FILTRAGEM DE SISTEMAS DINÂMICOS NÃO-LINEARES COM APLICAÇÃO EM PLATAFORMA
DE MOMENTO GIROSCÓPICO
R ENATA C. M. C HUPEL∗, P EDRO H. T. M.
DA
F ONSECA∗, R ENATO A. B ORGES∗
∗ Departamento
de Engenharia Elétrica,
Universidade de Brasília – UnB,
70910-900, Brasília, DF, Brasil
Emails: [email protected], [email protected], [email protected]
Abstract— In this paper, the problem of robust filter design for time-invariant continuous-time systems is investigated in the
context of absolute stability. The filter is obtained in order to guarantee that the augmented system (filter connected to the plant)
is absolute stable with respect to a cone bounded class of nonlinearities. The design conditions obtained by means of Lyapunov
functions are expressed as linear matrix inequalities. Uncertainties in the system are also considered using polytopic models. A
complete order filter is obtained by the solution of an H∞ optimization problem. A practical application on a platform of moment
gyroscope is provided.
Keywords—
Robust filtering; Absolute stability; Lyapunov functions; Linear matrix inequalities.
Resumo— Neste artigo, o problema de projeto de filtros para sistemas contínuos e invariantes no tempo é investigado no contexto
de estabilidade absoluta. O filtro é obtido de tal forma a garantir que o sistema aumentado (filtro acoplado à planta) seja absoluto
estável em relação a uma classe de não-linearidades limitadas em um cone. As condições de síntese obtidas por meio de funções
de Lyapunov são expressas como desigualdades matriciais lineares. Incertezas no sistema também são consideradas utilizando
modelos politópicos. Um filtro de ordem completa é obtido solucionando um problema de otimização H∞ . Uma aplicação prática
em plataforma de momento giroscópico é apresentada.
Palavras-chave—
Filtragem robusta; Estabilidade absoluta; Funções de Lyapunov; Desigualdade matriciais lineares.
1 Introdução
O conceito de estabilidade absoluta de um sistema dinâmico, introduzido por Lur’e e Postnikov na década
de 40 (Hinrichsen e Pritchard, 2011), estabelece condições para a análise das trajetórias de um sistema
cuja malha de realimentação é dada por uma função
não-linear desconhecida. Para uma classe de nãolinearidades invariantes no tempo1, N : Kq 7−→ Kℓ , diferenciável na origem com N(0) = 0, e satisfazendo
a condição global de Lipschitz, o ponto de equilíbrio
nulo do sistema
ẋ(t) = Ax(t)
é dito estável no sentido absoluto em relação a um conjunto de perturbações D, se o sistema
ẋ(t) = Ax(t) + BN(Cx(t)), t ≥ 0
for globalmente assintoticamente estável para todo
N ∈ D.
O estudo de estabilidade deste tipo de sistema ficou conhecido na literatura como problema de Lur’e, e
provavelmente os resultados mais conhecidos apresentados até hoje são a conjectura de Aizerman, a conjectura de Kalman, o critério do Círculo e o critério de Popov (Khalil, 2002; Haddad e Chellaboina, 2008). Para
as duas conjecturas, contra-exemplos mostraram que
no caso geral elas não são válidas, como em sistemas
dinâmicos com atratores ocultos, os quais possuem bacia de atração que não se intercepta com pequenas vizinhanças do ponto de equilíbrio (Leonov e Kuznetsov, 2013). Já os critérios do Círculo e de Popov constituem dois importantes teoremas que fornecem condi1K
representa o campo dos Complexos ou Reais.
