Geometria Analı́tica e Cálculo Vetorial - Prova 1
Alex Abreu
03/05/2011
1. Sejam A = (0, 0, 0), B = (2, 1, 1), C = (1, 0, 1), seja α o plano por A, B e C. Seja l a reta por
A perpendicular a α e r a reta por A contida em α e perpendicular a reta BC.
(a) Ache uma equação para a reta l e uma para a reta r.
(b) Verifique que nenhum ponto da reta l é equidistante de B e C.
√
(c) Ache todos os planos contendo r que distem
10
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do ponto C.
√
(d) Verifique que toda reta por C perpendicular a reta BC tem distância
2
2
da reta l.
2. Prove que dado um triângulo, sempre existe uma mudança de coordenadas (não necessariamente ortonormal) que transforma esse triângulo num triângulo equilátero.
3. Seja ABC um triângulo com A = (0, 0), B = (1, 0) e C = (a, b) com a, b > 0.
(a) Ache as coordenadas dos pontos médios M , N e P dos lados BC, CA e AB e dos pés
das alturas D, E e F dos lados BC, CA e AB. (Lembrando que uma altura é a reta por
um vértice perpendicular ao lado oposto, e o pé da altura é o ponto em que tal altura
encontra o lado oposto.)
(b) Ache as coordenadas do circuncentro O do triângulo M N P . (Lembrando que o circuncentro é o encontro das mediatrizes, ou o ponto que é equidistante dos vértices.)
(c) Verifique que O está nas mediatrizes de M D, N E e P F . Conclua que existe uma
circunferência que contém os 6 pontos M , N , P , D, E e F . (Dica: prove que a reta que
liga O ao ponto médio de M D é perpendicular a M D, e igualmente pros demais.)
Lembrando, se u = (x1 , y1 , z1 ) e v = (x2 , y2 , z2 ) então
u⊗v
=
(y1 z2 − y2 z1 , z1 x2 − z2 x1 , x1 y2 − x2 y1 )
hu, vi = |u||v| cos(θ)
hu, vi = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
A distância de um ponto P a uma reta l no espaço é dada pela fórmula
|hn,P −Ai|
.
|n|
|(P −A)⊗(B−A)|
|B−A|
enquanto
que a distância a um plano α é
O ângulo entre duas retas, uma por A e B e a outra por C e D é o ângulo entre os vetores
diretores B − A e D − C, enquanto que o ângulo entre uma reta por A e B e um plano é o
complementar do ângulo entre um vetor normal n ao plano e o vetor B − A.
A distância entre duas retas, uma por A com vetor diretor v e outra por B com vetor diretor u
é det(u,v,B−A)
.
|u⊗v|