TI-Ciências
TI-Ciências Fevereiro 2003
Editorial
Sempre que os professores, os formadores ou os
investigadores pretendem elaborar ou reformular
os programas de Matemática, com o objectivo de
promover e fazer evoluir o ensino desta disciplina,
colocam-se-lhes duas questões: por um lado, qual
o lugar da Matemática no ensino? por outro quais
as áreas da Matemática a ensinar, como as
leccionar e quais as ajudas e que tipo de
acompanhamento deve ser dado aos professores?
Como o ensino tem diversas finalidades, não
apenas a formação profissional, ele promove a
cultura da sociedade em cada época, assim a
importância da Matemática é analisada em
relativamente a uma dupla significação: a nível
interno (no sentido da sua própria identidade que
precisa os seus objectivos, os seus métodos e a
sua diversidade) e em ligação com outros
domínios do saber. Esta relação entre a
Matemática e outros tipos de conhecimento deve
ser multilateral. Por exemplo, entre a Matemática
e a Física as interacções são frutuosas nos dois
sentidos e muitas vezes permitem conhecer
melhor, compreender melhor, explicar e algumas
vezes prever certas situações ou determinados
fenómenos. O ensino da Matemática, desde o
ensino secundário, deve mostrar a pertinência
desta disciplina, bem como a sua participação na
resolução de problemas físicos. Neste contexto
torna-se necessário ensinar ao aluno, que a
matematização dum fenómeno deve ser
acompanhada do reconhecimento do seu domínio
de validade e dos seus limites. Inversamente,
também se deverá explicar ao aluno como os
problemas relacionados com o conhecimento do
mundo actual desempenham um importante papel
no desenvolvimento dos conceitos, das teorias e
dos métodos. È igualmente desejável ensinar-se
-lhes que, bem mais do que um simples
instrumento técnico de resolução de problemas,
a Matemática e os seus métodos participam na
formulação de numerosos problemas.
Índice
Editorial
...................................1
O Meteoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–3
Modelação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–6
Amortização de um Empréstimo . . . . . . . . . . . . . . . 6–7
Programa Educacional Texas Instruments . . . . . . . . . . 8
Em imensos países, quando se pretendem fazer
reformas no ensino, constata-se que a Matemática
aparece na linha da frente, no conjunto de
disciplinas cujos programas têm de ser
reformulados. Esta constatação parece-nos de
certa forma evidente, pois um pouco por todo o
lado, a Matemática é considerada como base de
toda a formação que envolva a ciência e a técnica.
Para promover uma evolução socio-económica de
competência científica e tecnológica nos jovens,
é necessário colocar a Matemática no centro de
um ensino moderno, pois ela é por excelência
uma disciplina de formação que promove o
raciocínio e o espírito crítico e científico.
Isabel Cleto dos Santos / José Alberto Rodrigues
education.ti.com/portugal
T I Te c h n o l o g y Ð
Beyond Numbers
O Meteoro
Helena Rocha
A proposta de trabalho que aqui se apresenta, incide sobre
o tema de Funções ao nível do ensino secundário e, embora
não exclusivamente, fundamentalmente ao nível do 10º ano
de escolaridade.
Comentários
A tarefa é seguida de comentários, ao longo dos quais se
procura apresentar algumas das possíveis respostas às
questões colocadas, bem como sugerir algumas hipoteses
de exploração das potêncialidades disponibilizadas pela
calculadora e que poderão, eventualmente, não ser do
conhecimento de alguns leitores, menos familiarizados
com esta tecnologia.
Na primeira questão pedem-nos que encontremos a
expressão de uma função que passssa por cinco pontos
dados. Assim, o melhor é começarmos por criar uma
representação gráfica desses pontos, que posteriormente nos
facilite a procura da referida função. Para isso podemos optar
por dosi caminhos ligeiramente diferentes. Podemos começar
por criar duas listas, que podemos designar por L1 e L2
(também podemos escolher nomes mais sugestivos, uma
vez que a TI-83 Plus nos permite escolher nomes para as
listas), contendo a primeira os valores da velocidade e a
segunda os da temperatura máxima alcançada pelo meteoro
(proceda como indicado na figura, utilize a tecla STO para
obter a seta e não se esqueça de carregar ENTER no final).