ções suficientes para a estabilidade absoluta de sistemas dinâmicos com não-linearidades limitadas em setor (Khalil, 2002; Haddad e Chellaboina, 2008; Hinrichsen e Pritchard, 2011), constituindo a base fundamental para os principais resultados vistos recentemente na literatura.
No contexto de síntese de filtros e controladores para sistemas da engenharia, a estabilidade absoluta representa uma linha de investigação importante,
pois ao considerar o estudo de sistemas dinâmicos nos
quais o operador de realimentação não precisa ser explicitamente caracterizado, mas apenas sua classe bem
definida, permite representar e tratar de forma conveniente a modelagem de diferentes tipos de perturbações ou incertezas no modelo. Dentre os exemplos mais conhecidos, destacam-se a representação
dos efeitos de zona morta e saturação de sinais (Yang
e Li, 2009; da Silva Jr. et al., 2013; Shi et al., 2013),
e um caso talvez não tão comum, porém muito interessante, apresentado no contexto de análise numérica
em (Kashima e Yamamoto, 2007).
Recentemente, os trabalhos sobre estabilidade absoluta tem se concentrado em fornecer condições
de análise e síntese para diferentes classes de nãolinearidades, por exemplo (Gomes da Silva Jr. e Tarbouriech, 2005) considera um setor específico para
não-linearidades do tipo zona-morta, utilizado para
síntese de controladores por realimentação dinâmica
de saída em (da Silva Jr. et al., 2013); para diferentes
tipos de funções de Lyapunov, quadráticas ou do tipo
Lur’e (de Oliveira et al., 2002); e com estimação e
otimização da bacia de atração do ponto de equilíbrio
(Gonzaga et al., 2012).
No entendimento dos autores, a maior parte
dos resultados apresentados até o presente momento
encontra-se dividida em dois grupos principais de problemas: análise de estabilidade e síntese de controladores. Extensões para o problema de filtragem absoluta, de importância inquestionável, pode se beneficiar
de diversas contribuições apresentadas para síntese de
controladores absolutos, e em alguns casos ainda carece de resultados semelhantes.
Neste artigo, o problema de filtragem de sistemas
não-lineares do tipo Lur’e é investigado. Condições
de síntese de filtros dinâmicos tal que o sistema aumentado (filtro acoplado à planta) seja absolutamente
estável em relação a uma classe de não-linearidades limitadas em um cone, com um limitante superior para
o desempenho H∞ garantido, são apresentadas. Diferentes classes de funções são considerada para o filtro
e a planta, permitindo tratar não-linearidades nas duas
estruturas separadamente. Extensões para o caso de
sistemas incertos também são consideradas por meio
de modelos politópicos, sendo possível aplicar relaxações polinomiais na busca de condições menos conservadoras.
As condições de síntese propostas foram validadas no projeto de um filtro para estimar a velocidade
angular de um dos eixos de rotação da plataforma
de controle de momento giroscópico da Educational
Control Products (modelo 750). Giroscópios são mecanismos formados por um rotor suspenso acoplado
a dois eixos articulados com juntas do tipo gimbal.
São instrumentos utilizados principalmente para medir ou manter uma orientação, com aplicações essenciais em equipamentos de localização, sendo amplamente utilizados no contexto de sistemas de navegação
inercial, estabilização de veículos aéreos não tripulados (VANTs), orientação de veículos aquáticos, dentre outros. O princípio que rege seu funcionamento é
