçamentos na broca segundo as leis de interação brocarocha.
2?
(U ? @,
U?
@, $2 ? @
@
#UVZ ? @, LUVZ ? @
Figura 4.5 - Estratégia de solução do problema.
A princípio, o conjunto solução do sistema ℛ pode ser determinado através das
equações diferenciais (4.25) e (4.26), associadas às relações de interação broca-rocha
(4.30) e (4.31). No entanto, para caracterizar os forçamentos ( e
é necessário
determinar a profundidade de corte ? @. Essa variável é um grande complicador para
a solução do problema, pois como definida pela equação (4.32), é função do histórico
da solução para um tempo −
1?
1?
@, a priori desconhecido. A estimativa da defasagem
@ é feita de maneira iterativa até que a equação (4.33) seja satisfeita.
Desta forma, no intuito de determinar ? @ e
1?
@, é necessário conhecer o histórico
da posição angular e axial da broca nos últimos 2…/ radianos anteriores ao tempo .
Além disso, é necessário avaliar a velocidade axial no tempo
− Δ para identificar
possíveis perdas de contato, onde Δ é o incremento de tempo. Determinada as
variáveis ?#, # • , L, L • @ para um tempo , a solução é calculada para o próximo tempo
+ Δ , utilizando o algoritmo de Runge Kutta de 4ª ordem ou algoritmo de Euler de 1ª
ordem. A Figura 4.6 apresenta o algoritmo da solução.
50
Figura 4.6 – Algoritmo de solução do modelo.
4.4. MODELO DE ATRITO EQUIVALENTE
De maneira análoga ao apresentado na seção anterior, são utilizadas as relações
interação broca-rocha propostas por DETOURNAY e DEFOURNY (1992) e DETOURNAY et
al. (2008). No entanto, o modelo é adaptado de forma a incorporar o forçamento axial
e a lei de decaimento exponencial descritos na seção 3.2.
Para o caso referente à ], temos:
] = ]2 + DE [^ − R2 Qƒ ? Φ@]
] = ]8 + ]9 ] = )_' + )SF
(4.47)
Utilizando os parâmetros de referência definidos na seção 4.3.1,
=
e assumindo DE = ,D/ ,
=
=
2
+
DE ^ R2
- − Qƒ ? Φ@®
)_' %∗ %∗
, n
[# − Q2 Qƒ ? Φ@]
2+
"
+
é possível determinar a profundidade de corte ? @.
51
(4.48)
(4.49)
=
2+
, n
[# − Q2 Qƒ ? Φ@]
"
(4.50)
Utilizando a mesma metodologia, o torque na broca pode ser escrito como:
( = -? @ + Q; ? @
-?$@
(4.51)
Para o desenvolvimento de vibrações do tipo stick-slip, faz-se necessário a introdução
de um termo de decaimento em função da velocidade angular. Desta forma, idealizando
um atrito equivalente, a equação (4.51) é reescrita como se segue:
( = ?-? @ + Q; ? @-?$@
0, 2
onde
@[
2
+
0
exp?−| /
são parâmetros adimensionais de atrito e
8
8 |@]
(4.52)
representa uma velocidade
característica de decaimento. O torque em condições de ausência de vibrações é
expresso por:
(2 = ?
+
@[
#• +
n
2
2
+
0
2 / 8 |@]
(4.53)
− Q2 sen? Φ@]
(4.54)
exp?−|
Resumindo, o modelo é governado pelas seguintes equações diferenciais:
# •• + 2
# = −,
n [#
L •• + 2 L • + L = (2 − (?L • , $@
(4.55)
Note que a equação (4.55) apresenta características não suaves em seu lado direto,
decorentes da definição de ( pela equação (4.52), podendo ser escrita da seguinte
forma.
L + 2 L + L − (2 =
••
•
²́−? + -?$@
³
²-?$@
±
µ
2
@µ
+ 0¶
2
V·
+ 0¶
V·
¸
·
¸¹ º ,
¸
·
¸¹ º ,
>0
<0
(4.56)
A dinâmica de colunas de perfuração descritas a partir do modelo de atrito equivalente
é governada por equações diferenciais ordinárias, não lineares. O procedimento de
solução utilizado é baseado no algoritmo de Runge Kutta de 4ª ordem.
52
5. RESULTADOS
Neste capítulo são apresentados os resultados dos modelos para diversos cenários de
estudo. Uma análise comparativa entre os modelos é realizada no intuito de identificar
a influência dos modelos broca-rocha no comportamento dinâmico do sistema.
5.1. MODELO DE CORTE PARA BROCA PDC
Nesta seção apresenta-se uma análise paramétrica do modelo proposto por
NANDAKUMAR e WIERCIGROCH (2013). A validação dos resultados é feita através de
uma comparação com a formulação proposta por RICHARD (2001) e RICHARD et al.
(2007).
5.1.1. Validação do modelo
A validação da formulação foi realizada através da comparação de resultados numéricos
obtidos por RICHARD (2001) e RICHARD et al. (2007). Por brevidade, serão mostrados
apenas os resultados referentes ao trabalho de RICHARD (2001). Devidos aos trabalhos
citados não levarem em consideração a rigidez axial da coluna, nem os amortecimentos
do sistema, para tornar as simulações equivalentes, os parâmetros
,
e
são
assumidos iguais a zero.
Figura 5.1 – Modelo discreto da coluna (RICHARD, 2001).
A Tabela 5.1 apresenta os parâmetros utilizados nas simulações. Admite-se um caso
onde um padrão de vibrações torcionais do tipo stick-slip se desenvolve.
53
2
4,064
2
7,336
Tabela 5.1 – Parâmetros utilizados do modelo.
¯
1,3
a
0
0
0
"
63,3
0,276
0,9
6
Todos os resultados apresentados são obtidos utilizando o método de solução de Euler
de primeira ordem, idêntico ao utilizado pelo autor de referência e com passo de
integração 1E-4.
