Departamento de Física da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa
Mecânica A
2008/09
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MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME – Força centrípeta
1.
Objectivo
Verificar a relação entre a força responsável pelo movimento circular, a velocidade e o
raio da trajectória.
2.
Introdução
r
Uma partícula sujeita à acção de uma força resultante F não nula descreve uma
r
trajectória curvilínea se esta força for não colinear com a velocidade v da partícula. Nestas
r
condições, a aceleração é não colinear com v e pode ser decomposta numa componente paralela
r
à velocidade, tangente à trajectória e responsável pela variação do módulo de v , e uma normal à
velocidade que será responsável pela mudança de direcção desta.
r
r
duv r r
dv r
r dv d
r
a=
= ( v uv ) = uv + v
= aT + aN
dt dt
dt
dt
r
r
r
duv
r
onde u v é um vector unitário paralelo a v . Pode mostrar-se que
é perpendicular a uv
dt
r
r r
r
du v
r du v 1 d (u v ⋅ u v ) 1 d (1)
r
uv ⋅
=
=
= 0 ⇒ uv ⊥
dt
dt
dt
2
2 dt
logo,
dv r
dv
r
r
aT = dt uv ⇒ aT = dt

r
2
ar = v duv ⇒ ar = v
N
 N
dt
R
r
Nota: O resultado para duv dt é geral, representando R o raio de curvatura da trajectória em
cada ponto. Pode facilmente ser demonstrado para um movimento circular (movimento plano
r
r
r
r
r
com
R = constante):
duv dt = d (sin θ u x + cos θ u y ) dt = (cosθ u x − sin θ u y ) dθ dt ,
com
θ=
l
dθ 1 dl v
⇒
=
= , em que l representa o comprimento do arco que subtende o ângulo
R
dt R dt R
θ.
As componentes das forças que actuam na partícula são assim:
Movimento circular uniforme





r
dv
FT = m
dt
r
v2
FN = m
R
r
Define-se movimento circular uniforme como um movimento uniforme ( v = constante),
em que a trajectória descrita é circular. Assim, a velocidade varia em direcção e sentido, sendo
não nula a componente da aceleração normal à velocidade. Para que um corpo tenha este tipo de
movimento, a resultante das forças que nele actuam é não nula, normal à trajectória e aponta para
o interior desta (força centrípeta)
r
v2
FN = m = mω 2 R
R
onde ω representa a velocidade angular do corpo: ω = dθ dt = v R .
3.
Para resolver antes da aula de realização do trabalho
1) O que é um movimento uniforme?
2) Represente as forças a que fica sujeito o corpo m no seu movimento circular.
3) Qual é a velocidade linear de um corpo que roda com uma frequência de 100 rotações por
minuto no extremo de um fio de 40 cm?
4) Qual é o período T de um movimento circular uniforme com velocidade angular ω ?
5) Se m =
A
e A e R forem medidos com uma precisão ∆A e ∆R respectivamente, qual é
R
o erro ∆m associado a m ?
4.
Realização experimental
Material: sistema experimental, Datastudio, voltímetro, régua, fita métrica, balança.
Neste trabalho vai estudar o movimento circular uniforme de um corpo de massa m. O
esquema da montagem está representado na figura.
Sensor de força
m
2(4)
Movimento circular uniforme
Um motor de velocidade regulável permite imprimir a um corpo de massa m, preso na
extremidade de um fio, um movimento de rotação com velocidade angular constante. A força
responsável por este movimento, devida à tensão do fio, é medida por um sensor de força ao qual
o fio está ligado. Este sensor de força opera numa gama de – 50 N a + 50 N o que corresponde, à
saída, a diferenças de potencial entre – 8 V e + 8 V. Contudo, na presente experiência nunca
serão aplicadas ao corpo velocidades que originem respostas do sensor de força superiores, em
valor absoluto, a 0.3 V.
Um detector de presença de objectos, ligado à interface de um computador, permite
medir o período do movimento circular cujo valor é registado utilizando o “software” adequado
(DataStudio, opção sensor: temporizador da fotoporta).
1. Ligue o sensor de força à fonte de alimentação e regule, com a ajuda de um multímetro, o
valor da tensão de alimentação do sensor para 12 V. Uma vez feito este ajuste deve retirar o
multímetro.
2. Ligue a saída do sensor de força ao multímetro o que lhe permitirá, posteriormente, medir a
resposta do sensor e obter o valor da força responsável pelo movimento. Para conhecer o
valor da força deve usar a relação 8 V ÅÆ 50 N.
3. Determine a massa, m ± ∆m , e a altura, h ± ∆h , do cilindro que vai descrever um
movimento circular uniforme.
4. Meça o comprimento do fio esticado, L ± ∆L , e determine o raio R ± ∆R da trajectória que
irá ser descrita pelo corpo.
ATENÇÃO! – Antes de ligar o interruptor do controlo do motor, certifique-se de que o
potenciómetro está na posição correspondente à velocidade mínima e, depois de ligado, aumente
gradualmente a velocidade de rotação até ao valor pretendido. Do mesmo modo, antes de
desligar o motor, reduza a sua velocidade. COM O MOTOR LIGADO NUNCA COLOQUE
AS MÃOS DENTRO DA REGIÃO PROTEGIDA!
5. Com o interruptor de controlo do motor desligado carregue no botão “tare” do sensor de
força para ajustar o zero da força.
6. Utilizando o motor ponha o corpo a rodar. Não aplique ao corpo velocidades que
originem respostas do sensor de força superiores, em valor absoluto, a 0.3 V.
Utilizando o software adequado inicie a aquisição de 10 valores do período T do
movimento. Seleccione as opções que lhe permitam conhecer automaticamente o valor
3(4)
Movimento circular uniforme
médio, máximo e mínimo do período do movimento. Registe o valor médio do período do
movimento e o desvio máximo em relação à média, T ± ∆T . Registe o ponto médio do
intervalo de valores da resposta V do sensor de força e o valor dos desvios, V ± ∆V .
7. Repita os passos 4 e 5 para nove valores da força de tensão diferentes, e.g. de 0,300 V a
0,060 V em passos de 0,030 V no multímetro.
8. O raio do movimento circular pode ser regulado, alterando a posição do ponto de
suspensão do fio ligado ao corpo. Para um valor diferente do raio da trajectória repita o
procedimento descrito nos passos 3 a 6.
9. Construa uma tabela com os valores experimentais (V, T) tendo o cuidado de indicar a
precisão com que são medidos. Utilizando o factor de conversão 8 V ÅÆ 50 N pode, a
partir dos valores da resposta V, conhecer a força F de tensão no fio, que regista numa nova
coluna da mesma tabela. Noutra coluna calcule os valores ω 2 .
10. Construa um gráfico onde relaciona a força centrípeta com o quadrado da velocidade
angular para os dois valores do raio da trajectória do corpo. A partir desse traçado escreva a
expressão que traduz a relação entre aquelas grandezas.
11. Obtenha para cada raio da trajectória o valor da constante que aparece na expressão que
escreveu anteriormente e a respectiva incerteza e deduza valores para m ± ∆m . Compare
esse valor com a medida experimental directa da massa do corpo.
12. Foram alcançados os objectivos a que nos propusemos? Justifique a sua resposta.
4(4)