a conservação do momento angular do sistema. Com
os três eixos livres para girar, qualquer torque aplicado em um dos eixos resultará numa reação perpendicular que visa a manutenção do sentido de rotação
do rotor. Dessa forma, é possível ter um referencial
de orientação fixo, muito útil em diversas aplicações.
Por exemplo, pode-se utilizar uma lei de controle para
compensar qualquer torque aplicado em um dos eixos
e garantir uma trajetória de interesse para um VANT.
Neste contexto, a seguinte situação hipotética foi
considerada, estimação da velocidade considerando a
planta estabilizada e acesso à posição angular controlada do eixo em análise. No cenário em questão, o
sinal de controle satura durante o transitório, e o filtro
é projetado considerando esta característica não-linear
da planta, ilustrando o resultado principal do artigo.
em que x(t) ∈ IRn é o vetor de variáveis de estado,
y(t) ∈ IRq a saída medida, z(t) ∈ IR p o sinal a ser estimado, e w(t) ∈ IRr um ruído externo com norma L2
limitada afetando a dinâmica e a saída da planta. As
matrizes são reais, com dimensões apropriadas.
As equações do filtro são dadas por
ẋ f (t) = A f x f (t) + N f g(x f ) + B f y(t)
z f (t) = C f x f (t) + M f g(x f )
(2)
em que x f (t) ∈ IRn é o vetor de variáveis de estado do
filtro e z f (t) ∈ IR p o sinal estimado. As matrizes do
filtro são reais e com dimensões apropriadas.
As funções f e g são não lineares, radialmente
ilimitadas, pertencentes à classe de funções
F (γ , δ ) = {x → f (x) = [ f1 (x1 ) . . . fn (xn )]′ :
γi τ 2 < fi (τ )τ < δi τ 2 , 0 < γi ≤ 1 ≤ δi , fi (0) = 0}
para todo i ∈ N∗ .
Acoplando o filtro à planta, as equações que descrevem a dinâmica do sistema aumentado são
ς̇ (t) = Ãς (t) + Ñ f˜(x(t)) + B̃w(t)
e(t) = C̃ς (t) + M̃ f˜(x(t))
(3)
em que ς (t) = [x(t)′ x f (t)′ ]′ , e(t) = z(t) − z f (t),
f˜′ (x(t)) = [ f ′ (x(t)) g′ (x f (t))], e
A
à =
BfC
B̃ =
0
N
, Ñ =
Af
Bf M
0
,
Nf
′ L
0
B
′
, C̃′ =
,
M̃
=
.
−C′f
−M ′f
Bf D
O problema a ser resolvido consiste em encontrar
condições suficientes para síntese de filtros robustos
do tipo (2) que assegurem que a dinâmica do sistema
aumentado (3) seja absolutamente estável em relação
à classe de não-linearidades F .
O problema de filtragem a ser analisado pode ser
definido conforme descrito a seguir.
Problema 1 Encontre matrizes A f ∈ IRn×n , N f ∈
IRn×n , B f ∈ IRn×q , C f ∈ IR p×n e M f ∈ IR p×n do filtro (2), tais que a dinâmica do sistema aumentado
(3) seja absolutamente estável em relação à classe de
não-linearidades F , e um limitante superior µ do desempenho H∞ do erro de estimação seja garantido,
ou seja,
sup
kwk2 6=0, w∈L 2 [0,∞)
kek22
< µ 2, ∀ f ∈ F .
kwk22
(4)
2 Preliminares e definição do problema
3 Estabilidade absoluta com desempenho H∞
Considere um sistema não-linear com t ∈ [0, ∞)
ẋ (t) = Ax (t) + N f (x) + Bw (t)
y (t) = Cx (t) + M f (x) + Dw (t)
z (t) = Lx (t)
(1)
O lema a seguir apresenta uma condição suficiente
para a análise de estabilidade absoluta de um sistema
invariante no tempo com garantia de desempenho H∞
e será utilizado na solução do Problema 1.
Lema 1 Dado um sistema não-linear invariante no
tempo do tipo (1), matrizes diagonais ∆ ≻ 0 e Γ 0 (obtidas pela especificação do setor), uma matriz
bloco diagonal Q ≻ 0, e um escalar positivo µ , se existir uma matriz simétrica W ≻ 0 (variável do problema)
tal que2


