ÍNDICE
Descrição do Conteúdo
Introdução ao Uso
Pág.
03
Ligando e Desligando a Calculadora
Indicação de Bateria Fraca
O Teclado
Números Negativos
03
03
03
03
Funções das Teclas – Matemáticas
04
Funções das Teclas – Limpeza
04
Funções das Teclas – Outras
Cálculos Aritméticos Simples
Registradores de Armazenamento
Armazenando e Recuperando Números
Apagando os Registros de Armazenamento
Cálculo com Constante
Inverso de um Número
Raiz Quadrada
Funções das Teclas Percentuais
Porcentagens
Diferença Porcentual
Porcentagem do Total
04
05
07
08
08
09
09
10
10
10
11
11
Funções das Teclas – Calendário
13
Funções das Teclas – Financeiras
14
Juros Simples
Cálculo de Juros Simples
Cálculo de Juros para o Ano Comercial
Cálculo Montante
Cálculo de Juros para o Ano Civil
Cálculo de Juros Compostos
Cálculos Financeiros e o Diagrama do Fluxo de Caixa
Calculando o Número de Pagamentos ou de Períodos de Composição (Resumo)
Série Uniforme Postecipado
Série Uniforme Antecipada
Taxas
Cálculo da Taxa Equivalente
Programa de Cálculo de Taxas Equivalentes para Calculadora HP – 12C
Instruções de Uso do Programa
Amortização
Funções das Teclas – Estatísticas
Acumulando Estatísticas
Corrigindo Estatísticas Acumuladas
Desvio Padrão
Estimação Linear
Média Ponderada
Cálculos de Depreciação
15
15
16
16
16
17
18
19
20
23
26
26
27
28
29
33
33
34
35
35
36
39
2
INTRODUÇÃO AO USO
Ligando e Desligando a Calculadora
Para começar a usar a sua HP – 12C, pressione a tecla ON. Se você pressionar ON novamente, a
calculadora será desligada. Se a calculadora não for desligada manualmente, ela se desligará
automaticamente de 8 a 17 minutos após a sua última utilização.
Indicação de Bateria Fraca
A sua calculadora, quando ligada, indica a condição de bateria fraca através de um asterisco (*)
que fica piscando no canto inferior esquerdo do visor. Quando isto acontecer, desligue a calculadora e
substitua as baterias.
O Teclado
A maioria das teclas da HP – 12C realiza duas ou até mesmo três funções. A função primária de
uma tecla é indicada pelos caracteres impressos em branco na face superior da tecla. As funções
alternativas de uma tecla são indicadas pelos caracteres impressos em dourado acima da tecla e pelos
caracteres impressos em azul na face oblíqua da tecla. Tais funções alternativas são especificadas
pressionando-se a tecla de prefixo adequada, antes da tecla correspondente à função desejada:
Para especificar a função alternativa
impressa em dourado acima da tecla,
pressione a tecla dourada, de prefixo ( f ),
em seguida pressione a tecla da função.
Para especificar a função primária
impressa na face superior de uma tecla,
basta apenas pressioná-la sozinha.
Para especificar a função alternativa
impressa em azul na face oblíqua da tecla,
pressione a tecla azul, de prefixo ( g ), e
então pressione a tecla da função.
Se você pressionar por engano, uma das teclas de prefixo f ou g, elas poderão ser canceladas
pressionando-se f CLEAR PREFIX. Esta última seqüência de teclas também pode ser usada para se
cancelar as teclas STO , RCL , GTO (tais teclas podem ser consideradas com de “prefixo”, uma vez
que as teclas numéricas devem ser pressionadas em seguida a elas, para se executar a função
correspondente). Como a tecla PREFIX também é empregada para se apresentar a mantissa (todos os 10
dígitos) de um número que esteja no visor, a mantissa do número que estiver no visor será apresentada
por um momento após a tecla PREFIX ser solta.
Ao se pressionar uma das teclas f ou g de prefixo, o indicador de estado (anúncio) correspondente,
f ou g ficará aceso no visor. O anúncio se apaga após se pressionar uma tecla de função (executando a
função alternativa da tecla), uma outra tecla de prefixo, ou f CLEAR PREFIX.
Números Negativos
Para fazer com que o número que estiver no visor fique negativo (tanto um que tenha acabado de
ser introduzido como um resultado de um cálculo), basta pressionar a tecla CHS (CHange Sign = troca o
sinal). Quando o visor contiver um número negativo (ou seja, um número precedido pelo sinal de menos),
ao se pressionar CHS remove-se o sinal de menos do visor, fazendo com que o número fique positivo.
3
1 – FUNÇÕES DAS TECLAS – MATEMÁTICAS
yx – potenciação
1
x
(g)
- inverso de um número
x - raiz quadrada
(g) ex – antilogarítmo natural
(g) LN – logaritmo natural
2 – FUNÇÕES DAS TECLAS – LIMPEZA
(f) Clear Σ - limpa e apaga os registros estatísticos
(f) Clear FIN – limpa e apaga os registros financeiros
(f) Clear PRGM – limpa e apaga os registros de PRGM
(f) Clear REG – limpa e apaga todos os registros da calculadora exceto os de PRGM
(f) Clear PREFIX – apresenta o visor com todos os números sem vírgula ou ponto
CLx – limpa e apaga o número do visor
As Teclas “CLEAR”
Tecla (s)
CLx
f
CLEAR ∑
f
CLEAR PRGM
f
CLEAR FIN
f
CLEAR REG
Apaga
O visor ( o registrador X).
Os registradores estatísticos (R1
a R6), os registradores da pilha
operacional, e o visor.
A memória de programação
(somente quando pressionadas
no modo PRGM).
Os registros financeiros.
Os registradores de armazenamento de dados, os registradores financeiros, os registradores
da pilha operacional e ÚLTIMO
X (LAST X), e o visor.
3 – FUNÇÕES DAS TECLAS – OUTRAS
(f) RDN – arredonda a mantissa com mais de 10 números
(g) FRAC – elimina o número inteiro deixando a fração
(g) INTG – elimina a parte fracionária de um número decimal
R↓ - (rolls down) memória rotativa apresenta no visor os últimos 4 registros no ENTER
4
x
y – inverte os valores
CHS – (change) troca o sinal do número do visor ( ± )
EXX – introduz expoente
(g) LSTx – recupera o último número introduzido no visor
ENTER – separador de números
(g) MEM – (memory) mostra as linhas de programa e memórias para uso
ON – liga e desliga a calculadora
(f) – aciona as teclas amarelas
(g) – aciona as teclas azuis
STO – introduz os números nas memórias
RCL – recupera os números das memórias
STO EXX – introduz o c no visor
Cálculos Aritméticos Simples
Em resumo, para se realizar uma operação aritmética:
1.
2.
3.
4.
Introduza o primeiro número.
Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro.
Introduza o segundo número.
Pressione + , – , × ou ÷ para realizar a operação desejada.
Por exemplo, para calcular 13 ÷ 2, faça o seguinte:
PRESSIONE
13
VISOR
13.
Introduz o primeiro número na calculadora.
ENTER
segundo número.
13.00
Pressione
2
2.
Introduz o segundo número na calculadora.
÷
operação é pressionada
6.50
A
Exemplo:
ENTER
resposta
é
para
calculada
separar
o primeiro do
assim que a tecla da
5
Suponha que você emitiu três cheques sem atualizar os canhotos, e que posteriormente você
depositou o seu salário de R$ 505,30 na sua conta. Se o seu último saldo foi de R$ 583,30 e os cheques
emitidos foram de R$ 229,50, R$ 137,00 e R$ 101,40, qual o valor do novo saldo?
Solução:
Escrito no papel, este problema seria lido assim:
583,30 – 229,50 – 137,00 – 101,40 + 505,30
PRESSIONE
583,3
VISOR
583.3
Introduz o primeiro número.
ENTER
segundo número.
583.30
Ao pressionar ENTER, você separa o primeiro do
229,5
229.5
Introduz o segundo número.
–
353.80
Ao pressionar
–
você subtrai o segundo
número do do primeiro. A calculadora apresenta o resultado desse cálculo, que é o saldo após a
subtração do primeiro cheque.
137
137.
Introduz o próximo número. Como acabou de ser
realizada uma operação, não pressione ENTER ; o próximo número introduzido (137.00) fica
automaticamente separado do anteriormente contido no visor (353.80).
–
216.80
Pressionando – você subtrai o número que
acabou de introduzir do anteriormente contido no visor. A calculadora apresenta o resultado deste
cálculo, que é o novo saldo após a subtração do segundo do segundo cheque.
101,4
115.40
Introduz o próximo número e o subtrai do saldo
anterior. O novo saldo aparecerá no visor.(Ele esta ficando bem baixo!)
505,3 +
620.70
Introduz o próximo número (o salário que foi
depositado) e adiciona-o ao saldo anterior. O novo saldo será apresentado no visor.
Examine esses fatos num outro tipo de cálculo: um que envolva a multiplicação de grupos de dois
números com a posterior adição dos resultados.
Por exemplo, considere o cálculo de (3 × 4) + (5 × 6) .
PRESSIONE
3 ENTER 4 ×
primeiro parênteses.
VISOR
12.00
Primeiro
passo: Multiplica
os
números
do
5 ENTER 6 ×
segundo parênteses.
