EXPONENCIAIS
01) Gráfico da função f ( x)  2 x
REVISÃO DE POTÊNCIAS
Representamos por a n , a potência de base real
a e expoente inteiro n .
Definimos a potência a n nos casos abaixo:
a0
Crescente
Im ]0,  [
a n  a.a.a....a , n  , n  2
n fatores
a1  a
a0  1
a n 
1
, se a  0
an
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
Sendo a , b 
e m, n  , obedecidas às
condições de existência, temos:
I. a m .a n  a mn
am
II. n  a m  n , a  0
a
III. (a.b)m  a m .bm
1
02) Gráfico da função f ( x )   
2
x
0  a 1
Decresce
nte
Im ]0,  [
m
a
am
IV.    m , b  0
b
b
 
V. a m
n
 a m. n
POTÊNCIAS COM EXPOENTE RACIONAL
Sendo a   , m e n  * definimos:
m
n
a  a
n
m
03) Gráfico da função f ( x)  2 x  1
a0
Crescente
Im ]  1,  [
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
São aquelas que apresentam a incógnita nos
expoentes.
x
 2 8
 32 x  10.3x  9  0
Algumas equações exponenciais podem ser
transformadas numa igualdade de potências de
mesma base e serem resolvidas usando a
propriedade:
a x1  a x2  x1  x2 (a  1, a  0)
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
f:

f ( x)  a x
*

( a  0 e a  1)
04) Gráfico da função f ( x)  2 x 1
a0
Crescente
Im ]0,  [
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Inequações exponenciais são desigualdades
com incógnita nos expoentes.
 2 x 5  32
2 x 1
1
 27 x 1
  
 3
 25  5x  625
Na resolução de inequações exponenciais
devemos usar o fato de que a função
exponencial y  a x é crescente se a  1 e
decrescente se 0  a  1 .
m
n
a  a  m  n
a 1  m
n
a  a  m  n
a  a  m  n
0  a 1  m
n
a  a  m  n
m
n
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01) (FURG-RS) Sejam f ( x )  3x 1 , g ( x )  3x e
s( x)  f ( x)  g ( x) . O valor de x tal que
s( x)  4 é:
a) -1
b) 3
c) 0
d) 2
e) 1
02) (FATEC-SP) Qualquer quantidade de massa
do chumbo 210 diminui em função do
tempo devido à desintegração radioativa.
Essa variação pode ser descrita pela função
exponencial dada por mx  m0 .2 xt . Nessa
sentença, m x é a massa (em gramas) no
tempo t (em anos), m0 é a massa inicial e x
é uma constante real. Sabendo-se que,
após 66 anos, tem-se apenas 1/8 da massa
inicial, o valor x é:
a) 3
1
b)
3
c) 22
1
d)
22
1
e)
8
03) (FATEC-SP) A raiz real k da equação
4
6.23 x 1  3 x 1  23 x  8 é tal que
2
2
a) k 
5
3
2
k
b)
10
5
1
3
c)  k 
5
10
1
1
k
d)
10
5
1
e) k 
10
04) (FEI-RJ) A solução
9 x  3x1  4  0 é:
a) x  0
b) x  log 3 4
c) x  1
d) x  log 4 3
da
equação
real
e) x  log 2 5
05) (UFSC) Determinar o valor de
equação 5x 1  5x  5x 1  775 .
06) (FGV-SP) Seja a função f , de
definida por
f ( x)  5 . Se
3x
x
na
em
,
f (a )  8 ,
 a
então f    é
 3
1
a)
2
1
b)
4
1
c)
8
d) 4
e) 2
07) (FUVEST-SP) A equação 2 x  3x  2 , com
x real,
a) não tem solução.
b) tem uma única solução entre 0 e 2/3.
c) tem uma única solução entre - 2/3 e 0.
d)tem duas soluções, sendo uma positiva e
outra negativa.
e) tem mais de duas soluções.
08) (FUVEST-SP) Seja f ( x )  22 x 1 . Se a e b
são tais que f (a)  4 f (b) , pode-se
afirmar que:
a) a  b  2
b) a  b  1
c) a  b  3
d) a  b  2
e) a  b  1
2x  y
y
1
e)
d)
 2 x  8 y 1

09) (FUVEST-SP) Dado o sistema  y
x 9

9  3
pode-se dizer que x  y é igual a:
a) 18
b) - 21
c) 27
d) 3
e) – 9
10) (MACK-SP) A soma das raízes da equação
33 x  13.32 x  39.3x  27  0 é:
a) - 1.
b) 0.
c) 1.
d) 2.
e) 3.
11) (UFSC) O valor de x, que satisfaz a equação
22 x 1  3.2 x  2  32 , é:
x
y 1