Pela análise da velocidade angular ? @, observa-se a evolução das vibrações torcionais
até o desenvolvimento de um padrão de vibrações do tipo stick-slip (Figura 5.2). Além
disso, é obtida uma boa correspondência entre os resultados simulados (azul) e os
obtidos por RICHARD (2001) (preto).
Figura 5.2 – Velocidade angular: (Azul) Modelo presente e (Preto) (RICHARD, 2001).
A Figura 5.3 compara a profundidade de corte ? @ e a velocidade angular ? @ em uma
região de stick-slip.
Figura 5.3 – Profundidade de corte e velocidade angular: (a) Modelo presente e (b) (RICHARD, 2001).
54
Resposta média do sistema: Um dos resultados mais importantes publicados por
RICHARD (2001) está na avaliação do comportamento médio do sistema, avaliado ao
longo de alguns ciclos limites em torção. Desta forma, importantes características são
observadas. Uma média ponderada no tempo, das variáveis de resposta do sistema é
calculada de acordo com a equação abaixo:
1
〈$)N〉 =
»1˜ −
¾VZ
$)NO + $)NOWZ
t¼
½?
2
Z
OwZ
OWZ
− O@
(5.1)
Para o exemplo em questão, são utilizados os parâmetros definidos na Tabela 5.2 e é
avaliada a média das variáveis para 8 rotações de fundo ?ΔΦ = 16…@. A velocidade
angular é incrementada em cada análise. As simulações são feitas de forma
independente, onde o resultado de uma etapa anterior não influencia a seguinte.
2
8
Tabela 5.2 – Parâmetros utilizados para obtenção da resposta média do modelo.
2
8 − 12
¯
1,3
a
0
0
0
"
100
0,276
0,9
6
Pela análise da Figura 5.4, observa-se o decaimento da curva média da profundidade de
corte 〈 〉 à medida que a velocidade angular
2
é incrementada. Esta redução apresenta
um limitante inferior equivalente à solução na ausência de vibrações. Destaca-se a
relevância deste comportamento, pois são observadas características dependentes da
velocidade angular a partir de um modelo broca-rocha que desconsidera tais efeitos em
sua formulação.
〈 〉
ω•
Figura 5.4 – Evolução da resposta média da profundidade de corte 〈 〉 com a velocidade angular
(a) Modelo presente e (b) (RICHARD, 2001).
55
2:
Avaliando os termos médios dos esforços 〈
〉, 〈(〉 e da profundidade de corte 〈 〉,
calcula-se o diagrama ℰ − . Para o cenário apresentado, observa-se que o aumento da
eficiência da perfuração está associado à redução das rotações.
ℰ
= 0,276
Figura 5.5 – Diagrama ℰ –
da resposta média do sistema: (a) Modelo presente e (b) (RICHARD, 2001).
5.1.2. Análise paramétrica do modelo
Em situações práticas da perfuração, a vibração torcional é quantificada em termos de
um índice de severidade, chamado stick-slip severity (sls), sendo um indicativo do nível
de tais oscilações. Para este trabalho, o índice de severidade é definido pela equação a
seguir:
QFQ =
2
¿
(5.2)
2
onde ¿ representa a máxima velocidade angular na broca ao longo de um ciclo no
espaço de fase torcional e
2
representa a velocidade angular de superfície. A
ocorrência do padrão de vibrações do tipo stick-slip, com a real parada da broca, é
inferido indiretamente para valores de QFQ ≥ 1 (RICHARD, 2001).
Em relação às vibrações axiais, é definido um índice de perda de contato entre a área
abaixo do cortador e a rocha (GERMAY, 2002).
onde 〈
9〉
Γ=1−
〈
9〉
(5.3)
é avaliado de acordo com a equação (5.1). O intervalo de validade deste
índice é de Γ = [0, 1]. O valor Γ = 0representa o pleno contato entre a base dos
cortadores e a rocha. A condição crítica de Γ = 1 equivale a broca fora do fundo ao longo
56
de um ciclo em torção. Portanto, o fenômeno de bit-bounce ocorre para um valor de
ΓÀ < 1, de forma que o modelo não é mais aplicado para valores acima de ΓU .
Cenário de análise: Neste momento, considera-se um cenário proposto por (GERMAY
et al., 2009) que consiste de um poço vertical de 1200 m de profundidade perfurado
utilizando uma broca PDC. A coluna é composta por 1000 m de tubos de perfuração e
por 200 m de BHA, caracterizados por:
~3+ = 5"?0,127i@,
~3B = 6"?0,152m@,
A3+ = 41/4"?0,108i@
IDb =21/4"?0,057i@
(5.4)
(5.5)
A massa e inércia do sistema são calculadas considerando a influência dos tubos de
perfuração, através das relações:
H = HB + H+ ,
Z
l
A = AB + A+
Z
l
(5.6)
Utiliza-se uma broca de 8 ½” (0,2159 m) de diâmetro, com 4 lâminas simetricamente
espaçadas,
possuindo
um
comprimento
total
de
desgaste
F = 0,034ii,
representando uma broca de baixo desgaste e com parâmetro geométrico = = 1. Os
parâmetros de interação broca rocha são listados a seguir:
' = 60HK),
S = 60HK),_ = 0,6,μ = 0,6, = 0,36
(5.7)
A Tabela 5.3 apresenta a correspondência adimensional do sistema descrito, incluindo
o amortecimento torcional e axial que foi extraído de NANDAKUMAR e WIERCIGROCH
(2013).
2
2
4,064 7,336
¯
1,3
Tabela 5.3 – Parâmetros base do modelo.
a
0,01
0,01
1,58
"
13,9
Inicialmente são considerados parâmetros de controle (
2,
0,36
2)
0,021
4
que resultem numa
perfuração estável, com o nível de vibrações reduzindo ao longo do tempo. Partindo
dessa condição, uma análise paramétrica é realizada para os parâmetros de
controle/sistema.