′
0
M̃ ′
−Q Ñ W + 12 Q (Γ + ∆)
′
 (⋆) Ã W + W Ã − Γ∆Q W B̃ C̃′ 
≺0
Ξ := 
 (⋆)
(⋆)
−µ 2 I 0 
(⋆)
(⋆)
(⋆) −I
(5)
então o sistema (3) é absolutamente estável para todo
f˜ ∈ F (γ , δ ) com um limitante superior para a norma
H∞ dado por µ .
Demonstração:
Primeiramente será verificado que Ξ ≺ 0 implica
na estabilidade absoluta do sistema (3) para ∀ f˜ ∈
F (γ , δ ). Para tanto, considere w = 0 e perceba que
se Ξ ≺ 0 então
′
−Q Ñ W + 12 Q (Γ + ∆)
≺ 0.
′
(⋆) Ã W + W Ã − Γ∆Q
Multiplicando a desigualdade acima à esquerda pelo
vetor [ f˜′ x̃′ ] e à direita pelo seu transposto tem-se
v̇(x̃) < f˜′ Q f˜ − x̃′ ΓQ f˜ − f˜′ Q∆x̃ + x̃′ ΓQ∆x̃
(6)
com v(x̃) = x̃′W x̃. Além disso, para toda f˜ ∈ F(γ , δ )
segue que f̃i (x̃i ) − γi x̃i > 0 e f̃i (x˜i ) − δi x˜i < 0,
logo
n
∑
i=1
para ||w||22 6= 0, w ∈ L 2 [0, ∞), o que conclui a demonstração.
A condição de análise apresentada no Lema 1
pode ser facilmente estendida para o caso de sistemas
com incertezas modeladas por politopos, semelhante
à condição apresentada no Teorema 2 em (Montagner
et al., 2009), conforme será apresentado adiante.
Vale mencionar que para o caso de sistemas precisamente conhecidos, a principal diferença do Lema 1
em relação ao Teorema 2 proposto em (Montagner
et al., 2009) diz respeito à utilização da função de
Lyapunov quadrática ao invés da função de Lyapunov
do tipo Lur’e. Estas mudanças proporcionam vantagens algébricas na obtenção das condições de síntese
de filtros com erro de estimação absolutamente estável. Além disso, diferente do proposto em (Montagner
et al., 2009), o Lema 1 garante um limitante superior
à norma H∞ do sistema.
4 Resultados principais
O teorema a seguir apresenta uma condição suficiente
para a síntese de filtros com erro de estimação absolutamente estável.
Teorema 1 Dado um sistema não-linear do tipo (1),
matrizes diagonais ∆11 ≻ 0, ∆22 ≻ 0 (obtidas pela especificação do setor), Q11 ≻ 0, Q22 ≻ 0 e um escalar
positivo µ , se existirem (variáveis do problema) matrizes simétricas X, Z ∈ Rn×n , e matrizes E, G, R ∈
Rn×n , F ∈ Rq×n , S, M f ∈ R p×n tais que
f̃i (x̃i ) − γi x̃i qii f̃i (x˜i ) − δi x˜i < 0, ∀qii > 0,
que pode ser reescrito na forma matricial como
′
f˜(x̃) − Γx̃ Q f˜(x̃) − ∆x̃ < 0
que é exatamente a expressão no lado direito da desigualdade (6). Desta forma, tem-se que v̇(x̃) < 0 garantindo a estabilidade absoluta do sistema (3).
Por último, para verificar a garantia de desempenho H∞ na presença de ruído (w 6= 0), multiplique a
desigualdade Ξ ≺ 0 à esquerda pelo vetor [ f˜′ x̃′ w′ ] e
à direita pelo seu transposto, o que fornece
v̇(x̃) < µ 2 w′ w − e′ e.
Integrando os dois lados da desigualdade acima e considerando condições iniciais nulas tem-se
Z ∞
0
v̇(x̃) dt < µ 2
Z ∞
w′ w dt −
0
Z ∞
e′ e dt