36.00
Segundo
passo: Multiplica
os
números
do
+
duas multiplicações.
42.00
Terceiro
passo: Adiciona
resultados
das
os
Veja agora o que ocorre na pilha operacional durante um cálculo em cadeia:
6
(3 × 4) + (5 × 6)
7
T
Z
Y
X
0
0
0
3
Teclas 3
0
0
3
3
0
0
3
4
0
0
0
12
0
0
12
5
4
×
5
0
12
5
5
0
12
5
6
0
0
12
30
0
0
0
42
0
0
42
7
6
×
+
7
÷
ENTER
ENTER
Resolva:
a) (3 + 4) × (5 + 6) = 77.00
b)
(27 − 14)
= 0.25
(14 + 38)
c)
5
= 0.125
3 + 16 + 21
Registradores de Armazenamento
Suponha que você queira realizar uma operação aritmética com o número no visor e o contido
num registrador de armazenamento e então armazenar o resultado no mesmo registrador, sem afetar o
número contido no visor. A HP – 12C permite que você faça tudo isso numa única operação:
1. Pressione STO
2. Pressione + , – , × ou ÷ para especificar a operação desejada.
3. Introduza o número do registrador.
Você poderia usar a aritmética com os registradores de armazenamento para atualizar rapidamente o
saldo após um depósito ou após a emissão de um cheque (exemplo anterior).
PRESSIONE
583,30 STO 0
VISOR
583,30
Armazenar o saldo atual no registro R0.
229,50 STO – 0
229,50
Subtrai o primeiro cheque do saldo contido em R0.
Observe que o visor continua apresentando o valor subtraído; a resposta fica apenas em R0.
137,00 STO – 0
137,00
Subtrai o segundo cheque.
101,40 STO – 0
101,40
Subtrai o terceiro cheque.
505,30 STO + 0
505,30
Adiciona o depósito.
RCL 0
saldo.
620,70
Recupera o conteúdo de R0 para verificar o novo
0
0
0
6
7
A HP – 12C armazena dados em memórias: “Registradores de armazenamento”. Existem 4
registradores especiais que são usados para armazenar números durante os cálculos e um outro que é
usado para armazenar o último número contido no visor antes da realização de uma operação. Além disso,
acham-se disponíveis até 20 “registradores de dados” para o armazenamento manual de números. Existem
ainda os registradores financeiros.
Armazenando e Recuperando Números
Para armazenar um número contido no visor de um registrador de armazenamento:
1. Pressione STO
2. Introduza a número do registrador: de 0 a 9 para os registradores R0 a R9 ou .0 a .9 para os
registradores R.0 a R.9.
De maneira análoga, para recuperar um número de um registrador de armazenamento no visor,
pressione RCL, e então introduza o número da tecla do registrador em que o mesmo está armazenado.
Este processo recupera o número no visor, porém não apaga, sendo que o mesmo fica mantido na
calculadora para cálculos posteriores.
Exemplo:
Você faz uma pesquisa de preços na fábrica, de uma linha de produtos, que são: tipo A, R$ 20,00 por
unidade e tipo B, R$ 30,00 por unidade. Logo após você armazena os dados nos registradores de
armazenamento. Mais tarde, você retoma os contatos com a fábrica, efetuando um pedido de 10 unidades
do produto do tipo A e uma unidade do tipo B. Para calcular o custo final do pedido.
PRESSIONE
20 STO 1
VISOR
20,00
armazena o custo do produto A em R1.
30 STO 2
30,00
armazena o custo do produto B em R2.
CLx
apaga o visor.
Mais tarde, ...
ON
0,00
liga a calculadora.
RCL 1
20,00
recupera o custo do produto A no visor.
10×
×
200,00
custo dos produtos do tipo A.
RCL 2
30,00
recupera o custo de produto B no visor.
+
230,00
valor total do pedido
Apagando os Registros de Armazenamento
Para apagar um único registrador de armazenamento, basta armazenar zero no mesmo. Você não
precisa apagar um registrador de armazenamento para armazenar um novo dado no mesmo.
Para apagar todos os registradores de armazenamento de uma só vez basta pressionar (f) CLEAR
REG.
Suponha que você queira realizar uma operação aritmética com o número no visor e o contido
num registrador de armazenamento e, então armazenar o resultado no mesmo registrador, sem afetar o
número contido no visor.
A aritmética com registradores é apenas possível com os registradores R0 a R4.
8
Exemplo:
Suponha que você use a memória (registradora de armazenamento) R4 para controlar o saldo de
uma conta corrente. O saldo anterior da conta corrente de R$ 324,00 está armazenado nessa memória.
Mais tarde, você emite um cheque de R$ 150,00 e posteriormente faz um depósito de R$ 210,00. Você
poderia usar aritmética com os registradores de armazenamento para atualizar rapidamente o saldo após
um depósito ou emissão de um cheque.
PRESSIONE
324 STO 4
VISOR
324,00
armazena o saldo atual em R4.
150 STO – 4
150,00
subtrai o valor do cheque em R4.
210 STO + 4
210,00
soma o valor do depósito em R4.
RCL 4
384,00
saldo da conta.
Cálculo com Constante
Para efetuar cálculos com valor constante os passos são:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Introduza o número a ser usado como constante
Pressione ENTER 3 vezes consecutivas
Introduza o número que deseja operar com a constante
Pressione o sinal da operação
Pressione CLx
Introduza o próximo número a ser operado com a constante e repita o processo a partir do passo 4.
Exemplo:
Multiplicar o valores 600, 800 e 1500 pelo número 50.
PRESSIONE
50 ENTER ENTER ENTER
VISOR
50,00
600 ×
30.000,00
CLx
0,0000
800 ×
40.000,00
CLx
0,0000
1500 ×
75.000,00
Inverso de um Número
É a divisão da unidade pelo número dado.
1º produto
2º produto
3º produto
9
Exemplo:
Calcular o inverso de 2.
PRESSIONE
2
1
VISOR
2
0,50
x
Raiz Quadrada
Exemplo:
Calcular a raiz quadrada de 100.
PRESSIONE
100
VISOR
100
g
10,00
x
Raiz
ou ainda,
PRESSIONE
100 ENTER
VISOR
100,00
2
0,50
1
x
yx
10
Raiz
EXERCÍCIOS
1) Resolver:
a) (7 + 3) . (5 − 2) = 30
f)
3
b) 28 ÷ 4 + 75 ÷ 3 + 10 = 42
c) 153 × 2 − 7 × 4 + 50 ÷ 3 = 294,666...
g)
h)
5
d) 724 + 5 × 3 + 4 − 1 + 72 ÷ 4 = 760
e) 75 − 8 2 + 5 × 33 − 108 ÷ 6 2 = 143
i)
j)
6 + 25 − 5 × 3 7 = 17,88
20 2 ÷ 5 2 + 2 0 × 7 2 − 8 2 = 1
24 = 2,88
32 = 2
3 . 25 + 2 × 3 20 = 20,43
4 – FUNÇÕES DAS TECLAS – PERCENTUAIS
%T – calcula um percentual em relação a um total
∆% – calcula a diferença percentual entre dois números
% – calcula a porcentagem de um valor
A HP – 12C possui três teclas para a solução de problemas de porcentagem: % ,
não precisa converter as porcentagens aos seus equivalentes decimais; isto é feito
quando você pressiona qualquer uma dessas teclas. Dessa forma, 4% não precisa ser
0.04; você o introduz da maneira como o diz: 4 %.
Porcentagens
∆% , %T. Você
automaticamente
transformado em
10
Para calcular o montante correspondente à porcentagem de um número:
PRESSIONE
300
VISOR
300.
Introduz a base.
ENTER
300.00
Pressionando ENTER você separa a base do
próximo número a ser introduzido, como no caso do cálculo de uma operação aritmética simples.
14
14.
Introduz a porcentagem.
%
42.00
Calcula o montante.
Exemplo:
Você está comprando um carro novo cujo preço de tabela é de R$ 12.000,00. O vendedor ofereceu
um desconto de 8%, e o imposto sobre a venda é de 6%. Calcule o valor do desconto do vendedor e então
calcule o custo total que você pagará, incluindo o imposto.
PRESSIONE
12000 ENTER
VISOR
12,000.00
Introduz a base e separa-a da porcentagem.
8 %
960.00
Valor do desconto.
–
11,040.00
Valor da base menos o desconto.
6 %
662.40
Valor do imposto (sobre R$ 11.040,00).
+
adicionado-se o imposto
11,702.40
Custo total: a base subtraindo-se o desconto e
Diferença Porcentual
Para calcular a diferença porcentual entre dois números:
1.
2.
3.
4.
Introduza a base.
Pressione ENTER para separar o segundo número da base.
Introduza o segundo número.
Pressione ∆%.
Exemplo:
Pelo pregão de ontem, as suas ações caíram de R$ 58,50 para R$ 53,25 por ação. Qual foi a
variação porcentual?
PRESSIONE
58.5 ENTER
VISOR
58.50
Introduz a base e separa-a do segundo número.
53.25
53.25
Introduz o segundo número.
∆%
– 8.97
O decréscimo foi de quase 9%.
Porcentagem do Total
Para calcular a porcentagem de um número sobre outro.
11
Exemplo:
No mês passado, a sua empresa exportou produtos no valor de 3.92 milhões de dólares para os E.