As demais simulações deste capítulo, a menos que mencionado o contrário, são
realizadas utilizando o método de Runge Kutta de 4ª ordem para solução do sistema de
57
equações diferenciais. Um estudo de convergência foi realizado e o passo de integração
de 1E-3 foi identificado como representativo do problema.
Condição estável: Utilizando os parâmetros apresentados na Tabela 5.3 é avaliada a
solução no tempo e os respectivos espaços de fase. Observa-se que o sistema evolui
amortecendo as vibrações torcionais e axiais para um aparente regime quasi-periódico
(Figura 5.6 e Figura 5.7). Pra uma situação limite, as demais variáveis aparentemente
oscilam em torno da solução de referência, equivalente à ausência de vibrações.
Figura 5.6 – Rotação e velocidade axial x tempo adimensional.
Início
E. fase
Fim
Início
E. fase
Fim
Figura 5.7 – Espaço de fase torcional e axial.
Nestas condições, há expectativa de que o comportamento do índice de vibrações
torcionais QFQ seja decrescente (Figura 5.8). Além disso, como o sistema está
progressivamente amortecendo as oscilações, a solução do problema tende à solução
de referência, com QFQ aproximando-se de 0,5 e o índice de perda de contato Γ
mantendo-se nulo (Figura 5.9).
58
Figura 5.8 – Redução do índice de vibrações torcionais em função do número de ciclos m.
Γ
Pleno contato
Figura 5.9 – Índice de perda de contato Γ.
Devido ao sistema estar oscilando em torno de sua solução de referência, as variáveis
de resposta apresentam um comportamento aparentemente harmônico. Isto é
observado na Figura 5.10 para a profundidade de corte
e (.
5.11 com a história temporal dos forçamentos
Figura 5.10 – Profundidade de corte
e delay
59
1
e a defasagem
ao longo do tempo.
1
e na Figura
Figura 5.11 – Torque e peso sobre broca ao longo do tempo.
Amortecimentos e rigidez axial: No intuito de comparar o padrão de resposta do
modelo publicado por RICHARD (2001) e RICHARD et al., os amortecimentos e a rigidez
axial são retirados do sistema. Pela análise da Figura 5.12, observa-se o comportamento
oposto ao sistema original, com o crescimento das vibrações torcionais/axiais levando o
sistema a um padrão do tipo stick-slip.
Figura 5.12 – Rotação e velocidade axial x tempo adimensional ( =
=
= 0).
Pela Figura 5.13 a dinâmica torcional atinge um ciclo limite, caracterizado por uma
pequena fase de stick-slip. Esta constatação é verificada pela Figura 5.14, onde se obtém
um valor ligeiramente maior que 1 para o sls. Pela Figura 5.12 a velocidade axial parece
atingir um patamar de vibrações, no entanto pela Figura 5.13b, aparentemente está se
deslocando no eixo dos deslocamentos #. Diferentemente do ocorrido no caso anterior,
onde o índice de perda de contato manteve-se nulo durante toda a simulação, observa-
se que ao iniciar a fase de stick-slip este atinge um patamar em torno de 0,06, indicando
a perda intermitente de contato entre a base dos cortadores e a rocha.
60
Início
E. fase
Fim
Figura 5.13 – Espaço de fase torcional e axial ( =
=
= 0).
Stick-slip
Figura 5.14 – Aumento do índice de vibrações torcionais com o número de ciclos m ( =
=
= 0).
Stick-slip
Γ
Pleno contato
Figura 5.15 – Índice de perda de contato Γ ( =
=
= 0).
A Figura 5.16 apresenta o comportamento da defasagem ao longo do tempo. Como o
1
representa o tempo que uma lâmina da broca demorou a percorrer os últimos 2…/
radianos, o comportamento em regiões de stick-slip é muito característico,
apresentando um grande crescimento a medida em que a broca vai parando e uma
redução brusca no momento em que a broca começa a acelerar novamente.
61
1
Figura 5.16 – Comportamento da defasagem em regiões de stick-slip.
Avaliando agora a influência do amortecimento torcional na resposta do modelo, é
reestabelecido o valor inicial
= 0,01, mantendo os demais nulos. Observa-se uma
grande influência no comportamento do sistema, eliminando um padrão de vibrações
do tipo stick-slip. Devido ao acoplamento do sistema, a resposta axial também é
amortecida.
Figura 5.17 – Rotação e velocidade axial x tempo adimensional ( =
Influência da velocidade angular de superfície: A velocidade angular
= 0).
2
é variada e o
comportamento do sistema é monitorado pelo índice de vibrações torcionais (sls).
Observa-se que para os parâmetros escolhidos do sistema, o nível de vibração torcional
aumenta com as rotações
2
(Figura 5.18). Este fato é particularmente interessante,
pois vai de encontro com diversos resultados da literatura, onde o aumento das rotações
de superfície é reportado como ação mitigadora para as vibrações torcionais (PAVONE
e DESPLANS, 1994; RICHARD, 2001; GERMAY, 2002; FRANCA, 2004).
62
Figura 5.18 – Influência da velocidade angular no índice de vibrações torcionais.
Esta comparação é um indício interessante de que o aumento da velocidade angular não
necessariamente garante a diminuição das vibrações torcionais, e que a análise dos
demais parâmetros do sistema deve guiar a estratégia de mitigação de vibrações. Ainda
será apresentado nas próximas seções, mas pode-se adiantar que este tipo de resposta
não seria possível com a utilização de uma lei de interação broca-rocha do tipo
“decaimento exponencial”.
A Figura 5.18 representa os espaços de fase do sistema para
2
= 22, verifica-se o
desenvolvimento do padrão de vibrações do tipo stick-slip para QFQ ≥ 1,0.
Figura 5.19 – Espaço de fase torcional e axial (
2
= 22).