ϒ := 


2O
símbolo (⋆) representa o bloco simétrico na matriz.
T13
1R
2
T33
(⋆)
(⋆)
(⋆)
≻0
T14
G
T34
T44
(⋆)
(⋆)
(7)
0
0
Z′B
T45
−µ 2 I
(⋆)
0
−M ′f
T36
L′
0
−I




≺0


então existe um filtro dado por (2), tal que o erro de
estimação (3) é absolutamente estável para todo f˜ ∈
F (γ , δ ) com um limitante superior para a norma H∞
dado por µ . As matrizes do filtro são dadas por
A f = (U ′ )−1 E ′YV −1 , B f = (U ′ )−1 F ′ ,
N f = (U ′ )−1 G′ , C f = SYV −1 , M f ,
0 < µ 2 ||w||22 − ||e||22
||e||22
< µ2
||w||22
0
−Q22
(⋆)
(⋆)
(⋆)
(⋆)
Z
X
(8)
′
T13 = N Z + 12 Q11 ∆11 , T36 = L′ − S′
′
′
T14 = N X + M F + 12 Q11 ∆11 ,
′
′
′
T33 = A Z + ZA, T34 = A X + C F + E + ZA
′
′
T44 = A X + C F + XA + F ′C, T45 = XB + F ′ D
0
o que implica
−Q11
(⋆)
(⋆)
(⋆)
(⋆)
(⋆)
Z
Z
em que
Y = Z −1 , V = (Q22 ∆22 )−1 RZ −1 ,
U = (V −1 − XZ −1V −1 )′ .
Demonstração: Primeiramente defina as seguintes
matrizes particionadas
′ ′ I I
XU
YV
W=
, W −1 =
, K̃ =
VY −1 0
V Ŷ
U X̂
Q11 0
∆11 0
Q=
, ∆=
.
0 Q22
0 ∆22
Em seguida, definindo Y = Z −1 e utilizando as equa′
ções XY + U V = I e UY + X̂V = 0 obtidas da identidade WW −1 = I, tem-se que o produto K̃ ′W K̃ fornece
a LMI (7). Por último, definindo K = diag[I, K̃, I, I],
e as mudanças de variáveis
G = N ′f U, R = Q22 ∆22VY −1 , F = B′f U,
′ ′
E = Y −1V A f U, S = C f VY −1
em que V e U = (V −1 − XZ −1V −1 )′ satisfazem a iden′
tidade XY + U V = I, tem-se que ϒ em (8) pode ser
escrito como ϒ = K ′ ΞK com Ξ definido em (5). Consequentemente, Ξ ≺ 0 se, e somente se, ϒ ≺ 0, o que de
acordo com o Lema 1 garante a estabilidade absoluta
do erro de estimação com um limitante superior para
a norma H∞ dado por µ . As matrizes do filtro são obtidas pelas mudanças de variáveis definidas acima, o
que conclui a demonstração.
É importante mencionar que a minimização de µ
sujeito às condições do Teorema 1 fornece o filtro dinâmico com o menor custo garantido H∞ assegurando
a estabilidade absoluta do erro de estimação (3).
Por último, considerando a representação de incertezas por meio de politopos convexos, ou seja, um
conjunto compacto convexo com um número finito de
pontos extremos (Grünbaum, 2003), o Teorema 1 pode
ser estendido para tratar o caso no qual o sistema (1)
possui incertezas descritas por um vetor de parâmetros
α ∈ IRN pertence ao N-simplexo unitário
(
)
′
T13 = N(α ) Z + 21 Q11 ∆11 , T36 = L(α )′ − S′
′
′
T14 = N(α ) X + M(α ) F + 12 Q11 ∆11 ,
′
T33 = A(α ) Z + ZA(α ),
′
′
T34 = A(α ) X + C(α ) F + E + ZA(α )
′
′
T44 = A(α ) X + C(α ) F + XA(α ) + F ′C(α ),
T45 = XB(α ) + F ′ D(α ).
Para garantir a estabilidade absoluta do filtro robusto às incertezas politópicas projetado utilizando o
Corolário 1, a nova LMI dependente de α deverá ser
verificada para todo α ∈ UN . Apesar de neste caso
o problema se tornar de dimensão infinita, o fato do
vetor α estar contido em um N-simplexo unitário permite escrever condições suficientes descritas em função apenas dos vértices do politopo (Oliveira e Peres, 2007), (Bliman et al., 2006). Além disso, a interface ROLMIP (Agulhari et al., 2012), disponível para
download gratuitamente no site dos desenvolvedores,
já trata internamente este procedimento facilitando a
implementação de LMIs dependentes de parâmetros.
Condições menos conservadoras para o Corolário 1 podem ser obtidas utilizando relaxações polinomiais no parâmetro α , como por exemplo por meio
de extensões do Teorema de Pólya muito utilizadas
neste contexto (Oliveira e Peres, 2005), (Oliveira e Peres, 2007).
5
Simulações numéricas com aplicação em
bancada de momento giroscópico
A plataforma de análise e controle de momento giroscópico utilizada neste experimento possui 4 graus de
liberdade referentes ao rotor central D e aos gimbals
A, B e C, conforme pode ser visto na Figura 1. Por
N
UN :=
β ∈ IRN : ∑ βi = 1, βi ≥ 0 .
i=1
Neste caso, a realização {A, N, B, C, M, D, L} do
sistema é dada pela combinação convexa dos vértices
do politopo conforme descrito abaixo