Esta pode ser uma tarefa interessante para propor a alunos
durante o estudo das funções polinomiais ou mesmo durante
o estudo da função quadrática.
Em alternativa podemos aceder à estatísca (STAT),
seleccionar EDIT e introduzir os dados na tabela, como
se pode ver ao lado.
A calculadora utilizada foi a TI-83 Plus. No entanto a proposta
de trabalho não é exclusiva para este modelo.
Em cada ano há milhares de meteoros que penetram na
atmosfera terreste. Quando o meteoro entra na atmosfera
sofre um aquecimento rápido e adquire o aspecto de uma
estrela cadente. O grau a que o meteoro é aquecido depende
da sua velocidade, ou seja, a temperatura máxima alcançada
pelo meteoro é função da velocidade a que este penetra na
atmosfera. Na tabela que se segue encontram-se alguns
valores aproximados desta função.
Velocidade
(km/s)
Temperatura
Máxima (ºC)
5
6
7
8
9
11.25
16.20
22.05
28.80
36.45
1. Procure descobrir a expressão da função
2. Considerando a função que encontrou como modelo da
situação, qual será a máxima temperatura alcançada por
um meteoro que penetre na atmosfera a uma velocidade
de 10 km/s? E se for a 20 km/s?
3. E se da tabela apenas conhecesse os dois primeiros
valores, haveria outras funções possíveis?
2
TI-Ciências
Uma vez criadas as listas vamos pedir à calculadora que as
use na construção de um gráfico. Para isso vamos pressionar
2nd Y= (para aceder a Stat Plot) e carregar ENTER para
definir o primeiro gráfico (a máquina permite que sejam
definidos até três gráficos: Plot1, Plot2 e Plot3).
Visualizamos então um écran como o apresentado, devendo
os sombreados ser colocados tal como na figura, para que a
calculadora trace um gráfico de pontos , utilizando os valores
de L1 no eixo dos xx e os de L2 no eixo dos yy. Basta agora
traçar o gráfico (pressionando GRAPH) e provavelmente
reajustar os valores de window.
O Meteoro
continuação
Uma vez obtida uma representação gráfica dos dados
podemos prosseguir, por tentativas e utilizando os
conhecimentos até então adquiridos sobre os gráficos
de funções polinomiais, até encontrar uma expressão
para esta função.
A última questão procura levar os alunos a aperceberem-se
da multiplicidade de funções que é possível encontrar a
passar por um reduzido número de pontos. Uma possível
abordagem seria permitir a livre procura de outras funções
nas condições indicadas.
No entanto, também é possível utilizar a calculadora para,
recorrendo a uma regressão quadrática, encontrar a expressão
duma função que constitua uma boa aproximação da que
pretendemos (pressionando e seleccionando sucessivamente
STAT, Calc e QuadReg), o que, neste caso concreto, até nos
permite encontrar mesmo a expressão pretendida.
A resposta à segunda questão pode ser obtida por vários
processos. Podemos recorrer à tabela (pressionando 2nd
GRAPH). Neste caso convém ter o cuidado de definir o
incremento da tabela (pressionando 2nd TBLSET), por
exemplo para 5, de forma a que nos seja possível visualizar
os valores da função para x 10 e x 20. Também é possível
definir a tabela de modo a que nos seja permitido colocar na
coluna dos varores de x apenas os números que desejamos.
Para isso temos de colocar, em TBLSET, a variável
independente em Ask. Esta opção permite-nos visualisar
uma tabela em branco, onde podemos preencher os valores
de x e visualizar o correspondente valor de y carregando
apenas em ENTER.
5
5
Uma outra possibilidade é centrarmo-nos no gráfico e
recorrer, por exemplo, à opção value do menu CALC.
Neste caso é no entanto necessário que o valor de x que
vamos introduzir, se encontre entre os valores Xmin e
Xmax no Window. A calculadora apresenta então o valor
corrrespondente ao y e coloca uma cruz no repectivo
ponto do gráfico.