Mapa de estabilidade: Para o cenário apresentado na Tabela 5.3, são realizadas diversas
simulações variando os parâmetros de controle e o índice de severidade às vibrações
torcionais é calculado para cada combinação gerada entre
2
e
2.
Na eventual
ocorrência de bit-bounce, o índice é assumido zero e encerra-se a análise. A Figura 5.20
apresenta o mapa de severidade calculado considerando um tempo total de análise de
63
200 unidades de tempo. Deve-se observar que cada ponto do mapa representa uma
simulação distinta.
As regiões em vermelho representam os pontos onde QFQ ≥ 1,0, caracterizando o stick-
slip. A região em azul corresponde à ocorrência de bit-bounce. Observa-se a existência
de uma região bem delimitada onde a perfuração ocorre em condições estáveis. Além
disso, para uma mesma condição de
2,
o aumento das rotações
2
implica no
aumento das vibrações torcionais, complementando os resultados apresentados na
seção anterior. A Figura 5.21 é apenas uma representação tridimensional da Figura 5.20,
representando a superfície de severidade às vibrações torcionais.
stick-slip
2
Bit-bounce
estável
2
Figura 5.20 – Mapa de severidade torcional.
64
2
2
Figura 5.21 – Superfície de severidade torcional.
A Figura 5.22 apresenta um mapa do índice de perda de contato Γ. Observa-se que para
as regiões onde não há ocorrência de bit-bounce e stick-slip existe o pleno contato entre
os cortadores e a rocha.
stick-slip
2
Bit-bounce
estável
2
Figura 5.22 – Índice de perda de contato.
Avaliando as curvas de torque médio 〈(〉, na intersecção do mapa de estabilidade com
plano
2
= 7 (Figura 5.23), observa-se um comportamento ascendente, o que é bem
distinto do esperado sob a ótica da modelagem clássica (lei de atrito equivalente), onde
a característica de decaimento é condição essencial para o desenvolvimento de
65
vibrações do tipo stick-slip. Pela modelagem apresentada, mostra-se que esta
característica não é essencial.
〈(〉
2
Figura 5.23 – Evolução do torque médio com as rotações ( = 0,36).
Além disso, observa-se que o perfil ascendente da curva de torque médio ocorre para
uma broca com
< 1. Esta constatação vai de encontro com o exposto em trabalhos
anteriores (RICHARD, 2001; GERMAY, 2002; RICHARD et al., 2007), onde tal condição
era diretamente associada a um decaimento do torque médio e o inverso para uma
broca com
> 1.
Em NANDAKUMAR e WIERCIGROCH (2013), a estabilidade do sistema dinâmico é
quantificada através dos autovalores do sistema linearizado em torno da solução de
referência. Nesse trabalho foi considerado um caso muito semelhante ao apresentado
pela Tabela 5.3, diferindo apenas do parâmetro de desgaste
= 0,745. A Figura 5.24
compara a solução apresentada por NANDAKUMAR e WIERCIGROCH (2013) com os
mapas de severidade à vibração torcional calculados pela equação (5.2).
66
Figura 5.24 – Comparação entre a solução de NANDAKUMAR e WIERCIGROCH (2013) e mapa de
severidade à vibrações torcionais ( = 0,745).
Observa-se que as constatações em relação à indução de vibrações torcionais pelo
aumento das rotações são contempladas pelo trabalho em questão. Além disso, é obtida
uma boa correspondência entre os resultados simulados. Para as regiões imediatamente
acima da curva que define a estabilidade do sistema, em preto, o índice de estabilidade
não apresenta condição de stick-slip devido ao tempo total de análise estar limitado a
200 unidades de tempo. Para um tempo de simulação superior a região em vermelho
tende a se aproximar da curva em preto. Na região inferior e à esquerda do gráfico,
observa-se a ocorrência de uma fase de stick-slip axial (Figura 5.25 e Figura 5.26). Para
facilitar a identificação, os valores de QFQ foram assumidos iguais a -1 e atribuídos à cor
cinza. É importante destacar que pela metodologia apresentada por NANDAKUMAR e
WIERCIGROCH (2013) é apenas possível identificar as regiões de estabilidade e
instabilidade, não sendo possível aferir o tipo de vibração que desencadeia o processo
de instabilidade.
Avaliando a resposta do sistema apresentado na Figura 5.24 em um ponto pertencente
à região em stick-slip axial (
2
= 2,5 e ?
2
− @/2… = 0,2), observa-se o
desenvolvimento de uma fase de stick-slip na velocidade axial, enquanto que às
rotações de fundo mantêm um padrão uniforme de vibrações (Figura 5.25). Com o
decorrer da simulação as vibrações torcionais aumentam de amplitude até que um
padrão de stick-slip torcional se desenvolva simultaneamente ao axial (Figura 5.26).
67
Figura 5.25 – Ocorrência de stick-slip na fase axial ( = 0,745,
2
= 2,5 e
2
= 1,373).
Figura 5.26 – Ocorrência de stick-slip na fase axial e torcional simultaneamente
( = 0,745, 2 = 2,5 e 2 = 1,373).
Influência das forças de atrito: Durante a evolução da dinâmica do sistema, as parcelas
de atrito
9
e (9 apresentam um papel fundamental, pois a medida que o sistema é
submetido a um determinado nível de vibrações, ocorre a perda de contato de fundo do
cortador (Figura 4.3), tornando os esforços
e ( descontínuos. À medida que se perde
contato, a energia que estava sendo dissipada por atrito é transferida ao processo de
corte, aumentando a eficiência da perfuração. Pela definição utilizada para as parcelas
de atrito (4.31), estas são funções da área de desgaste dos cortadores, de forma que tais
efeitos são mais pronunciados em brocas com desgaste.