A(α ) N(α ) B(α )
Ai Ni Bi
N
 C(α ) M(α ) D(α )  = ∑ αi  Ci Mi Di  .
i=1
L(α )
−
−
Li − −
O corolário a seguir considera a síntese de filtros para
sistemas com incertezas politópicas.
Corolário 1 O Teorema 1 pode ser aplicado para fornecer filtros absolutamente estáveis do tipo (2) com
custo garantido H∞ nos casos em que o sistema (1)
possui incertezas descritas por politopos convexos.
Para tanto, a LMI (8) deve ser alterada para








−Q11
(⋆)
(⋆)
(⋆)
(⋆)
(⋆)
0
−Q22
(⋆)
(⋆)
(⋆)
(⋆)
T13
1R
2
T33
(⋆)
(⋆)
(⋆)
T14
G
T34
T44
(⋆)
(⋆)
0
0
Z ′ B(α )
T45
−µ 2 I
(⋆)
0
−M ′f
T36
L(α )′
0
−I



≺0


Rotor – peça A (eixo 1)
Peça B (eixo 2)
Peça C (eixo 3)
N3
N1
N2
Peça D (eixo 4)
Figura 1: Plataforma do giroscópio.
construção da plataforma, todos os centros de massa
estão localizados no centro geométrico do rotor D, o
que permite desconsiderar os efeitos da gravidade e
qualquer componente de dinâmica linear, reduzindo a
análise do sistema à sua dinâmica angular. Ainda, no
experimento realizado, o gimbal C foi mantido fixo
por meio de um freio contido no mecanismo do giroscópio, o que permite aproximar a dinâmica do sistema
por um modelo linearizado de ordem 3 cuja represen-
angular ω4 . O setor considerado para o esforço de
controle em função da variável de estado de interesse,
x2 (t) = ω2 (t), pode ser visto na Figura 3. O filtro projetado ainda tolera eventuais não-lineares nas demais
componentes do esforço de controle relacionadas
com a posição angular q4 e velocidade ω4 desde que
limitadas por um setor com inclinação 0.1 conforme
especificação de projeto, embora apresente um erro
maior durante o transitório. O resultado obtido para a
tação no espaço de estados é dada por
 0
q̇4
ω̇2  = 
0
ω̇4
0