2  8
15) (Mackenzie) Se  y
x 9

9  3
, então x e y
são os possíveis valores reais de t tais que:
a) t 2  27t  126  0
b) t 2  27t  126  0
c) t 2  21t  126  0
d) t 2  21t  126  0
e) t 2  26t  27  0
16) (UEL-PR) Considere as soluções reais de
3a.37 x.312  1 . Se a  x 2 , então a diferença
entre a maior e a menor dessas raízes é
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
17) (UEL-PR) Observe o gráfico: Esse gráfico
corresponde a qual das funções de
em
, a seguir relacionadas?
12) (MACK-SP) Se 4 x  3 e 4 y  9 , então
(0,125)4 x  2 y vale:
a) 1
b) 2
c) 4
d) log 4 3
e) log 4 9
13) (PUC-PR)
Resolvendo
a
equação
32 x  3  32 x  2  2.32 x  22 x  5  22 x 1 temos
que x é igual a:
a) 1
b) 1/2
c) 3/2
d) 2
e) 3
14) (PUC-MG) Sendo f ( x)  2 x , a expressão
f ( x  y)  f ( x)
é igual a:
y
a)
(2  1).2
y
b)
(2 x  1).2 y
y
c)
2y  2y
y
y
x
a) y  2 x  1
b) y  x  log x
2x
2
d) y  2 x  1
c) y 
e) y  3x
18) (UEL-PR) Um barco parte de um porto A
x
com 2 passageiros e passa pelos portos B
e C, deixando em cada um metade dos
passageiros presentes no momento de
x
chegada, e recebendo, em cada um, 2 2
novos passageiros. Se o barco parte do
porto C com 28 passageiros e se N
representa o número de passageiros que
partiram de A, é correto afirmar que:
a) N é múltiplo de 7
b) N é múltiplo de 13
c) N é divisor de 50
d) N é divisor de 128
e) N é primo
19) (UFMG) Observe a figura a seguir. Nessa
figura, está representado o gráfico da
f ( x )  b x , b  0 .Se
função
10
f (1)  f ( 1)  , a única afirmativa
3
VERDADEIRA sobre o valor de b é
a) 0 < b < 1/9
b) 2/9 < b < 4/9
c) 8/9 < b < 1
d) 1 < b < 4
e) 4 < b < 9
20) (UEPG-PR) Sobre as funções mostradas a
2
1
f ( x)  2 x  4 x  ,
seguir
8
g ( x )  x 2  4 x  3 e h( x)  x  2 assinale
o que for correto.
01) f(x) e g(x) têm as mesmas raízes
02) g(x) é crescente para x > 2
04) h [g (-1)] = 6
08) g(x) > 0 para x < 1 ou x > 3
16) h(x) é crescente somente para x > 2
21) (UFC) O número real que é raiz da equação
5x  2  5x 1  5x 1  5x  780 Ñ = 780 é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
22) (Mackenzie) No intervalo [-1, 8], o número
de soluções inteiras da inequação
2 x  7  23 x é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
23) (UFMG) O produto das raízes da equação
1 4 3

é
3x
3
a) 3
1
b) 
4
3x 
c) 
1
3
d) 1
e)
4 3
3
24) (UFMG) O valor de x que satisfaz a equação
24 x  6(22 x )  16 é tal que:
a) 1  x  2
b) 2  x  3
c) 3  x  4
d) 4  x  5
1
25) (UFSM-RS) Sabendo que  
 3
valor de 12  x 2 é
a) -3
b) 2
c) 3
d) 8
e) 16
x 1
 27 , o
26) (UNESP-SP) Uma cultura de bactérias
cresce segundo a lei n(t )   .10 xt , onde
N (t ) é o número de bactérias em t
horas, t  0 , e  e x são constantes
estritamente positivas. Se após 2 horas o
número inicial de bactérias, N (0) , é
duplicado, após 6 horas o número de
bactérias será
a) 4 .
b) 2 2 .
c) 6 .
d) 8
e) 8 2
27) (MACK-SP) O maior valor inteiro
pertencente ao conjunto solução da
2 x  2  2 x 1
 0,25x é:
inequação
x2
2
a) -3
b) -2
c) -1
d) 1
e) 2
28) (ITA-SP)
Sejam

f ,g :
x
funções
 3
1
definidas por f ( x )    e g ( x )   
2
 3
. Considere as afirmações:
x
I - Os gráficos de f e g não se
interceptam.
II - As funções f e g são crescentes.
III - f (2).g ( 1)  f ( 1). g ( 2) .
Então:
a) Apenas a afirmação (I) é falsa.
b) Apenas a afirmação (III) é falsa.
c) Apenas as afirmações (I) e (II) são falsas.
d) Apenas as afirmações (II) e (III) são
falsas.
e) Todas as afirmações são falsas.
29) (ITA-SP) A soma das raízes reais positivas da
equação 4a  5.2a  4  0 , sendo a  x 2 ,
vale
a) 2
b) 5
c) 2
d) 1
e)
3.
30) (ITA-SP) Sejam f e g duas funções definidas
 
3. sen 2 x 1
1
por f ( x )  2
e g ( x)   
,
2
x  .A soma do valor mínimo de f com o
valor mínimo de g é igual a
a) 0
1
b)  .
4
1
c) .
4
1
d) .
2
1
e) .
3senx 1
a x  ax
m
a x  ax
, na variável real x , com 0  a  1 . O
conjunto de todos os valores de m para os
quais esta equação admite solução real é
a) ( 1,0)  (0,1)
b) ( , 1)  (1, )
c) ( 1,1)
d) (0, )
e) ( , )
31) (ITA-SP) Considere a equação
GABARITO
01) E
06) A
11) 03
16) D
02) D
07) B
12) A
17) A
03) B
08) E
13) B
18) D
04) B
09) C
14) A
19) B
05) 03
10) E
15) A
20) 15
21) B
26) D
31) C
22) D
27) B
23) B
28) E
24) A
29) C
25) D
30) D