A Figura 5.27 apresenta um mapa de estabilidade torcional do sistema, considerando
um desgaste acumulado F = 4,9ii ( = 3,04). Observa-se uma considerável
alteração na forma do diagrama quando comparado à Figura 5.20. A coexistência entre
duas regiões de stick-slip é um interessante indício de que a estratégia de mitigação de
vibrações deve depender das características do sistema, não existindo solução padrão
(ex. aumento das rotações e/ou redução do peso).
68
stick-slip
bit-bounce
2
estável
stick-slip
bit-bounce
2
Figura 5.27 – Mapa de estabilidade torcional ( = 3,04).
No intuito de avaliar a influência da perda de contato, entre os cortadores e a rocha, na
estabilidade torcional do sistema, a Figura 5.28 apresenta o mapa do índice Γ. Observa-
se que na parte central do diagrama existe o pleno contato entre cortador e rocha,
similar ao observado na Figura 5.22. Para as regiões onde ocorre o stick-slip, observa-se
o crescimento de Γ.
stick-slip
bit-bounce
2
estável
stick-slip
bit-bounce
2
Figura 5.28 – Índice de perda de contato ( = 3,04).
A Figura 5.29 apresenta o índice de estabilidade para a condição de
2
2
=5 e
= [3, 6]. Nesta região é observado o comportamento clássico do sistema, onde o
69
aumento das rotações mitiga as vibrações torcionais. Tal resultado também é
verificando pelo mapa de estabilidade torcional apresentado na Figura 5.27.
Figura 5.29 – Índice de vibrações torcionais (
Avaliando a curva de torque médio 〈(〉 para a região
2
=5e
2
= 3,04).
=5e
2
= [1,5, 6] (Figura
5.30), observa-se a existência de dois padrões de comportamento. À medida que a
velocidade angular é incrementada, a curva de torque é ascendente até um valor crítico
∗
2
= 2,5, onde a partir daí apresenta um comportamento clássico de decréscimo com
as rotações. Ao passo que o sistema perfura em condições estáveis, onde é observado
o amortecimento das vibrações, o comportamento do torque médio se mantém
praticamente constante, indicando que este é dependente do nível de vibrações do
sistema.
〈(〉
2
Figura 5.30 – Evolução do torque médio pelas rotações (
Avaliando o mesmo resultado na região
2
= 11 e
2
2
=5e
= 3,04).
= [8, 16], observa-se o mesmo
comportamento descrito no cenário anterior (Figura 5.31), onde em situações de stickslip o comportamento do torque médio apresenta característica crescente.
70
〈(〉
ω•
Figura 5.31 – Evolução do torque médio pelas rotações (
2
= 11 e
= 3,04).
A Figura 5.32 considera o mesmo cenário, mas agora para um intervalo maior dos
parâmetros de controle. Observa-se a ocorrência de eventos de bit-bounce para valores
de
2
> 21. Este é um fato particularmente interessante, pois o sistema anteriormente
apresentava um padrão de vibrações do tipo stick-slip que posteriormente degenerou a
um evento de bit-bounce (Figura 5.33). Devido a essa transição ocorrer para um tempo
longo de simulação, este evento não pode ser detectado por uma análise de estabilidade
convencional (NANDAKUMAR e WIERCIGROCH, 2013). A Figura 5.33 apresenta os
resultados para a profundidade de corte e a velocidade angular, considerando os
parâmetros de controle
2
= 18 e
2
= 24.
71
2
ω•
Figura 5.32 – Mapa de estabilidade torcional para um range estendido de parâmetros ( = 3,04).
Figura 5.33 – Transição entre stick-slip e bit-bounce ( = 3,04,
2
= 18 e
2
= 24).
No entanto, é importante destacar que o modelo de interação broca-rocha
implementado não apresenta resultados realistas para altos pesos sobre broca. Como
pode ser observado na Figura 5.33, a profundidade de corte atinge valores em torno de
80, correspondendo à parcela de corte do peso sobre broca
parcela de atrito
9
8,
e através do cálculo da
= , observa-se que esta corresponde a apenas 3,7% da parcela de
corte. De fato, esta é uma consequência do modelo broca-rocha, pois este assume
72
forças de dissipação constantes e proporcionais à resistência da rocha e ao desgaste dos
cortadores apenas, não sendo influenciadas pelo peso aplicado.
Influência do comprimento dos tubos de perfuração: Para avaliar a influência dos tubos
de perfuração é necessária certa cautela, pois a adimensionalização realizada é função
dos parâmetros %∗ e
∗,
que por sua vez dependem do comprimento dos tubos de
perfuração. Desta forma, a resposta adimensional do sistema fica atrelada à
profundidade, dificultando bastante a comparação de resultados para diferentes
comprimentos de coluna. Para evitar esse inconveniente, é necessário definir
parâmetros de referência únicos %∗ e
∗,
que realizam a adimensionalização do sistema
para todas as profundidades. Neste caso consideraremos 1000i como profundidade
de referência. O cenário avaliado é semelhante ao apresentado na seção anterior para
a broca desgastada (F = 4,9ii), no entanto são avaliadas novas condições de
contorno de superfície. A Tabela 5.4 apresenta o resumo dos parâmetros utilizados nas
simulações. Os termos em branco da tabela indicam que não há alteração deste valor
em relação à primeira linha.
Tabela 5.4 – Parâmetros do modelo variando o comprimento dos tubos de perfuração %+ .
%+
[i]
500
1000
1500
2000
2500
3000
]2
Ω2
2
[aFb ] [N&i]
15
100
6,39
2
3,67
a
0,008
0,010
0,011
0,012
0,013
0,014
0,008
0,010
0,011
0,012
0,013
0,014
"
1,580
1,584
1,587
1,590
1,592
1,594
6,90
13,90
20,90
27,95
35,03
42,13
3,04
0,36
4
A Figura 5.34 apresenta a evolução do espaço de fase torcional em função do
comprimento dos tubos de perfuração.
73
Figura 5.34 – Variação do espaço de fase ao longo da profundidade.