0
0
1
−JD Ω
ID +KA +KB +KC

 
0
q
JD Ω
 4
1
(IC +ID )(ke2 /ke4 )  ω2  +  (I +I )k k
C D u2 e4
ω4
0
0

 T2
em que q4 é a posição angular do gimbal 4, w2 e w4
as velocidades angulares dos gimbals 2 e 4 respectivamente, Ω a velocidade angular do rotor D, T2 o torque
de B em C através do movimento do gimbal 2, ke2 e
ke4 os ganhos estáticos dos encoders instalados no giroscópio, ku2 o ganho estático associado ao atuador do
eixo 2 e IC , ID , JD , KA , KB e KC os momentos de inércia escalares nas respectivas direções (I na direção N1 ,
J na direção N2 e K na direção N3 ). A escolha das variáveis de estados q4 , w2 e w4 deve-se à configuração
em análise, ou seja, movimento do eixo 4 com atuação
pelo eixo 2.
Para o sistema em análise, os valores dos momentos de inércia são dados por IC = 0.0092 kg.m2 , ID =
0.0148 kg.m2 , JD = 0.0273 kg.m2 , KA = 0.0667 kg.m2 ,
KB = 0.0297 kg.m2 e KC = 0.0221 kg.m2 , a velocidade angular do rotor D utilizada foi de Ω = 400 rpm,
e os ganhos dos encoders e atuador respectivamente
ke2 = 124256, ke4 = 81504 e ku2 = 9.0874 × 10−05 .
Considerando o sistema estabilizado por uma realimentação de estados u(t) = [−4.5 0.072 − 0.22]x(t),
o sistema foi excitado com um pulso unitário de largura 4s. Neste cenário, o sinal de controle satura em
+/-10V durante o primeiro pico do transitório, vide Figura 2, e uma representação conforme (1) precisa ser
utilizada para descrever a dinâmica do sistema. Logo,
Esforço de controle versus velocidade angular 2 (w2)
45
Função esforço de controle vs velocidade
borda superior do setor
borda inferior do setor
40
35
esforço de controle
30
25
20
15
10
5
0
−5
0
20
40
60
80
velocidade w2
100
120
140
Figura 3: Não-linearidade limitada em setor.
estimação de ω4 , implementado na plataforma, pode
ser visto na Figura 4.
Velocidade w4 estimada
100
80
Posição comandada e esforço de controle
600
10
0
200
−10
Contagens do encoder
400
tensão (volts)
Contagens do encoder
60
40
20
0
−20
−40
−60
−80
degrau (posição comandada)
esforço de controle
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Tempo (segundos)
0.5
0.6
−20
0.7
Figura 2: Saturação na planta estabilizada.
o sistema a ser considerado possui uma matriz dinâmica dada conforme acima, M e D são nulas, L é uma
identidade, e as demais matrizes podem ser vistas a
seguir


 
0
0
0
1
′
N = −2118 33.9 −103.5 , C = 0 ,
0
0
0
0
′
B = 0 0.1 0 , L = 0 0 5 .
O setor é definido pelas matrizes ∆11 =
diag([0.1 0.3 0.1]), ∆22 = 10−7 diag([1 1 1]),
e as matrizes Q11 e Q22 são variáveis do problema.
O Teorema 1 foi aplicado para projetar um filtro
absoluto em relação a saturação e robusto a eventuais
perturbações na planta, que estime a velocidade
−100
Velocidade estimada
Velocidade medida
0
0.5
1
1.5
2
Tempo (segundos)
2.5
3
Figura 4: Velocidade ω4 estimada.
As matrizes do filtro são dadas por

