Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 9 - Inequações
01
a)
x ⋅ (x – 3) > 0
↓
↓
raiz: x = 0 raiz: x = 3
S = {x ∈ R | x < 0 ou x > 3}
b)
x ⋅ (x – 3) ≤ 0
↓
↓
raiz: x = 0 raiz: x = 3
S = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 3}
c) x2 > 3x ⇒ x2 – 3x > 0
x ⋅ (x – 3) > 0
↓
↓
raiz: x = 0 raiz: x = 3
S = {x ∈ R | x < 0 ou x > 3}
d) x2 < 9 ⇒ x2 – 9 < 0 ⇒ x2 – 32 < 0
(x + 3)
⋅ (x – 3) < 0
↓
↓
raiz: x = –3 raiz: x = 3
S = {x ∈ R | –3 < x < 3}
1
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 9 - Inequações
e) x2 ≥ 9 ⇒ x2 – 9 ≥ 0 ⇒ x2 – 32 ≥ 0
(x + 3)
↓
raiz: x = –3
⋅
(x – 3) ≥ 0
↓
raiz: x = 3
S = {x ∈ R | x ≤ –3 ou x ≥ 3}
Respostas:
a) S = {x ∈ R | x < 0 ou x > 3}
b) S = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 3}
c) S = {x ∈ R | x < 0 ou x > 3}
d) S = {x ∈ R | –3 < x < 3}
e) S = {x ∈ R | x ≤ –3 ou x ≥ 3}
2
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 9 - Inequações
02
a) x2 – 6x + 5 ≤ 0
↓
raízes: x1 = 1 e x2 = 5
(x – 1) ⋅ (x – 5) ≤ 0
S = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 5}
b) x2 – 5x + 6 ≥ 0
↓
raízes: x1 = 1 e x2 = 3
(x – 2) ⋅ (x – 3) ≥ 0
S = {x ∈ R | x ≤ 2 ou x ≥ 3}
c) x2 – x – 2 > 0
↓
raízes: x1 = –1 e x2 = 2
(x + 1) ⋅ (x – 2) > 0
S = {x ∈ R | x < –1 ou x > 2}
3
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 9 - Inequações
d) x2 – x + 2 > 0
↓
Qualquer x real satisfaz a inequação.
Portanto: S = R
e) x2 – x + 2 ≤ 0
↓
Não há raízes reais.
Portanto: S = ∅
Respostas:
a) S = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 5}
b) S = {x ∈ R | x ≤ 2 ou x ≥ 3}
c) S = {x ∈ R | x < –1 ou x > 2}
d) S = R
e) S = ∅
Observação: Desconsidere o gabarito dado para o item b desta questão,
no Caderno de Exercícios, e considere a resposta acima.
4
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 9 - Inequações
03
a) x2 – 2x + 1 > 0 ⇒ (x – 1)2 > 0
(x – 1) ⋅ (x – 1) > 0
↓
↓
raiz: x = 1 raiz: x = 1
S = R – {1}
b) x2 – 2x + 1 ≥ 0 ⇒ (x – 1)2 ≥ 0
(x – 1) ⋅
↓
raiz: x = 1
(x – 1) ≥ 0
↓
raiz: x = 1
S= R
c) x2 – 2x + 1 < 0 ⇒ (x – 1)2 < 0
(x – 1) ⋅ (x – 1) < 0
↓
↓
raiz: x = 1 raiz: x = 1
S=∅
d) x2 – 2x + 1 ≤ 0 ⇒ (x – 1)2 ≤ 0
(x – 1) ⋅
↓
raiz: x = 1
(x – 1) ≤ 0
↓
raiz: x = 1
S = {1}
Respostas: a) S = R – {1}; b) S = R ; c) S = ∅; d) S = {1}
5
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 9 - Inequações
04
a) x2 – 2x + 3 > 0
↓
Não há raízes reais.
S= R
b) x2 – 2x + 3 ≥ 0
↓
Não há raízes reais.
S= R
c) x2 – 2x + 3 < 0
↓
Não há raízes reais.
S=∅
d) x2 – 2x + 3 ≤ 0
↓
Não há raízes reais.