Observa-se que para baixas profundidades, o sistema apresenta resposta periódica de
período 1. À medida que o comprimento da coluna aumenta, a amplitude da resposta
cresce até que a resposta degenere à um padrão do tipo stick-slip. Para o valor de
3000i o sistema apresenta bit-bounce, e por limitação do modelo implementado o
espaço de fase é computado apenas até o momento onde a broca perde pleno contato
com rocha ( < 0). Este padrão de resposta é condizente com o observado em campo,
onde o fenômeno de stick-slip é mais pronunciado em grandes profundidades.
Influência da resistência compressiva da rocha: Utilizando metodologia empregada
para avaliar a influência do comprimento dos tubos de perfuração na dinâmica do
sistema, define-se uma resistência de referência para a rocha, ' ∗ = 60HK). Desta
forma são calculados os parâmetros de referência únicos do sistema, %∗ e
∗.
Para as
simulações o cenário de referência corresponde à condição de broca desgastada
(F = 4,9ii).
74
Tabela 5.5 – Parâmetros do modelo variando a resistência da rocha '.
'
]2
[HK)] [aFb ]
60
15
80
100
Ω2
[N&i]
100
2
2
6,39
3,67
a
0,010
0,010
"
1,584
13,90
18,50
23,12
3,04
0,36
4
A Figura 5.34 apresenta a evolução do espaço de fase torcional em função da resistência
compressiva da rocha.
Figura 5.35 – Variação do espaço de fase em função da resistência da rocha.
Baseado na Figura 5.35, observa-se que para as condições simuladas, o nível de
vibrações torcionais aumenta com a resistência da rocha, sendo condizente com relatos
experimentais.
Influência de Ç: Partindo do caso equivalente à broca desgastada e considerando um
peso
2
= 8, avalia-se a influência do parâmetro " na estabilidade do sistema. Ao
analisar o comportamento do índice de severidade na Figura 5.27, para
2
= 8, este
deve ser reproduzido na Figura 5.36, para a condição de " = 13,9. A interpretação da
Figura 5.36 indica que para o cenário avaliado, tanto o aumento das rotações quanto a
diminuição de " podem mitigar vibrações torcionais. No entanto esta constatação vale
para pequenas regiões do mapa apresentado, sendo que em sua maior parte a
estratégia seria contrária. É importante destacar que esta conclusão é para uma variação
de " independente dos demais parâmetros do sistema. O caso apresentado
anteriormente para a variação do comprimento dos tubos de perfuração é um exemplo
de que a variação direta de " não representa o aumento do comprimento da coluna
apenas, pois as demais variáveis do sistema necessitariam ser alteradas.
75
"
ω•
Figura 5.36 – Influência de " na estabilidade do sistema ( = 3,04,
2
= 8).
Diagrama de bifurcação: Para um conjunto específico de parâmetros apresentados na
Tabela 5.6 avalia-se o comportamento global do sistema a partir do diagrama de
bifurcação em relação ao parâmetro
2.
Os diagramas de bifurcação relacionam uma
dada variável do sistema com um de seus parâmetros. Tais parâmetros são
incrementados de forma quasi-estática e a variável avaliada é extraída da respectiva
seção de Poincaré. Devido ao sistema ser auto-excitado, as seções de Poincaré
torcionais e axiais foram construídas considerando a interseção do sistema com plano
L = 0 e # • = 0, respectivamente.
Devido à grande quantidade de simulações envolvidas para computar os diagramas de
bifurcação, foi realizada uma análise de sensibilidade do método de integração e
decidiu-se pela utilização do método de Euler de 1ª ordem com passo de integração de
1E-3.
]2 7 − 8,2
2
6
^
1,3
Tabela 5.6 – Parâmetros base do modelo.
a
0,01
0,01
1,58
"
4,5
0,36
0,021
4
A Figura 5.37 e a Figura 5.38 representam os diagramas de bifurcação axial e torcional.
Para o intervalo analisado, observa-se um comportamento periódico do sistema até um
determinado valor crítico
2
= 8,07, onde a profundidade de corte é menor que zero,
caracterizando o fenômeno de bit-bounce. O modelo apresentado neste trabalho
descreve o processo de corte de rocha, não sendo capaz de avaliar o fenômeno de
76
impacto entre a broca e a formação. Desta forma a região de bit-bounce é marcada por
uma tarja cinza.
Bit-bounce
2
Figura 5.37 – Diagrama de bifurcação axial ( #
2 ).
ω
Bit-bounce
2
Figura 5.38 – Diagrama de bifurcação torcional ( #
2 ).
A Figura 5.39 destaca os espaços de fase e seções de Poincaré para
2
= 7,6. Nesta
condição observa-se que a dinâmica torcional apresenta uma resposta de período 2,
com a ocorrência de rotação reversa da broca e fase bem definida de stick. Para o caso
axial, verifica-se pela Figura 5.39b uma resposta de período 2. A Figura 5.40 apresenta
o espaço de fase em relação à profundidade de corte .
77
Figura 5.39 – Espaço de fase torcional e axial (
Figura 5.40 – Espaço de fase #$ (
78
2
= 7,6).
2 =7,6).
5.2. MODELO DE ATRITO EQUIVALENTE
Este item investiga a dinâmica da coluna de perfuração considerando o modelo de atrito
equivalente. Considera-se o mesmo cenário base utilizado na seção 5.1 (Tabela 5.7), no
entanto, alguns parâmetros novos necessitam ser definidos em função do modelo
broca-rocha escolhido (Tabela 5.8). É importante destacar que a definição destes
parâmetros adicionais não advém de nenhuma equivalência matemática. Desta forma
não há garantia de que as respostas comparadas entre os modelos convirjam de uma
forma quantitativa. Portanto, tem-se interesse em uma análise qualitativa da resposta
do sistema.