3.4347
A f = 107  3.8185
−1.9120

−0.5927
−0.6589
0.3299

−8.5506
B f = 106 −9.5062 ,
4.7597
4.0172
C f = 392.2914
166.4833

−0.6932
−71.0701
−19.8862

4.9878
5.5451  ,
−2.7765

5.8337
539.9837  .
260.0109
No caso de N f e M f , os valores obtidos possuem magnitude desprezíveis, o que está de acordo com o fato de
que o setor definido para g(x f ), dado por ∆22 , possui
valor muito próximo de zero conforme pode ser visto
acima. O limitante superior para a norma H∞ obtido
minimizando µ sujeito às condições do Teorema 1 foi
de 5.311 × 10−7, indicando uma boa característica robusta do filtro a pequenas perturbações.
Por último, vale mencionar que a taxa de amostragem considerada foi de Ts = 0.00884s, o que de acordo
com o fabricante é suficiente para tratar o sistema de
forma contínua.
6
Conclusão
Neste artigo, um procedimento de síntese de filtros contínuos no tempo para sistemas com nãolinearidades limitadas em setor tal que a dinâmica do
erro de estimação seja absolutamente estável com desempenho H∞ garantido foi apresentado. A principal
característica das condições propostas está no fato de
que tanto o sistema quanto o filtro são considerados
afetados por não-linearidades limitadas em uma região
pré-estabelecida. Tal resultado foi obtido utilizando
uma função de Lyapunov quadrática, que apresentou
vantagens algébricas quando comparada com funcões
de Lyapunov do tipo Lur’e no contexto do problema
de filtragem considerado. Ressalta-se que da forma
como foi considerado o projeto do filtro, a planta também precisa ser absolutamente estável. Extensões para
o caso de sistemas incertos, com modelos politópicos
para as incertezas, também foram consideradas. O filtro obtido é resultado da solução de um problema de
otimização com restrições LMIs, em que um limitane
superior da norma H∞ é minimizado. O experimento
realizado ilustra o resultado principal apresentado no
texto.
Agradecimentos
Às agências de fomento CAPES e CNPq, e ao
DPP/UnB.
Referências
Agulhari, C. M., de Oliveira, R. C. L. F. e Peres, P. L. D.
(2012). Robust LMI Parser: a computational package to construct LMI conditions for uncertain systems, XIX Brazilian Conference on Automation (CBA
2012), Campina Grande, PB, Brazil, pp. 2298–2305.
Bliman, P.-A., Oliveira, R. C. L. F., Montagner, V. F. e Peres,
P. L. D. (2006). Existence of homogeneous polynomial solutions for parameter-dependent linear matrix
inequalities with parameters in the simplex, Proceedings of the 45th IEEE Conference on Decision and
Control, San Diego, CA, USA, pp. 1486–1491.
da Silva Jr., J. M. G., Castelan, E. B., Corso, J. e Eckhard, D.
(2013). Dynamic output feedback stabilization for systems with sector-bounded nonlinearities and saturating
actuators, Journal of The Franklin Institute 350: 464–
484.
de Oliveira, M. C., Geromel, J. C. e Hsu, L. (2002). A new
absolute stability test for systems with state-dependent
perturbations, International Journal of Robust and
Nonlinear Control 12(14): 1209–1226.
Gomes da Silva Jr., J. M. e Tarbouriech, S. (2005). Antiwindup design with guaranteed regions of stability: An
LMI-based approach, IEEE Transactions on Automatic Control 50(1): 106–111.
Gonzaga, C. A. C., Jungers, M. e Daafouz, J. (2012). Stability analysis of discrete-time Lur’e systems, Automatica 48: 2277–2283.
Grünbaum, B. (2003). Convex polytopes, Graduate texts in
mathematics, 2nd edn, Springer-Verlag, New York.
Haddad, W. M. e Chellaboina, V. (2008). Nonlinear dynamical systems and control: a Lypunov-based approach,
1st edn, Princeton University Press, New Jersey.
Hinrichsen, D. e Pritchard, A. J. (2011). Mathematical Systems Theory I: Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness, Vol. 48 of Texts in Applied Mathematics, 3rd printing edn, Springer.
Kashima, K. e Yamamoto, Y. (2007). System theory for numerical analysis, Automatica 43: 1156–1164.
Khalil, H. K. (2002). Nonlinear Systems, 3rd edn, Prentice
Hall, Upper Saddle River, NJ.
Leonov, G. A. e Kuznetsov, N. V. (2013). Hidden attractors in dynamical systems. From hidden oscillations in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman, and Kalman problems to hidden chaotic attractor in Chua circuits, International Journal of Bifurcation and Chaos
23(1): 1330002 (69 pages).
Montagner, V. F., Oliveira, R. C. L. F., Calliero, T. R., Borges, R. A., Peres, P. L. D. e Prieur, C. (2009). Robust
absolute stability and nonlinear state feedback stabilization based on polynomial Lur’e functions, Nonlinear Analysis Series A: Theory, Methods & Applications 70(5): 1803–181.
Oliveira, R. C. L. F. e Peres, P. L. D. (2005). Stability of
polytopes of matrices via affine parameter-dependent
Lyapunov functions: Asymptotically exact LMI conditions, Linear Algebra and Its Applications 405: 209–
228.
Oliveira, R. C. L. F. e Peres, P. L. D. (2007). Parameterdependent LMIs in robust analysis: Characterization
of homogeneous polynomially parameter-dependent
solutions via LMI relaxations, IEEE Transactions on
Automatic Control 52(7): 1334–1340.
Shi, T., Su, H. e Chu, J. (2013). Reliable H-infinity filtering
for linear systems with sensor saturation, Journal of
Control Theory and Applications 11(1): 80–85.
Sturm, J. F. (1999). Using SeDuMi 1.02, a MATLAB
toolbox for optimization over symmetric cones, Optimization Methods and Software 11(1–4): 625–653.
http://sedumi.ie.lehigh.edu/.
Yang, F. e Li, Y. (2009). Set-membership filtering for systems with sensor saturation, Automatica 45: 1896–
1902.