U. A., 2.36 milhões de dólares para a Europa e 1.67 milhões de dólares para o resto do mundo. Qual foi a
porcentagem das vendas à Europa sobre o total exportado?
Pressione
3.92 ENTER
Visor
3.92
Introduz o primeiro número e separa-o do segundo.
2.36 +
6.28
Adiciona o segundo número.
1.67 +
7.95
Adiciona o terceiro número obtendo total.
2.36
número sobre o total.
2.36
Introduz
%T
29.69
A Europa absorveu cerca de 30% do total exportado.
2.36
para
calcular a porcentagem desse
A HP – 12C mantém o montante total após o cálculo da porcentagem do total. Portanto, para
calcular a porcentagem de um outro valor sobre o total:
1. Apague o visor pressionando CLx.
2. Introduza o valor.
3. Pressione %T novamente.
Por exemplo, para calcular (com os dados do exemplo anterior) as porcentagens absorvidas pelos E.
U. A. e pelo resto do mundo sobre o total da exportação:
PRESSIONE
CLx 3.92 %T
exportado.
VISOR
49.31
Os E. U. A. absorvem mais de 49% do total
CLx 1.67 %T
export.
21.01
O resto do mundo absorveu cerca de 21% do total
EXERCÍCIOS
1) Numa pesquisa feita em dois estabelecimentos foram constatados os seguintes valores:
Produto
x
y
w
x
t
Estabelecimento A
2,50
54,78
21,34
18,42
54,28
Estabelecimento B
2,75
53,00
25,30
15,78
54,00
10%
−3,249%
18,557%
−14,332%
−0,516%
Calcule a diferença porcentual entre os produtos.
2) Um comerciante divide R$ 3.000,00 entre seus cinco funcionários proporcionalmente ao tempo de
casa. Calcule o percentual que cada um recebeu.
12
Funcionários
A
B
C
D
E
Valor
300
500
600
700
900
10%
16,67%
20%
23,33%
30%
3) Calcule quantos por cento:
a) R$ 121 são de R$ 484;
Resposta: 25%
b) 936 g são de 15.660 g;
Resposta: 5,98%
c) 912,5 g são de 73 kg;
Resposta: 1,25%
3
d) 45 l são de 180 dm .
Resposta: 25%
4) Um vendedor recebe 3% de comissão sobre as vendas que efetua. Qual a quantia a receber pelas
vendas de R$ 8.000, R$ 3.700 e R$ 9.500?
Resposta: R$ 636,00
5) Em uma pesquisa sobre futebol, foram entrevistadas 840 pessoas. Destas, 25% torcem pelo time x.
Quantas pessoas, entre as entrevistadas, torcem pelo time x?
Resposta: R$ 210 pessoas.
6) Em uma escola com 1810 alunos, 1086 são meninas. Qual é a taxa porcentual de meninas.
Resposta: R$ 60%
7) Um objeto foi comprado por R$ 3.100,00 e revendido por R$ 3.472,00. Determine a taxa porcentual
acrescida
Resposta: R$ 12%
8) Uma conta de R$ 1.250,00 foi paga com atraso e sofreu uma multa de 3,5%. Calcule o valor pago
Resposta: R$ 43,75 + R$ 1.250,00 ou seja, R$ 1.293,75
5 – FUNÇÕES DAS TECLAS – CALENDÁRIO
(g) DATE – apresenta a data
(g) ∆DYS – apresenta os dias entre duas datas
(g) D.MY – dia, mês e ano – apresentação do calendário – português
(g) M.DY – mês, dia e ano – apresentação do calendário - inglês
As funções de calendário fornecidas com a sua HP – 12C (Date e ∆DYS) podem manipular datas
entre 15 de Outubro de 1582 até 25 de Novembro de 4046.
Mês-Dia-Ano. Para trabalhar com datas no formato mês-dia-ano, pressionamos g M.DY. Para introduzir
uma data com esse formato em vigor:
1.
2.
3.
4.
Introduza o(s) dígito(s) do mês (no máximo 2 dígitos).
Pressione a tecla do ponto decimal ( . ).
Introduza os dois dígitos do dia.
Introduza os quatro dígitos do ano.
As datas são apresentadas no visor nesse mesmo formato. Por exemplo, para introduzir 7 de Abril de
1984:
13
PRESSIONE
4.071984
VISOR
4.071984
Dia-Mês-Ano. Para ativar o formato dia-mês-ano, pressione g D.MY. Para introduzir uma data, estando
esse formato em vigor:
1.
2.
3.
4.
Introduza o(s) dígito(s) do dia (no máximo 2 dígitos).
Pressione a tecla do ponto decimal ( . ).
Introduza os dois dígitos do mês.
Introduza os quatro dígitos do ano.
Por exemplo, para introduzir 7 de Abril de 1984:
PRESSIONE
7.041984
VISOR
7.041984
Exemplo:
Se você comprou um terreno em 14 de Maio de 1981 para pagamento em 120 dias, qual é a data
de vencimento? Assuma a hipótese de que você normalmente expressa as datas no formato dia-mês-ano.
PRESSIONE
VISOR
g D MY
7.04
Ativa o formato dia-mês-ano para a data. (O visor
mostra a data do exemplo anterior. A data toda não é apresentada porque o formato de apresentação em
vigor é de apenas 2 dígitos decimais;
14.051981 ENTER
a ser introduzido.
14.05
120 g DATE
1981, uma sexta-feira.
11,09,1981
Introduz a data e espera-a do número de dias
5
A data de vencimento é 11 de Setembro de
6 – FUNÇÕES DAS TECLAS – FINANCEIRAS
n – número de períodos
i – taxa de juros
PV – valor presente ou atual
PMT – prestação ou valor do pagamento periódico
FV – valor futuro ou montante
(f) AMORT – amortização
(f) INT – juros simples
(f) NPV – novo valor presente ou líquido
(f) IRR – taxa interna de retorno
(g) 12×
× - multiplica por 12
14
(g) 12÷
÷ - divide por 12
(g) Cfo – fluxo inicial de caixa
(g) CFj – fluxos de caixa seguintes
(g) Nj – número de fluxos de caixa (01 a 99)
(f) PRICE – preço dos títulos ou debentures
(f) YTM – rendimento até o vencimento
DEPRECIATION – depreciação
(f) SL – depreciação pelo método linear
(f) SOYD – depreciação pelo método das somas dos dígitos
(f) DB – depreciação pelo método do declínio em dobro
(g) BEG – pagamentos antecipados
(g) END – pagamentos na forma postecipada
Juros Simples
Juro é o custo do capital para quem o toma emprestado, ou também a remuneração para quem
empresta.
No caso de juros simples, usamos os seguintes conceitos:
• Capital também denominado principal, é o valor emprestado. (PV)
• Juros, a remuneração do capital. (J)
• Taxa de juros, é o valor pago relativo a cada 100 unidades do capital. (i)
• Prazo, número de unidades do tempo (dia, meses, anos, etc.) em que o capital é emprestado. (n)
• Montante, soma do capital com os juros. (s)
No sistema de juros simples na base de 360 e 365 dias.
Além disso, se o valor dos juros estiver no visor poderá calcular o montante, bastando pressionar +.
Cálculo de Juros Simples
A sua HP – 12C possui um programa próprio para o cálculo do juros simples.
Para calcular o juro simples basta introduzir a aplicação inicial na tecla PV , a taxa expressa ao
ano em i , o tempo expresso em dias em n e acionar a função juro simples: (f) INT.
Exemplo:
A fórmula tradicional para o cálculo do juro simples é:
j = PV . i . n
Convencionamos
Obs.:
i
100
1) A sua HP – 12C está programada para calcular juros simples, utilizando as teclas: PV, i, n. Sendo a
taxa (i) expressa ao ano e o tempo (n) em dias.
15
2) A sua HP – 12C trabalha em forma de fluxo de caixa (entrada e saída), sendo que as entradas são
valores positivos e as saídas negativos.
3) A matemática financeira tem como principais objetivos:
a) A transformação e o manuseio de fluxos de caixa, com a aplicação das taxas de juros de cada período,
para se levar em conta o valor do dinheiro no tempo;
b) A obtenção da taxa interna de juros que está implícita ao fluxo de caixa;
c) A análise e a comparação de diversas alternativas de fluxo de caixa.
Cálculo de juros para o Ano Comercial
Exemplo:
Calcule o valor dos juros produzidos por um capital de R$ 500,00, aplicado a juros simples de 3%
ao mês durante 60 dias, considerando o ano comercial (360 dias).
PRESSIONE
VISOR
500 CHS PV
– 500,00
3 ENTER 12 × i
36.00
60 n
60.00
f INT
comercial
Cálculo do Montante
30.00
taxa anual
juros calculados na base do ano
O montante é a soma do capital inicial com os juros produzidos.
Exemplo:
Calcule o montante obtido por um capital de R$ 500,00 aplicado a juros simples de 3% ao mês
durante 60 dias, considerando o ano comercial.
PRESSIONE
500 CHS PV
VISOR
– 500,00
3 ENTER 12 × i
36.00
60 n
60.00
f INT
30.00
juros simples
+
530.00
montante
Cálculo de juros para o Ano Civil
Neste caso, os juros são calculados na base do ano de 365 dias.