2
4,064
2
7,336
¯
1,3
Tabela 5.7 – Parâmetros base do modelo.
a
0,01
0,01
1,58
"
13,9
0,36
Tabela 5.8 – Parâmetros extras para definição dos forçamentos ( e
2
1,0
0
0,2
8
2,0
Q2 0,01
,
3
0,021
.
4
Utilizando os parâmetros inicialmente propostos na seção 5.1, obtém-se uma reposta
estável do sistema, ver Figura 5.41. A Pela análise dos espaços de fase do sistema na
Figura 5.42, observa-se uma aparente correspondência entre as respostas dos modelos,
com resultados na mesma ordem de grandeza.
Figura 5.41 – Amortecimento retratado pela história no tempo da rotação e velocidade axial.
79
Figura 5.42 – Espaço de fase torcional e axial: (Topo) Modelo de atrito equivalente. (Base) Modelo de
corte para brocas PDC.
A Figura 5.43 apresenta a evolução do índice de vibrações torcionais ao longo dos i
ciclos. De maneira similar ao modelo de corte, obtém-se uma resposta em regime quasiperiódico.
Figura 5.43 – Índice de vibrações torcionais x número de ciclos m.
Influência da velocidade angular de superfície: Como é de se esperar para um modelo
de interação do tipo decaimento exponencial, o aumento das rotações sempre gera uma
80
redução nas vibrações torcionais. Pela comparação entre a Figura 5.44 e a Figura 5.18,
observa-se que para um mesmo sistema, ocorre uma inversão no padrão de resposta
mediante a escolha do modelo broca-rocha.
Figura 5.44 – Influência da velocidade angular no sls.
A Figura 5.45 representa os espaços de fase do sistema para
2
= 4. Verifica-se o
desenvolvimento do padrão de vibrações do tipo stick-slip para QFQ ≥ 1,0.
Figura 5.45 – Espaço de fase torcional e axial (
2
= 4).
Mapa de estabilidade: Utilizando a mesma estratégia adotada na seção 5.1.2, o mapa
de estabilidade é gerado para o cenário apresentado na Tabela 5.7. A Figura 5.46 mostra
a existência de apenas uma tendência para mitigação de vibrações, mediante a redução
de peso e aumento de rotações. A Figura 5.47 é uma representação tridimensional da
Figura 5.46. FRANCA (2004) realizou um estudo acerca da estabilidade de um sistema
semelhante ao implementado neste trabalho (atrito equivalente) e os resultados
apresentam o mesmo tipo de comportamento (Figura 1.9).
81
stick-slip
estável
2
2
Figura 5.46 – Mapa de severidade torcional ( = 0,021).
2
2
Figura 5.47 – Superfície de severidade torcional.
Influência das forças de atrito: Realizando a mesma análise da seção anterior, mas
considerando o cenário de uma broca desgastada, avalia-se a influência das parcelas de
atrito
9
e (9 na dinâmica do sistema. A Figura 5.48 apresenta um mapa de estabilidade
torcional do sistema, considerando um desgaste acumulado F = 4,9ii ( = 3,04).
Observa-se que de maneira semelhante à Figura 5.27, ocorre a existência de bit-bounce
para baixos pesos sobre broca. No entanto, apenas um padrão de resposta é observado
82
durante os eventos de stick-slip (alto peso e baixa rotação). A Figura 5.49 é uma
representação tridimensional da Figura 5.48.
stick-slip
estável
2
Bit-bounce
2
Figura 5.48 – Mapa de severidade torcional ( = 3,04).
2
2
Figura 5.49 – Superfície de severidade torcional.
83
6. CONCLUSÃO
O desenvolvimento deste trabalho está contextualizado no problema de vibrações de
colunas de perfuração e na influência que modelos de interação broca-rocha
representam no comportamento dinâmico do sistema. Especificamente são analisadas
as vibrações axiais e torcionais de uma coluna de perfuração, composta por dois graus
de liberdade acoplados por leis de interação broca rocha. Leis estas que apresentam
papel fundamental nos padrões de respostas produzidos pelo modelo. Desta forma, ao
avaliar estratégias de mitigação de vibrações, é fundamental ter um modelo broca-rocha
representativo e bem caracterizado, pois uma definição imprecisa destas leis pode levar
à tomada de decisões equivocadas.
Neste trabalho foram implementados dois modelos de interação broca-rocha: (1)
modelo de corte compatível com ensaios de único cortador onde “efeitos de
velocidade” não são observados; (2) lei de atrito equivalente, representando a
modelagem clássica do problema através de uma relação de decaimento exponencial.
Para ambos os modelos é possível caracterizar as fases de stick-slip, onde grande
variação na rotação de fundo é observada, resultando na completa parada da broca por
um tempo finito, seguindo de uma fase de grande aceleração, aonde a velocidade de
fundo chega de duas a três vezes a rotação imposta em superfície. Eventos de bit-bounce
são observados para ambos os modelos, no entanto estes não são simulados, apenas
detectados.
O modelo de corte implementado neste trabalho foi validado comparativamente com
resultados previamente publicados por RICHARD (2001), GERMAY (2002) e RICHARD et
al. (2007), obtendo boa correspondência para os casos simulados. Para avaliação do
nível médio de vibrações foram utilizados índices de severidade à vibrações torcionais e
de perda de contato, propostos por RICHARD (2001) e GERMAY (2002). Neste sentido,
foi observada uma clara relação entre a perda de contato intermitente da base dos
cortadores com a rocha e os fenômenos de stick-slip. Uma característica importante dos
trabalhos citados é a não consideração dos amortecimentos e rigidez axial do problema.
Para avaliar esta influência no comportamento do sistema, foram simulados alguns
cenários comparativos, sendo observado que tais considerações impactam
84
drasticamente o padrão de resposta do sistema, podendo alternar entre um cenário de
ausência de vibrações a um padrão de oscilações do tipo stick-slip.
No intuito de simplificar a entrada de dados do modelo e verificar a influência
paramétrica das variáveis, uma formulação adimensional do problema foi desenvolvida.
