Aula 4
Comprimento de Mistura
de Prandtl- Distribuição de
Velocidade
Comprimento de Mistura
É a distância necessária, partindo-se do
início do tubo, a partir da qual o perfil de
velocidades não se modifica mais com o
aumento da distância ao longo do tubo.
Comprimento de Mistura de Prandtl
– Distribuição de Velocidade
y
Q
v x
x
dA
v y
Vazãomassa  vydA
dFat  (v ydA)vx
dFat
t 
 v y v x
dA
2.15
Comprimento de Mistura de Prandtl
– Distribuição de Velocidade
y
dv / dy
v

dv / dy
y
dv
v x   v y  
dy
dFat
t 
 v y v x
dA
v
 dv 
 t    
 dy 
2
2
2.16
Relação para comprimento de
mistura proposto por von Karmán
  
Água limpa
dv / dy 
2
2
2.17
(d v / dy )
  0,38
Lei de Distribuição Universal de
Velocidade
Supõe-se que o esforço cortante na região do
núcleo turbulento seja igual ao que se desenvolve
na parede do tubo
O esforço cortante que predomina é o
turbulento, dado pela equação
Como nas proximidades da parede as
velocidades de perturbação tendem a zero, há
uma variação linear do comprimento de mistura
com a distância y da parede, dada por
 dv 
 t    
 dy 
2
  y
2
Lei de Distribuição Universal de
Velocidade
 dv 
 t    
 dy 
  y
2
2
 dv 
 t  0   y  
 dy 
2
2
2
 dv 
0
 y 

 dy 
 dv  u* dy
0
u* 
 y  
 dv

 y
 dy 
v 1
 ln y  C 2.18
u* 
Lei de Distribuição Universal de
Velocidade
 y  R  v máx

y  0  v  0
y
v 1
 ln y  C
u* 
R
v máx 1
v máx 1
 ln R  C  C 
 ln R
u*

u*

v máx 1
v 1
 ln y 
 ln R
u* 
u*

Para tubos lisos e rugosos   0,40
v máx  v 1 R
 ln
u*
 y
2.19
v máx  v
R
 2,5 ln
u*
y
2.20
Lei de Distribuição Universal de
Velocidade
Derivando-se a eq. 2.18, com  = 0,40 tem-se
dv
u*
 2,5
dy
y
no centro do tubo y = R
dv
 0  v  v máx
dy
Usando conceito velocidade média V em uma seção e
integrando-se a Eq. 2.18 tem-se
R
R
0
0
Q  VR 2   vdA   v2rdr
Lei de Distribuição Universal de
Velocidade
v  u * 2,5 ln y  u *C
2.18
y  R r
R
VR 2   [u * 2,5 ln(R  r )  Cu * ]2rdr
0
V
 2,5 ln R  (C  3,75)
u*
2.21
Experiência de
Nikuradse
Experiência de Nikuradse
http://www.news.uiuc.edu/news/
06/0131turbulence.html
Link Artigo
V
IV
I
II
III
Harpa de Nikuradse
Região I
Re<2300
Escoamento laminar, o fator de atrito independe da
rugosidade,devido ao efeito da subcamada limite laminar e
64
vale
f
Re
Região II
2300<Re<4000
Região Critica onde o valor de f não fica caracterizado
Região III (pode ser representada 3000<Re<105)
Curva dos tubos hidraulicamente lisos, influência da subcamada
limite laminar, o fator de atrito só depende do número de Reynolds.
Escoamento turbulento hidraulicamente liso.
Fórmula de Blasisus
0,316
f  0, 25
Re
2.22
Harpa de Nikuradse
Região IV
Transição entre o escoamento turbulento hidraulicamente liso
e rugoso, o fator de atrito depende simultaneamente da
rugosidade relativa e do número de Reynolds
Região V
Turbulência completa, escoamento hidraulicamente rugoso, o
fator de atrito só depende da rugosidade relativa e independe
do número de Reynolds.
Leis de Resistência no
Escoamento Turbulento
Subcamada
viscosa
Tubos Lisos
Tubos Rugosos
Subcamada
viscosa
Leis de Resistência no Escoamento Turbulento
Tubos Lisos
v v máx
y