Exemplo
Calcule o valor dos juros produzidos por um empréstimo de R$ 1.200,00 concedidos pelo prazo de
4 meses à taxa de 6% a. a.
16
PRESSIONE
1.200 CHS PV
VISOR
– 1,200.00
4 ENTER 30 × n
120.00
6 i
6.00
f INT
24.00
juros (base 360 dias/ano)
23.67
juros (base 365 dias/ano)
1,223.67
montante
R↓
↓x
y
+
EXERCÍCIOS
1) Calcular os juros de um investimento de R$ 2.500,00 à taxa de 8,4% ao ano, pelo prazo de 1 ano, 3
meses e 20 dias.
Obs. : Não sendo citado, prevalece o ano comercial.
Resposta: R$ 274,17
2) Calcular os juros de uma aplicação de R$ 400,00 à taxa de 2,5% ao mês, durante 5 meses.
Resposta: R$ 50,00
3) Calcular o montante de uma aplicação de R$ 2.500,00 à taxa de 20% ao ano, durante 80 dias
considerando o ano civil para fins de cálculo.
Resposta: R$ 2.609,59
4) Determine o valor dos juros aplicados à uma dívida de R$ 590,00 considerando que está sujeita a
juros simples de 10,4% ao ano pelo prazo de 53 dias.
Resposta R$ 9,03
5) Um contrato de empréstimo prevê juros simples de 12,8% ao ano sobre o saldo devedor, em dias
corridos. Qual o valor dos juros cobrados sobre o saldo devedor de R$ 6.800,00 num prazo de 49 dias
corridos, considerando o ano civil para fins de cálculo.
Resposta: 116,85
6) Calcular os juros de um capital igual a 500, à taxa de 2% ao mês, durante 1 ano e 3 meses.
Resposta: 150.00
7) Calcular os juros de 300 u.m., à taxa de 24% a. a., durante 8 meses.
Resposta: 48 u.m.
Cálculos de Juros Compostos
Especificando o Número de Períodos de Composição e a Taxa de Juros Periódica
17
A taxa de juros é em geral denominada taxa anual (ou taxa nominal): isto é, a taxa de juros no
ano. No entanto, nos problemas de juros compostos, a taxa de juros introduzida em i deve estar sempre
expressa nos termos do período de composição básico, o qual poderá ser anos, meses, dias ou qualquer
outra unidade de tempo. Por exemplo, se um problema envolver um juro anual de 6% composto
trimestralmente, por 5 anos, n (o número de trimestres), seria igual a 5 × 4 = 20 e i (taxa de juros por
trimestre), seria 6% ÷ 4 = 1.5% . Se o juro fosse composto mensalmente, n seria 5 × 12 = 60 e i seria
6% ÷ 12 = 0.5% .
Se você usar a calculadora para multiplicar o número de anos pelo número de períodos de
composição, pressione n e então armazene o resultado em n. O mesmo vale para i.
Se os juro for composto mensalmente, você pode usar um meio mais rápido provido pela
calculadora para calcular e armazenar n e i.
• Para calcular e armazenar n, introduza o número de anos no visor e então pressione g 12×
×.
• Para calcular a armazenar i, introduza a taxa anual no visor e então pressione g 12÷
÷.
Observe que estas teclas não apenas multiplicam ou dividem o conteúdo do visor por 12: elas
também armazenam automaticamente o resultado no registrador correspondente, de modo que você não
precisa pressionar n ou i em seguida.
EXERCÍCIOS
1) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 80,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 meses.
Resposta: R$ 121,01
2) Determine o juro de uma aplicação de R$ 2.000,00, a 4,5% ao mês, capitalizado mensalmente durante
8 meses.
Resposta: R$ 844,20
3) Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800, em regime de juro composto, aplicado durante 4
meses, à taxa de 3,5% ao mês?
Resposta: R$ 7.803,16
4) Calcule o montante de R$ 85.000,00, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses.
Resposta: R$ 228.230,43
5) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 meses rendeu
um montante de R$ 197.521,36.
Resposta: 150.000,00
6) Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000,00 produzirá um montante de R$ 146.853,37, à taxa de
3% ao mês?
Resposta: 13 meses
7) Um capital de R$ 200.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo R$ 37.737,15
de juro. Determine a taxa de aplicação.
Resposta: 2,5% a. m.
8) O capital de R$ 120.000,00, colocado a juros compostos capitalizados mensalmente durante 8 meses,
elevou-se no final desse prazo a R$ 155.590,77. Calcule a taxa de juro.
Resposta: 3,3% a. m.
9) A que taxa bimestral devo aplicar o meu capital, de modo a obter um total de juro igual a 50% do
capital aplicado no fim de 8 meses?
Resposta: 10,67% a. b.
18
10) O capital de R$ 92.000,00 foi colocado em regime de capitalização composta durante 1 ano e 9
meses, à taxa de 36% ao ano. Qual o montante?
Resposta: 157.572,68
Cálculos Financeiros e o Diagrama do Fluxo de Caixa
O diagrama de fluxo de caixa é um valioso instrumento auxiliar para o uso de sua calculadora nos
cálculos financeiros. O diagrama não é nada mais do que uma descrição gráfica temporal e direcional das
transações financeiras, rotuladas com termos correspondentes ao teclado da sua calculadora.
O diagrama começa com uma linha horizontal denominada linha de tempo. Ela representa o
período de duração do problema financeiro planejado para 6 meses, tendo uma composição de juros
mensal, teria o seguinte diagrama:
0
1
2
3
4
5
6
O intercâmbio do dinheiro num problema é desenhado com flechas verticais. O dinheiro recebido
é representado por uma flecha apontada para cima, que se inicia no ponto da linha de tempo onde a
transação ocorreu; o dinheiro pago é representado por uma flecha apontada para baixo.
Dinheiro pago
Dinheiro recebido
Os valores do problema que correspondem às 5 primeiras teclas da fileira superior do teclado estão
agora evidentes no diagrama de fluxo de caixa:
•
n é o número de períodos de composição. Tal quantidade pode ser expressa em anos, meses, dias ou
qualquer outra unidade de tempo, contanto que a taxa de juros seja expressa nos termos do mesmo
período de composição básico.
•
i é a taxa de juros por período de composição. A taxa de juros do diagrama de fluxo de caixa
(introduzida na calculadora) é terminada dividindo-se a taxa de juros anual pelo número de períodos
de composição.
•
VP, o valor presente, é o fluxo de caixa inicial, ou o valor presente de uma série de futuros fluxos de
caixa.
•
PMT é o pagamento periódico. Quando todos os pagamentos são iguais, eles são denominados
anuidades.
•
VF, o valor futuro, é o fluxo de caixa final ou o valor composto de uma série de fluxos de caixa
anteriores.
Para especificar a modalidade de pagamento:
•
Pressione g BEG (BEGin = início) se os pagamentos forem feitos no início dos períodos de
composição.
19
Pressione g END (END = fim) se os pagamentos forem feitos ao final dos períodos de
composição.
•
O indicador de estado (anúncio) BEGIN fica aceso quando tal modalidade está em vigor. Se BEGIN não estiver
aceso, a modalidade de pagamento em vigor será END.
Calculando o Número de pagamentos ou de Períodos de Composição (Resumo)
1. Pressione f CLEAR FIN para apagar os registradores financeiros.
2. Introduza a taxa de juros periódica, usando i ou 12÷
÷.
3. Introduza pelo menos dois dos seguintes valores:
•
•
•
O valor presente, usando PV.
O pagamento, usando PMT.
O valor futuro, usando FV.
Observação: Lembre-se de respeitar a convenção de sinal
do fluxo de caixa.
4. Se PMT for fornecido, pressione g BEG ou g END para estabelecer a modalidade de pagamento.
5. Pressione n para calcular o número de pagamentos ou períodos.
Se a resposta for um número não inteiro (isto é, com dígitos não nulos na parte decimal), a
calculadora arredondará a resposta para o inteiro imediatamente superior, antes de armazená-lo no
registrador n e apresentá-la. Por exemplo se n for calculado como sendo 318.15, a resposta a ser
apresentada no visor será 319.00.
Série Uniforme Postecipado
Os pagamentos, recebimentos ou depósitos acontecem no final do período, ou seja, sem entrada.
Exemplo 1:
Durante os últimos 6 meses, A depositou R$ 350,00 no fim de cada mês em uma conta de
poupança que paga 1,8% ao mês capitalizados mensalmente. Qual o montante acumulado logo após o
último depósito?
PRESSIONE
VISOR
350 CHS PMT
– 350.00
6 n
6.00
1,80 i
1.80
FV
Exemplo 2:
2.196,80
De 3 em 3 meses, um pai depositou R$ 200,00 numa conta de poupança que paga juros de 5,4% a.
t. capitalizados trimestralmente. O primeiro depósito foi feito quando o filho tinha 3 meses de idade e o
último quando completou 21 anos. O dinheiro continuou depositado sendo que foi oferecido ao filho no
seu 24º aniversário. Quanto o recebeu nessa data?
PRESSIONE
f FIN
VISOR
0.00
200 CHS PMT
– 200,00
84 n
5,4 i
84,00
5,40
20
FV
303.373,48
CHS PV
– 303.373,48
12 n
12,00
0 PMT
0.00
FV
570.249,54
Exemplo 3:
Paulo comprou um apartamento, pagando R$ 8.000,00 de entrada e prometendo pagar R$ 375,00
por mês, durante 4 anos. O vendedor calculou juros a 18% ao ano, capitalizados mensalmente.
a) Qual era o valor à vista do apartamento?