S=∅
Respostas: a) S = R ; b) S = R ; c) S = ∅; d) S = ∅
6
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 9 - Inequações
05
Como x2 – 2x + c > 0, para todo x real, devemos ter o seguinte gráfico:
Daí, ∆ < 0, ou seja:
(–2)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ c < 0
4 < 4c
c>1
Resposta: c > 1
7
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 9 - Inequações
06
Como x2 – bx + 9 > 0, para todo x real, devemos ter o seguinte gráfico:
Daí,
< 0, ou seja:
(–b)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 9 < 0 ⇒ b2 – 62 < 0
(b + 6) ⋅ (b – 6) < 0
↓
↓
raiz: b = –6 raiz: b = 6
Logo: –6 < b < 6
Resposta: –6 < b < 6
8
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 9 - Inequações
07
1
2x − mx + m
1
f(x) =
g(x)
f(x) =
2
Para que o domínio de f seja R , basta que g(x) seja diferente de zero
para quaisquer x reais, ou seja, o gráfico de g(x) não deve interceptar o
eixo x.
Daí, devemos ter
< 0, ou seja:
(–m)2 – 4 ⋅ 2 ⋅ m < 0 ⇒ m2 – 8m < 0
m
⋅
(m – 8) < 0
↓
↓
raiz: m = 0 raiz: m = 8
Portanto: 0 < m < 8
Resposta: 0 < m < 8
9
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 9 - Inequações
08
ax2 – (a2 + 1) x + a ≤ 0, com 0 < a < 1
↓
1
raízes: x1 = a e x 2 =
a
1

a ⋅ (x − a) ⋅  x −  ≤ 0
a

 1
S = a, 
 a
Resposta: A
10
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 9 - Inequações
09
Como 2x2 – 20x + 2m > 0, para todo x real, devemos ter o seguinte
gráfico:
Daí,
< 0, ou seja:
(–20)2 – 4 ⋅ 2 ⋅ 2m < 0
400 < 16 m
m > 25
Resposta: B
11
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 9 - Inequações
10
• f(x) = x + 2
• g(x) = –x + 1
Ainda:
f(x) ⋅ g(x) ≥ 0, para x ∈ Z
(x + 2) ⋅ (–x + 1) ≥ 0
↓
↓
raiz: x = –2 raiz: x = 1
Como x ∈ Z e –2 ≤ x ≤ 1, temos:
x = –2 ou x = –1 ou x = 0 ou x = 1
Assim:
(–2) + (–1) + 0 + 1 = –2
Resposta: A
12
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 9 - Inequações
11
a) (x – 1) ⋅
↓
raiz: x = 1
(x – 3) ⋅ (x – 6) > 0
↓
↓
raiz: x = 3 raiz: 3 = 6
S = {x ∈ R | 1 < x < 3 ou x > 6}
b)
raiz: x = 3
ր
x −3
>0
(x − 1) ⋅ (x − 2)
↓
↓
raiz : x = 1 raiz: x = 2
Condições de existência:
•x–1≠0 ⇒ x≠1
e
•x–2≠0 ⇒ x≠2
S = {x ∈ R | 1 < x < 2 ou x > 3}
c)
raiz: x = 3
ր
x −3
≥0
(x − 1) ⋅ (x − 2)
↓
↓
raiz : x = 1 raiz: x = 2
Condições de existência:
•x–1≠0 ⇒ x≠1
e
•x–2≠0 ⇒ x≠2
13
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 9 - Inequações
S = {x ∈ R | 1 < x < 2 ou x ≥ 3}
d) (x – 3) ⋅
↓
raiz: x = 3
(x2 – x + 3) > 0
↓
Não há raízes reais.
S = {x ∈ R | x > 3}
e)
⋅
(x2 – 9)
↓
raízes: x1 = 3 e x2 = –3
(x2 – 2x – 3) ≤ 0
↓
raízes: x3 = –1 e x4 = 3
S = {x ∈ R | –3 ≤ x ≤ –1 ou x = 3}
Respostas:
a) S = {x ∈ R | 1 < x < 3 ou x > 6}
b) S = {x ∈ R | 1 < x < 2 ou x > 3}
c) S = {x ∈ R | 1 < x < 2 ou x ≥ 3}
d) S = {x ∈ R | x > 3}
e) S = {x ∈ R | –3 ≤ x ≤ –1 ou x = 3}
14
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 9 - Inequações
12
raiz: x = −3
ր
2x + 6
≥0
14 − 2x
ց
raiz: x = 7
Condições de existência: 14 – 2x ≠ 0 ⇒ x ≠ 7
Como x ∈ Z e –3 ≤ x < 7, temos:
x = –3 ou x = –2 ou x = –1 ou x = 0 ou x = 1 ou x = 2 ou x = 3 ou x = 4 ou
x = 5 ou x = 6
2x + 6
Assim, há 10 soluções inteiras para a inequação
≥ 0.