TI-Ciências 3
Modelação geométrica
Dado um quadrado de lado k, considere-se um ponto Q,
que se desloca ao longo de um dos lados e que vai
gerando quadrados inscritos no quadrado dado.
k
Joaquim António Pinto
com o ponto B veremos que o deslocamento, x, varia entre
zero e k.
k
Considerando agora a questão:
Q⇒
• Observando as figuras, e sem fazer cálculos, faz um
esboço de um gráfico que traduza a variação da área
em função do deslocamento de Q.
Q
k
k
Q
Q
• Entre que valores pode variar o deslocamento?
• Observando as figuras, e sem fazer cálculos, faz um
esboço de um gráfico que traduza a variação da área
em função do deslocamento de Q.
• Define analiticamente a função e confirma o gráfico
que esboçaste.
• Quando é que a área é mínima? Quando é que
é máxima? Qual é o contradomínio?
• Há deslocamentos diferentes que dêem origem
a quadrados com áreas iguais?
(in, Geometria para o 10º Ano de Matemática, DES, 1997)
Para fazer um esboço do gráfico que traduz a variação da
área em função do deslocamento de Q, vamos pensar
experimentalmente do seguinte modo: com régua e
compasso desenhamos sucessivos quadrados
correspondentes a deslocamentos diferentes do ponto Q,
medimos o deslocamento e calculamos a respectiva área.,
compilamos os dados assim recolhidos e armazenamo-los
em duas listas, numa qualquer calculadora gráfica, depois
pedimos a nuvem de pontos correspondente ás listas que
acabámos de construir.
Com a TI-92 ou com a Voyage 200 podemos pensar da
mesma maneira mas automatizar toda a situação. Ou seja,
partindo dos écrans anteriores vamos pedir para a máquina
nos calcular a área de cada um dos quadrados, de seguida
definimos as entradas de valores para a construção de uma
tabela, em que a primeira entrada será o deslocamento x,
e a segunda a área do quadrado [QPRS] .
Proposta de resolução:
Pensemos na questão:
• Entre que valores pode variar o deslocamento?
Podemos responder, observando a figura anteriror e
atendendo a que medida do lado maior é k e que se o ponto
Q se desloca ao longo de um dos lados, o deslocamento, que
passamos a designar por x, variará entre zero e k.
Isto pode ser facilmente constatado com o Cabri na TI-92 Plus
ou na Voyage™ 200. Vejamos:
Utilizando a possibilidade de dar animação a esta construção
vamos recolher dados automaticamente e construir a tabela.
o segmento de recta [AB] serve para definir o lado do
quadrado maior, ou seja, k, o ponto Q vai-se deslocando ao
longo desse segmento, e x será a distância de A a Q.
Podemos ver que não perdemos nada em termos de futuras
generalizações dado que podemos variar sempre o valor de k.
Fazendo coincidir o ponto Q com o ponto A e posteriormente
4
TI-Ciências
Modelação geométrica
Temos então a seguinte tabela:
continuação
Podemos definir analiticamente a função se atendermos á
figura seguinte: para calcularmos a área do quadrado [QPRS]
é suficiente usarmos o teorema de Pitágoras, em relação ao
triângulo [AQS]. Sendo assim, QS 2 x 2 (k x)2 ⇔
D
C
k
2
2
2
2
ou seja, a área em função de x,
que passo a designar por A(x),
é dada por A(x) 2x 2 2xk
k 2.
R
Podemos agora trabalhar estatisticamente os dados recolhidos
e fazer a nuvem de pontos – um esboço – correspondente a
estes dados.
5 1 2
⇔ QS 5 x 1 k 2 2xk 1 x
S
5
1
2
P
k-x
Com a calculadora (TI-92 ou
Voyage™ 200) e utilizando a
tabela obtida anteriormente
A x Q
B
podemos pedir uma regressão
quadrática e tentar encontrar
assim a curva que melhor se adapta á nuvem de pontos que
construímos. Donde:
Como facilmente constatamos, o gráfico que traduz a
variação da área em função do deslocamento de Q parece
ser uma parábola.
Outro processo seria utilizar as potencialidades do Cabri
para fazer o esboço do gráfico da função.
Para isso vamos proceder do seguinte modo: inserimos um
sistema de eixos coordenados e atribuímos ao eixo das
abcissas o valor do deslocamento do ponto Q e ao eixo
das ordenadas o valor da área.