PRESSIONE
375 CHS PMT
VISOR
– 375.00
1,5 i
1,50
48 n
48,00
PV
12.765,96
8.000 +
20.765,96
b) Se Paulo deixasse de efetuar os 12 primeiros pagamentos, quanto deveria pagar no vencimento do 13º
para pôr-se em dia com os pagamentos?
PRESSIONE
0 PV
VISOR
0.00
13 n
13.00
FV
5.338,81
c) Se Paulo deixasse de pagar as 10 primeiras prestações, quanto deveria ele por ocasião do vencimento
da 11ª prestação, afim de liquidar toda a sua dívida?
PRESSIONE
11 n
FV
VISOR
11.00
4.448,72
37 n
37,00
0 FV
0.00
PV
10.588,92
+
15.037,64
EXERCÍCIOS
21
1) Interprete cada problema e depois calcule o valor do “X”
a)
X
7%
0
1
2
3
trimestres
10
9
Resposta: 8.428,30 u.m.
144444244444
3
1.200 u.m.
b)
200
200
200
200
200
9%
0
1
2
3
17
trimestres
Resposta: 8.260,27 u.m.
trimestres
Resposta: 154,72 u.m.
18
X
c)
1.000
5%
0
1
2
3
7
8
X
X
X
X
X
2) Qual o valor atual de uma renda imediata de 15 termos trimestrais de 5.000 u.m., à taxa de 6% ao
trimestre?
Resposta: 48.561,24 u.m.
3) Uma pessoa deposita 6.000 u.m. no fim de cada trimestre, a 24 % a. a., durante 3 anos. Calcular o
montante.
Resposta: 101.219,64 u.m
4) A dívida de R$ 200.000,00 deve ser paga com 20 prestações anuais de R$ 16.048,50. Calcular a taxa.
Resposta: 5% a. a.
5) Qual o valor da prestação anual que, a 4% a. a., em 20 anos, amortiza a dívida de R$ 500,00?
Resposta: 36,79
6) A que taxa foi emprestada a quantia de R$ 500,00 se ela deve ser paga com 20 prestações anuais de
R$ 36,79?
Resposta: 4% a. a.
7) A que taxa foram emprestadas R$ 50.000,00 se foram pagos com 20 prestações anuais de R$
3.679,10?
Resposta: 4% a. a.
8) Um empréstimo, cujo principal é de $ 20.000,00, foi realizado a juros compostos, e deve ser liquidado
mediante o pagamento de 12 prestações mensais, iguais e sucessivas. Determinar o valor dessas
22
prestações sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, e
que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a libertação dos recursos.
Resposta: 1.776,98
9) Um empresário deseja obter um financiamento para adquirir um equipamento, cujo valor à vista é de
$ 10.000,00. Para diminuir o valor das prestações, ele pretende dar uma entrada de $ 3.000,00 por
ocasião da compra. Determinar o valor das 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, para a parte
financiada, sabendo-se que o financiamento é realizado a juros compostos de 15% ao ano,
capitalizados mensalmente, e que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos.
Resposta: 339,41
10) Um equipamento cujo o valor à vista é de $ 25.000,00 está sendo financiado a juros compostos de
12% ao ano, capitalizados mensalmente, no prazo de um ano. Determinar o valor que deve ser dado
de sinal, a título de entrada, para que o valor das 12 prestações mensais, iguais e sucessivas seja
limitado a $ 1.700,00. Assumir que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos.
Resposta: 5.866,37
11) Um financiamento cujo principal é igual a $ 10.000,00 deve ser liquidado com 10 prestações mensais,
sucessivas e iguais a $ 1.075,00. Determinar a taxa interna de retorno desse financiamento, no regime
de juros compostos, assumindo que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos.
Resposta: 1,34% a. m.
12) Um investidor efetuou 10 depósitos mensais de $ 2.000,00 numa instituição financeira e verificou que
o saldo a sua disposição, imediatamente após a efetivação de seu último depósito, era de $ 21.000,00.
Determinar a taxa de remuneração mensal desses depósitos no regime de juros compostos.
Resposta: 1,08% a. m.
Série Uniforme Antecipada
Uma série uniforme antecipada tem um número limitado de termos iguais e sucessivos que se
verificam no início de cada período. A diferença deste tipo de anuidade para a anuidade postecipada está
apenas na disposição dos termos em relação ao tempo. Tal diferença implica em diferença de valor futuro
e, consequentemente, diferença de valor presente.
Exemplo 1:
Qual o valor acumulado (Valor Futuro) gerado por 8 depósitos mensais, iguais e consecutivos de
R$ 250,00, o primeiro deles sendo efetuado hoje, considerando uma taxa de juros de 2,5% ao mês?
PRESSIONE
g BEG
VISOR
BEGIN
f FIN 250 CHS PMT
– 250.00
2,5 i
2.50
8 n
8.00
FV
2.238,63
Exemplo 2:
23
Qual o valor presente (Hoje) de uma série de 20 pagamentos mensais, iguais e
consecutivos de R$ 480,00 sendo que o primeiro ocorrerá hoje, considerando uma taxa de juros de 3% ao
mês?
PRESSIONE
g BEG
VISOR
BEGIN
f FIN 480 CHS
– 480.00
3 i
3.00
20 n
20.00
PV
7.355,42
EXERCÍCIOS
1) Interprete cada problema e depois calcule o valor do “X”:
a)
X
2%
0
1
2
3
11
meses
Resposta: 5.393,42 u.m.
meses
Resposta: 3.009,67 u.m.
12
144444244444
3
500 u.m.
b)
220
220
220
220
220
2%
0
1
2
3
11
12
X
c)
2.000
6%
0
1
2
3
9
X
X
X
X
X
trimestres
10
Resposta: 256,35 u.m.
2) Um aparelho de televisão foi comprado com 10 prestações mensais antecipadas de 100 u.m. Sabendose que os juros são de 2% ao mês, qual o preço à vista do televisor?
Resposta: 916,22 u.m.
3) Uma empresa deposita 20.000 u.m. no início de cada semestre, a 20% a. a., durante 5 anos. Qual o
montante.
Resposta: 350.623,34 u.m.
24
4) Quanto se deve depositar, no início de cada trimestre, a 20% a. a., durante 3 anos, para no fim de 4
anos, retirar o montante de 100.000 u.m.?
Resposta: 4.922,53 u.m.
5) Que dívida pode ser amortizada com 20 prestações anuais de R$ 2.000,00 à taxa de 5% a. a., devendo
a 1ª prestação ser paga no ato do empréstimo?
Resposta: R$ 26.170,60
6) Calcular o valor atual de uma renda anual antecipada de 10 termos iguais a R$ 800,00, sendo 5,5% a.
a. a taxa de juros.
Resposta: R$ 6.361,76
7) Calcular o valor atual de uma renda mensal antecipada de 10 termos de 1.000 unidades monetárias, à
taxa de 2% ao mês.
Resposta: 9.162,237 u.m.
8) Uma mercadoria é vendida a prazo por 6 prestações mensais antecipadas de 100 u.m. com juros de
1,5% ao mês. Qual o valor a vista dessa mercadoria?
Resposta: 578,264 u.m.
Série Uniforme Diferida
EXERCÍCIOS
1) Interprete cada problema e depois calcule o valor do “X”:
a)
X
9%
0
1
2
11
12
semestres
Resposta:
12.809,12
u.m.
0
1
2
6
1444
424444
3
3.000 u.m.
b)
150
150
150
150
0
1
2
11
12
trimestres
Resposta:19.653,75
trimestres
Resposta: 307,06 u.m.
u.m.
0
1
2
3
24
7%
X
c)
3.000
2%
0
1
0
2
3
1
2
11
12
4
X
X
X
X
2) Calcular o valor atual de uma renda anual de 20 termos iguais a R$ 2.000,00 cada uma, à taxa de 5%
a. a., diferida de 7 anos.
25
Resposta: R$ 17.713,30
3) Calcular o valor atual de uma renda de 10 termos trimestrais de 200 u.m., com 9 meses de carência, à
taxa de 5% ao trimestre.
Resposta: 1.334,065 u.m.
4) Um empréstimo de 100.000 u.m. vai ser amortizado com 12 prestações trimestrais em 2 anos de
carência. Calcular o valor das prestações à taxa de 4,5% ao trimestre.
Resposta: 15.595,636 u.m.
5) Uma máquina foi comprada com 2.000 u.m. de entrada e 12 prestações trimestrais de 800 u.m.,
diferidas de um ano. Sendo os juros 8% ao trimestre, qual o preço à vista da máquina?
Resposta: 6.431,3936 u.m.
6) Um financiamento, com o principal de $ 10.000,00, deve ser liquidado em 10 prestações mensais,
iguais e sucessivas, com uma taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos. Assumir os meses
com 30 dias e determinar o valor dessas prestações nas seguintes hipóteses:
a) a 1ª prestação deve ser paga 30 dias após a liberação dos recursos; Resposta: 1.067,18
b) a 1ª prestação deve ser paga no ato da liberação dos recursos, a título de entrada; Resposta: 1.054,53
c) a 1ª prestação deve ser paga 120 dias após a liberação dos recursos. Resposta 1.106,06
TAXAS
Taxa ⇒ É o percentual da remuneração do capital.