Atenção especial deve ser dada ao avaliar a influência de alguns parâmetros no
comportamento do sistema. Por exemplo, ao variar o comprimento da coluna de
perfuração, praticamente todas as variáveis adimensionais precisam ser recalculadas,
inclusive os forçamentos. Para evitar este inconveniente, definiu-se uma condição fixa
para o cálculo dos parâmetros de referência, sendo possível a comparação de resultados
para diversas propriedades. Desta forma foi verificado que as vibrações do tipo stick-slip
estão mais associadas à brocas com desgastes na estrutura de corte, durante a
perfuração de rochas duras e para poços profundos.
A relação entre as parcelas de atrito e as parcelas totais dos esforços possui um papel
dominante no comportamento do sistema, podendo alterar completamente os padrões
de resposta do modelo. Para baixas parcelas de atrito, o sistema apresenta
comportamento não usual, onde o aumento das rotações pode induzir o aparecimento
de stick-slip. No entanto ao alteramos a relação entre as forças dissipativas e as forças
de corte (aumento da área de desgaste da broca), o diagrama de estabilidade tem sua
forma alterada, apresentando duas tendências quanto à mitigação de vibrações. A
depender das condições do sistema, o aumento da velocidade angular pode induzir ou
mitigar as vibrações do tipo stick-slip. Desta forma, pela metodologia apresentada, não
se pode garantir que o aumento das rotações sempre será um agente mitigador de
vibrações torcionais. Esta já era uma conclusão do trabalho de NANDAKUMAR e
WIERCIGROCH (2013), no entanto neste não era possível identificar eventos longe da
condição em regime permanente, ou seja, não apresente uma distinção entre stick-slip
e bit-bounce. Pelos diagramas de estabilidade apresentados neste trabalho é possível
avaliar a fronteira entre tais modos de vibração.
Outro resultado não usual encontrado para o modelo de corte, diz respeito ao
comportamento do torque médio em função das rotações, onde este possui
características bem mais complexas que as assumidas no modelo de decaimento
exponencial. Utilizando o modelo de corte, é possível identificar regiões de stick-slip
85
associadas a curvas ascendentes de torque médio pelas rotações. Do ponto de vista da
modelagem clássica, este cenário não seria possível. Portanto pela metodologia
apresentada neste trabalho, mostra-se que uma lei de decaimento não é condição
essencial ao desenvolvimento de vibrações do tipo stick-slip. Além disso, o
comportamento do torque médio pelas rotações é bastante influenciado pelas
vibrações do modelo, evoluindo ao longo das diversas condições externas do modelo.
Desta forma a consideração de leis de atrito equivalente constantes como uma
propriedade constitutiva do modelo broca rocha, não é capaz de retratar toda a gama
de fenômenos observados pelos modelos de corte.
Alguns autores associaram o comportamento ascendente do torque médio a uma
característica exclusivamente dependente da broca, através do parâmetro
>1
(RICHARD, 2001; GERMAY, 2002; RICHARD et al., 2007). No entanto as simulações
realizadas indicam que mesmo para brocas com
< 1, relações de torque médio
ascendente e descendente podem ser calculadas, sendo estas funções do nível de
vibrações do sistema.
Diagramas de bifurcação foram avaliados para o modelo proposto, no entanto para o
intervalo de parâmetros simulados, um comportamento aperiódico não foi observado.
Acredita-se que uma dinâmica mais rica do problema ocorre nas regiões onde a broca
perde contato com a formação. Essas regiões não podem ser avaliadas por limitação do
modelo implementado.
Sugestões para trabalhos futuros:
No intuito de realizar um estudo dinâmico mais completo do fenômeno de vibrações de
colunas de perfuração, sugere-se o aprimoramento do modelo para consideração da
vibração lateral. Desta forma, um envelope de estabilidade considerando às três formas
severas de tais oscilações seria gerado e estratégias de mitigação seriam desenvolvidas
com um maior grau de confiança. Além disso, enxerga-se como necessária a expansão
do modelo à
graus de liberdade, permitindo a avaliação dos principais modos de
vibração da coluna, incluindo a aplicação de condições de contorno de superfície
quaisquer, o que permitirá a avaliação das perturbações geradas em superfície no
comportamento do sistema.
86
Para investigação de uma dinâmica aperiódica do sistema, acredita-se que a integração
do modelo de corte apresentado neste trabalho, com o problema de impacto entre a
broca e a rocha seja uma evolução natural. No entanto a correta modelagem do
problema de bit-bounce, utilizando o modelo de corte apresentado neste trabalho, é um
tanto complexa, pois é necessária a correta caracterização das profundidades de corte
e defasagem do sistema durante os eventos de bit-bounce. Para tal, é necessária a
avaliação da evolução do perfil de fundo de poço, juntamente com o mapeamento da
posição dos cortadores ao longo da análise.
Como já explicitado neste capítulo, os efeitos dissipativos do atrito de fundo são
bastante relevantes no comportamento dinâmico do sistema. No entanto, a formulação
como está implementada (DETOURNAY e DEFOURNY, 1992; RICHARD, 2001; RICHARD
et al., 2007; NANDAKUMAR e WIERCIGROCH, 2013), não permite o incremento das
forças de atrito em função do peso sobre broca. Desta forma, o incremento de força é
transmitido às parcelas de corte de maneira irrestrita, refletindo em uma maior
profundidade de corte
. No entanto este comportamento não é observado
experimentalmente, onde o incremento de peso, a partir de um determinado valor
crítico, resulta também em um incremento das forças de atrito. Desta forma, a inclusão
deste fenômeno no modelo deve produzir novas características aos diagramas de
estabilidade, podendo levar à identificação de adicionais particularidades do sistema.
Além disso, para obtenção de maior confiança nos resultados teóricos do modelo, fazse necessário sua validação com os resultados experimentais disponíveis.
87
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