 2,5 ln
u*
u*
R
Multiplicando e dividindo por:
v v máx
y u *

 2,5 ln
u*
u*
R u *
u *
2.23
Viscosidade cinemática
Experimento de
Nikuradse5,5
v v máx

yu*

 2,5 ln
 2,5 ln
u*
u*
Ru *

v
yu*
 5,5  2,5 ln
u*

2.24
Leis de Resistência no Escoamento Turbulento
Tubos Lisos
Usando as eq. 2.24 e 2.18 com   0,4 tem-se
v
yu*
 5,5  2,5 ln
 2,5 ln y  C
u*

u*
C  5,5  2,5 ln

Substituída na eq. 2.21 torna-se
V
u *R
 2,5 ln
 1,75
u*

2.25
Leis de Resistência no Escoamento Turbulento
Tubos Lisos
Da definição da velocidade de atrito (eq. 1.28) pode escrever:
V
8

u*
f
2.26
1
u *R
 0,884ln
 0,618

f
2.27
1.28
u * R 2V u *R VD u * Re f




2V 
2 V
2 8
Leis de Resistência no Escoamento Turbulento
Tubos Lisos
1
 2.035log(Re f )  0,913
f
1
 2 log(Re f )  0,8
f
2.28
1
Re f 2.29
 2 log(
)
2,51
f
Para
u *
5

Re f
 14,14
D/
Leis de Resistência no Escoamento Turbulento
Tubos Rugosos
Experimento
de Nikuradse
v v máx
y v máx

y

 2,5 ln 
 2,5 ln  2,5 ln
u*
u*
R
u*
R

v
y
 8,48  2,5 ln
u*

2.30
2.31
Comparando a Eq. 2.18 com Eq.2.31 encontra-se: C  8,48  2,5 ln 
V
 2,5 ln R  (C  3,75)
u*
2.21
Leis de Resistência no Escoamento Turbulento
Tubos Rugosos
V
 2,5 ln R  2,5 ln   4,73
u*
V
R
 2,5 ln  4,73
u*

1
R
 2,04 log  1,67

f
2.32
Com ajuste numéricos, através de experimentos
1
D
 2 log  1,74
2
f
Para
u *
 70

1
3,71D
 2 log

f
Re f
 198
D/
Lei de resistência para escoamento
turbulento em tubos circulares rugosos
2.33
Exemplo 2.1
Um ensaio de laboratório, em uma tubulação de diâmetro igual a
0,30m, mostrou que a velocidade, medida com tubo de Pitot, em
pontos situado a 2cm da parede era de 2,5m/s. Sendo a rugosidade
absoluta da tubulação  = 1,0mm e a viscosidade cinemática da água
=10-6m2/s, determine:
a) A tensão tangencial na parede da tubulação;
b) Se o escoamento é hidraulicamente rugoso;
c) A distribuição de velocidade, corresponde à máxima vazão, para a
qual a mesma tubulação pode ser considerada lisa;
d) O valor da velocidade na linha de centro da tubulação em ambos
os perfis, liso e rugoso.
  1,0mm
0,3
Exemplo 2.1-Solução
a) Assumindo que o escoamento seja hidraulicamente
rugoso, pode-se utilizar a equação 2.31, na forma
v
y
 8,48  2,5 ln
u*

2,5
2
 8,48  2,5 ln
u*
0,1
u*  0,156m / s
0
u 

2
*
0  103  0,1562  24,3N / m2
Exemplo 2.1-Solução
b) O número de Reynolds de rugosidade vale:
u * 0,156103

 156  70
6

10
c) Limite para qual fronteira ainda é hidraulicamente
lisa é:
u *
106
 5  u *  5  3  5.103 m / s

10
Usando a equação 2.24, tem-se
v
y  5 103
3

5
,
5

2
,
5
ln

v

0
,
134

12
,
510
ln y
3
6
5 10
10
Exemplo 2.1-Solução
d) Na linha de centro, y = 0,15 e v = vmáx, assim :
Escoamento liso:
vmáx  0,13412,5 103 ln 0,15  0,11m / s
Escoamento rugoso (eq. 2.31):
v máx
0,15
 8,48  2,5 ln 3  v máx  3,28m / s
0,156
10