5 1 1
5 2 1
Para a regressão quadrática y ax 2 bx c, obtivemos
a 2, b –4 e c 4 ou seja, y 2x 2 4x 4 o que
confirma o resultado obtido analiticamente, pois, no nosso
caso, k 2, e substituindo k por 2 em A(x) obtemos
precisamente esta expressão, isto é, A(x) 2x 2 2x(2) (2)2
⇔ A(x) 2x 2 4x 4.
5
5
5
5
5
2 1
5
2
Espreitemos, na calculadora, o gráfico de A(x) para k
1
5 2.
Analisemos agora qual é o lugar geométrico que o ponto
T percorre quando o ponto Q se desloca ao longo do
segmento [AB].
Também aqui, como era de esperar, o ponto T vai percorrer
uma parábola.
Relativamente à questão:
• Define analiticamente a função e confirma o gráfico
que esboçaste.
Vejamos novamente a nuvem de pontos no écran da
esquerda e no écran da direita os dois gráficas sobrepostos:
Como era de esperar a nuvem de pontos e o gráfico da
função A(x) para k 2 vão coincidir, ou seja, por um lado
confirmamos o esboço anteriormente obtido, por outro,
encontrámos de dois modos diferentes – um analítico e outro
estatístico – a expressão que define a função.
5
TI-Ciências 5
Modelação geométrica
continuação
}k2} , k
2
Quanto à questão:
Daqui resulta que o contradomínio vai ser o intervalo
• Quando é que a área é mínima? Quando é que a área
é máxima? Qual é o contradomínio?
Por fim, a questão:
5 }}
5 2 }} 1
k
k 2
. Com efeito, A(x) 2 x
A área será mínima para x
2
2
k2
, expressão analítica que nos exibe as coordenadas do
2
2
k k
vértice da parábola, v
,
, e dado que a parábola tem
2 2
}}
5 }} }}
concavidade voltada para cima a abcissa do vértice será o
minimizante da função e a ordenada será o mínimo,
graficamente teremos, (para k 2):
5
2
• Há deslocamentos diferentes que dêem origem a
quadrados com áreas iguais?
Respondemos que sim, pois basta recordar que a parábola
é simétrica em relação à recta vertical que passa pelo vértice
e então a deslocamentos igualmente afastados da abcissa
do vértice vão corresponder áreas iguais. E a tendendo
à resposta dada na questão anterior podemos também
comfirmar que há deslocamentos diferentes que dão
origem a áres iguais. Em termos de Cabri podemos ver:
O que vem reforçar o que obtivemos analiticamente.
Por outro lado a área será máxima quando o deslocamento
for nulo ou for igual a k, e então obteremos, nos dois casos, a
área igual a k 2. Graficamente, utilizando o Cabri, constatamos
o que acabamos de afirmar:
5
5
Facilmente reparamos que para x 0.48 e para x 1.52
obtemos a mesma área; como abcissa do vértice é 1, com
k 2, vem então que 0.48 1 0.52 e 1.52 1 0.52,
ou seja, o afastamento em relação à abcissa do vértice
é o mesmo.
5
5 2
5 1
Amortização de um Empréstimo
Muitas vezes se ouve falar de amortização de um
empréstimo a uma determinada taxa. É natural que o leitor
já tenha tido a necessidade de recorrer a um empréstimo e,
consequentemente, teve de fazer entregas periódicas para
pagar a dívida. Poderá ter recebido informação a partir de
diferentes simulações, ou mesmo, feito estas simulações
pessoalmente. Talvez se tenha preocupado pouco em saber
porque razão a folha de cálculo ou outro software geram
aqueles valores de origem aparentemente desconhecida.
5
6 TI-Ciências
3 }} 3 1 }}
1 }} 2
Note-se que, pagando prestações mensais,
Ao fim da Nª
prestação
Pago
1ª
p
2ª
p
3ª
p
...
p
Nª
p
Ainda devo
C1
1 }1i2} 2 p
1 }1i}2 2 p 1 1 }1i}2 2 p 5 C 1 1 }1i}2 2 p 1 1 }1i}2 2 p
2
C1
1 }1i2} 2 p 1 1 }1i2} 2 p 1 1 }1i2} 2 p
3
C1
2
...