14 − 2x
Resposta: C
Observação: Desconsidere o enunciado dado para esta questão, no
Caderno de Exercícios, e considere o seguinte:
12. (FGV-SP) O número de soluções inteiras da inequação
2x + 6
≥ 0 é:
14 − 2x
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) infinito
15
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 9 - Inequações
13
2x
≤ 1
x −1
Condição de existência
x–1≠0 ⇒ x≠1
Daí:
2x
−1≤ 0 ⇒
x −1
2x − 1 ⋅ (x − 1)
≤0 ⇒
x −1
2x − x + 1
≤0 ⇒
x −1
x +1
≤0
x −1
Então:
raiz: x = −1
ր
x +1
≤0
x −1
ց
raiz: x = 1
V = {x ∈ R | –1 ≤ x < 1}
Resposta: D
16
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 9 - Inequações
14
3−x >
3
5−x
Condição de existência:
5–x≠0 ⇒ x≠5
Daí:
3
−3+ x < 0 ⇒
5−x
3 − 3 ⋅ (5 − x) + x ⋅ (5 − x)
<0 ⇒
5−x
− x 2 + 8x − 12
<0
5−x
Então:
raízes: x1 = 2 e x 2 = 6
ր
2
− x + 8x − 12
<0
5−x
ց
raiz: x = 5
Assim:
−(x − 2) ⋅ (x − 6)
<0
5−x
S = {x ∈ R | 2 < x < 5 ou x > 6}
Respostas: S = {x ∈ R | 2 < x < 5 ou x > 6}
Observação: Desconsidere o gabarito dado para esta questão no
Caderno de Exercícios e considere a resposta acima.
17
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 9 - Inequações
15
f(x) =
3x − 2
3
, com x ≠
4x − 3
4
f(x) ≥ f(1)
3x − 2 3 ⋅ 1 − 2
≥
4x − 3 4 ⋅ 1 − 3
⇒
3x − 2
≥1
4x − 3
Condição de existência: 4x – 3 ≠ 0 ⇒ x ≠
3
4
Daí,
3x − 2
−1≥ 0 ⇒
4x − 3
3x − 2 − 1⋅ (4x − 3)
≥0 ⇒
4x − 3
−x + 1
≥0
4x − 3
Então:
raiz: x = 1
ր
−x + 1
≥0
4x − 3
ց
3
raiz: x =
4
3


S =  x ∈ R | < x ≤ 1
4


Resposta: E
Observação: Desconsidere a alternativa e dada para esta questão no
Caderno de Exercícios, e considere a seguinte:
3
e) < x ≤ 1
4
18
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 9 - Inequações
16
x −1
≥0
−x + 5
Condições de existência:
• –x + 5 ≠ 0 ∴ x ≠ 5 (I)
e
• x – 1 ≥ 0 ∴ x ≥ 1 (II)
Como
x − 1 ≥ 0 , para x ≥ 1, para que
x −1
≥ 0 , basta que –x + 5 > 0,
−x + 5
ou seja:
x < 5 (III)
De (I), (II) e (III), vem: 1 ≤ x < 5
S = {x ∈ R | 1 ≤ x < 5}
Resposta: S = {x ∈ R | 1 ≤ x < 5}
19
Matemática • Unidade I • Álgebra • Série 9 - Inequações
17
a) f(x) =
x
x−2
Condições de existência:
• x ≥ 0 (I)
e
• x – 2 > 0 ⇒ x > 2 (II)
De (I) e (II), vem: x > 2
Df = {x ∈ R | x > 2}
b) f(x) =
x
x−2
Condições de existência:
x
•
≥0
x−2
e
•x–2≠0 ⇒ x≠2
Vamos resolver a inequação
raiz: x = 0
ր
x
≥ 0.
x−2
x
≥0
x−2
ց
raiz: x = 2
Df = {x ∈ R | x ≤ 0 ou x > 2}
Respostas:
a) Df = {x ∈ R | x > 2}
b) Df = {x ∈ R | x ≤ 0 ou x > 2}
20