Taxa Nominal ⇒ A taxa nominal é expressa normalmente para periodicidade anual, sendo
transformada em taxa para periodicidade menor de forma proporcional.
Taxa Proporcional ⇒ A proporcionalidade de taxas é realizada como se estivéssemos tratando de
juros simples.
Taxa Efetiva ⇒ É a taxa que realmente é paga no período em que foi fornecida, independente do
período de capitalização. Isto quer dizer que se um capital foi aplicado durante um tempo a determinada
taxa, não importa o período de capitalização, que o resultado final, o montante, será o mesmo.
Quando queremos ajustar uma taxa ao período de capitalização utilizamos a equivalência de
taxas.
Taxa Equivalente ⇒ Dizemos que duas ou mais taxas são equivalentes quando um valor é aplicado
por um prazo e, calculado o montante com as diversas taxas, obtemos o mesmo resultado.
CÁLCULO DA TAXA EQUIVALENTE
Seja:
i = taxa do período (anual)
k = número de capitalizações no período (nº de capitalizações no ano)
ik = taxa equivalente a “i”
ik = k 1 + i − 1
Exemplo 1:
e
i = (1 + i k ) k − 1
26
Qual a taxa mensal equivalente a 120% a. a.?
PRESSIONE
120 ENTER
VISOR
120,00
100 ÷
1,20
1 +
2,20
12
1
x
yx
1,07
1 –
0,07
100 ×
6,79
Exemplo 2:
Qual a taxa anual equivalente a 0,5% a. m.
PRESSIONE
0,5 ENTER
VISOR
0,50
100 ÷
0,01
1 +
1,01
12 yx
1,06
1 –
0,06
100 ×
6,17
PROGRAMA DE CÁLCULO DE TAXAS EQUIVALENTES
PARA CALCULADORA HP-12C
TECLAR
APARECE NO VISOR
COMENTÁRIOS
[f] [ P/R]
00-
coloca a máquina no modo programação
[f] [PRGM]
00-
limpa a memória de programação
[x y]
01-34
[EEX]
02-26
[2]
03-2
[÷]
04-10
[1]
05-1
[+]
06-40
[x y]
07-34
27
[y x]
08-21
[1]
09-1
[-]
10-30
[EEX]
11-26
[2]
12-2
[×]
13-20
[f] [P/R]
NORMAL
volta ao visor normal
INSTRUÇÕES DE USO DO PROGRAMA :
1. Subir Taxa
Exemplo: Mensal Anual Diário Mensal
- tecle a taxa em %
- tecle [ENTER]
- tecle o numero de vezes que o período menor cabe no maior.
- tecle [R/S]
2. Descer Taxa
Exemplo : Anual Mensal Mensal Diário.
- tecle a taxa em %
- tecle [ENTER]
- tecle o numero de vezes que o período menor cabe no maior.
- tecle [1/x]
- tecle [R/S]
EXERCÍCIOS
1) Calcular a taxa mensal proporcional e a equivalente a 24% a. a..
Resposta: 2% a. m. 1,809% a. m.
2) Calcular a taxa nominal e a efetiva anual correspondente a 2% ao mês.
Resposta: 24% a. a. 26,824% a. a.
3) O capital de 1.000 unidades monetárias produziu o montante de 1.700 unidades monetárias em 1 ano
e 9 meses. Qual foi a taxa trimestral dos juros?
Resposta: 7,88% a. t.
4) Qual a taxa trimestral de juro equivalente a 22% a. a.?
Resposta: 5,10% a. t.
28
5) Um capital foi aplicado a 1,5% ao mês. Qual a taxa anual equivalente?
Resposta: 19,56% a. a.
6) Qual a taxa mensal de juro equivalente a 20% a. a.?
Resposta: 1,531% a. m.
7) Qual a taxa anual de juros equivalente a 1% ao mês?
Resposta: 12,68% a. a.
8) Qual a taxa semestral de juros equivalente a 20% a. a.?
Resposta: 9,54% a. s.
AMORTIZAÇÃO
Amortização consiste na liquidação ou pagamento de uma dívida mediante prestações fixas,
sucessivas e iguais.
Esta permite calcular os juros e amortização contidas em uma prestação calculada pela tabela
PRICE (ou sistema FRANCES) e determinar o saldo devedor e o número de prestações pagas.
O sistema PRICE se caracteriza pelo pagamento de um empréstimo na forma de prestações iguais
e consecutivas.
Exemplo 1:
Uma dívida de R$ 3.000,00 com juros de 18% ao ano, capitalizados mensalmente deve ser
amortizada por meio de pagamentos mensais iguais durante os próximos 6 meses, devido o primeiro
daqui a um mês.
Construir uma tabela de amortização para dívida do exemplo 1:
Período
Pagamento
Juro devido no fim Capital amortizado Saldo Devedor no
do período
no fim do período início do período
1
2
3
4
5
6
Totais
Período
Pagamento
1
2
3
4
5
6
526,58
526,58
526,58
526,58
526,58
526,58
Totais
3.159,48
Juro devido no fim Capital amortizado Saldo Devedor no
do período
no fim do período início do período
45,00
481,58
3.000,00
37,78
488,80
2.518,42
30,44
496,14
2.029,62
23,00
503,58
1.533,48
15,45
511,13
1.029,90
7,78
518,80
518,77
159,45
3.000,03
0,03
A HP – 12C permite que você calcule as partes dos seus pagamentos referentes aos juros, principal,
além do saldo devedor do seu empréstimo após um ou mais pagamentos.
29
O plano de amortização deve ser definido da seguinte maneira:
Pressione f CLEAR FIN para apagar os registradores financeiros.
Introduza a taxa de juros periódica i.
Introduza o valor do empréstimo PV.
Introduza o pagamento período CHS PMT. (o sinal deve ser negativo por ser uma saída no fluxo de
caixa)
5. Pressione g BEG ou g END para estabelecer a modalidade de pagamento.
6. Introduza o número de pagamentos a serem amortizados.
7. Pressione f AMORT para apresentar a parte dos pagamentos referentes aos juros.
8. Pressione x y para apresentar a parte dos pagamentos referentes ao principal.
9. Para apresentar o número de pagamentos que acabaram de ser amortizados, pressione R↓
↓ R↓
↓.
10. Para apresentar o saldo devedor restante, pressione RCL PV.
11. Para apresentar o número total de pagamentos amortizados, pressione RCL n.
1.
2.
3.
4.
No quadro de amortização do Exemplo 1:
PRESSIONE
f CLEAR FIN
VISOR
526,58 CHS PMT
– 526,58
1,5 i
1.50
6 n
6.00
3000 PV
3.000,00
1 f AMORT
– 45,00
Juros da 1ª prestação.
x y
– 481,58
Amortização da 1ª prestação.
RCL PV
2.518,42
Saldo Devedor.
1 f AMORT
– 37,78
Juros da 2ª prestação.
x y
– 488,80
Amortização da 2ª prestação.
RCL PV
2.029,62
Saldo Devedor.
1 f AMORT
– 30,44
Juros da 3ª prestação.
x y
– 496,14
Amortização da 3ª prestação.
RCL PV
1.533,48
Saldo Devedor.
1 f AMORT
– 23,00
Juros da 4ª prestação.
x y
– 503,58
Amortização da 4ª prestação.
RCL PV
1.029,90
Saldo Devedor.
1 f AMORT
– 15,45
Juros da 5ª prestação.
30
x y
– 511,13
Amortização da 5ª prestação.
RCL PV
518,77
Saldo Devedor.
1 f AMORT
– 7,78
Juros da 6ª prestação.
x y
– 518,80
Amortização da 6ª prestação.
RCL PV
– 0,03
Saldo Devedor.
Exemplo 2:
Suponha que você queira comprar uma casa de R$ 15.000,00 a juros de 15% ano. Os pagamentos
necessários deverão ser de R$ 500,00 ao final de cada mês. Calcule as partes referentes aos juros e ao
principal dos dois primeiros anos de pagamentos.
PRESSIONE
f FIN
VISOR
500 CHS PMT
– 500,00
15 g 12÷
÷
1.25
15.000 PV
15.000,00
24 f AMORT
– 3.316,20
Juros relativos aos 24 primeiros meses.
x y
– 8.683,80
Principal pago nos 2 primeiros anos.
RCL PV
pagamentos.
6.316,20
Saldo
RCL n
amortizados.
24.00
Número
Devedor
após
total
de
2
anos
de
pagamentos
O número de pagamentos introduzidos imediatamente antes de se pressionar f AMOT é tomado
como sendo o número de pagamento realizados após quaisquer pagamentos que já tenha sido
amortizados.
Dessa maneira, se você pressionar agora 6 f AMORT , a sua HP – 12C calculará os montantes
relativos aos juros e ao principal, nos 6 meses seguintes após os 2 primeiros anos de pagamentos.
6 f AMORT
meses.
– 393,44
Parcela
x y
– 2.606,56
Principal amortizado dos últimos 6 meses.
RCL PV
3.709,64
Saldo Devedor após 30 meses.