1}1i2} 2 p 1 1 }1i2} 2 … 2 p 1 1 }1i2} 2 p
N
C1
N-i
No final do período de pagamento (N prestações), tem de
se verificar:
i N N-1
i k
C1
∑ p 1
0 (1)
12
12
k50
1 }} 2
1 }} 5
}
O que se pretende, é precisamente observar este lado
menos visível dos empréstimos.
Na realidade, se queremos amortizar um empréstimo (C)
contraído por um período de n anos, a uma taxa de juro i
(para facilitar os cálculos financeiros vamos considerar para i,
o valor do imposto em percentagem, dividido por 100), nas
condições referidas anteriormente; o valor da prestação
mensal é dado pela fórmula, de utilidade pedagógica
12n
duvidosa,
i
i
C
1
12
12
.
p
12n
i
1
1
12
Raul Aparício
Soma de N termos de uma progressão geométrica
Amortização de um Empréstimo
Raul Aparício
Escola Secundária de Ermesinde – Portugal
([email protected])
O método de indução matemática é eficaz para demonstrar a
afirmação anterior.
Poderá ter algum interesse analisar o que sucede se se
estender o período de empréstimo até 40 anos.
Resolvendo (1) em ordem a p, surge a fórmula já referida
anteriormente.
Podemos concluir que este empréstimo, quando contratado
por um período de 40 anos leva a uma redução dos encargos
mensais relativamente a um período de 30 anos de cerca de
Û 50, mas leva também a um aumento do encargo final de
cerca de Û 25000.
Ao utilizar a folha de cálculo
na máquina de calcular gráfica
TI-83 Plus (CellSheet™), tem
de ser introduzida a fórmula.
Sob este ponto de vista,
poderá ser necessário o seu
aparecimento ao trabalhar
com alunos.
Esta aplicação (CellSheet) faz parte do software da
calculadora Voyage™ 200, que permite uma maior
versatilidade de trabalho.
Como exemplo, vamos calcular o valor da prestação mensal,
para amortizar um empréstimo relativo ao crédito à habitação
no valor de Û 85000, por um período de 30 anos, a uma taxa
de 4,152%.
Bibliografia Consultada:
CANADAS, N. (1998)
MATF, A matemática de financiamento e de aplicação
de capital, Plátano Ed.
GONZÁLEZ, J.L. / LÓPEZ, J. (1998)
Matemáticas 4º Opción B, Oxford University Press
España S.A..
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/pt/
ti83pcellsheetapp_por.pdf (CellSheet Guide Book)
http://education.ti.com/us/product/tech/89/guide/
voyageguidept.html
TI-Ciências 7
Programa Educacional Texas Instruments (Portugal)
A TI tem vindo a desempenhar um papel bastante activo no desenvolvimento do conhecimento matemático e científico, pela
divulgação de políticas de suporte ao ensino: Bibliografia relacionada com a utilização de tecnologia na sala de aula, Programa de
Empréstimo de Equipamento TI, Programa de Compra em Volume, Programa VIP, Acções de Formação, e muito mais…
poderá consultar detalhadamente o universo Texas Instruments no site
■ education.ti.com/portugal
Se pretender obter algum esclarecimento pessoal sobre algum assunto ligado à utilização de tecnologia gráfica com o ensino,
não hesite em contactar-nos:
■ CSC (Centro de Suporte ao Cliente) – 800 832 627 – [email protected]
■ Programa de Empréstimo – [email protected]
PROGRAMA EDUCACIONAL
TEXAS INSTRUMENTS
Tel.: 22 763 91 95
Fax: 22 763 38 22
Tlm.: 96 287 82 93
E-mail: [email protected] ou
[email protected]
Distribuidores
DISMEL
TETRI
Rua Coronel Ferreira
do Amaral, 9C
1900 Lisboa
Tel.: 21 816 03 20
Fax: 21 816 03 29
E-mail: [email protected]
Internet: www.dismel.pt
Estrada da Circunvalação, 798
4435 Rio Tinto
Tel.: 22 489 95 32
Fax: 22 480 05 27
E-mail: [email protected]
Internet: www.tetri.pt
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