Universidade do Algarve
Campeonato de Matemática SUB14
2005/2006
Problema 3 – O jardim da Clarinha
O jardim da Clarinha está dividido em seis canteiros rectangulares todos iguais,
como se indica na figura.
Qual é a área do jardim da Clarinha?
RESOLUÇÃO
No problema da determinação da área do jardim da Clarinha são dadas várias informações.
Sabemos que o jardim tem a forma de um rectângulo e que esse rectângulo está dividido em
seis canteiros também rectangulares e todos iguais. Além disso, temos uma figura ou um
esquema que representa o jardim. Tudo aquilo que nos falta saber terá de se retirar da figura
que esquematiza o jardim da Clarinha. Por isso, há que interpretar a figura e dela extrair os
dados que nos faltam para o cálculo da área. Um desses dados está bem explícito – uma das
dimensões do jardim mede 18 m. Mas não se sabe qual é a medida da outra dimensão
necessária para o cálculo da área.
Analisar e compreender o esquema do jardim é o primeiro passo para a resolução. Tal como
explicou o João Costa, da EB 2,3 Eng. Duarte Pacheco (Loulé) é preciso olhar atentamente!
Também o Francisco Chaves, da EB 2,3 Dr. António Francisco Colaço (Castro Verde) usou
uma expressão sugestiva quando afirmou que podia usar a lógica do desenho para resolver o
problema.
O problema pode ser tratado de várias formas, conforme a interpretação que se fizer da figura.
Por isso, nas respostas que recebemos, surgiram diferentes métodos de chegar à solução.
1. Relacionar os lados do jardim com os lados dos canteiros
Quando se observa a figura, percebe-se que os canteiros aparecem em duas posições
diferentes: "na horizontal" e "na vertical". Contudo, não podemos esquecer que são todos
iguais. Podemos chamar a ao maior lado e b ao menor lado de cada canteiro. Então, se
concentramos a atenção num dos rectângulos que estão "na horizontal", percebemos que o
lado maior mede o mesmo que dois dos lados menores. Deste modo, ficamos a saber que
a = 2b .
Também poderíamos pensar, como fez o Miguel Alpalhão, da EBI Padre Bento Pereira
(Borba), que a dimensão desconhecida do jardim equivale a dois comprimentos de canteiro e,
ao mesmo tempo, a 4 larguras de canteiro, ou seja,
2a = 4b .
Qualquer destes raciocínios, leva-nos a concluir que o comprimento de um canteiro é o dobro
da sua largura. Então, como conhecemos uma das dimensões do jardim e sabemos que
corresponde à soma de um comprimento com uma largura de canteiro, podemos afirmar que
se trata três larguras:
3b = 18 .
Portanto, o lado menor do canteiro mede 6 m e o lado maior medirá o dobro, isto é, 12 m.
Como o lado do jardim que queremos determinar corresponde a dois lados maiores do
canteiro, a sua medida é 24 m.
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Finalmente, a área do rectângulo pode ser calculada: A = 18 × 24 = 432 m
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2. Introduzir elementos na figura
Outras formas de interpretação da figura conduzem a outros caminhos.
Ao percebermos que, no lado maior de cada canteiro "cabem" exactamente dois lados
menores, podemos pensar em dividir cada lado maior em dois lados menores. Quando
fazemos esta divisão em todos os canteiros do jardim, chegamos a um resultado interessante:
o jardim fica dividido em 12 quadrados iguais. A medida do lado deste quadrado é agora fácil
de determinar, com o dado de que dispomos. Os 18 metros correspondem a três vezes o lado
do quadrado. Então, cada quadrado tem 6 m de lado e a sua área será 36 m2. Como temos 12
destes quadrados a preencher o jardim da Clarinha, basta multiplicar a área de cada quadrado
por 12 e obtemos 432 m2.
Entre os vários "atletas" que propuseram esta ideia, estão a Cristiana Nóbrega, a Nídia Teles
e a Eva Mendonça, da EB 2,3/S Gonçalves Zarco (Funchal), a Ana Lúcia Sobral, da EB 2,3
de Alvalade do Sado, ou o Nuno Arraiano, o André e o Adriano, da EB 2,3 D. João de Portel,
que usaram um esquema bastante elucidativo.
Uma outra possibilidade de ver a figura foi sugerida pelo Guilherme Grave, da EBI Prof. Dr.
Aníbal Cavaco Silva (Boliqueime) e pela Adriana Fernandes, da EB 2,3 de Vila Nova de S.
Bento. Ambos notaram que os dois rectângulos "verticais" formavam um quadrado, porque dois
lados menores medem tanto como um lado maior. Então, basta imaginar que os dois
rectângulos "verticais" são colocados "na horizontal". A figura que se obtém é equivalente à
inicial e permite ver facilmente que o lado menor de cada canteiro mede 6 m. Ora, os 18 m
correspondem à soma de um lado maior com um lado menor (como na figura inicial). Portanto,
o lado maior do canteiro mede 12 m. A partir daqui, chega-se às dimensões do jardim e à
medida da área.
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3. Utilização da escala
Houve quem se lembrasse de usar a figura como uma autêntica planta do jardim da Clarinha,
feita à escala, isto é, com medidas proporcionais às medidas reais do jardim. Na verdade, há
um certo risco neste processo, dado que o esquema poderia ser apenas ilustrativo e não
respeitar fielmente as proporções. Mas funciona, neste caso! Porquê? Não há dúvida de que,
na figura, os canteiros são todos iguais e o comprimento do lado maior é o dobro do
comprimento do lado menor. Isto é verdade na figura e é verdade no jardim da Clarinha. Os
rectângulos da figura são, portanto, semelhantes aos rectângulos reais do jardim. Logo, existe
uma razão de semelhança ou uma escala que nos permite passar das medidas no papel para
as medidas no terreno. Assim, basta usar a proporcionalidade directa para encontrar o
comprimento real do lado do jardim que nos falta. Depois é só calcular a área.
COMENTÁRIOS
Como em todos os problemas, também no problema do jardim da Clarinha, a compreensão e a
interpretação dos dados é fundamental. Aqui, tratava-se de conjugar as informações escritas
com a interpretação de uma figura geométrica. Era na figura que se podiam encontrar os
elementos que faltavam para a resolução do problema.
Verificou-se que há mais de uma maneira de ver ou de interpretar a figura. Por isso, surgiram
diferentes processos de obter a solução. Alguns alunos propuseram até mais do que um
processo correcto de resolução!
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