RCL n
30.00
Número total de pagamentos amortizados.
relativa
aos juros dos últimos 6
Obs.: Somando-se os juros mais amortização, teremos a prestação. Os juros sempre incidirão
sobre o saldo devedor anterior a prestação. Se não for necessário, por exemplo, ter os juros e amortização
da 1ª prestação, você pode teclar simplesmente 2 f AMORT e sua HP – 12C dará o somatório das
31
amortizações até a 2ª prestação e o saldo devedor após o pagamento da mesma. Teclando após 1 f
AMORT a sua HP – 12C lhe dará os juros e amortização da 3ª prestação, como também o saldo devedor.
Exemplo 3:
No exemplo 1 achar o saldo devedor logo após o 4º pagamento e conferir com a entrada na tabela
do exemplo 1.
O saldo devedor logo após o 4º pagamento, é o valor atual dos 6 – 4 = 2 pagamentos ainda a
efetuar-se.
Assim, SD (Saldo Devedor)
HP – 12C
PRESSIONE
f CLEAR FIN
VISOR
526,58 CHS PMT
– 526,58
6 n
6.000
1,5 i
1,50
3000 PV
3.000,00
4 f AMORT
– 136,22
RCL PV
1.029,90
Saldo Devedor.
EXERCÍCIOS
1) A fim de remodelar sua loja, um comerciante toma emprestados R$ 13.000,00. Concorda em
amortizar seu débito, capital e juros a 6% ao ano, por meio de pagamentos mensais iguais durante os
próximos 3 anos, o primeiro com vencimento para daqui a um mês. Achar:
a) O pagamento mensal.
Resposta: 395,49
b) O saldo devedor logo após o 20° (vigésimo) pagamento.
Resposta: 6.066,64
2) M toma emprestados R$ 100.000,00 com juros de 6% ao ano compostos trimestralmente. A dívida
deve ser liquidada mediante um pagamento de R$ 20,000.00 daqui a 2 anos, seguindo de pagamentos
trimestrais iguais no fim de cada período durante 8 anos.
a) Achar o pagamento periódico necessário.
Resposta 3.666,79
b) Calcular o saldo devedor logo após o 5° pagamento periódico.
Resposta: 80.917,29
c) Que parte do último pagamento é empregada para pagar os juros?
Resposta: 54,19
3) Um equipamento no valor de R$ 8.500,00 é adquirido em 48 pagamentos mensais postecipados, a
juros de 2% ao mês. Calcule:
32
a) O valor da prestação.
Resposta: 277,12
b) A amortização relativa às prestações 20, 30 e 40.
Resposta: 156,05; 190,23; 231,89
c) O saldo devedor logo após o pagamento das prestações 20, 30 e 40.
Resposta: 5.897,28; 4.154,36; 2.029,76
4) Um imóvel é financiado em 240 prestações mensais e consecutivas. O valor financiado corresponde a
R$ 25.000.00 e a taxa de juros é 1% ao mês, com pagamentos postecipados. Calcule:
a) O valor dos juros e amortização das prestações relativos às prestações 50, 120 e 200.
Resposta: 234,12;
192,70;
92,22;
41,15;
82,57;
183,05.
b) O saldo devedor logo após o pagamento das prestações 50, 120 e 200.
Resposta: 23.371,03; 19.186,94; 9.039,39
5) A contraiu um empréstimo bancário no valor de R$ 3.300,00 para ser pago com juros de 7,5% ao mês,
durante 11 meses. Qual o valor relativo aos juros pagos durante as 3 primeiras prestações?
Resposta: 695,54
7 – FUNÇÕES DAS TECLAS – ESTATÍSTICAS
(g) xw – média ponderada
(g) x̂, r – estimativa linear de x/ correlação linear (x, y)
(g) ŷ, r – estimativa linear y/ correlação linear (x, y)
(g) n! – fatorial de n
(g) x – média aritmética
(g) s – desvio padrão
Σ+ – somatório (+)
(g) Σ– – somatório (–)
Acumulando Estatísticas
A HP – 12C pode realizar cálculos estatísticos com uma ou duas varáveis, Os dados são
introduzidos na calculadora usando-se a tecla ∑+, a qual automaticamente calcula estatísticas dos dados
e as armazena nos registradores R1 e R6. (Tais registradores serão doravante denominados “registradores
estatísticos”).
Antes de começar a acumular estatísticas para um novo conjunto de dados, você deve apagar os
registradores estatísticos, pressionando f CLEAR ∑.*
Nos cálculos estatísticos com uma variável, para introduzir cada dado, denominado “o valor de x”,
introduza o x no visor e então pressione ∑+.
Nos cálculos estatísticos com duas variáveis, para introduzir cada par de dados, denominados “o
valor de x e o valor de y”:
33
*Esta operação também apaga os registradores da pilha operacional e o visor.
1.
2.
3.
4.
Introduza o y no visor.
Pressione ENTER.
Introduza o x no visor.
Pressione ∑+.
•
•
•
•
•
Cada vez que você pressionar ∑+, a calculadora fará o seguinte:
O conteúdo R1 será incrementado de uma unidade, e o resultado será copiado no visos.
O valor de x será adicionado ao conteúdo de R2.
O valor de x ao quadro será adicionado ao conteúdo de R3.
O valor de y será adicionado ao conteúdo de R4.
O valor de y ao quadrado será adicionado ao conteúdo de R5.
O produto dos valores de x e y será adicionado ao conteúdo de R6.
A tabela abaixo mostra como as estatísticas acumuladas são armazenadas.
Registradores
R1 (e o visor)
R2
R3
R4
R5
R6
Estatística
n número de pares de dados acumulados
∑ x somatório dos valores x
∑ x2 somatório dos valores de x2
∑ y somatório dos valores de y.
∑ y2 Somatório dos valores de y2.
∑ x y somatório dos produtos dos valores de x e y
Corrigindo Estatísticas Acumuladas
Se você descobrir que introduziu dados incorretos, as estatísticas acumuladas podem ser
facilmente corrigidas:
•
•
Se o dado (ou par de dados) tiver acabado de ser introduzido, e ∑+ tiver sido pressionada, pressione
g LSTx g ∑–.
Se o dado (ou par de dados) não for o mais recentemente introduzido, introduza o dado (ou par de
dados) incorretos novamente, como se fosse um novo dado, e então pressione g ∑–, ao invés de ∑+.
Tal procedimento cancela o efeito do dado (ou par de dados) incorreto. Basta agora introduzir o
dado corretamente, usando ∑+ como se fosse um novo dado.
Média
Ao se pressionar g x calcula-se as médias (médias aritméticas) dos valores de x ( x ) e dos
valores de y ( y ) . A média dos valores de x aparece no visor assim que x é pressionada; para apresentar
a média dos valores de y, pressione x y.
Exemplo:
34
Uma pesquisa feita com sete vendedores de sua empresa revelou dados constantes na tabela
dada a seguir. Quantas horas trabalha um vendedor, em média, por semana? Quanto ele vende, em média,
por mês?
Vendedor
1
2
3
4
5
6
7
Horas por Semana
32
40
45
40
38
50
35
Vendas por Mês
R$ 1.700,00
R$ 2.500,00
R$ 2.600,00
R$ 2.000,00
R$ 2.100,00
R$ 2.800,00
R$ 1.500,00
Para calcular as médias das horas trabalhadas e das vendas desta amostra:
PRESSIONE
f CLEAR ∑
VISOR
0.00
32 ENTER
32.00
1700 ∑+
1.00
40 ENTER
40.00
2500 ∑+
2.00
45 ENTER
45.00
2600 ∑+
3.00
40 ENTER
40.00
2000 ∑+
4.00
38 ENTER
38.00
2100 ∑+
5.00
50 ENTER
50.00
2800 ∑+
6.00
35 ENTER
35.00
1500 ∑+
7.00
Número total de introduções da amostra.
g x
x y
2,171.43
40.00
Média, em cruzeiros, das vendas por mês ( x ).
Média do trabalho semanal, em horas ( y ).
Desvio Padrão
Apaga os registros estatísticos.
Primeira introdução.
Segunda introdução
Terceira introdução.
Quarta introdução.
Quinta introdução.
Sexta introdução.
35
Ao se pressionar g s calcula-se o desvio padrão do valores x (sx) e dos valores de y (sy). (O
desvio padrão do valores de x aparece no visor assim que s é pressionada; para apresentar o desvio
padrão dos valores de y, pressione x y.
Exemplo:
Para calcular os desvios padrão dos valores de x e de y do exemplo anterior:
PRESSIONE
g s
VISOR
482.06
Desvio padrão de vendas.
x
6.03
Desvio padrão das horas trabalhadas.
y
Estimação Linear
Estando acumuladas as estatísticas de duas variáveis nos registradores estatísticos, você pode
estimar um novo valor de y ( ŷ ), a partir de um novo valor de x, e estimar um novo valor de x ( x̂ ) a partir
de um novo valor de y.
Para calcular ŷ :
1. Introduza um novo valor de x.
2. Pressione g yˆ , r .
Para calcular x̂ :
1. Introduza um novo valor de y.
2. Pressione g xˆ , r .
Exemplo:
Usando os dados estatísticos acumulados no exemplo precedente, estime o valor das vendas de um
novo vendedor que trabalhe 48 horas por semana.
PRESSIONE
48 g xˆ , r
trabalho por semana
VISOR
2,881.89
Valor estimado das vendas em 48 horas de
A confiabilidade de uma estimativa linear depende da proximidade do ajuste dos pares de dados a
uma reta, se traçados num gráfico. A medida mais comum dessa confiabilidade é o coeficiente de
correlação, r. Este valor é automaticamente calculado toda vez que ŷ ou x̂ é calculado; para apresentálo, basta pressionar x y. Se o coeficiente de correlação estiver muito próximo de +1 ou de –1 , isso
indicará que os dados se ajustam muito bem a uma reta. Por outro lado, um coeficiente de correlação
próximo de zero indica que os pares de dados não se ajustam a uma rena; e, consequentemente, que uma
estimativa linear, usando tais dados não será muito confiável.
Exemplo:
Verifique a confiabilidade da estimativa linear no exemplo anterior, apresentando a coeficiente de
correlação.
Pressione
Visor
x y
0.90
O coeficiente de correlação é próximo de 1, de modo
que a venda calculada no exemplo anterior se constitui numa boa estimativa.
Média Ponderada
36
Você pode calcular a média ponderada de um conjunto de números se você conhecer os pesos de
cada um dos itens em questão.
1. Pressione f CLEAR ∑.
2. Introduza o valor do item, pressione ENTER , introduza seu peso e pressione ∑+ . Introduza o valor
do segundo item, pressione ENTER , introduza o segundo peso e pressione ∑+ . Prossiga até
introduzir todos os valores dos itens e seus pesos correspondentes. A regra para introdução dos dados
é “item ENTER peso ∑+”.
3. Pressione g x w para calcular a média ponderada dos itens.
Exemplo:
Suponha que durante uma viagem de férias à praia você tenha parado em quatro restaurantes e
comido seu prato favorito: camarões. O consumo e o custo unitário em cada restaurante foi o seguinte:
15 camarões a
R$ 116,00 cada um, 7 a R$ 124,00, 10 a R$ 120,00 e 17 a R$ 118,00. Você deseja calcular o custo médio
de cada camarão consumido. Se você tivesse comprado a mesma quantidade de camarões em cada
restaurante, bastaria usar a tecla x e calcular uma média aritmética simples. Como você sabe o valor de
cada Item (camarão) e seu peso correspondente (número de camarões consumidos), use a tecla x w para
determinar a média ponderada:
PRESSIONE
f CLEAR ∑
VISOR
0.00
Apaga os registradores estatísticos.
116 ENTER 15 ∑+
124 ENTER 7 ∑+
1.00
2.00
Primeiro item e seu peso.
Segundo item e seu peso.
120 ENTER 10 ∑+
3.00
Terceiro item e seu peso.
118 ENTER 17 ∑+
4.00
Quarto item e seu peso.
g xw
118.65
Média ponderada do custo de cada camarão.
EXERCÍCIOS
1) Calcule a média aritmética da série:
a) X : 1, 2, 8, 10, 12, 16, 21, 30.
Resposta: 12,5
b) Y : 5, 6, 6, 10, 11, 11, 20.
Resposta: 9,857
c) Z : 3,4; 7,8; 9,23; 12,15.
Resposta: 8,145
2) Um produto é acondicionado em lotes contendo cada um deles 10 unidades. O lote só é aprovado se
apresentar um peso superior a 40 quilos.
Se as unidades que compõe determinado lote pesam: 3; 4; 3,5; 5,0; 3,5; 4; 5; 5,5; 4; 5, este lote será
aprovado? Qual o peso médio do produto?
Resposta: Sim. 4,25
3) Um produto é vendido em três supermercados por $ 13,00/kg, $ 13,20/kg e $ 13,50/kg. Determine
quantos $/kg se paga em média pelo produto.
37
Resposta: 13,23 kg/$
4) Um produto é vendido em três supermercados por $ 130/kg, $ 132/kg e $ 135/kg. Determine, em
média quantos quilos do produto se compra com $ 1,00.
Resposta: 0,0075585 kg/$
5) Calcule a média aritmética da série:
xi
fi
2
1
3
4
4
3
5
2
Resposta: 3,6
6) Uma loja vende cinco produtos básicos A, B, C, D, E. O lucro por unidade comercializada destes
produtos vale respectivamente $ 200,00; $ 300,00; $ 500,00; $ 1.000,00; $ 5.000,00. A loja vendeu
em determinado mês 20; 30; 20; 10; 5 unidades respectivamente. Qual foi o lucro médio por unidade
comercializada por esta loja?
Resposta: 682,35/peça
7) Um caminhão cujo peso vazio é 3.000 kg será carregado com 480 caixas de 10 kg cada, 350 caixas de
8 kg cada, 500 caixas de 4 kg cada e 800 caixas de 5 kg cada. O motorista do caminhão pesa 80 kg e a
lona de cobertura da carga pesa 50 kg. a) Se este caminhão tem que passar por uma balança que só
permite passagens a caminhões com peso máximo de 15 toneladas, este caminhão passará pela
balança? b) Qual o peso médio das caixas carregadas no caminhão?
Resposta: a) Não
b) 6,385/kg
8) Calcule a idade média dos alunos de uma classe de primeiro ano de determinada Faculdade, em anos.
Idade (anos) xi
N.º de Alunos fi
17
3
18
18
19
17
20
8
21
4
Resposta: 18,84 anos/aluno
9) O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro abaixo. Calcule o
salário médio destes funcionários
Classe
Salários $
1
400,00
500,00
2
500,00
600,00
3
600,00
700,00
4
700,00
800,00
5
800,00
900,00
6
900,00
1.000,00
Resposta: $ 572,5/f
N.º de funcionários fi
12
15
8
3
1
1
10) Uma empresa de âmbito nacional, fornecedora de supermercados, fez um levantamento do consumo
de seu principal produto em vários supermercados obtendo em determinado mês, a tabela:
38
Classe
Número de Unidades
N.º de Supermercados fi
Consumidas
1
0
1.000,00
10
2
1.000,00
2.000,00
50
3
2.000,00
3.000,00
200
4
3.000,00
4.000,00
320
5
4.000,00
5.000,00
150
6
5.000,00
6.000,00
30
Determine o consumo médio deste produto por supermercado pesquisado.
Resposta: 3.342,1 unid.
11) Uma pesquisa para determinar a eficiência de uma nova ração para animais, em termos de ganho de
peso, mostrou que após um mês em que a ração normal foi substituída pela nova ração, os animais
apresentaram um aumento de peso segundo a tabela:
Classe Aumento de Peso em kg
N.º de Animais fi
1
0
1
1
2
1
2
5
3
2
3
35
4
3
4
37
5
4
5
28
a) Calcular o aumento médio de peso por animal.
Resposta: 3,311/kg
b) Se a ração antiga proporcionava em iguais circunstâncias um aumento médio de peso de 3.100
kg/animal, esta nova ração pode a princípio ser considerada mais eficiente?
Resposta: Sim
Cálculos de Depreciação
A HP – 12C permite que você calcule a depreciação e o valor depreciável resultante (valor
contábil menos o valor de resgate) usando um dos seguintes métodos: o linear, o dos dígitos da soma dos
anos e o do declínio do balanço. Para fazer o cálculo com qualquer desses três métodos:
Introduza o custo original do bem, usando PV.
Introduza o valor de resgate do bem, usando FV. Se o valor de resgate for zero, pressione 0 FV.
Introduza a vida útil esperada do bem (em anos), usando n.
Se o método do declínio do balanço (como uma porcentagem), usando i . Como exemplo, 1.25 vezes
a taxa da reta (125% de declínio do balanço) seria introduzido como 125 i.
5. Introduza o número do ano para o qual a depreciação será calculada.
6. Pressione:
1.
2.
3.
4.
f SL (Straight Line = reta) para calcular a depreciação segundo o método linear.
f SOYD (Sum Of The Years Digits = dígitos da soma dos anos) para calcular a depreciação segundo
o método dos dígitos da soma doa anos.
• f DB (Declining Balance = declínio do balanço) para calcular a depreciação segundo o método do
declínio do balanço.
SL, SOYD e DB colocam montante da depreciação no visor. Para apresentar o valor depreciável
resultante (o valor contábil menos o valor de resgate) após o cálculo da depreciação, pressione x y.
•
•
Exemplo:
39
Uma fresa comprada por R$ 1.000.000,00 será depreciada em 5 anos. Seu valor de resgate é
estimado em R$ 50.000,00. Calcule a depreciação e o valor depreciável resultante, nos primeiros 3 anos
de vida útil da máquina, usando o método do declínio do balanço, com o dobro da taxa da reta (declínio
do balanço de 200%).
PRESSIONE
VISOR
1000000 PV
1,000,000.00 Introduz o custo original.
50000 FV
50,000.00
Introduz o valor de resgate.
5 n
5.00
Introduz a vida útil esperada.
200 i
200.00
Introduz o fator de declínio do balanço.
1 f DB
400,000.000 Depreciação no 1º ano.
x
550,000.00
Valor depreciável resultante após o 1º ano.
2 f DB
240,000.00
Depreciação no 2º ano.
x
310,000.00
Valor depreciável resultante após o 2º ano.
3 f DB
144,000.00
Depreciação no 3º ano.
x
166,000.00
Valor depreciável resultante após o 3º ano.
y
y
y